3.5 等边三角形（分层作业15题） 2026-2027学年人教版八年级数学上册

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 3.5 等边三角形（分层作业15题） 一、选择题 1．如图，等边三角形中，，与相交于点P，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质得到，，结合，证明，得到，结合，可得，即得答案． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ． 2．如图，是边长为1的等边三角形，是的中点，于，延长到点F，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质得出，，由中点的定义得出的长，在中利用角所对的直角边等于斜边的一半求出的长，最后根据计算即可． 【详解】解：∵是边长为1的等边三角形， ∴，， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故选：A． 3．如图，中，，将折叠，使点落在点处，为折痕．下列结论中错误的结论是（   ） A． B．垂直平分 C．是等边三角形 D． 【答案】D 【分析】由折叠的性质可得，则可得到，求出，，则可证明是等边三角形，再证明，得到，则可证明垂直平分，可证明，则可证明，据此可得答案． 【详解】解：∵将折叠，使点落在点处，为折痕， ∴，故A结论正确，不符合题意； ∴， ∵在中，， ∴，， ∴是等边三角形，，故C结论正确，不符合题意； 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分，故B结论正确，不符合题意； 在中，， ∴， ∴，故D结论错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定，熟知折叠的性质是解题的关键． 4．如图，已知是等边三角形，点，分别在边，上，若，的周长为，，则的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握相关知识是关键． 由等边三角形的性质可得，，结合可证明也是等边三角形，则． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故选：B． 5．在中，．将两个完全一样的三角板如图摆放，它们一组较短的直角边分别在上，且这组直角边所对的顶点重合于点，射线交于点，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识点． 根据等腰三角形的性质即可判断B、C、D，可得，则，再根据大角对大边分析判断A即可． 【详解】解：由题意得，，即 ∵， ∴，， 即，故B、C、D正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A错误，符合题意 故选：A． 二、填空题 6．如图，点P是等边三角形边上一点，于点M，于点N，若，，则______． 【答案】4 【分析】先利用等边三角形的性质可得：，，再根据垂直定义可得：，从而可得，然后分别在和中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，，从而可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：是等边三角形， ，， ，， ， ，， ，， ，， ， ． 7．如图，在等边三角形中，为边上的高，的平分线交于点．已知的面积为4，则的面积为___________． 【答案】12 【分析】利用等边三角形“三线合一”的性质（高、中线、角平分线重合），结合角平分线的性质与三角形面积的比例关系，推导各部分面积之间的联系，进而求出的面积． 【详解】解：在等边三角形中，为边上的高， 同时是的中线和的角平分线； 是的平分线， ． 是的角平分线， ， 是的角平分线， ， ， 即． 在中，，则， ， 即． ． ， ． ． 是的中线， ． ． 8．如图，是等边三角形，是中线，延长至点，使，连接．有下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的是___________．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】根据等边三角形的性质及等边对等角依次判断即可． 【详解】∵是等边三角形，是中线， ∴平分；；故①②正确； ∵， 又， ∴， ∴， ∴ ∴，故③④正确， 综上其中正确的是①②③④． 9．如图，已知等边三角形的边长是，且高，P为上一动点，D为的中点，则的最小值为___________． 【答案】/10厘米 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质及三角形三边不等关系，熟练掌握等边三角形的性质及线段垂直平分线的性质是解题的关键；连接，由题意易得，，要求的最小值即为的最小值，然后根据三角形的三边不等关系可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∴， 根据三角形三边不等关系可知：，即，当C、P、D共线时取等号， ∴的最小值为； 故答案为． 10．如图，在等边三角形中，，分别是，上的动点（不在端点），且，交于点，则的大小为_____． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据等边三角形的性质得出相等的边和角，然后证明，得出，最后利用三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．已知：如图，是等边三角形，，与交于点，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的外角的性质，等边三角形的性质；首先证明，则可得，然后，根据三角形外角的性质，，等量代换即可求得． 【详解】证明：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 12．在中，． （1）若，求的度数； （2）若，且，求的周长． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理． （1）根据等腰三角形两底角相等的性质，结合已知条件，利用三角形内角和为来求解的度数； （2）先根据等腰三角形的性质和已知条件判断出是等边三角形，再根据等边三角形三边相等的性质求出其周长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ， ， ， ，． （2）解：∵，且， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长． 13．如图，中，，的平分线交于，交的延长线于点，交于点． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）首先根据等腰三角形的性质得到，再根据角平分线的定义得到，最后根据外角的性质得到的度数． （2）首先通过证明，得到对应边相等，继而证明为等边三角形，得到，继而得到的长度． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴． 14．如图，在中，，且是边上动点（不与重合），点E在边上，连接平分交于点F，连接． （1）当为等边三角形时，求的度数； （2）探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）．理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质． （1）根据等边三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，即，根据等边对等角得到，，根据三角形外角的性质即可求出的度数； （2）设，则，根据等边对等角得到，根据三角形内角和求出，根据余角的定义得到，根据角平分线的定义得到，即可得到． 【详解】（1）解：为等边三角形， ， 又平分， ， ， ， ， 又， ； （2）解：．理由如下： ∵，， ， 设，则， ， ， ， ， 平分， ， ． 15．数学课上，李老师出示了如下框中的题目． 如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．试确定线段与的大小关系，并说明理由． 小华与同桌小明讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况入手探索： 当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系．请你直接写出结论：______（填“>”、“<”或“=”）． （2）一般情况进行论证： 对原题中的一般情形，与的大小关系是：______（填“>”、“<”或“=”）． 理由如下：如图2，过点作，交于点．（请你完成以下证明过程） 【答案】（1） （2）；见解析 【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到、，易证得，从而得出结论； （2）过点作，交于点，得到是等边三角形，易证得，从而得出结论． 【详解】（1）解：是等边三角形、点为的中点， 、， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：，理由如下： 如图2，过点作，交于点， 、， 是等边三角形， ， ， ， ， 、， ， 在和中， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 3.5 等边三角形（分层作业15题） 一、选择题 1．如图，等边三角形中，，与相交于点P，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，是边长为1的等边三角形，是的中点，于，延长到点F，，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．如图，中，，将折叠，使点落在点处，为折痕．下列结论中错误的结论是（   ） A． B．垂直平分 C．是等边三角形 D． 4．如图，已知是等边三角形，点，分别在边，上，若，的周长为，，则的长为（    ）． A． B． C． D． 5．在中，．将两个完全一样的三角板如图摆放，它们一组较短的直角边分别在上，且这组直角边所对的顶点重合于点，射线交于点，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，点P是等边三角形边上一点，于点M，于点N，若，，则______． 7．如图，在等边三角形中，为边上的高，的平分线交于点．已知的面积为4，则的面积为___________． 8．如图，是等边三角形，是中线，延长至点，使，连接．有下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的是___________．（填序号） 9．如图，已知等边三角形的边长是，且高，P为上一动点，D为的中点，则的最小值为___________． 10．如图，在等边三角形中，，分别是，上的动点（不在端点），且，交于点，则的大小为_____． 三、解答题 11．已知：如图，是等边三角形，，与交于点，求的度数． 12．在中，． （1）若，求的度数； （2）若，且，求的周长． 13．如图，中，，的平分线交于，交的延长线于点，交于点． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长． 14．如图，在中，，且是边上动点（不与重合），点E在边上，连接平分交于点F，连接． （1）当为等边三角形时，求的度数； （2）探究与之间的数量关系，并说明理由． 15．数学课上，李老师出示了如下框中的题目． 如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．试确定线段与的大小关系，并说明理由． 小华与同桌小明讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况入手探索： 当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系．请你直接写出结论：______（填“>”、“<”或“=”）． （2）一般情况进行论证： 对原题中的一般情形，与的大小关系是：______（填“>”、“<”或“=”）． 理由如下：如图2，过点作，交于点．（请你完成以下证明过程） 学科网（北京）股份有限公司 $