1.3 空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1 空间直角坐标系 1.3.2 空间向量运算的坐标表示(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦“空间向量及其运算的坐标表示”，涵盖空间直角坐标系建立、点与向量坐标确定、坐标运算及平行垂直、夹角长度的坐标应用，通过课前预习诊断分析衔接平面向量知识，课中探究以五个递进探究点搭建从平面到空间的学习支架。 其亮点在于以正四棱锥、长方体等几何体为载体，引导学生用数学眼光观察空间结构，通过类比平面向量推理空间运算规则培养数学思维，用坐标精确表达向量关系发展数学语言。素养小结提炼建系原则与坐标求法，助力学生系统掌握方法，教师可依托实例提升教学效率，学生能深化空间观念与运算能力。

1.3 空间向量及其运算的坐标表示 1 1.3.1 空间直角坐标系 1.3.2 空间 向量运算的坐标表示 2 探究点一 求空间点的坐标 探究点二 空间向量的坐标 探究点三 空间向量的坐标运算 探究点四 空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 探究点五 利用空间向量的坐标运算求夹角及长度 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 1.在空间向量基本定理的基础上，了解空间直角坐标系. 2.结合简单几何体，能写出有关点和向量的坐标. 3.类比平面向量,掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 4.基于运算,能探究空间向量模的坐标公式、空间两点间的距离公式. 5.类比平面向量,知道空间向量平行、垂直、夹角的坐标表示. 4 知识点一 空间直角坐标系 1.空间直角坐标系 定义：如图，在空间选定一点 和一个单位正 交基底｛,,｝.以点为原点，分别以,, 的 方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三 条数轴：轴、轴、 轴，它们都叫作______ ___.这时我们就建立了一个空间直角坐标系 坐标轴 原点 坐标向量 坐标平面 ，叫作______，,, 都叫作__________，通过每两条坐标轴 的平面叫作__________，分别称为平面，平面， 平面. 课 前 预 习 5 2.空间直角坐标系的画法 （1）空间直角坐标系的画法：画空间直角坐标系 时，一般使 ________________， ____. （或） （2）右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 轴 的正方向，食指指向 轴的正方向，如果中指指向_____________， 则称这个坐标系为右手直角坐标系. 轴的正方向 课 前 预 习 6 知识点二 空间向量的坐标 1.空间中点的坐标 如图,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实 数组,使 ____________.在单位正交 基底{,,}下与向量 对应的有序实数组 ,叫作点 在空间直角坐标系中的坐标, 记作_________,其中叫作点的横坐标,叫作点的纵坐标, 叫作点 的竖坐标. 课 前 预 习 7 2.空间中向量的坐标 如图,在空间直角坐标系中,给定向量 , 作 .由空间向量基本定理,存在唯一的 有序实数组,使 .有序 实数组________叫作 在空间直角坐标系 中的坐标,可简记作____________. 课 前 预 习 8 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1） 既可以表示向量,也可以表示点.( ) √ [解析] 空间中的点和向量都可以用有序实数组表示, 具有双重意义,它既可以表示向量,也可以表示点,在表述时要注意区分. 课 前 预 习 9 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （2）点在空间直角坐标系中的 轴上.( ) × [解析] 点在空间直角坐标系中的 平面上. （3）点在空间直角坐标系中的 平面上.( ) × [解析] 点在空间直角坐标系中的 轴上. 课 前 预 习 10 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （4）已知，，分别是空间直角坐标系中与轴、轴、 轴 的正方向同向的单位向量，且，则点 的坐标一定 是 .( ) × [解析] 由只能确定向量 ，而向量的起点的坐标未知，故终点 的坐标不确定. 课 前 预 习 11 知识点三 空间向量运算的坐标表示 若, ,则 加法 ________________________ 减法 ________________________ 数乘 ______________, 数量积 __________________ 课 前 预 习 12 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）已知向量,,则 . ( ) √ [解析] 因为向量, ,所以 . 课 前 预 习 13 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （2）已知向量,, ,则向量 的坐标为 .( ) √ [解析] ,, , . 课 前 预 习 14 知识点四 空间向量运算的坐标表示的应用 若，，, ,则 共线 ________ _________________________ 垂直 _________ ______________________ 向量长度 _______ _ _____________ 向量夹角 公式 ,_____ _ _________________ ,, 课 前 预 习 15 空间两点 间的距离 公式 设,是空间中任意两点, 为原 点，则 _______________________, _____ __________________________________ 续表 课 前 预 习 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）在空间直角坐标系中,向量的坐标与终点 的坐标相同.( ) × [解析] 向量的坐标等于终点的坐标减去起点 的坐标. （2）设,且,若,则 . ( ) × [解析] 虽然,但当,,中有一个为0时,由 无法得到 . 课 前 预 习 17 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （3）若四边形是平行四边形,则与 的坐标相同.( ) √ [解析] 若四边形是平行四边形，则，故与 的坐标相同. （4）已知非零向量，，若 ，则 .( ) √ [解析] 根据向量的数量积坐标运算法则，易知说法正确. 课 前 预 习 18 探究点一 求空间点的坐标 例1 已知在正四棱锥中， 为底面中心，底面边长和高都 是2，，分别是侧棱， 的中点. （1）如图①，以为原点，分别以，，的方向 为轴、 轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 写出点,,,,,, 的坐标； 解：设，，分别是与轴、轴、 轴的正方向方向相同的单位向量．连接，因为点在平面内，且底面正方形的中心为 ，边长为2，所以，所以向量的坐标为，即点 的坐标为 ， 课 中 探 究 19 同理可得点的坐标为，点的坐标为，点 的坐标为 ． 因为点在轴的正半轴上，正四棱锥 的高为2， 所以，所以向量的坐标为，即点的 坐标为 ． 连接，因为为侧棱 的中点，所以，所以向量 的坐标为，即点的坐标为 ，同理可得点的坐标为 . 课 中 探 究 20 综上可知，，，， ，，， . 课 中 探 究 例1 已知在正四棱锥中， 为底面中心，底面边长和高都 是2，，分别是侧棱， 的中点. （2）如图②，以为原点，分别以，，的方向为 轴、 轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，写出点 ,,,,,, 的坐标. 解：设，，分别是与轴、轴、 轴的正方向方向相同的单位向量．因为底面正方形的中心为，边长为2，所以 ， 又因为点在轴的正半轴上，所以，即点的坐标为 ，同理可得点的坐标为， 课 中 探 究 22 点的坐标为，点 的坐标为 . 因为点在轴的正半轴上，正四棱锥 的高为2， 所以，所以向量的坐标为，即点的 坐标为 . 连接，因为为侧棱 的中点，所以 ，所以向量的坐标为，即点的坐标为 ，同理可得点的坐标为 . 综上可知，，，， ，，， . 课 中 探 究 23 变式（1）（多选题）在棱长为1的正方体中,建立如图所示 的空间直角坐标系,则下列各点在正方体内或正方体表面 上的是( ) A. B. C. D. [解析] 由已知可得,若 为正方体内或正方体表面上的一个点, 则,, . 分析四个选项,A,C,D中点的坐标均符合上述条件,只有B中点的坐标不符合上述条件.故选 . √ √ √ 课 中 探 究 24 （2）[2026·厦门大学附中高二月考] 空间一点在 平面上的射影 为，在平面上的射影为，则点关于 轴对称的 点的坐标为___________. [解析] 由题意可得，点与点的横、纵坐标相同，点与点 的横、竖坐标相同，则点的坐标为， 所以点关于 轴对称的点的坐标为 . 课 中 探 究 25 ［素养小结］ （1）建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则:①让尽可能多的点 落在坐标轴上或坐标平面内;②充分利用几何图形的对称性. （2）求某点<m></m>的坐标的方法:作<m></m>垂直于平面<m></m>,垂足为<m></m>,求<m></m> 的横坐标<m></m>,纵坐标<m></m>,即点<m></m>的横坐标<m></m>,纵坐标<m></m>,再求点<m></m>在<m></m>轴上射影 的竖坐标<m></m>,即为点<m></m>的竖坐标<m></m>,于是得到点<m></m>的坐标<m></m>. 课 中 探 究 26 （3）在空间直角坐标系中,点 关于坐标轴和坐标平面的对称 点的坐标满足“关于谁谁不变,其余的相反”的原则.如关于 轴的对称 点,横坐标不变,纵坐标、竖坐标变为原来的相反数;关于 平面的对 称点,横坐标、纵坐标不变,竖坐标变为原来的相反数. 课 中 探 究 27 探究点二 空间向量的坐标 例2 如图，在空间直角坐标系 中有一长方体 ，且 ，， . （1）写出点的坐标，并将 用单位正交基底 {,, }表示； 解：因为，， ， 所以点的坐标为 ，从而 . 课 中 探 究 28 例2 如图，在空间直角坐标系 中有一长方体 ，且 ，， . （2）求 的坐标. 解：因为在坐标平面内， ，， 所以点的坐标为 ，所以 . 课 中 探 究 29 变式 在棱长为1的正方体中,, 分别是,的中点,在棱上,且, 为 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系,写 出和 的坐标. 解：由题意知，， }为单位正交基底， 因为,分别是,的中点,所以 , , 所以 ,所以 . 课 中 探 究 30 因为,所以 ，又因为为 的中点,所以,所以 . 课 中 探 究 31 ［素养小结］ 用坐标表示空间向量的步骤： 课 中 探 究 32 探究点三 空间向量的坐标运算 例3（1）在空间直角坐标系中，已知, , ，若,,,四点共面，则 的值为( ) A. B. C.1 D.2 [解析] 因为,,,四点共面，所以与,共面， 又向量, 不共线，故存在唯一实数对，使得 ，所以 ， 所以解得 故选B. √ 课 中 探 究 33 （2）已知,，则 ___. 2 [解析] 由题意可得 . 课 中 探 究 34 变式（1）（多选题）已知向量, ，则 ( ) A. B.与同方向的单位向量为 C. D.在上的投影向量的模为 √ √ [解析] 对于A，因为，所以 ，故A错误； 课 中 探 究 35 对于B，因为，所以与 同方向的单位向量为 ，故B正确； 对于C， ，故C错误； 对于D，因为，所以，又，故 在上的投影向量的模为 ，故D正确.故选 . 课 中 探 究 36 （2）如图，在空间直角坐标系中有长方体，， ， .求： ①，， 的坐标； 解：由题意可知， ，， ， 所以 ， ， . 课 中 探 究 37 （2）如图，在空间直角坐标系中有长方体，， ， .求： ②， 的坐标. 解： ， . 课 中 探 究 38 探究点四 空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 例4 [2026·贵州铜仁一中高二期中] 已知 ， . （1）求向量 的坐标； 解：由,，得 . （2）设向量，，求 ； 解：由（1）得，又, ，所以，，所以 ， 所以 . 课 中 探 究 39 例4 [2026·贵州铜仁一中高二期中] 已知 ， . （3）若，求 的值. 解：由（1）知，,, ，由 ，得，所以 . 课 中 探 究 40 变式（1）[2026·张家口二中高二期中]设，，向量 , ,，且，，则 ( ) A. B. C.4 D.3 [解析] 因为，所以，解得 . 因为，所以，解得， 所以, ，所以， 所以 .故选B. √ 课 中 探 究 41 （2）如图，在长方体 中，， 是侧棱 上的任意一点，在线段上是否存在一个 定点，使得 总垂直于 ？请说明理由. 解：假设在线段上存在一个定点，使得 总垂直于. 如图，以为原点，分别以，， 所在直线为轴、轴、 轴，建立空间直角坐标系. 依题意可设,,,则 , , ， 课 中 探 究 42 设,则, . 由 ，得，即 ，此时为 的中点， 在线段上存在一个定点，使得总垂直于 . 课 中 探 究 43 ［素养小结］ 利用空间向量证明垂直、平行的一般步骤: （1）建立空间直角坐标系,建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系. （2）建立空间图形与空间向量之间的关系,用空间向量表示出问题中 所涉及的点、直线、平面的要素. （3）通过空间向量的运算求出直线的方向向量,再研究平行、垂直关系. （4）根据运算结果解释相关问题. 课 中 探 究 44 探究点五 利用空间向量的坐标运算求夹角及长度 例5 [2026·浙江北仑中学高二月考] 如图，在棱长为2的 正方体中，， 分别是，的 中点，在棱 上，且，是 的中点. （1）求与 所成角的余弦值； 解：如图，以为原点，，， 所在直线分别为，， 轴，建立空间直角坐标系 ， 则，，， ，所以， ， 课 中 探 究 45 所以， ， ， 所以 , ，所以与所成角的余弦值为 . 课 中 探 究 46 例5 [2026·浙江北仑中学高二月考] 如图，在棱长为2的正方 体中，， 分别是，的中点， 在棱 上，且，是 的中点. （2）求 的长. 解：因为是的中点，所以 ，又因为，所以 ， 所以，即 . 课 中 探 究 47 变式1 [2026·江苏锡东高级中学高二月考] 已知空间向量 ，，若,的夹角为钝角，则实数 的取值范围为_______________. [解析] 因为，且, 的夹角为钝角，所以且与不共线（反向）. 由 ，得，解得. 当与共线时， ，则解得此时，与 反向共线. 综上可得，实数 的取值范围为 . 课 中 探 究 48 变式2 如图所示，直三棱柱 中，， ，,，分别是棱,， 的中点，求, 的长. 解：以点为原点，,,所在直线分别为 轴、轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 . ，, , ，, ， 由中点坐标公式可得，, ， ， . 课 中 探 究 49 拓展 斗拱是中国建筑上特有的构件，是较大建筑物的柱与屋顶之间 的过渡部分，用于支撑上部突出的屋檐，如图①，其简化结构如图 ②，其中,,是两两互相垂直的线段， 为斗拱，满足 ，且,和都为钝角.若 , ，,，则, ( ) A. B. C. D. √ 课 中 探 究 50 [解析] 因为,, 两两垂直，所以将它们整体旋转一下，如图，以为原点，,, 所在的直线分别为,, 轴，建立空间直角坐标系， 设，可得， , ,，所以 , ,. 设点，可得 ，则 ，由,，可得 ， 由, ，可得， 课 中 探 究 51 所以 ，即，所以 , .故选D. 课 中 探 究 课后习题 53 1.在空间直角坐标系中，已知点，，若点 与 点关于平面对称，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由点与点关于平面对称，可得 ，所以 .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 2.[2026·北京人大附中高二月考]已知在空间直角坐标系中，点 ，，点满足，则点 的坐标是( ) A. B. C. D. [解析] 设，则， ， 因为，所以解得则 .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 3.在中，已知，，，则 边上的中线 长为( ) A. B.6 C. D.7 [解析] 因为，，所以根据中点坐标公式，得 的中点的坐标为. 又 ，所以根据空间两点间的距离公式，得 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 4.已知向量，，若 ， 则 的值为( ) A.1 B. C. D. [解析] 由已知得 ， ，且. 由 ，得，即，解得 .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 5.已知，，，且，则， 的值分别为( ) A.3，1 B.4， C.3， D.1，1 [解析] 因为，，所以 ， 又，所以，解得， ，故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 6.（多选题）在空间直角坐标系中，已知 ， ， 下列结论正确的是( ) A. B. C.若，则当时， D.若，则当时， √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 [解析] 对于A，由，，得 ，故 ，A正确； 对于B， ，B错误； 对于C，当时，，得，故 ，C正确； 对于D，当时，，，故 与不平行，D错误.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 7.在空间直角坐标系中，点与点 关于原点对称， 则 ___. 8 [解析] 点与点关于原点对称， ，，，则 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 8.在长方体中，以点 为原点，， ，所在的直线分别为轴、 轴、 轴，建立 如图所示的空间直角坐标系，若向量的坐标为 ，则向量 的坐标为_________. [解析] 设，，，依题意可得 ，，则，所以， ，，则点，，所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 9.（13分）[2026·嘉兴八校联盟高二期中] 已知空间三点 ， ，，设， . （1）求， ； 解：由题意得， ， 故 ， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 9.（13分）[2026·嘉兴八校联盟高二期中] 已知空间三点 ， ，，设， . （2）若向量与互相垂直，求实数 的值. 解：由（1）知， ， 因为与 互相垂直，所以 ，解得或 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 10.[2026·辽宁朝阳高二期中]已知， ，， 点在平面内，则 的值为( ) A.2 B. C. D. √ [解析] 因为，，， ，所以，， . 因为不存在实数使得，所以与不共线， 又点 在平面内，所以 ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 65 即 ， 所以解得 故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 66 11.如图，正方形与正方形 所在平面互相垂直， ，， ，则 的最小值为( ) A. B. C. D. √ [解析] 以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，， ，，所以， ， 则 ，，可得 ， ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 67 则，故 ， 所以当，时，取得最小值 .故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 68 12.（多选题）已知空间四点，， ， ，则下列说法正确的是( ) A. B.以，为邻边的平行四边形的面积为 C.点到直线的距离为 D.，，， 四点共面 [解析] 空间四点，，， ，则，，所以， . 对于 A，，故A正确； √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 69 对于B， ，所以，所以以， 为邻边的平行四边形的面积 ，故B错误； 对于C，因为，，所以，故 ，所以点到直线的距离 ，故C正确； 对于D，假设，，共面，则存在实数 和 ，使得 ，因为，，，所以 方程组无解，则，，不共面，故D错误.故选 ． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知点，，，若， 的夹角为锐 角，则 的取值范围为________________. [解析] 由题意知，， ， 的夹角为锐角，，且，解得且 ，故 的取值范围为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 71 14.（15分）如图，在直三棱柱中， ， ，，，分别是， 的中点. （1）求线段 的长； 解：以为原点，建立空间直角坐标系 ，如图所示，依题意得， ，故 ， 所以，即线段 的长为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 72 14.（15分）如图，在直三棱柱 中， ，，，， 分别是 ， 的中点. （2）求 的值； 解：依题意得，，， ，所以， ， 所以，， ， 所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 73 14.（15分）如图，在直三棱柱 中， ，，，， 分别是 ， 的中点. （3）求证： . 证明：依题意得，，所以 ， 又，所以 ，所以，即 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 74 15.[2026·蚌埠二中高二检测] 对于两个空间向量 与 ，我们定义它们之间 的曼哈顿距离为 .如图，在棱长为1的正方体 中，以为原点建立空间直角坐标系，若点在底面 内 （含边界）运动，且，则 的取值范围是______. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 75 [解析] 由题意知， ，，设， ，，则 ， ，所以，即 ， 令 ， ，，所以 ， 又，所以 ，则 ，所以的取值范围是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 76 16.（15分）如图，在正方体中， 以 为原点，建立空间直角坐标系.已知点 的 坐标为，为棱上的动点，为棱 上的动点，且 ，是否存在点 ，，使得 ?若存在，求出 的值;若不存在， 请说明理由. 解：由题意知正方体 的棱长为2，，， ，， ，所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 77 设 ， ，则，， ，所以， . 因为 ，所以 ，即， 又 ，，所以 ，所以 . 若 ，则 ，故存在点， ，使得 ，此时 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 78 $