1.3.2 空间向量运算的坐标课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 1.3.2 空间向量运算的坐标 学习 目标 1.类比平面向量运算的坐标表示，推导空间向量运算的坐标表示，发展数学运算素养。 2.利用空间向量运算的坐标表示，推导空间两向量共线、垂直的充要条件，掌握向量长度、两向量夹角、空间两点间距离公式，提升逻辑推理素养。 3.运用空间向量运算的坐标表示解决简单的立体几何问题，体会数形结合思想，提高分析和解决问题的能力。 1 空间向量基本定理 空间直角坐标系 空间向量基本定理 单位正交基底 空间向量的坐标表示 不共面，则对，唯一有序实数组，使得 复习回顾 x y z 点的坐标 向量的坐标 A 单位正交基底 新知探究 O x y z A 前面我们通过引入空间直角坐标系，将空间向量的坐标与空间点的坐标一一对应起来. 那么有了空间向量的坐标表示，类比平面向量的坐标运算，是否可以探究出空间向量运算的坐标表示并给出证明？ 问题1 你能回顾它们的坐标运算，并完成以下表格的填写吗？ 平面向量坐标运算 线性运算 加法运算 减法运算 数乘运算 数量积运算 设 新知探究 平面向量坐标运算 空间向量坐标运算 线性运算 加法运算 减法运算 数乘运算 数量积运算 设 追问 你能类比平面向量的坐标运算，猜想得出空间向量运算的坐标表示吗？ 设 你能证明吗？ 下面证明：空间向量数量积运算的坐标表示 设 为空间的一个单位正交基底,则： 所以, 得到 利用向量数量积的分配律以及 空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的 问题2 类比平面向量，空间向量的坐标运算是可以解决空间中平行、垂直等位置关系以及距离、夹角等度量问题,由此，请同学们独立完成以下表格，并进行小组交流. 简单应用 平面向量 空间向量 特殊关系 平行 垂直 模长运算 夹角运算 设 设 课堂练习 空间向量运算的坐标表示 例1 已知 求: 例2 已知 求x的值. 新知探究 问题3 你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗? O P2 P1 如图，建立空间直角坐标系 设 是空间中任意两点，则 于是 所以 ——空间两点间的距离公式 将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来，不仅可以解决夹角和距离的计算问题，而且可以使一些问题的解决变得简单. 9 课堂练习 例3 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是BB1,，D1B1的中点，求证：EF⊥DA1. O A D C B A1 D1 C1 B1 E F 证明： 归纳小结 思考 你能从上面例题的解答过程中体会到根据问题的特点，并通过向量及其坐标的运算求解问题的基本思路吗？ 建系 表示 运算 定结果 建立恰当坐标系 用向量表示元素 进行向量坐标运算 由运算结果定结论（翻译成几何语言） A D C B A1 D1 C1 B1 E1 F1 M 例4 如图示，在棱长为1的正方体ABCD –A1B1C1D1中，M为BC1的中点，E1，F1分别在棱A1B1，C1D1上， (1) 求AM的长. (2) 求BE1与DF1所成角的余弦值. 课堂练习 A D C B A1 D1 C1 B1 E1 F1 M 变式 如图，在正方体ABCD –A1B1C1D1中，M是AB的中点，求DB1与CM所成角的余弦值. A D C B A1 D1 C1 B1 M 课堂小结 空间向量运算的坐标表示 两点间的距离公式 数量积运算 平面向量运算的坐标表示 类比 线性 运算 空间两点的中点公式 简单应用 平行 垂直 模 夹角 $