1.3.2 空间向量运算的坐标表示课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 1.3.2 空间向量运算的坐标表示 1 课时学习素养目标：1.掌握空间向量的坐标运算.2.会根据向量的坐标判 断两个向量共线或垂直.3.能利用空间向量的坐标表示解决线线角和线 段长度等问题，提升数学运算及逻辑推理的核心素养. 高 中 同 步 课 堂 学 案 2 任务学习一 空间向量的坐标运算 任务学习二 空间向量平行、垂直的坐标表示 任务学习三 夹角和距离的计算 素养评价·课堂达标 3 任务学习一 空间向量的坐标运算 4 新知梳理 1.设， ，空间向量的坐标运算法则如下表 所示： 运算 坐标表示 加法 _________________________ 减法 _________________________ 数乘 _______________， 数量积 ___________________ 高 中 同 步 课 堂 学 案 5 2.设，，则 ________________________， 即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的______坐标减去 ______坐标. 终点 起点 高 中 同 步 课 堂 学 案 6 能力提升 例1（1）（链接教材P22练习T1）在空间直角坐标系中，已知 ，，则 ( ) C A. B. C. D. 高 中 同 步 课 堂 学 案 7 （2）在空间直角坐标系中，已知，，点 满足 ，则点 的坐标是 ( ) C A. B. C. D. [解析] 易知，设，则 ， 由，得则 ， 故选C. 高 中 同 步 课 堂 学 案 8 解题感悟 空间向量坐标运算的解题方法 1.直接计算，首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量 的坐标运算法则计算. 2.由条件求向量或点的坐标时，首先把向量或点用坐标的形式设出来， 然后建立方程（组），解方程（组）求出其坐标. 高 中 同 步 课 堂 学 案 9 迁移应用1 已知平行四边形，且， ， ，则顶点 的坐标为 ( ) D A. B. C. D. 高 中 同 步 课 堂 学 案 10 [解析] 设 ， 则 ， ， 由题意得，即 解得 故顶点的坐标为 .故选D. 高 中 同 步 课 堂 学 案 11 任务学习二 空间向量平行、垂直的坐标 表示 12 新知梳理 设， . 平行 当时， 垂直 当，时， __________________ 高 中 同 步 课 堂 学 案 13 能力提升 例2 （链接教材P20例2）在直三棱柱 中， ， ，，是 的中点.求证： . 高 中 同 步 课 堂 学 案 14 证明 建立如图所示的空间直角坐标系： 则，，， . 所以， ， 因为 ， 所以 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 15 迁移应用2 （2025江苏盐城期末）向量， ， 若，则实数 ( ) D A. B. 1 C. 2 D. [解析] 由，得，所以 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 16 迁移应用3 （2025河北沧州期末）已知向量 ， ，若，则 ( ) D A. B. 0 C. 1 D. 2 [解析] 由题得，因为 ，所以 ，解得 .故选D. 高 中 同 步 课 堂 学 案 17 任务学习三 夹角和距离的计算 18 新知梳理 1.空间向量的模与夹角公式的坐标表示 设， ，则 模 夹角公式 ，_ ______________________, 高 中 同 步 课 堂 学 案 19 2.空间两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设， 是空间 中任意两点，则 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 能力提升 例3 （链接教材P21例3）在棱长为2的正方体 中， ，分别是，的中点，点在棱上，且，是 的中点. 高 中 同 步 课 堂 学 案 21 （1）求 的长； [解析] 如图，以为原点，，， 所在直线分 别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系 ，如图， 则， ， 因为是的中点，所以 ， 又因为 ，所以 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 22 （2）求， . [解析] 易得， ， 所以， ， 因为，所以 ， ， 所以， . 高 中 同 步 课 堂 学 案 23 解题感悟 1.利用向量的坐标求空间中线段的长度的一般步骤 （1）建立适当的空间直角坐标系； （2）求出线段端点的坐标； （3）利用空间两点间的距离公式求出线段的长. 高 中 同 步 课 堂 学 案 24 2.利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的步骤 （1）根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系； （2）根据已知条件写出相关点的坐标，进而得到相关向量的坐标； （3）利用向量数量积的坐标公式求得异面直线的方向向量的夹角，进 而可得异面直线所成的角. 高 中 同 步 课 堂 学 案 25 迁移应用4 如图，已知三棱锥满足 底面 ， ，，为的中点， . （1）求 的长； 高 中 同 步 课 堂 学 案 26 [解析] 以为坐标原点，，，的方向分别为 轴，轴， 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐 标系 ， 则，， . 设的坐标为 ， 由 ， 得 ， 解得，，所以 ， 高 中 同 步 课 堂 学 案 27 所以 ， 所以，即 的长为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 （2）求异面直线与 所成角的余弦值. [解析] 易得，，则 ，设异面 直线与所成的角为 ， 则 ， 所以异面直线与所成角的余弦值为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 29 素养评价·课堂达标 30 1.已知，，，则 ( ) B A. B. C. D. [解析] 由题意得 ，则 ，故选B. 高 中 同 步 课 堂 学 案 31 2.（2025浙江杭州期末）与向量 平行的一个向量的坐标是 ( ) C A. B. C. D. [解析] 若向量与向量平行，则， ， 设向量，则与的符号相同，与 的符号相反，所以A，B， D不成立，若，则，， ，故C正确. 高 中 同 步 课 堂 学 案 32 3.（2026安徽合肥期中）已知向量， ，且 ，则 ( ) D A. B. 2 C. D. 4 [解析] 由题意得， ， 因为 ， 所以，所以 ，故选D. 高 中 同 步 课 堂 学 案 33 4.已知，，，则向量与 的夹角为 ( ) C A. B. C. D. [解析] ， ， 所以，，所以向量与 的夹角为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 34 $