1.3.1 空间直角坐标系课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1 空间直角坐标系 1 课时学习素养目标：掌握空间直角坐标系，掌握点的坐标和向量的坐 标的概念，并能在空间直角坐标系中用坐标表示空间中的点和向量， 提升直观想象的核心素养. 高 中 同 步 课 堂 学 案 2 任务学习一 空间直角坐标系及点的坐标 任务学习二 空间向量的坐标 素养评价·课堂达标 3 任务学习一 空间直角坐标系及点的坐标 4 新知梳理 1.空间直角坐标系的定义 在空间选定一点和一个单位正交基底{，，}.以点 为原点， 分别以，， 的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数 轴：轴、轴、 轴，它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间 直角坐标系，叫做原点，，， 都叫做坐标向量，通过每两条 坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面，平面， 平面， 它们把空间分成八个部分. 高 中 同 步 课 堂 学 案 5 2.空间直角坐标系的画法 画空间直角坐标系时，一般使 _______________， . （或） 3.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向 轴的正方向，如果中指指向 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角 坐标系. 高 中 同 步 课 堂 学 案 6 4.空间向量的坐标表示 在空间直角坐标系中，，， 为坐标向量，对空间任意一点 ，对应一个向量，且点的位置由向量 唯一确定，由空间向量 基本定理，存在唯一的有序实数组，使 . 在单位正交基底{，，}下与向量对应的有序实数组 ， 叫做点在空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点 的 ________，叫做点的________，叫做点 的________. 横坐标 纵坐标 竖坐标 高 中 同 步 课 堂 学 案 7 5.空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标的形式 点的位置 轴上 轴上 轴上 坐标的形式 点的位置 平面内 平面内 平面内 坐标的形式 高 中 同 步 课 堂 学 案 8 能力提升 角度1 求空间直角坐标系中点的坐标 例1 ［链接教材P18例 如图，在长方体 中，，， ，试建立 适当的坐标系，并解答下列问题. [解析] 以为坐标原点，，，的方向分 别为轴、轴、 轴的正方向建立空间直角坐标 系 ，如图所示. 高 中 同 步 课 堂 学 案 9 （1）写出，，， 四点的坐标； [解析] 由，，，得， ， ， . 高 中 同 步 课 堂 学 案 10 （2）写出的重心 的坐标. [解析] 是的重心，且，， ， . 高 中 同 步 课 堂 学 案 11 变式 在例1的条件下，设，分别为线段，的中点，求点 ， 的坐标. [解析] ，分别为线段，的中点，， . 高 中 同 步 课 堂 学 案 12 解题感悟 1.求点的坐标的方法：先找到点在平面上的射影，过点向 轴作垂线，确定垂足，其中，，分别为点 的横坐标、 纵坐标、竖坐标的绝对值，再确定相应坐标的正负，与坐标轴同向为 正，反向为负，即可得到点 的坐标. 2.已知，，则线段 的中点的坐标为 . 3.已知的顶点分别为，， ， 则的重心的坐标为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 13 角度2 求空间直角坐标系中对称的点的坐标 例2 ［链接教材P18T2（3）］在空间直角坐标系中，已知点 . （1）求点关于 轴对称的点的坐标； [解析] 因为点关于 轴对称后，它的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变 为原来的相反数，所以点关于轴对称的点的坐标为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 14 （2）求点 关于原点成中心对称的点的坐标； [解析] 因为点 关于原点中心对称后，它的横坐标、纵坐标和竖坐标均 变为原来的相反数，所以点 关于原点成中心对称的点的坐标为 . （3）求点关于点 成中心对称的点的坐标. [解析] 设点关于点成中心对称的点为，则点为线段 的中点，由中点坐标公式可得 ， ，，所以点 的坐标为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 15 变式 求点关于平面 对称的点的坐标. [解析] 因为点关于平面 对称后，它的横坐标和纵坐标不变，竖坐 标变为原来的相反数，所以点关于平面 对称的点的坐标 为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 16 任务学习二 空间向量的坐标 17 新知梳理 在空间直角坐标系中，给定向量，作 .由空间向量基 本定理，存在唯一的有序实数组，使 .有序实数 组叫做在空间直角坐标系 中的坐标，上式可简记作 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 18 能力提升 例3 ［链接教材P18例 已知正方体 的棱长为2，，分别为棱 ， 的中点，建立空间直角坐标系，如图所示.写出向 量， 的坐标. [解析] 设轴，轴，轴正方向上的单位向量分别为，， . 因为正方体的棱长为2，所以， ， . 高 中 同 步 课 堂 学 案 19 因为，分别为棱， 的中点， 所以 . . 高 中 同 步 课 堂 学 案 20 变式 若为的中点，求 的坐标. [解析] . 高 中 同 步 课 堂 学 案 21 解题感悟 求空间向量的坐标的一般步骤 1.建系：根据图形特征建立空间直角坐标系； 2.运算：利用向量的加法、减法及数乘运算表示向量； 3.定结果：将所求向量用已知的基底表示出来，确定坐标. 高 中 同 步 课 堂 学 案 22 素养评价·课堂达标 23 1.在空间直角坐标系中，点在坐标平面 内的射影的坐 标是( ) B A. B. C. D. 高 中 同 步 课 堂 学 案 24 2.若点关于平面的对称点为，关于 轴的对称点 为，则， 两点( ) A A. 关于坐标原点对称 B. 关于 轴对称 C. 关于轴对称 D. 关于平面 对称 [解析] 点关于平面的对称点为，关于 轴的对称点为，显然点与点关于坐标原点 对称.故选A. 3.已知{，，}是空间的一个单位正交基底，向量 用坐 标形式可表示为__________. 高 中 同 步 课 堂 学 案 25 4.在三棱锥中，，， 两两垂直， ，，，，分别为， 的中 点，建立空间直角坐标系，如图所示，则线段 的中点 的坐标为________. [解析] ，， ， ，， . ，分别为， 的中点， 点的坐标为 ， 高 中 同 步 课 堂 学 案 26 点的坐标为 . 为线段 的中点， 点的坐标为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 27 $