15.3.2 等边三角形 同步分层练习 -2026-2027学年人教版数学八年级上册

人教版八年级数学上册 15.3.2 等边三角形 同步分层练习 （满分：100分 时间：45分钟） 一、基础巩固（共40分） （一）选择题（每小题3分，共12分） 1. 等边三角形的对称轴共有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 6条 2. 如图所示，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，屋架高BC=4m，∠A=30°，则DE等于（ ） A. 1m B. 2m C. 3m D. 4m 3. 下列条件中，不能得到等边三角形的是（ ） A. 有两个内角是60°的三角形 B. 有一个角是60°的等腰三角形 C. 腰和底相等的等腰三角形 D. 有两个外角相等的等腰三角形 4. 已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则△ABC的周长为（ ） A. 6cm B. 9cm C. 12cm D. 15cm （二）填空题（每小题3分，共12分） 5. 等边三角形的三个内角都________，并且每一个角都等于________°。 6. 如图，等边三角形ABC的边长如图所示，那么y=________。 7. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，若AB=8cm，则BC=________cm。 8. △ABC中，AB=AC，∠B=60°，BC=5cm，则△ABC的周长是________cm。 （三）解答题（共16分） 9.（8分）如图所示，在△ABC中，∠ACB=120°，CD平分∠ACB，AE∥DC，交BC的延长线于点E，试说明△ACE是等边三角形。 10.（8分）如图所示，课外兴趣小组在一次测量活动中，测得篱笆AB=30m，∠A=∠B=60°，他们便得出一个结论：这圈篱笆的长度为90m。他们的结论对吗？请说明理由。 二、综合运用（共40分） （一）选择题（每小题4分，共16分） 1. 如图所示，D是等边三角形ABC的边AB上的一点，CD=BE，∠1=∠2，则△ADE的形状是（ ） A. 等边三角形 B. 腰和底边不相等的等腰三角形 C. 直角三角形 D. 不等边三角形 2. 已知直线∥m，等边△ABC的顶点B、C分别在直线、m上，若∠ABE=21°，则∠ACD的度数是（ ） A. 45° B. 39° C. 29° D. 21° 3. 下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形。其中是等边三角形的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③ D. ①②③④ 4. 如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，选一点C，利用测量仪器测得∠A=60°，∠C=90°，AC=2km。据此，可求得学校与工厂之间的距离AB等于（ ） A. 2km B. 3km C. 2√3 km D. 4km （二）填空题（每小题4分，共8分） 5. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为4cm，则其腰上的高为________cm。 6. 如图，AD是等边三角形ABC的高，BE是AC边的中线，AD与BE交于点F，则∠AFE=________°。 （三）解答题（共16分） 7.（8分）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且AE=CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于Q。 （1）求∠BPD的度数； （2）若PQ=3，PE=1，求AD的长。 8.（8分）如图，等边△ABC中，点D在BC延长线上，CE平分∠ACD，且CE=BD。求证：△ADE是等边三角形。 三、拓展题（共20分） 1.（10分）如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC。 （1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由； （2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程。 2.（10分）如图所示，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t s，解答下列问题： （1）当t为何值时，△BPQ为等边三角形？ （2）当t为何值时，△BPQ为直角三角形？ 参考答案与解析 一、基础巩固 （一）选择题 1. C 解析：等边三角形有3条对称轴，即三条边的垂直平分线（或三个角的平分线，或三条边上的中线、高）所在的直线。 2. B 解析：∵BC⊥AC，∠A=30°，∴BC=½AB，又∵DE⊥AC，∴DE∥BC，∵D是AB中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=BC=2m。 3. D 解析：两个外角相等说明两个内角相等，但等腰三角形两个底角的外角本来就相等，不一定是60°，故不能判定为等边三角形。 4. B 解析：∵∠A=∠B=60°，∴∠C=60°，△ABC为等边三角形，周长=3×3=9cm。 （二）填空题 5. 相等；60 解析：等边三角形性质：三个内角都相等，均为60°。 6. 3 解析：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∴2x+3=6−x，解得x=1，∴边长=5，∴2y−1=5，y=3。 7. 4 解析：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，故BC=AB=4cm。 8. 15 解析：∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，周长=3×5=15cm。 （三）解答题 9. 证明：∵CD平分∠ACB，∠ACB=120°，∴∠1=∠2=60°。∵AE∥DC，∴∠3=∠2=60°，∠E=∠1=60°。又∵∠ACE=180°−∠ACB=60°，∴∠3=∠ACE=∠E=60°，∴△ACE是等边三角形。 10. 解：他们的结论正确。理由：∵∠A=∠B=60°，∴∠C=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=30m，∴篱笆总长=30×3=90m。 二、综合运用 （一）选择题 1. A 解析：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°。在△ABE和△CAD中，AB=CA，∠1=∠2，BE=CD，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴AE=AD，∠BAE=∠CAD=60°，∴△ADE是等边三角形。 2. B 解析：∵∥m，∴∠EBC+∠BCF=60°（等边三角形内角为60°），∴∠ACD=39°。 3. D 解析：①两个角为60°，第三个角必为60°，是等边三角形；②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；③三个外角相等则三个内角相等，是等边三角形；④一腰上的中线也是高，说明该三角形是等边三角形。故①②③④都是。 4. D 解析：∵∠C=90°，∠A=60°，∴∠B=30°，∴AC=AB，∴AB=2AC=4km。 （二）填空题 5. 2√3 解析：高在三角形内时，顶角为60°，腰上的高为4×sin60°=2 cm。 6. 60 解析：AD、BE都是等边三角形的高和中线，故∠FAE=30°，∠AEF=90°，∴∠AFE=60°。 （三）解答题 7. 解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°。又AE=CD，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴∠ABE=∠CAD。∴∠BPD=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°； （2）∵BQ⊥AD，∠BPQ=60°，∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ=6，∴BE=BP+PE=7。由△ABE≌△CAD知AD=BE=7。 8. 证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠B=∠ACB=60°，∴∠ACD=120°。∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE=60°，∴∠B=∠ACE。在△ABD和△ACE中，AB=AC，∠B=∠ACE，BD=CE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，∴∠DAE=∠BAC=60°，∴△ADE是等边三角形。 三、拓展题 1. 解：（1）△ODE是等边三角形。理由：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°。∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°，∴∠DOE=60°，∴△ODE是等边三角形； （2）BD=DE=EC。理由：∵OB平分∠ABC，∴∠ABO=∠OBD，又∵OD∥AB，∴∠ABO=∠BOD，∴∠OBD=∠BOD，∴BD=OD。同理EC=OE。∵△ODE是等边三角形，OD=DE=OE，∴BD=DE=EC。 2. 解：由题意可知AP=t，BQ=2t，∴BP=AB−AP=6−t。 （1）当△BPQ为等边三角形时，BP=BQ，即6−t=2t，解得t=2。∴当t=2s时，△BPQ为等边三角形； （2）分两种情况：①当∠PQB=90°时，∵∠B=60°，∴∠BPQ=30°，∴BQ=BP，即2t= (6−t)，解得t=1.2； ②当∠BPQ=90°时，∵∠B=60°，∴∠BQP=30°，∴BP=½BQ，即6−t=×2t，解得t=3。 综上，当t=1.2s或t=3s时，△BPQ为直角三角形。 学科网（北京）股份有限公司 $