第二十八章 旋转 20分钟小练-2026-2027学年九年级数学人教版上册

28.1 图形的旋转（两课时综合）（五点梳理） 知识点：旋转的三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角）；旋转的性质（对应点到旋转中心的距离相等,对应线段、对应角相等,每一点绕旋转中心的旋转角都相等）；旋转作图的方法（定中心、定方向、定角度,找关键点的对应点）；旋转图案设计中求最小旋转角（360°÷份数）。 易错点：旋转的顺、逆时针方向看反；误把任意对应线段的夹角当旋转角（旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角）；误认为旋转中心一定在原图形内部。 重点：利用旋转性质求线段长与角度；确定旋转中心；钟表指针转角问题；图案最小旋转角。 难点：旋转性质与等边（等腰）三角形结合的证明与计算；复杂图形的旋转作图。 常考点：旋转现象的辨认；网格中的旋转作图；利用旋转性质求角度与线段长；图形重合的最小旋转角。 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.2 中心对称（第 1 课时）（五点梳理） 知识点：中心对称：一个图形绕某一点旋转 180°，如果旋转后的图形能与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点对称（中心对称），该点叫对称中心，重合的点叫对称点；性质：对称点所连线段经过对称中心且被对称中心平分，成中心对称的两个图形全等；作中心对称图形：画关键点的对称点，再连线。 易错点：① 中心对称（两图形的关系）与中心对称图形（一个图形的性质）混淆；② 中心对称与轴对称混淆：轴对称是沿直线翻折，中心对称是绕点旋转 180°；③ 找对称中心时误取对应边中点。 重点：中心对称的性质及其应用；画与已知图形关于某点对称的图形。 难点：网格中确定对称中心；用中心对称的性质进行说理。 常考点：中心对称性质的正误判断；作中心对称图形；全等与中心对称的综合说理。 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.2 中心对称（第 2 课时）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．下列图形中,是中心对称图形的是（　　） A．等边三角形　B．五角星　C．平行四边形　D．等腰梯形　 2．下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．角　B．矩形　C．等腰三角形　D．平行四边形　 3．平行四边形的对称中心是（　　） A．对角线的交点　B．对角线　C．边的中点　D．任意一个顶点　 4．下列说法：① 线段是中心对称图形；② 两个全等三角形一定成中心对称；③ 圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心；④ 正方形既是轴对称图形又是中心对称图形。其中正确的是（　　） A．①②③　B．①③④　C．②③④　D．①②④　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．线段的对称中心是　　　　　　,圆的对称中心是　　　　　　。 6．在字母 H、N、S、W、Z 中,是中心对称图形的有___（填字母）。 7．平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O,△AOB 绕点 O 旋转 180° 后与 △___ 重合。 8．正方形既是轴对称图形又是中心对称图形,它共有___条对称轴。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,在 7×7 的网格中,以格点为顶点画一个四边形,使它既是轴对称图形又是中心对称图形（画出一种即可）,并指出它的对称中心与对称轴。 （1）画出满足条件的四边形；（6 分） （2）指出它的对称中心与对称轴。（4 分） 10．如图,点 O1、O2分别是两个半圆的圆心,两个半圆的直径在同一条直线上,公共端点为点 B。 （1）这个图形是中心对称图形吗?（4 分） （2）如果是,指出它的对称中心,并说明理由。（6 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．C　　2．B　　3．A　　4．B 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．中点 6．H、N、S、Z 7．COD 8．4 【评分标准】答对得 10 分（第 5 题每空 5 分），答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】图略（如画以两个格点为对角顶点的正方形或矩形，答案不唯一）；对称中心为对角线的交点，对称轴见评分标准 （1）正确画出既是轴对称又是中心对称的四边形（正方形、矩形、菱形均可） 6 分。 （2）正确指出对称中心 2 分； 正确指出对称轴（正方形 4 条、矩形 2 条、菱形 2 条） 2 分。 10．【标准答案】（1）是中心对称图形；（2）对称中心是点 B（线段 O1O2的中点，即两直径的公共点）（理由见评分标准） （1）判断出是中心对称图形 4 分。 （2）指出对称中心为点 B 3 分； 理由：AB=BC，绕点 B 旋转 180° 后上半圆与下半圆重合 3 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.2 中心对称（第 3 课时）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．点 A(2, −3) 关于原点对称的点的坐标是（　　） A．(−2, 3)　B．(2, 3)　C．(−2, −3)　D．(3, −2)　 2．若点 P(m, −1) 与点 Q(2, n) 关于原点对称,则（　　） A．m=2, n=1　B．m=−2, n=−1　C．m=−2, n=1　D．m=2, n=−1　 3．下列各组点中,关于原点对称的是（　　） A．(−1, 2) 与 (1, 2)　　B．(2, 3) 与 (−2, 3)　　 C．(3, −1) 与 (3, 1)　　D．(−4, 5) 与 (4, −5)　　 4．点 A(−3, 2) 关于 x 轴的对称点是点 B,点 B 关于 y 轴的对称点是点 C,则点 A 与点 C（　　） A．关于 x 轴对称　B．关于 y 轴对称　C．关于原点对称　D．重合　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．点 M(−4, 0) 关于原点对称的点的坐标是　　　　　　。 6．若点 P(a, b) 关于原点对称的点的坐标为 (3, −2),则 ab=　　　　　　。 7．已知点 A(2a−1, −3) 与点 B(5, 2b+1) 关于原点对称,则 ab=　　　　　　。 8．平行四边形 ABCD 的对角线交于坐标原点 O,若点 A 的坐标为 (−2, 1),则点 C 的坐标为　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(−3, 2)、B(−4, −1)、C(−1, −1)。 （1）画出 △ABC 关于原点对称的 △A′B′C′；（4 分） （2）写出点 A′、B′、C′ 的坐标。（6 分） 10．在平面直角坐标系中,已知点 P1(−2, 3)。 （1）点 P1 关于原点的对称点是 P2,点 P2 关于 x 轴的对称点是 P3,点 P3 关于 y 轴的对称点是 P4,依次写出 P2、P3、P4 的坐标；（6 分） （2）观察 P4 与 P1 的坐标,你发现了什么结论?（4 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．A　　2．C　　3．D　　4．C 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．(4, 0) 6．−6 7．−2 8．(2, −1) 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）图略（A′、B′、C′ 在点 O 与 A、B、C 相对的方向上）；（2）A′(3, −2)、B′(4, 1)、C′(1, 1) （1）正确画出点 A′、B′、C′（每个 1 分，共 3 分） 3 分； 连线成图并标注顶点 1 分。 （2）每写对一个点的坐标得 2 分（共 3 个点） 6 分。 10．【标准答案】（1）P2(2, −3)、P3(2, 3)、P4(−2, 3)；（2）P4 与 P1 重合（坐标相同） （1）每写对一个点的坐标得 2 分（共 3 个点） 6 分。 （2）得出 P4 与 P1 重合（坐标相同） 4 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.2 中心对称（第 3 课时）（五点梳理） 知识点：点 P(x, y) 关于原点对称的点的坐标为 P′(−x, −y)，即横、纵坐标都变为相反数；利用该规律可以在坐标系中作出与一个图形关于原点对称的图形；对比：关于 x 轴对称是 (x, −y)，关于 y 轴对称是 (−x, y)。 易错点：① 与关于 x 轴、y 轴对称的坐标规律混淆；② 只变横坐标或只变纵坐标，漏变一个符号；③ 求参数时列错对应关系。 重点：求关于原点对称的点的坐标；在坐标系中画关于原点对称的图形。 难点：关于坐标轴对称与关于原点对称的复合变换；由对称关系反求字母参数。 常考点：关于原点对称的坐标求值（选择、填空高频）；网格坐标系中的对称作图；平行四边形对角线交点与原点对称的综合。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 28 章 旋转（全章综合二）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．下列图形中,属于中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A．等边三角形　B．平行四边形　C．正方形　D．等腰梯形　 2．如图,将 △ABC 绕点 C 顺时针旋转 90° 得到 △DEC（A、B 的对应点分别为 D、E）,若 ∠BAC=25°,则 ∠BAD 的度数为（　　） A．20°　B．45°　C．70°　D．90°　 3．在平面直角坐标系中,点 P(−2, 5) 关于原点对称的点的坐标是（　　） A．(2,−5)　B．(−2,−5)　C．(2,5)　D．(5,−2)　 4．钟表的分针匀速旋转,从 12:00 到 12:45,分针转过的角度是（　　） A．45°　B．90°　C．180°　D．270°　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．如图,该图案由 6 个相同的部分组成,绕其中心至少旋转＿＿＿° 后能与自身重合。 6．已知点 M(3a−1, 4) 与点 N(−5, 2b) 关于原点对称,则 ab=＿＿＿。 7．在平面直角坐标系中,将点 P(−3, 2) 先向右平移 5 个单位得到 P₁,则 P₁ 关于原点对称的点 P₂ 的坐标是＿＿＿。 8．如图,在平面直角坐标系中,△ABC 与 △DEF 关于某点成中心对称,则其对称中心的坐标是＿＿＿。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,在网格中,每个小正方形的边长均为 1,△ABC 的顶点均在格点上. (1) 画出 △ABC 关于点 O 成中心对称的 △A'B'C';（6 分） (2) 连接 AA'、BB',判断四边形 ABA'B' 的形状并说明理由.（4 分） 10．如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8.将 △ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°,得到 △DCE（A、B 的对应点分别为 D、E）. (1) 求证:△ACD 是等腰直角三角形;（5 分） (2) 求 AE 的长.（5 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．B　　2．C　　3．A　　4．D 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．60 6．−4（a=2,b=−2） 7．(−2,−2) 8．(3,3) 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】(1) 图略（正确画出 △A'B'C'）；(2) 四边形 ABA'B' 是平行四边形（对角线 AA' 与 BB' 互相平分）. 正确画出 △A'B'C' 6 分； 判断出四边形 ABA'B' 是平行四边形 2 分； 说明理由：对角线 AA' 与 BB' 互相平分 2 分。 10．【标准答案】(1) 由旋转得 CA=CD,∠ACD=90°,故 △ACD 是等腰直角三角形；(2) AE=14. 由旋转性质得出 CA=CD 2 分； 得出旋转角 ∠ACD=90° 2 分； 证得 △ACD 是等腰直角三角形 1 分； 得出 CE=CB=8,且 A、C、E 三点共线 3 分； 求得 AE=AC+CE=14 2 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.1 图形的旋转（第 1 课时）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．下列现象中,属于旋转的是（　　） A．电梯从 1 楼升到 5 楼　　B．汽车在笔直的公路上行驶　　 C．钟摆的摆动　　D．传送带上货物的移动　　 2．如图,△ABC 绕点 O 旋转后得到 △A′B′C′,则下列说法错误的是（　　） A．OA=OA′　B．∠AOA′=∠BOB′　C．AB=A′B′　D．AB=B′C′　 3．下列说法正确的是（　　） A．旋转角是对应边之间的夹角　　B．旋转中心一定在旋转的图形上　　 C．旋转前后图形的形状和大小都不变　　D．旋转方向只有逆时针一种　　 4．△ABC 绕点 O 旋转后得到 △A′B′C′,则下列结论：① △ABC≌△A′B′C′；② ∠ACB=∠A′C′B′；③ OC=OC′；④ 旋转中心是点 O。其中正确的有（　　） A．1 个　B．2 个　C．3 个　D．4 个　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．如图,△AOB 绕点 O 旋转后与 △DOC 重合,若 OA=3,则 OD=　　　　　　。 6．钟表的分针从 6:00 起（此时指向 12）按顺时针方向旋转 150°,分针此时指向数字　　　　　　。 7．点 A 绕点 O 旋转 60° 后得到点 A′,若 OA=4,则 AA′=　　　　　　。 8．钟表上 3:30 时,时针与分针的夹角为　　　　　　°。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,将 △ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 40° 得到 △A′B′C′,若 ∠ACB=95°。 （1）写出图中的一个旋转角；（3 分） （2）求 ∠A′CB 的度数。（7 分） 10．如图,网格中 △ABC 绕某点旋转后与 △A′B′C′ 重合。 （1）指出旋转中心与旋转角度；（4 分） （2）连接 OA、OA′,判断 △OAA′ 的形状并说明理由；（3 分） （3）若 OA=2,直接写出 AA′ 的长。（3 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．C　　2．D　　3．C　　4．D 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．3 6．5 7．4 8．75 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）∠ACA′（或 ∠BCB′）；（2）55° （1）写出 ∠ACA′ 或 ∠BCB′ 3 分。 （2）由旋转性质得 ∠ACA′=∠BCB′=40° 3 分； 得 ∠A′CB=∠ACB−∠ACA′=95°−40°=55° 4 分。 10．【标准答案】（1）旋转中心为点 O，旋转角为 90°；（2）等腰直角三角形（理由见评分标准）；（3） （1）指出旋转中心为点 O 2 分； 写出旋转角为 90° 2 分。 （2）判断 △OAA′ 是等腰直角三角形 2 分； 理由：OA=OA′，∠AOA′=90° 1 分。 （3）直接写出 3 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.2 中心对称（第 1 课时）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．下列说法正确的是（　　） A．成中心对称的两个图形一定全等 B．全等的两个图形一定成中心对称 C．旋转角不是 180° 的两个旋转图形不可能全等 D．成中心对称的两个图形的对称点连线不一定经过对称中心 2．如图,△ABC 与 △A′B′C′ 关于点 O 成中心对称,则下列结论错误的是（　　） A．AO=A′O　B．BO=B′O　C．AB=A′B′　D．BO=CO　 3．成中心对称的两个图形中,对应点连线（　　） A．互相平行　B．互相垂直　C．相等　D．经过对称中心且被对称中心平分　 4．如图,网格中 △ABC 与 △DEF 成中心对称,则对称中心是（　　） A．点 P　B．点 Q　C．点 R　D．点 S　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．点 A 与点 A′ 关于点 O 对称,且 AA′=8 cm,则 OA=　　　　　　cm。 6．△ABC 与 △DEF 关于点 O 成中心对称,若 AB=5,则 DE=　　　　　　。 7．△ABC 与 △A′B′C′ 关于点 O 成中心对称,且 A、O、A′ 在同一直线上,若 AA′=6,BO=4,则 BB′=　　　　　　。 8．△ABC 与 △DEF 关于点 O 成中心对称,△ABC 的面积为 8,AB 边上的高为 4,则 DE 边上的高为　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,在网格中画出 △ABC 关于点 O 对称的 △A′B′C′。 （1）画出点 A、B、C 关于点 O 的对称点 A′、B′、C′；（6 分） （2）连接 A′B′、B′C′、C′A′,得到 △A′B′C′。（4 分） 10．如图,线段 AC、BD 相交于点 O,且 OA=OC,OB=OD。 （1）说明 △AOB 与 △COD 全等的理由；（5 分） （2）△AOB 与 △COD 关于点 O 成中心对称吗?请说明理由。（5 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．A　　2．D　　3．D　　4．C 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．4 6．5 7．8 8．4 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）（2）图略：A′、B′、C′ 分别在点 O 与 A、B、C 相对的方向上，且到点 O 的距离分别等于 OA、OB、OC（A′ 在 O 右 4 格上 1 格，B′ 在 O 右 4 格下 2 格，C′ 在 O 右 2 格下 2 格） （1）正确画出点 A′、B′、C′（每个 2 分，共 6 分） 6 分。 （2）正确连线成 △A′B′C′ 并标注顶点 4 分。 10．【标准答案】（1）△AOB≌△COD（SAS）；（2）成中心对称（理由见评分标准） （1）写出对顶角 ∠AOB=∠COD 2 分； 由 OA=OC、OB=OD，用 SAS 得全等 3 分。 （2）由 OA=OC 且 A、O、C 共线，得 A 与 C 关于点 O 对称 2 分； 同理 B 与 D 关于点 O 对称 2 分； 旋转 180° 后两三角形重合，故成中心对称 1 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.2 中心对称（第 3 课时）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．点 A(2, −3) 关于原点对称的点的坐标是（　　） A．(−2, 3)　B．(2, 3)　C．(−2, −3)　D．(3, −2)　 2．若点 P(m, −1) 与点 Q(2, n) 关于原点对称,则（　　） A．m=2, n=1　B．m=−2, n=−1　C．m=−2, n=1　D．m=2, n=−1　 3．下列各组点中,关于原点对称的是（　　） A．(−1, 2) 与 (1, 2)　　B．(2, 3) 与 (−2, 3)　　 C．(3, −1) 与 (3, 1)　　D．(−4, 5) 与 (4, −5)　　 4．点 A(−3, 2) 关于 x 轴的对称点是点 B,点 B 关于 y 轴的对称点是点 C,则点 A 与点 C（　　） A．关于 x 轴对称　B．关于 y 轴对称　C．关于原点对称　D．重合　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．点 M(−4, 0) 关于原点对称的点的坐标是　　　　　　。 6．若点 P(a, b) 关于原点对称的点的坐标为 (3, −2),则 ab=　　　　　　。 7．已知点 A(2a−1, −3) 与点 B(5, 2b+1) 关于原点对称,则 ab=　　　　　　。 8．平行四边形 ABCD 的对角线交于坐标原点 O,若点 A 的坐标为 (−2, 1),则点 C 的坐标为　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(−3, 2)、B(−4, −1)、C(−1, −1)。 （1）画出 △ABC 关于原点对称的 △A′B′C′；（4 分） （2）写出点 A′、B′、C′ 的坐标。（6 分） 10．在平面直角坐标系中,已知点 P1(−2, 3)。 （1）点 P1 关于原点的对称点是 P2,点 P2 关于 x 轴的对称点是 P3,点 P3 关于 y 轴的对称点是 P4,依次写出 P2、P3、P4 的坐标；（6 分） （2）观察 P4 与 P1 的坐标,你发现了什么结论?（4 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．A　　2．C　　3．D　　4．C 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．(4, 0) 6．−6 7．−2 8．(2, −1) 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）图略（A′、B′、C′ 在点 O 与 A、B、C 相对的方向上）；（2）A′(3, −2)、B′(4, 1)、C′(1, 1) （1）正确画出点 A′、B′、C′（每个 1 分，共 3 分） 3 分； 连线成图并标注顶点 1 分。 （2）每写对一个点的坐标得 2 分（共 3 个点） 6 分。 10．【标准答案】（1）P2(2, −3)、P3(2, 3)、P4(−2, 3)；（2）P4 与 P1 重合（坐标相同） （1）每写对一个点的坐标得 2 分（共 3 个点） 6 分。 （2）得出 P4 与 P1 重合（坐标相同） 4 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.2 中心对称（第 3 课时）（五点梳理） 知识点：点 P(x, y) 关于原点对称的点的坐标为 P′(−x, −y)，即横、纵坐标都变为相反数；利用该规律可以在坐标系中作出与一个图形关于原点对称的图形；对比：关于 x 轴对称是 (x, −y)，关于 y 轴对称是 (−x, y)。 易错点：① 与关于 x 轴、y 轴对称的坐标规律混淆；② 只变横坐标或只变纵坐标，漏变一个符号；③ 求参数时列错对应关系。 重点：求关于原点对称的点的坐标；在坐标系中画关于原点对称的图形。 难点：关于坐标轴对称与关于原点对称的复合变换；由对称关系反求字母参数。 常考点：关于原点对称的坐标求值（选择、填空高频）；网格坐标系中的对称作图；平行四边形对角线交点与原点对称的综合。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 28 章 旋转（全章综合二）（五点梳理） 知识点：中心对称图形与两个图形成中心对称的区别与联系；成中心对称的两个图形的性质（对应点的连线经过对称中心且被对称中心平分,对应线段平行（或在同一直线上）且相等）；旋转角的定义（对应点与旋转中心连线所成的角）；图形在坐标系中绕原点旋转、平移与对称的组合变换。 易错点：把「绕某点旋转 90° 重合」误当作中心对称（应是旋转 180°）；旋转角找错（须是对应点与旋转中心的连线夹角,如图中 ∠BAD 不是旋转角）；平移后再求对称点时漏变换或顺序颠倒。 重点：中心对称图形的辨认；利用旋转性质进行角度计算；网格或坐标系中确定对称中心；关于原点对称的点的坐标求值。 难点：旋转性质与等腰直角三角形结合的证明与计算（含三点共线的推理）；对称中心的确定与四边形形状的判定综合。 常考点：中心对称图形但非轴对称图形的辨认；分针转角问题；图案的最小旋转角；网格中的中心对称作图；平移与对称的组合坐标计算。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 28 章 旋转（全章综合）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．等边三角形　B．五角星　C．菱形　D．等腰梯形　 2．下列说法中正确的是（　　） A．两个全等的图形一定成中心对称 B．旋转后的图形与原图形的对应边一定平行 C．成中心对称的两个图形中,对应点的连线经过对称中心,且被对称中心平分 D．绕某点旋转 90° 后能重合的两个图形成中心对称 3．如图,将 △ABC 绕点 C 顺时针旋转得到 △A'B'C（点 A、B 的对应点分别为 A'、B'）,若 ∠BCB'=36°,则 ∠CBB' 的度数为（　　） A．36°　B．54°　C．72°　D．90°　 4．在平面直角坐标系中,△OAB 是等边三角形,点 B(3,0).将 △OAB 绕原点 O 逆时针旋转 90°,则点 A 的对应点 A′ 的坐标为（　　） A．（−,）　　B．（−,−）　　 C．（,−）　　D．（−,）　　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．已知点 P(m,n) 与点 Q(m+4, 2n−3) 关于原点对称,则 mn=＿＿＿。 6．△ABC 与 △DEF 关于点 O 成中心对称,若 AB=5,BC=6,CA=7,则 DE+EF=＿＿＿。 7．△ABC 与 △A'B'C' 关于点 O 成中心对称,若 △ABC 的面积为 6,BC=4,则 B'C' 边上的高等于＿＿＿。 8．钟表上 10:15 时,时针与分针的夹角是＿＿＿°。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(−2,3)、B(−4,1)、C(−1,1). (1) 画出 △ABC 关于原点 O 对称的 △A'B'C',并写出点 A'、B'、C' 的坐标;（6 分） (2) 求 △ABC 的面积.（4 分） 10．如图,□ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,过点 O 的直线分别交 AD、BC 于点 E、F. (1) 求证:OE=OF;（5 分） (2) 求证:四边形 AECF 是平行四边形.（5 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．C　　2．C　　3．C　　4．A 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．−2（m=−2,n=1） 6．11 7．3 8．142.5 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】(1) 图略,A′(2,−3)、B′(4,−1)、C′(1,−1)；(2) △ABC 的面积为 3. 正确画出 △A′B′C′ 3 分； 正确写出三个对应点的坐标 3 分； 正确求出 △ABC 的面积为 3 4 分。 10．【标准答案】(1) △AOE≌△COF（ASA）,OE=OF；(2) 四边形 AECF 是平行四边形（对角线 AC 与 EF 互相平分）. 由平行四边形性质得出 OA=OC 1 分； 得出对顶角 ∠AOE=∠COF 1 分； 由 AD∥BC 得出 ∠OAE=∠OCF 1 分； 证得 △AOE≌△COF 1 分； 得出 OE=OF 1 分； 得出 AC 与 EF 互相平分（OA=OC、OE=OF） 3 分； 判定四边形 AECF 是平行四边形 2 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2.1 配方法（第1课时）（知识点清单） 【核心知识点】 1. 直接开平方法：形如 x2=p 的方程，当 p>0 时有两个不相等的实数根 x=±；当 p=0 时有两个相等的实数根 x1=x2=0；当 p<0 时无实数根。（必考） 2. 形如 (mx+n)2=p（p≥0）的方程：把 mx+n 看作整体，直接开平方得 mx+n=±，再解两个一元一次方程。（必考） 3. 降次思想：把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程，是解一元二次方程的基本思路。（必考） 4. 易错提醒：开平方时不要漏掉负的一支（必须写 ±）；p<0 时不能开平方。（易错） 【拓展知识点】 1. 含字母的讨论题：由 (x−a)2=b 的根的情况反求 b 的取值范围。（拓展） 2. 两次开平方的方程（如 3(x+1)2−12=0）需先整理成 (mx+n)2=p 的形式再开方。（必考、拓展） 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2.1 配方法（第2课时）（知识点清单） 【核心知识点】 1. 配方法解一元二次方程的一般步骤：①二次项系数化为 1；②移项，使常数项在右边；③两边同时加上一次项系数一半的平方；④写成 (x+n)2=p 的形式，开平方求解。（必考） 2. 配方依据：完全平方公式 a2+2ab+b2=(a+b)2；x2+mx 配方时加上 。（必考） 3. 配方后按 p 的符号分三种情况：p>0 两个不等实数根；p=0 两个相等实数根；p<0 无实数根。（必考、易错） 4. 填空型：x2+10x+25=(x+5)2；x2−3x+=(x−)2。（必考） 【拓展知识点】 1. 二次项系数不是 1 时必须先化系数为 1，两边同时除以二次项系数（含分数系数的配方运算）。（易错、拓展） 2. 由配方结果反求字母的值（如 (x+1)2=3−m 中 m 的确定）。（拓展） 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（知识点清单） 【核心知识点】 1. 根与系数的关系（韦达定理）：若 x1、x2 是 ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则 x1+x2=，x1x2=。（必考） 2. 使用前提：方程必须有实数根，即 Δ≥0；求参数后要注意检验 Δ。（必考、易错） 3. 常见变形：x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2；(x1−1)(x2−1)=x1x2−(x1+x2)+1。（必考） 4. 已知一根求另一根与参数：由两根之积求另一根，再由两根之和求参数。（必考） 【拓展知识点】 1. 由两根之和、之积反求方程：以 x1+x2=S、x1x2=P 为两根的一元二次方程是 x2−Sx+P=0。（拓展） 2. 对称式求值：、|x1−x2| 等都可化为用两根之和与两根之积表示的整体求值。（拓展） 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.1 二次函数的概念 知识点清单 【核心知识点】 ① 二次函数的定义：形如 y=ax2+bx+c（a、b、c 为常数，a≠0）的函数叫做二次函数，其中 x 的最高次数是 2，必须是整式。 必考 ② 一般式 y=ax2+bx+c（a≠0）：a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项；a 决定能否称为二次函数。 必考 ③ 识别方法：先把函数化简整理成一般式，再查三条——整式、最高次数 2、二次项系数不为 0，缺一不可。 必考 ④ 实际背景列式：面积模型（如 y=x(20−x)）、增长率模型 y=a(1+x)2、单循环比赛 m=n(n−1) 都可产生二次函数。 常考 【拓展知识点】 ① 含参判定：y=(m+1)x^(m2−m) 型要同时满足「指数=2」与「系数≠0」，两个条件缺一不可，常有一解需舍去。 易错、拓展 ② 自变量取值范围由实际意义确定：边长、增长率为正等约束常使范围是开区间。 易错 ③ 函数值就是代入计算：把 x 的给定值代入解析式求 y，注意符号。 必考 易错提示（供命题与讲解参考） 1. 只查「次数为 2」漏查「整式」：分母含未知数的分式不是二次函数，先化简整理再判断； 2. 化一般式要先去括号、合并同类项再取 a、b、c，符号别取错（如 3−2x2−x 中 a=−2）； 3. 含参判定要同时满足「指数=2」与「系数≠0」，常有一解需舍去（如 m=−2 使系数为 0）； 4. 增长率模型三月份产值是 a(1+x)2，不要写成 a(1+2x)。 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2.1 二次函数 y=ax2 的图象和性质（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．抛物线 y=−3x2 的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（　　） A．向上、y 轴、(0, 0)　　B．向下、y 轴、(0, 0)　　 C．向下、x 轴、(0, 0)　　D．向下、y 轴、(−3, 0)　　 2．抛物线 y=5x2 与 y=−5x2 的关系是（　　） A．开口方向相同,顶点相同　　B．关于 x 轴对称,形状相同　　 C．关于 y 轴对称,开口大小不同　　D．没有关系　　 3．如图,抛物线 ①、②、③ 分别是 y=x2、y=x2、y=2x2 的图象,则开口最大的是（　　） A．①　B．②　C．③　D．一样大　 4．对于函数 y=−4x2,下列结论正确的是（　　） A．当 x<0 时,y 随 x 的增大而增大　　B．当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大　　 C．顶点是 (0, −4)　　D．y 有最小值　　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．点 A(2, m) 在抛物线 y=3x2 上,则 m=　　　　　　。 6．点 B(−1, n) 在抛物线 y=−6x2 上,则 n=　　　　　　。 7．若抛物线 y=(2k−1)x2 的开口向上,则 k 的取值范围是　　　　　　。 8．已知抛物线 y=ax2 经过点 (1, −5),则 a=　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．（1）画出函数 y=2x2 的图象（先列表取 x=−2,−1,0,1,2 描点,再用平滑曲线连接）；（2）根据图象说出它的开口方向、对称轴、顶点,以及 y 随 x 的增大而变化的情况。（10 分） 10．已知抛物线 y=ax2 经过点 A(−2, 8)。（1）求 a 的值；（2）判断点 B(−3, 18) 是否在该抛物线上,并说明理由；（3）当 −3<x<−1 时,y 随 x 的增大如何变化?（10 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．B　　2．B　　3．A　　4．A 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．12 6．−6 7．k> 8．−5 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】列表描点（0,0）、（±1,2）、（±2,8）后用平滑曲线连接；开口向上，对称轴是 y 轴，顶点 (0,0)；当 x<0 时 y 随 x 增大而减小，当 x>0 时 y 随 x 增大而增大 列表正确（三对及以上对应值） 3 分； 描点并用平滑曲线连接成抛物线 3 分； 写出开口向上、对称轴 y 轴、顶点 (0, 0) 2 分； 写出增减性（x<0 减、x>0 增） 2 分。 10．【标准答案】（1）a=2；（2）当 x=−3 时 y=2×9=18，B 在抛物线上；（3）a=2>0，当 x<0 时 y 随 x 增大而减小 （1）把 A(−2, 8) 代入得 4a=8，a=2 3 分； （2）当 x=−3 时 y=18，B 在抛物线上 3 分； （3）由 a=2>0 且 x<0 得 y 随 x 的增大而减小 4 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2.2 二次函数的图象和性质（第2课时） 知识点清单 【核心知识点】 ① y=a(x−h)2 的图象：由 y=ax2 向左（h<0）或向右（h>0）平移 |h| 个单位长度得到。 必考 ② y=a(x−h)2 的性质：对称轴是直线 x=h，顶点是 (h, 0)；a>0 时 x<h 减、x>h 增；a<0 时 x<h 增、x>h 减。 必考 ③ 左右平移记「左加右减」：h 是「减的数」，y=a(x+2)2 相当于 h=−2（向左 2），符号最易错。 易错 ④ 顶点在 x 轴上的抛物线与 x 轴恰有一个公共点 (h, 0)。 常考 【拓展知识点】 ① 由对称的两点反求对称轴与解析式：纵坐标相等的两点关于对称轴对称。 常考 ② 形状由 |a| 决定：平移只改变位置，不改变形状与开口方向。 必考 ③ 增减性以 x=h 为分界，判断时先写开口方向再写范围。 必考 易错提示（供命题与讲解参考） 1. 「左加右减」作用在自变量上：向左平移 3 个单位是 y=a(x+3)2，符号最易错； 2. 对称轴是直线 x=h，答题要写「直线 x=3」，只写「x=3」或「3」不严谨； 3. y=a(x+2)2 的顶点是 (−2, 0)，顶点横坐标与括号内符号相反； 4. 增减性以 x=h 为分界：a>0 时 x<h 减、x>h 增（先说开口方向再说增减）。 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2.3 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．抛物线 y=x2−4x+3 的对称轴和顶点坐标分别是（　　） A．x=2,(2, −1)　B．x=−2,(−2, 7)　C．x=2,(2, 3)　D．x=4,(4, 3)　 2．抛物线 y=−2x2+3x+1 的顶点横坐标是（　　） A．　B．　C．　D．　 3．如图,抛物线 y=x2−2x−3,当 y<0 时,x 的取值范围是（　　） A．x<−1　B．x>3　C．−1<x<3　D．x<−1 或 x>3　 4．把抛物线 y=x2−6x+5 配方,得（　　） A．y=(x−3)2−4　B．y=(x+3)2−4　C．y=(x−3)2+4　D．y=(x−6)2−31　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．若抛物线 y=x2−4x+m 的顶点在 x 轴上,则 m=　　　　　　。 6．抛物线 y=−x2+bx−3 的对称轴是直线 x=−1,则 b=　　　　　　。 7．抛物线 y=2x2−3x+1 的顶点纵坐标是　　　　　　。 8．抛物线 y=x2+2x−3 与 y 轴的交点坐标是　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．用配方法求抛物线 y=2x2−4x+5 的顶点坐标和对称轴,并说明函数有最大值还是最小值。（10 分） 10．已知抛物线 y=x2+bx+c 经过点 (1, −2) 和 (3, 0)。（1）求 b、c 的值,写出解析式；（2）用配方法求顶点坐标；（3）当 x 取何值时,y<0?（10 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．A　　2．B　　3．C　　4．A 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．4 6．−2 7． 8．(0, −3) 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】y=2(x2−2x)+5=2(x−1)2+3，顶点 (1, 3)，对称轴 x=1；a=2>0，函数有最小值 3 提出二次项系数 2：y=2(x2−2x)+5 3 分； 配方 y=2(x−1)2+3 4 分； 顶点 (1, 3)，对称轴 x=1，有最小值 3 3 分。 10．【标准答案】（1）b+c=−3，9+3b+c=0，解得 b=−3，c=0，y=x2−3x；（2）y=(x−)2−，顶点 (, −)；（3）令 y=0 得 x=0 或 3，a>0，当 0<x<3 时 y<0 （1）代入两点得 b+c=−3，3b+c=−9，解得 b=−3，c=0 3 分； 解析式 y=x2−3x 1 分； （2）配方 y=(x−)2−，顶点 (, −) 3 分； （3）当 0<x<3 时 y<0 3 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2.3 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 知识点清单 【核心知识点】 ① 配方法化顶点式：y=ax2+bx+c=a(x+)2+；对称轴 x=−，顶点 (−, )。 必考 ② 增减性以 x=− 为界：a>0 时左减右增，a<0 时左增右减；a>0 有最小值，a<0 有最大值。 必考 ③ 与坐标轴交点：令 x=0 得与 y 轴交点 (0, c)；令 y=0 解方程得与 x 轴交点。 必考 ④ 由 y>0、y<0 的图象位置读 x 的范围：开口向上时两根之间 y<0，两根之外 y>0。 常考 【拓展知识点】 ① 配方时先提出二次项系数 a，常数项同时除以 a 再配方，最易漏。 易错 ② 顶点纵坐标也等于 c−（先求对称轴代入亦可）。 常考 ③ 顶点在 x 轴上 ⇔ (4ac−b2)/4a=0 ⇔ Δ=0（与 26.3 呼应）。 拓展 易错提示（供命题与讲解参考） 1. 配方先提出二次项系数 a：y=2x2−4x+5=2(x−1)2+3，直接配会丢系数； 2. 对称轴公式中 b、a 都要带符号代入（y=−2x2+3x+1 的对称轴是 x=0.75）； 3. y<0 的范围看图象：开口向上且与 x 轴有两个交点时，y<0 在两根之间； 4. 顶点在 x 轴上 ⇔ 判别式 Δ=0，为 26.3 做铺垫。 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2 二次函数的图象和性质（综合）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．抛物线 y=x2−2x+3 的顶点坐标是（　　） A．(1, 2)　B．(1, −2)　C．(−1, 2)　D．(−1, −2)　 2．把抛物线 y=x2+2x+3 化为 y=a(x−h)2+k 的形式是（　　） A．y=(x+1)2+2　B．y=(x−1)2+2　C．y=(x+1)2+4　D．y=(x−1)2+4　 3．已知一条抛物线与抛物线 y=2x2 形状相同、开口方向也相同,顶点是 (−1, 3),则它的解析式为（　　） A．y=2(x−1)2+3　B．y=2(x+1)2+3　C．y=2(x+1)2−3　D．y=−2(x+1)2+3　 4．抛物线 y=−3(x+2)2−1,当 x>−2 时,y 随 x 的增大而（　　） A．增大　B．减小　C．先增大后减小　D．先减小后增大　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．抛物线 y=x2−4x+3 与 x 轴的交点坐标是　　　　　　。 6．把抛物线 y=−2x2+4x+1 化成顶点式为　　　　　　。 7．抛物线 y=x2−2 可以由抛物线 y=x2 向　　　　　　平移 2 个单位长度得到。 8．已知抛物线的顶点是 (2, −3),且经过点 (0, 1),则它的解析式为　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．已知抛物线的顶点是 (2, −1),且经过点 (0, 3)。（1）求这条抛物线的解析式；（2）写出它与 y 轴的交点坐标；（3）当 0≤x≤3 时,求这个函数的最大值和最小值。（10 分） 10．如图,抛物线 y=−x2+2x+3 与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 的左侧）。（1）求顶点坐标和对称轴；（2）求 A、B 两点的坐标；（3）当 x 取何值时,y>0?（10 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．A　　2．A　　3．B　　4．B 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．(1, 0) 和 (3, 0) 6． 7．下 8． 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）y=a(x−2)2−1，把 (0, 3) 代入得 4a−1=3，a=1，y=(x−2)2−1（即 y=x2−4x+3）；（2）(0, 3)；（3）最小值 −1（x=2），最大值 3（x=0） （1）设 y=a(x−2)2−1 3 分； 代入 (0, 3) 得 4a−1=3，a=1，y=(x−2)2−1 3 分； （2）交点 (0, 3) 1 分； （3）最小值 −1，最大值 3（指出对应 x 的取值） 3 分。 10．【标准答案】（1）顶点 (1, 4)，对称轴 x=1；（2）令 y=0 得 x=−1 或 3，A(−1, 0)、B(3, 0)；（3）图象在 x 轴上方，−1<x<3 时 y>0 （1）配方 y=−(x−1)2+4，顶点 (1, 4)，对称轴 x=1 4 分； （2）令 y=0 得 x=−1 或 3，写出 A(−1, 0)、B(3, 0) 4 分； （3）当 −1<x<3 时 y>0 2 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.3 二次函数与一元二次方程（第2课时） 知识点清单 【核心知识点】 ① 函数值能否取到某值 ⇔ 对应方程有无实数根：令 h=k 解方程，由 Δ 判断「能达到/不能达到」。 必考 ② 落地时间：令 h=0 解方程，取正根；最高点：抛物线顶点 t=−。 必考 ③ 图象估根：根在函数值异号的两点之间；不断取平均缩小区分会得到更精确的近似值。 常考 ④ 由图象读交点：抛物线与 x 轴交点的横坐标即对应方程的（近似）根。 常考 【拓展知识点】 ① 「达到某高度」可能有两个时刻（上升与下落），方程两根都要写。 易错 ② Δ<0 时直接下「不能达到」的结论，不要硬解。 必考 ③ 时间、高度等实际量非负，负根要舍去。 易错 易错提示（供命题与讲解参考） 1. 「高度能否达到指定值」转化为方程有无实数根，Δ<0 直接答「不能」，不要硬解； 2. 达到某一高度可能有两个时刻（上升与下落各一次），两根都要写； 3. 落地时间令 h=0，取正根，负根与 0 都要舍； 4. 估根的依据是函数值异号：两个自变量处函数值一正一负时，根在它们之间，缩小区间用平均数。 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.3 二次函数与一元二次方程（综合）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．抛物线 y=x2−2x−3 与 x 轴两交点之间的距离是（　　） A．2　B．3　C．4　D．6　 2．若抛物线 y=x2−3x+m 与 x 轴只有一个公共点,则 m 的值为（　　） A．　B．　C．　D．　 3．小球飞行高度 h（m）与时间 t（s）满足 h=20t−5t2,小球飞行高度为 20 m 时飞行时间为（　　） A．2 s　B．4 s　C．1 s　D．2 s 或 4 s　 4．如图,抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 (−1, 0) 和 (3, 0),则方程 ax2+bx+c=0 的根是（　　） A．x=−1　B．x=3　C．x1=−1,x2=3　D．无法确定　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．方程 x2−2x−1=0 的正根在整数　　　　　　之间（填相邻两个整数）。 6．若抛物线 y=x2+kx+9 与 x 轴只有一个公共点,则 k=　　　　　　。 7．烟花升空后高度 h（m）与时间 t（s）满足 h=40t−5t2,烟花升空的最高高度是　　　　　　m。 8．抛物线 y=x2+mx−2 与 x 轴的公共点个数为 2,则 m 的取值范围是　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．已知二次函数 y=x2−2(m−1)x+m2−2m−3。（1）求证：无论 m 取何值,该函数的图象与 x 轴总有两个公共点；（2）用含 m 的式子表示公共点的横坐标；（3）当 m=2 时,写出该函数的解析式并求图象与 x 轴的交点坐标。（10 分） 10．水柱由喷头 O 处喷出,高度 y（m）与水平距离 x（m）满足 y=−x2+4x。（1）水柱达到的最大高度是多少米?（2）水柱落地点到喷头的水平距离是多少米?（3）当水柱高度为 3 m 时,水柱离喷头的水平距离是多少米?（10 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．C　　2．A　　3．A　　4．C 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．2 与 3 6．±6 7．80 8．任意实数 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）Δ=[−2(m−1)]2−4(m2−2m−3)=16>0 恒成立，总有两个公共点；（2）x=(m−1)±2，即 x=m+1 或 x=m−3；（3）m=2 时 y=x2−2x−3，交点 (−1, 0)、(3, 0) （1）Δ=4(m−1)2−4(m2−2m−3)=4(m2−2m+1−m2+2m+3)=16 4 分； Δ=16>0 恒成立，总有两个公共点 2 分； （2）x=m−1±2，即 x=m+1 或 x=m−3 2 分； （3）m=2 时 y=x2−2x−3，交点 (−1, 0)、(3, 0) 2 分。 10．【标准答案】（1）y=−(x−2)2+4，最大高度 4 m；（2）令 y=0 得 x=4，水平距离 4 m；（3）−x2+4x=3 得 x2−4x+3=0，x=1 或 3，水平距离 1 m 或 3 m （1）配方 y=−(x−2)2+4，最大高度 4 m 4 分； （2）令 y=0 得 x=4，水平距离 4 m 2 分； （3）令 y=3 得 x2−4x+3=0 2 分； x=1 或 3，水平距离 1 m 或 3 m 2 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.4 实际问题与二次函数（综合）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．用长 30 m 的篱笆围成一个矩形（不靠墙）,矩形面积的最大值是（　　） A．50 m2　B．56.25 m2　C．60 m2　D．72 m2　 2．某商品进价 30 元,售价 40 元时每天可售 100 件；每涨价 1 元,每天少售 5 件。设涨价 x 元,每天利润 y=(10+x)(100−5x),则利润最大时的定价为（　　） A．45 元　B．50 元　C．52.5 元　D．55 元　 3．一座抛物线形拱桥以拱顶为原点、对称轴为 y 轴建系,解析式为 y=−x2,当水面宽 8 m 时,拱顶离水面（　　） A．1 m　B．2 m　C．3 m　D．4 m　 4．商店以 80 元进价购入一批商品,售价 100 元时每天可售 50 件；每涨价 1 元,每天少售 2 件。设涨价 x 元,每天利润 y 元,则利润最大时的售价为（　　） A．100 元　B．102.5 元　C．105 元　D．110 元　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．用长 20 m 的篱笆靠墙围一个矩形菜园（墙长 8 m,平行于墙的边不超过墙长）,垂直于墙的边长为 x m,则菜园的最大面积是　　　　　　m2。 6．小球飞行高度 h（m）与时间 t（s）满足 h=−5t2+10t+2,小球飞行的最大高度是　　　　　　m。 7．抛物线 y=−x2+4（拱顶在 y 轴正半轴上）与 x 轴交于 A、B 两点,则 A、B 之间的距离为　　　　　　m。 8．抛物线 y=−10x2+80x+5000 的最大值是　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,用长 12 m 的铝合金条制成一个「日」字形窗框（外框是矩形,中间有一根横档）,设窗框的宽为 x m,高为 h m。（1）用含 x 的式子表示 h；（2）设窗框的面积为 S m2,求 S 与 x 之间的函数关系式；（3）当 x 为何值时,窗框的面积最大?最大面积是多少?（10 分） 10．如图,一座抛物线形隧道,路面为水平线,隧道底宽 8 m,最高处（顶点）离路面 4 m,以路面中点为原点、路面所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系。（1）求隧道轮廓所在抛物线的解析式；（2）一辆宽 2.4 m、高 3.4 m 的货车（居中行驶）能否通过该隧道?请通过计算说明理由。（10 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．B　　2．A　　3．B　　4．B 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．48 6．7 7．8 8．5160 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）2h+3x=12，h=6−；（2）S=xh=6x−x2（0<x<4）；（3）x=2 时 S 最大为 6 m2，此时 h=3 m （1）2h+3x=12，h=6−x 3 分； （2）S=xh=6x−x2（0<x<4） 3 分； （3）x=2 时 S 最大 2 分； 最大面积 6 m2 2 分。 10．【标准答案】（1）设 y=ax2+4，把 (4, 0) 代入得 16a+4=0，a=−，y=−x2+4（−4≤x≤4）；（2）x=1.2 时 y=−0.36+4=3.64>3.4，能通过 （1）设 y=ax2+4，代入 (4, 0) 得 a= 3 分； 写出 y=−x2+4 2 分； （2）货车最边缘 x=±1.2，y=3.64 3 分； 3.64>3.4，能通过 2 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.4 实际问题与二次函数（综合） 知识点清单 【核心知识点】 ① 窗框类：总长约束列「横条+竖条=定长」，面积=宽×高，代入消元得一元二次函数求顶点。 必考 ② 隧道（拱桥）通行判断：把车宽的一半代入解析式求净高，与车高比较。 必考 ③ 定价与利润的最值：利润=（售价−进价）×销量，顶点处定价不一定合法（整数要求）。 常考 ④ 双约束（墙长、材料长）先写自变量范围再谈最值。 易错 【拓展知识点】 ① 货车居中行驶时取 x=车宽一半算最高点处的净高；两侧边缘取同一 y。 难点 ② 「日」字形中间横条使竖条数为 2、横条数为 3，列式别漏。 易错 ③ 小数顶点（如 x=2.5）在非整数定价时也取，题目未要求整数就直接用。 拓展 易错提示（供命题与讲解参考） 1. 窗框类先数清横条、竖条根数（「日」字形是 3 横 2 竖），总长约束别列错； 2. 面积=宽×高，代入约束消元后得一元二次函数，注意自变量范围（各边为正）； 3. 隧道通行看最边缘：车宽 2.4 m 居中行驶时 x=±1.2 处的净高都要大于车高； 4. 计算净高用「轮廓 y 值−水面高度」，坐标为负时别算错符号。 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.1 反比例函数的概念（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．下列函数中,是反比例函数的是（　　） A．y=　B．y=　C．y=　D．y=　 2．式子 ① y=−x−1、② xy=6、③ y= 中,是反比例函数的有（　　） A．0 个　B．1 个　C．2 个　D．3 个　 3．下列问题中的两个变量,成反比例关系的是（　　） A．正方形的面积 S 与边长 a　　B．矩形面积为定值时,长 y 与宽 x　　 C．速度一定时,路程 s 与时间 t　　D．人的身高与年龄　　 4．反比例函数 y=（k>0）,当自变量 x 扩大到原来的 2 倍时,对应的函数值 y（　　） A．缩小到原来的一半　B．扩大到原来的 2 倍　C．保持不变　D．无法确定　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．若函数 y= 是反比例函数,则 m=　　　　　　。 6．已知 y 是 x 的反比例函数,当 x=2 时 y=−6,则 y 关于 x 的函数解析式为　　　　　　。 7．某车间计划加工 600 个零件,平均每天加工 x 个,完成任务所需天数 t（天）与 x 的函数关系式为　　　　　　（写出自变量的取值范围）。 8．电压保持 220 V 不变时,电流 I（A）与电阻 R（Ω）满足 I=,当 R=11 Ω 时,I=　　　　　　A。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．已知 y 与 x 成反比例,且当 x=4 时 y=−3。（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）当 x=−6 时,求 y 的值。（10 分） 10．一个游泳池的容积为 2000 m3,向池中注满水。（1）写出注水速度 v（m3/h）与注水时间 t（h）之间的函数关系式,并指出自变量 t 的取值范围；（2）若 8 h 恰好注满水池,求注水速度 v。（10 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．A　　2．C　　3．B　　4．A 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．1 6． 7．（x>0） 8．20 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）；（2）当 x=−6 时，y=2 （1）设 ，把 x=4、y=−3 代入得 k=−12 4 分； 写出 2 分； （2）把 x=−6 代入得 y=2 4 分。 10．【标准答案】（1）（t>0）；（2）v=250 m3/h （1）由「容积=速度×时间」得 3 分； 指出自变量取值范围 t>0 3 分； （2）把 t=8 代入得 v=250 m3/h 4 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.2 反比例函数的图象和性质（第2课时） 知识点清单 【核心知识点】 ① 由一支所在象限定参数：如 的一支在第一象限 ⇔ m−5>0，且另一支必在第三象限。 必考 ② 同支比较大小：先确认两点在同一象限，再用该象限内的增减性比较。 必考 ③ 异支比较：不同象限内一正一负，直接用符号判断大小（正值支上的函数值大）。 必考 ④ 正比例与反比例的交点：联立两解析式求解，交点关于原点对称、成对出现。 常考 ⑤ 图象共存：y=kx 与 中 k 相同，由直线的位置推双曲线的位置。 常考 【拓展知识点】 ① 含根号参数：如 由一支象限定 a 的范围，方法与一般含参式相同。 拓展 ② 有交点/无交点条件：联立后化为 x2= 型，由正负性定参数范围。 拓展、常考 ③ 实际反比例函数只取一支（x>0），不是完整双曲线。 拓展 易错提示（供命题与讲解参考） 1. 由一支象限定参数范围时，另一支的象限同时确定，别只求参数忘答象限； 2. 同支比较先确认两点在同一象限，跨支比较正负号直接分胜负； 3. y=kx 与 中 k 相同：直线过一、三象限（k>0）时双曲线也在一、三象限； 4. 交点关于原点对称成对出现，只答一个要丢一半分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 27 章 反比例函数（全章综合）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．下列说法正确的是（　　） A．反比例函数 中,y 随 x 的增大而减小 B．双曲线 y= 的图象位于第二、四象限 C．y= 的图象经过点 (−1, 1) D．反比例函数的图象可能与坐标轴相交 2．已知反比例函数 ,在每一象限内 y 随 x 的增大而减小,且 k 为整数,则 k 的最小值是（　　） A．0　B．−1　C．−2　D．1　 3．在同一平面直角坐标系中,函数 y=kx 与 y=（k≠0）的图象交点个数为（　　） A．2 个　B．1 个　C．0 个　D．随 k 的符号变化　 4．某蓄水池容积 800 m3,匀速排水速度 v（m3/h）与排完水所需时间 t（h）满足 v=（t>0）。下列说法正确的是（　　） A．v 是 t 的反比例函数　　B．v 的图象是完整的双曲线　　 C．t 越大,v 越大　　D．v 随 t 的增大而增大　　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．已知 y 与 x2 成反比例,当 x=2 时 y=3,则当 x=6 时 y=　　　　　　。 6．双曲线 经过点 (−1, 4),则 m=　　　　　　,此时图象位于第　　　　　　象限。 7．点 A(−1, y1)、B(2, y2) 都在反比例函数 y= 的图象上,则 y1−y2=　　　　　　。 8．甲、乙两地相距 240 km,汽车的平均速度 v（km/h）与行驶时间 t（h）的函数关系式为　　　　　　；行驶 3 h 时的平均速度为　　　　　　km/h。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．已知 y=y1+y2,其中 y1 与 x 成反比例,y2 与 x 成正比例,且当 x=1 时 y=6；当 x=3 时 y=10。（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）当 x=−1 时,求 y 的值。（10 分） 10．如图,一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 的图象交于点 A(1, 4)、B(−4, −1)。（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象,直接写出不等式 kx+b> 的解集。（10 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．B　　2．A　　3．A　　4．A 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5． 6．−2；二、四 7．9 8．；80 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）；（2）当 x=−1 时 y=−6 （1）设 y=+k2x，代入 x=1、x=3 3 分； 联立得 k1+k2=6、+3k2=10，解得 k1=3、k2=3 4 分； 写出 1 分； （2）x=−1 时 y=−3−3=−6 2 分。 10．【标准答案】（1），；（2）−4<x<0 或 x>1 （1）由 A(1, 4) 得 m=4 2 分； 由 A、B 解得 k=1、b=3，y=x+3 3 分； （2）由图象分段读出：−4<x<0 或 x>1 5 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.1 图形的旋转（两课时综合）（五点梳理） 知识点：旋转的三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角）；旋转的性质（对应点到旋转中心的距离相等,对应线段、对应角相等,每一点绕旋转中心的旋转角都相等）；旋转作图的方法（定中心、定方向、定角度,找关键点的对应点）；旋转图案设计中求最小旋转角（360°÷份数）。 易错点：旋转的顺、逆时针方向看反；误把任意对应线段的夹角当旋转角（旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角）；误认为旋转中心一定在原图形内部。 重点：利用旋转性质求线段长与角度；确定旋转中心；钟表指针转角问题；图案最小旋转角。 难点：旋转性质与等边（等腰）三角形结合的证明与计算；复杂图形的旋转作图。 常考点：旋转现象的辨认；网格中的旋转作图；利用旋转性质求角度与线段长；图形重合的最小旋转角。 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.2 中心对称（第 2 课时）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．下列图形中,是中心对称图形的是（　　） A．等边三角形　B．五角星　C．平行四边形　D．等腰梯形　 2．下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．角　B．矩形　C．等腰三角形　D．平行四边形　 3．平行四边形的对称中心是（　　） A．对角线的交点　B．对角线　C．边的中点　D．任意一个顶点　 4．下列说法：① 线段是中心对称图形；② 两个全等三角形一定成中心对称；③ 圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心；④ 正方形既是轴对称图形又是中心对称图形。其中正确的是（　　） A．①②③　B．①③④　C．②③④　D．①②④　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．线段的对称中心是　　　　　　,圆的对称中心是　　　　　　。 6．在字母 H、N、S、W、Z 中,是中心对称图形的有___（填字母）。 7．平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O,△AOB 绕点 O 旋转 180° 后与 △___ 重合。 8．正方形既是轴对称图形又是中心对称图形,它共有___条对称轴。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,在 7×7 的网格中,以格点为顶点画一个四边形,使它既是轴对称图形又是中心对称图形（画出一种即可）,并指出它的对称中心与对称轴。 （1）画出满足条件的四边形；（6 分） （2）指出它的对称中心与对称轴。（4 分） 10．如图,点 O1、O2分别是两个半圆的圆心,两个半圆的直径在同一条直线上,公共端点为点 B。 （1）这个图形是中心对称图形吗?（4 分） （2）如果是,指出它的对称中心,并说明理由。（6 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．C　　2．B　　3．A　　4．B 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．中点 6．H、N、S、Z 7．COD 8．4 【评分标准】答对得 10 分（第 5 题每空 5 分），答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】图略（如画以两个格点为对角顶点的正方形或矩形，答案不唯一）；对称中心为对角线的交点，对称轴见评分标准 （1）正确画出既是轴对称又是中心对称的四边形（正方形、矩形、菱形均可） 6 分。 （2）正确指出对称中心 2 分； 正确指出对称轴（正方形 4 条、矩形 2 条、菱形 2 条） 2 分。 10．【标准答案】（1）是中心对称图形；（2）对称中心是点 B（线段 O1O2的中点，即两直径的公共点）（理由见评分标准） （1）判断出是中心对称图形 4 分。 （2）指出对称中心为点 B 3 分； 理由：AB=BC，绕点 B 旋转 180° 后上半圆与下半圆重合 3 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.2 中心对称（第 3 课时）（五点梳理） 知识点：点 P(x, y) 关于原点对称的点的坐标为 P′(−x, −y)，即横、纵坐标都变为相反数；利用该规律可以在坐标系中作出与一个图形关于原点对称的图形；对比：关于 x 轴对称是 (x, −y)，关于 y 轴对称是 (−x, y)。 易错点：① 与关于 x 轴、y 轴对称的坐标规律混淆；② 只变横坐标或只变纵坐标，漏变一个符号；③ 求参数时列错对应关系。 重点：求关于原点对称的点的坐标；在坐标系中画关于原点对称的图形。 难点：关于坐标轴对称与关于原点对称的复合变换；由对称关系反求字母参数。 常考点：关于原点对称的坐标求值（选择、填空高频）；网格坐标系中的对称作图；平行四边形对角线交点与原点对称的综合。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 28 章 旋转（全章综合二）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．下列图形中,属于中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A．等边三角形　B．平行四边形　C．正方形　D．等腰梯形　 2．如图,将 △ABC 绕点 C 顺时针旋转 90° 得到 △DEC（A、B 的对应点分别为 D、E）,若 ∠BAC=25°,则 ∠BAD 的度数为（　　） A．20°　B．45°　C．70°　D．90°　 3．在平面直角坐标系中,点 P(−2, 5) 关于原点对称的点的坐标是（　　） A．(2,−5)　B．(−2,−5)　C．(2,5)　D．(5,−2)　 4．钟表的分针匀速旋转,从 12:00 到 12:45,分针转过的角度是（　　） A．45°　B．90°　C．180°　D．270°　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．如图,该图案由 6 个相同的部分组成,绕其中心至少旋转＿＿＿° 后能与自身重合。 6．已知点 M(3a−1, 4) 与点 N(−5, 2b) 关于原点对称,则 ab=＿＿＿。 7．在平面直角坐标系中,将点 P(−3, 2) 先向右平移 5 个单位得到 P₁,则 P₁ 关于原点对称的点 P₂ 的坐标是＿＿＿。 8．如图,在平面直角坐标系中,△ABC 与 △DEF 关于某点成中心对称,则其对称中心的坐标是＿＿＿。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,在网格中,每个小正方形的边长均为 1,△ABC 的顶点均在格点上. (1) 画出 △ABC 关于点 O 成中心对称的 △A'B'C';（6 分） (2) 连接 AA'、BB',判断四边形 ABA'B' 的形状并说明理由.（4 分） 10．如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8.将 △ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°,得到 △DCE（A、B 的对应点分别为 D、E）. (1) 求证:△ACD 是等腰直角三角形;（5 分） (2) 求 AE 的长.（5 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．B　　2．C　　3．A　　4．D 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．60 6．−4（a=2,b=−2） 7．(−2,−2) 8．(3,3) 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】(1) 图略（正确画出 △A'B'C'）；(2) 四边形 ABA'B' 是平行四边形（对角线 AA' 与 BB' 互相平分）. 正确画出 △A'B'C' 6 分； 判断出四边形 ABA'B' 是平行四边形 2 分； 说明理由：对角线 AA' 与 BB' 互相平分 2 分。 10．【标准答案】(1) 由旋转得 CA=CD,∠ACD=90°,故 △ACD 是等腰直角三角形；(2) AE=14. 由旋转性质得出 CA=CD 2 分； 得出旋转角 ∠ACD=90° 2 分； 证得 △ACD 是等腰直角三角形 1 分； 得出 CE=CB=8,且 A、C、E 三点共线 3 分； 求得 AE=AC+CE=14 2 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 28 章 旋转（全章综合）（五点梳理） 知识点：旋转的概念与性质；中心对称的概念（旋转 180°）与性质（对应点的连线经过对称中心且被对称中心平分,对应线段平行且相等）；中心对称图形的定义；关于原点对称的点的坐标特征（横、纵坐标均变为相反数）。 易错点：混淆中心对称与中心对称图形；关于原点对称时只变一个坐标；把中心对称与轴对称混淆；全等图形与中心对称图形混淆。 重点：利用旋转、中心对称的性质求线段与角度；关于原点对称的点的坐标计算；中心对称图形的辨认。 难点：旋转、中心对称与全等结合的证明与计算；坐标系中的对称综合问题。 常考点：中心对称图形的辨认；关于原点对称的坐标求值；网格或坐标系中的对称作图；利用性质求线段长、角度与面积。 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.1.2 过三点的圆（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．经过一个已知点 A 作圆,可以作的圆有（　　） A．1 个　B．2 个　C．3 个　D．无数个　 2．经过两个已知点 A、B 作圆,圆心（　　） A．在线段 AB 上　　B．在线段 AB 的垂直平分线上　　 C．在直线 AB 上　　D．只能在 AB 的中点　　 3．三角形的外心是三角形的（　　） A．三条角平分线的交点　　B．三条中线的交点　　 C．三条高所在直线的交点　　D．三边垂直平分线的交点　　 4．若一个三角形的外心在这个三角形的外部,则这个三角形是（　　） A．锐角三角形　B．直角三角形　C．钝角三角形　D．等腰三角形　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．经过不在同一条直线上的三个点可以确定　　　　　　个圆。 6．直角三角形的两条直角边分别为 6 和 8,则它的外接圆的半径为　　　　　　。 7．等边三角形的边长为 6,则它的外接圆的半径为　　　　　　。 8．经过线段 AB 的两个端点作圆,所有这样的圆的圆心都在　　　　　　上。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,已知 △ABC。 （1）用尺规作 △ABC 的外接圆 ⊙O（保留作图痕迹,标出圆心 O）；（6 分） （2）说明圆心 O 为什么是 AB、BC 的垂直平分线的交点。（4 分） 10．如图是一块破碎的圆形玻璃镜片的一部分,弧上依次有三点 A、B、C。工人师傅要配一块同样大小的圆形镜片, 需要先确定原来圆形镜片的半径。 （1）用尺规作出原镜片所在圆的圆心 O（保留作图痕迹）；（6 分） （2）写出这样作图的依据。（4 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．D　　2．B　　3．D　　4．C 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．1 6．5 7． 8．线段 AB 的垂直平分线 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）图略：作 AB、BC 的垂直平分线，交点为外心 O，以 O 为圆心、OA 为半径作圆；（2）O 在 AB、BC 的垂直平分线上，故 OA=OB=OC （1）正确作出 AB（或 BC）的一条垂直平分线 2 分； 两条垂直平分线相交确定圆心 O 2 分； 以 O 为圆心、OA 为半径正确画出外接圆并标出 O 2 分。 （2）圆心到 A、B 的距离相等，在 AB 的垂直平分线上；到 B、C 的距离相等，在 BC 的垂直平分线上 3 分； 所以 O 是两条垂直平分线的交点，且 OA=OB=OC 1 分。 10．【标准答案】（1）图略：连接 AB、BC，分别作线段 AB、BC 的垂直平分线，交点即圆心 O；（2）依据：不在同一条直线上的三个点确定一个圆 （1）正确连接 AB、BC 2 分； 分别作出 AB、BC 的垂直平分线并交于点 O 3 分； 确定圆心 O 1 分。 （2）不在同一条直线上的三个点确定一个圆（或弦的垂直平分线过圆心，得到 OA=OB=OC） 4 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.2.2 圆心角（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．下列关于圆心角的说法中,正确的是（　　） A．顶点在圆内的角是圆心角　　B．顶点在圆心的角是圆心角　　 C．两边都与圆相交的角是圆心角　　D．顶点在圆上的角是圆心角　　 2．在 ⊙O 中,弦 AB=CD,则下列结论中不一定成立的是（　　） A．AB 所对的弧与 CD 所对的弧相等　　B．∠AOB=∠COD　　 C．AB∥CD　　D．AB 与 CD 的弦心距相等　　 3．圆是中心对称图形,它的对称中心是（　　） A．圆上任意一点　B．圆心　C．任意一条直径的中点以外的点　D．不存在　 4．如图,AB 是 ⊙O 的直径,弧BC=弧CD=弧DE,∠COD=35°,则 ∠AOE 的度数为（　　） A．70°　B．75°　C．105°　D．35°　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．弦 AB 把 ⊙O 分成 1:3 的两条弧,则劣弧所对的圆心角为　　　　　　度。 6．⊙O 的半径为 5,圆心角 ∠AOB=60°,则弦 AB 的长为　　　　　　。 7．⊙O 的半径为 2,弦 AB 所对的圆心角为 120°,则圆心 O 到弦 AB 的距离为　　　　　　。 8．等边三角形 ABC 的三个顶点都在 ⊙O 上,则 ∠AOB 的度数为　　　　　　度。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,在 ⊙O 中,AB=AC,∠ACB=60°。求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC。 （提示：先说明 △ABC 是等边三角形。） 10．如图,OA、OB、OC 是 ⊙O 的三条半径,弧AC=弧BC,M、N 分别是 OA、OB 的中点。求证：MC=NC。 （提示：连接 OC,证明 △MOC≌△NOC。） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．B　　2．C　　3．B　　4．B 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．90 6．5 7．1 8．120 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】证明见评分标准（AB=AC 且 ∠ACB=60° → △ABC 是等边三角形 → 三弦相等 → 三个圆心角相等） 由 AB=AC 得 △ABC 是等腰三角形，又 ∠ACB=60°，所以 △ABC 是等边三角形 4 分； 所以 AB=BC=AC 2 分； 在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等，得 ∠AOB=∠BOC=∠AOC 4 分。 10．【标准答案】证明见评分标准（SAS 全等 △MOC≌△NOC） 由弧AC=弧BC 得它们所对的圆心角 ∠AOC=∠BOC 3 分； 由 OA=OB，M、N 分别是中点，得 OM=ON 3 分； 又 OC=OC，由 SAS 得 △MOC≌△NOC，所以 MC=NC 4 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.2.3 圆周角（五点梳理） 知识点：顶点在圆上、并且两边都与圆相交的角叫圆周角。圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对的弦是直径。常用结论：直径构造直角三角形，用勾股定理求线段。 易错点：① "圆周角等于圆心角的一半"必须指同弧（或等弧），不同弧不成立；② 判断圆周角要同时满足"顶点在圆上"和"两边都与圆相交"；③ 见直径想直角（直径所对圆周角 90°），这是解题第一步。 重点：圆周角定理及推论；直径所对圆周角是直角的应用；圆周角与圆心角的互化。 难点：直径+角平分线+勾股定理的综合计算（求弦长、等腰直角三角形中的 5√2 型线段）；用圆周角定理判断三角形形状。 常考点：同弧圆周角相等；直径对直角；圆周角与圆心角互算；多组圆周角推出等边三角形。 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆的内接四边形（五点梳理） 知识点：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫圆的内接多边形，这个圆叫这个多边形的外接圆。圆内接四边形的性质：对角互补；圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角。等弦对等弧、等弧对等角可与内接四边形结合求角。 易错点：① 对角互补指"相对的两个角"，∠A 与 ∠C、∠B 与 ∠D，不要与相邻角混淆；② 外角等于"内对角"（与外角不相邻的那个内角），不要写成相邻内角；③ 由 ∠B:∠D 求角时先写 ∠B+∠D=180° 再按比例分配。 重点：圆内接四边形对角互补及其应用；外角等于内对角的运用。 难点：与圆周角定理、等腰三角形结合的综合求角（如 AB=AD、∠C=78° 型）。 常考点：由一角求对角；由外角求内对角；比例式求四角；对角互补+圆周角定理的证明题。 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.2 圆的有关性质（五点梳理） 知识点：垂径定理（垂直于弦的直径平分弦并平分所对两弧）与勾股模型 r²=d²+a²；圆心角定理（同圆等圆中圆心角、弧、弦"知一得三"）；圆周角定理（圆周角等于同弧圆心角的一半，同弧等弧圆周角相等，直径所对圆周角是直角）；圆内接四边形对角互补、外角等于内对角。 易错点：① 拱桥问题列式时用半弦长；② "平分弦的直径垂直于弦"中被平分的弦不能是直径；③ ∠A 与 ∠BOD 是对同弧的圆周角与圆心角时才能用"一半"关系；④ 内接四边形中看准哪两个角是对角。 重点：垂径定理计算；圆周角定理与推论；内接四边形对角互补。 难点：设半径、用 AE（或 BE）表示 OE 列方程求半径；圆周角与内接四边形结合求角。 常考点：垂径定理知三求一；拱桥半径；圆周角与圆心角互算；内接四边形求角；综合证明。 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.3 弧长和扇形面积（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．半径为 6、圆心角为 60° 的弧长为（　　） A．π　B．　C．　D．　 2．半径为 3、圆心角为 120° 的扇形面积为（　　） A．　B．　C．　D．　 3．圆锥的底面半径为 3,母线长为 5,则它的侧面积为（　　） A．　B．　C．　D．　 4．圆锥的底面半径为 6,母线长为 18,则它的侧面展开图（扇形）的圆心角为（　　） A．60°　B．90°　C．120°　D．150°　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．一个圆心角为 75° 的弧长为 2.5π,则这段弧所在圆的半径为　　　　　　。 6．一个扇形的弧长为 20π,面积为 240π,则这个扇形的圆心角为　　　　　　度。 7．用圆心角为 120°、半径为 4 的扇形纸片卷成一个圆锥（无重叠）,则这个圆锥底面圆的半径为　　　　　　。 8．圆锥的母线长为 10,底面圆的半径为 6,则它的侧面展开图的圆心角为　　　　　　度。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,两个大小相等的皮带轮（圆形）用一条传送带（与两轮都相切）连接,两轮的直径均为 2 m, 两个轮心的距离为 10 m（传送带紧套在两轮上）。 （1）求传送带直线部分的长度；（4 分） （2）求这条传送带的总长度（结果保留小数点后一位,π 取 3.14）。（6 分） 10．如图是一个圆锥形烟囱帽,它的底面圆的直径为 80 cm,母线长为 50 cm。 （1）求制作一个这样的烟囱帽所需铁皮的面积（即圆锥的侧面积,用 π 表示）；（5 分） （2）制作 100 个这样的烟囱帽至少需要多少平方米铁皮（π 取 3.14）?（5 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．B　　2．A　　3．B　　4．C 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．6 6．150 7． 8．216 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）10 m；（2）总长 (20+2π) m≈26.3 m（过程见评分标准） （1）传送带与两轮都相切，直线部分长等于两轮心距离，为 10 m 4 分； （2）上下两段直线部分共 2×10=20 m 2 分； 弯曲部分为两个半圆周，2πr=2π×1=2π m 2 分； 总长 20+2π≈26.3 m 2 分。 10．【标准答案】（1）20π cm²（约 0.2π m²）；（2）约 62.8 m²（过程见评分标准） （1）底面直径 80 cm，得半径 r=40 cm，母线 l=50 cm 2 分； 侧面积=πrl=2000π cm²，即 0.2π m² 3 分。 （2）100 个需 100×0.2π=20π m² 2 分； 取 π=3.14，得约 62.8 m² 3 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.3 弧长和扇形面积（五点梳理） 知识点：弧长公式 l=nπR/180；扇形面积公式 S=nπR²/360，且 S=½lR。圆锥：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫母线；侧面展开图是扇形，扇形半径=母线 l，弧长=底面圆周长 2πr；侧面积 S侧=πrl，全面积 S=πrl+πr²；底面半径 r、高 h、母线 l 满足 l²=r²+h²。 易错点：① 弧长公式中 n 是角度数值（不带单位），分子是 nπR 不是 2πR；② 圆锥侧面积用 πrl（l 是母线），展开扇形的半径是母线而不是底面半径；③ 侧面积展开图弧长=底面周长，求展开角用 n=360°×r/l；④ 单位换算（cm²→m²）要除以 10000。 重点：弧长与扇形面积公式及运用；圆锥侧面积、全面积的计算；侧面展开图圆心角。 难点：传送带、组合图形等实际问题中曲直转化（直段+圆弧）；扇形卷成圆锥后底面半径的对应关系。 常考点：知二求一（l、n、R、S）；圆锥侧面展开图；烟囱帽、传送带类应用题。 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.3 弧长和扇形面积（五点梳理） 知识点：弧长 l=nπR/180；扇形面积 S=nπR²/360=½lR；圆锥母线、侧面展开图（扇形，半径=母线 l，弧长=底面周长 2πr）、侧面积 πrl、全面积 πrl+πr²；底面半径、高、母线满足勾股定理。 易错点：① 扇形面积与弧长公式中 n 是度数；② 圆锥侧面积用母线不用高；③ 组合图形面积常用"整体减部分"或"重合分析"；④ 面积单位换算 cm²→m² 除以 10000。 重点：弧长、扇形面积计算；圆锥侧面积与侧面展开图圆心角。 难点：叶形等组合图形面积（四分之一圆与正方形的分割组合）；圆锥中母线、高、半径的互求。 常考点：知二求一；圆锥侧面积与展开角；组合图形阴影面积；勾股定理验证圆锥中的直角关系。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 29 章 圆（全章综合一）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．⊙O 的半径为 5,点 P 到圆心 O 的距离为 3,则点 P 与 ⊙O 的位置关系是（　　） A．点 P 在 ⊙O 内　B．点 P 在 ⊙O 上　C．点 P 在 ⊙O 外　D．无法确定　 2．⊙O 的半径为 5,弦 AB=8,则圆心 O 到弦 AB 的距离为（　　） A．2　B．3　C．4　D．5　 3．在 ⊙O 中,圆心角 ∠AOB=110°,则它所对的弧所对的圆周角为（　　） A．55°　B．110°　C．220°　D．70°　 4．圆锥的母线长为 10,它的侧面展开图（扇形）的圆心角为 216°,则这个圆锥底面圆的半径为（　　） A．4　B．6　C．8　D．10　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．直角三角形的斜边长为 26,则它的外接圆的半径为　　　　　　。 6．四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形,若 ∠A=75°,则 ∠C 的度数为　　　　　　度。 7．半径为 6、圆心角为 150° 的弧长为　　　　　　。 8．⊙O 的半径为 4,弦 AB 所对的圆心角为 90°,则 AB 的长为　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,AB 是 ⊙O 的直径,弦 CD⊥AB,垂足为 E,且 CD=12,BE=2。求 ⊙O 的半径。 （提示：设半径为 r,则 OE=OB−BE=r−2。） 10．如图,A、B 是 ⊙O 上的两点,∠AOB=120°,C 是弧 AB 的中点,连接 OA、OC、OB、AC、BC。 求证：四边形 OACB 是菱形。 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．A　　2．B　　3．A　　4．B 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．13 6．105 7． 8． 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】半径为 10（CE=6，设 r，OE=r−2，r²=6²+(r−2)²，解得 r=10） 由垂径定理得 CE=½CD=6 3 分； 设半径为 r，则 OE=OB−BE=r−2 2 分； 在 Rt△OEC 中，r²=6²+(r−2)²，解得 r=10 5 分。 10．【标准答案】证明见评分标准（三个等边三角形 → 四边相等 → 菱形） C 是弧 AB 的中点，所以 弧AC=弧CB，∠AOC=∠COB=60° 3 分； 由 OA=OC，∠AOC=60°，得 △OAC 是等边三角形，AC=OA 3 分； 同理 CB=OB 2 分； 所以 OA=AC=CB=BO，四边形 OACB 是菱形 2 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 29 章 圆（全章综合二）（五点梳理） 知识点：圆的概念辨析（弦、直径、弧、等弧）；外心到三个顶点距离相等；垂径定理与勾股计算；圆周角定理（同弧圆周角相等、直径对直角）；扇形面积与圆心角互求；圆锥侧面展开（弧长=底面周长）求底面半径。 易错点：① "至少两个锐角"的反面是"至多一个锐角"；② 直径所对圆周角是直角，反过来 90° 圆周角所对弦是直径；③ 扇形卷成圆锥时，扇形弧长等于底面周长，不要用半径直接当母线以外的量。 重点：同弧圆周角相等与直径对直角的配合使用；扇形面积、圆心角、圆锥底面半径的互化。 难点：圆内接扇形（剪铁皮）问题中识别 BC 为直径、用勾股求母线，再由弧长求底面半径。 常考点：概念正误判断；反证法假设；垂径计算；圆周角求角；圆锥展开的综合计算。 学科网（北京）股份有限公司 $ 30.1.1 直线与圆的位置关系（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．已知 ⊙O 的半径为 5,圆心 O 到直线 l 的距离为 3,则直线 l 与 ⊙O 的位置关系是（　　） A．相离　B．相切　C．相交　D．无法确定　 2．直线 l 与 ⊙O 没有公共点,圆心 O 到直线 l 的距离为 6,则 ⊙O 的半径 r 的取值范围是（　　） A．r<6　B．r≤6　C．r>6　D．r≥6　 3．在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,以点 C 为圆心、2.4 为半径作 ⊙C,则 ⊙C 与 AB 的位置关系是（　　） A．相离　B．相切　C．相交　D．无法确定　 4．⊙O 的半径为 R,点 P 在直线 l 上,且 OP=R,则直线 l 与 ⊙O 的位置关系是（　　） A．相切　B．相交　C．相离　D．相切或相交　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．⊙O 的直径为 10,圆心 O 到直线 l 的距离为 8,则直线 l 与 ⊙O 的位置关系是　　　　　　。 6．⊙O 的半径为 4,直线 l 与 ⊙O 相切,则圆心 O 到直线 l 的距离为　　　　　　。 7．⊙O 的半径为 5,直线 l 与 ⊙O 相交于 A、B 两点,圆心 O 到直线 l 的距离为 3,则 AB=　　　　　　。 8．在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,以点 C 为圆心、r 为半径作 ⊙C,若 ⊙C 与 AB 相切,则 r=　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,以点 C 为圆心、r 为半径作 ⊙C。 （1）当 r=2 时,判断 ⊙C 与斜边 AB 所在直线的位置关系；（6 分） （2）当 ⊙C 与 AB 相切时,求半径 r 的长。（4 分） 10．如图,直线 a∥b,圆心 O 在直线 a、b 之间,O 到直线 a 的距离为 2,到直线 b 的距离为 6, ⊙O 的半径为 4。 （1）判断直线 a、b 与 ⊙O 的位置关系；（6 分） （2）将直线 b 沿与它垂直的方向平移,使直线 b 与 ⊙O 相切,则至少要平移多少距离?（4 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．C　　2．A　　3．B　　4．D 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．相离 6．4 7．8 8．2.4 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）相离（作 CD⊥AB 于 D，由面积法 CD=AC×BC/AB=12/5=2.4，r=2<2.4）；（2）r=CD=2.4 作 CD⊥AB，垂足为 D，则 CD 的长即 C 到 AB 的距离 3 分； 由面积法，CD=AC×BC/AB=3×4/5=2.4 3 分； （1）r=2<2.4，所以 ⊙C 与 AB 相离 2 分； （2）相切时 r=CD=2.4 2 分。 10．【标准答案】（1）a 与 ⊙O 相交，b 与 ⊙O 相离；（2）至少平移 2 个单位长度（6−4=2） （1）O 到 a 的距离 2<半径 4，所以 a 与 ⊙O 相交 3 分； O 到 b 的距离 6>半径 4，所以 b 与 ⊙O 相离 3 分； （2）b 与 ⊙O 相切时，圆心到 b 的距离应等于 4 2 分； 所以至少平移 6−4=2 个单位长度 2 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 30.1.2 切线的性质（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．下列说法中,正确的是（　　） A．圆的切线垂直于任意半径　　B．圆的切线垂直于过切点的半径　　 C．垂直于半径的直线是圆的切线　　D．圆的切线与圆有两个公共点　　 2．如图,PA 切 ⊙O 于点 A,若 OA=3,OP=5,则 PA 的长为（　　） A．2　B．4　C．6　D．8　 3．直线 AB 切 ⊙O 于点 B,连接 OA,若 ∠OAB=40°,则 ∠AOB 的度数为（　　） A．40°　B．50°　C．60°　D．90°　 4．AB 是 ⊙O 的直径,AC 与 ⊙O 相切于点 A,若 ∠B=25°,则 ∠C 的度数为（　　） A．25°　B．55°　C．65°　D．75°　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．PA 切 ⊙O 于点 A,若 ∠P=30°,则 ∠AOP 的度数为　　　　　　。 6．直线 AB 切 ⊙O 于点 B,若 OA=5,AB=4,则 ⊙O 的半径为　　　　　　。 7．PA 切 ⊙O 于点 A,若 ⊙O 的半径为 5,OP=13,则切线 PA 的长为　　　　　　。 8．直线 l 切 ⊙O 于点 A,点 P 在直线 l 上,若 PA=4,⊙O 的半径为 3,则 OP=　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,AB 是 ⊙O 的直径,点 D 在 AB 的延长线上,且 BD=OB,DC 与 ⊙O 相切于点 C。 若 ∠D=25°,求 ∠AOC 的度数。 10．如图,直线 l 表示水平地面,⊙O 表示一个半径为 0.3 m 的车轮,车轮与地面相切于点 A, 与竖直墙面相切于点 B,地面与墙面的交点为 P。 （1）求证：四边形 OAPB 是正方形；（5 分） （2）求点 O 与点 P 之间的距离。（5 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．B　　2．B　　3．B　　4．C 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．60° 6．3 7．12 8．5 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】∠AOC=115°（连 OC，切线性质 OC⊥DC，∠COD=90°−25°=65°，∠AOC=180°−65°=115°） 连接 OC 3 分； DC 与 ⊙O 相切于 C，由切线性质得 OC⊥DC，即 ∠OCD=90° 3 分； 在 Rt△OCD 中，∠COD=90°−∠D=90°−25°=65° 2 分； 所以 ∠AOC=180°−65°=115° 2 分。 10．【标准答案】（1）先证三个角是直角、再证邻边相等得正方形；（2）OP=0.3×√2 m（即正方形对角线） （1）由切线性质得 OA⊥PA、OB⊥PB，即 ∠OAP=∠OBP=90° 3 分； 又 ∠P=90°，所以四边形 OAPB 是矩形 1 分； OA=OB，所以矩形 OAPB 是正方形 1 分； （2）OP 为正方形的对角线，OP=√2×OA=0.3√2 m 5 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 30.1.2 切线的判定（五点梳理） 知识点：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。两个条件缺一不可：① 经过半径外端（直线与圆有公共点）；② 垂直于这条半径。判定切线的两种常用方法：① 数量法——圆心到直线的距离等于半径；② 定理法——证直线过半径外端且垂直于该半径。 易错点：① 误认为"经过半径一端"即可，必须强调"外端"（半径与圆的交点）；② 误认为"垂直于半径的直线"就是切线，可能没有公共点或与圆相交；③ 证切线时辅助线有两种：有交点连半径证垂直，无交点作垂直证等于半径。 重点：切线判定定理及两种判定方法的选择；等腰三角形中证切线（作垂线、证全等或等距）。 难点：证明某条直线是圆的切线：连半径证垂直，或作垂直证距离等于半径（角平分线模型）。 常考点：切线判定定理的直接运用；等腰三角形与中点结合证切线；角平分线上一点到角两边距离相等的切线证明。 学科网（北京）股份有限公司 $ 30.1 直线与圆的位置关系（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．⊙O 的半径为 7,圆心 O 到直线 l 的距离为 5,则直线 l 与 ⊙O 的公共点个数为（　　） A．0 个　B．1 个　C．2 个　D．3 个　 2．PA 与 ⊙O 相切于点 A,若 OA=6,OP=10,则 PA 的长为（　　） A．4　B．6　C．8　D．16　 3．下列说法中,正确的是（　　） A．经过圆上一点的直线是圆的切线　　B．到圆心距离等于半径的直线是圆的切线　　 C．圆的切线与圆的公共点有两个　　D．切线长是切线的长度　　 4．PA、PB 与 ⊙O 分别相切于点 A、B,若 ∠P=70°,则 ∠AOB 的度数为（　　） A．70°　B．90°　C．110°　D．125°　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．⊙O 的直径为 12,圆心 O 到直线 l 的距离为 5,则直线 l 与 ⊙O 的公共点个数为　　　　　　。 6．在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=6,BC=8,以 C 为圆心、r 为半径作 ⊙C,若 ⊙C 与 AB 相切,则 r=　　　　　　。 7．PA 与 ⊙O 相切于点 A,若 ∠P=35°,则 ∠AOP 的度数为　　　　　　。 8．四边形 ABCD 的各边与 ⊙O 相切,若 AB=6,BC=7,CD=8,则 DA=　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,PA、PB 与 ⊙O 分别相切于点 A、B,∠P=60°,⊙O 的半径为 3。 （1）求 OP 的长；（5 分） （2）求切点弦 AB 的长。（5 分） 10．如图,一根圆柱形钢管放在 V 形架内,其横截面（⊙O）与架子的两边分别相切于点 U、W, ∠UVW=60°,钢管横截面的半径为 25 cm。 （1）求圆心 O 到顶点 V 的距离；（5 分） （2）求切点 U 到顶点 V 的距离。（5 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．C　　2．C　　3．B　　4．C 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．2 6．4.8 7．55° 8．7 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）OP=6（∠APO=30°，sin30°=OA/OP）；（2）AB=3√3（OP⊥AB，AE=OA×sin60°，AB=2AE） （1）连接 OA，由切线性质得 OA⊥PA 2 分； OP 平分 ∠APB，得 ∠APO=½×60°=30° 2 分； 在 Rt△OAP 中，sin30°=OA/OP，所以 OP=3/sin30°=6 1 分； （2）OP 垂直平分 AB，垂足为 E，∠AOE=∠AOB/2=60° 3 分； AB=2AE=2×OA×sin60°=2×3×(√3/2)=3√3 2 分。 10．【标准答案】（1）OV=50 cm（∠OVU=30°，sin30°=r/OV）；（2）VU=25√3≈43.3 cm（tan30°=r/VU） （1）连接 OV，由切线长定理得 OV 平分 ∠UVW，∠OVU=30° 2 分； OV 与 OU 垂直（切线性质），在 Rt△OVU 中 sin30°=OU/OV 2 分； 所以 OV=25/sin30°=50 cm 1 分； （2）在 Rt△OVU 中，tan30°=OU/VU 2 分； 所以 VU=25/tan30°=25√3≈43.3 cm 3 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 30.1 直线与圆的位置关系（五点梳理） 知识点：直线与圆的位置关系（d 与 r 比大小）；切线的性质定理（切线垂直于过切点的半径）；切线的判定（经过半径外端且垂直于这条半径，或圆心距等于半径）；切线长定理（切线长相等，圆心与该点的连线平分夹角、垂直平分切点弦）；圆外切四边形对边之和相等。 易错点：① 半径与直径混用；② 证切线时忘记"外端"或漏证垂直；③ ∠AOB=180°−∠P 用错为 360°−2∠P；④ V 形架问题中忘记圆心在角平分线上。 重点：切线性质与判定的综合运用；切线长定理的计算（OP、切线长、切点弦长）。 难点：切线与直角三角形、角平分线的综合（连半径得垂直，构造直角三角形解应用题）。 常考点：位置关系判断；切线的判定与性质证明；切线长定理求线段与角度；V 形架类实际应用。 学科网（北京）股份有限公司 $ 30.3 正多边形与圆（五点梳理） 知识点：正多边形的中心、半径、边心距、中心角（360°/n）；内角=(n−2)×180°/n。计算模型：半径、半边长、边心距构成直角三角形（半中心角 180°/n）。正六边形：边长=半径，边心距=(√3/2)R；正方形：边长=√2×边心距，外接圆半径=(√2/2)×边长；正三角形：边长=√3R，边心距=R/2，内切圆半径=R/2。 易错点：① 中心角与内角混淆；② 正六边形边长=半径，不是半径的一半；③ 正方形外接圆半径是对角线的一半，不是边长的一半；④ 面积计算漏乘三角形个数或用错底与高。 重点：半径、半边长、边心距直角三角形的计算；正多边形面积（分割法）。 难点：正多边形与圆的复合图形（内切圆、外接圆、圆环）的面积计算。 常考点：中心角与边数互求；正六边形、正方形、正三角形的相关计算；圆环面积。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 30 章 直线与圆的位置关系（全章综合二）（五点梳理） 知识点：本章全部知识点：直线与圆的位置关系；切线的性质与判定；切线长定理；三角形的内切圆（内心）；正多边形与圆（中心角、半径、边心距、面积）。跨章联系：垂径定理、圆周角定理、直径所对的圆周角是直角、勾股定理、解直角三角形、相似三角形。 易错点：① 切线证明漏"垂直于过切点的半径"中的"过切点"；② 平行线的依据写错（垂直于同一条直线）；③ 30° 直角三角形三边关系用错；④ 等边三角形内切圆半径:高=1:3 记错为 1:2。 重点：切线判定与性质的综合证明；切线长定理与三角函数结合的计算。 难点：直径＋切线＋垂直的复合证明（多角度转化：圆心角→圆周角→直角三角形）；四边形 OAPB 的面积分割。 常考点：综合解答题（证平行/切线+求线段）；切线长定理综合；特殊正多边形（等边、正六边形）的比值与计算。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 28 章 旋转（全章综合）（五点梳理） 知识点：旋转的概念与性质；中心对称的概念（旋转 180°）与性质（对应点的连线经过对称中心且被对称中心平分,对应线段平行且相等）；中心对称图形的定义；关于原点对称的点的坐标特征（横、纵坐标均变为相反数）。 易错点：混淆中心对称与中心对称图形；关于原点对称时只变一个坐标；把中心对称与轴对称混淆；全等图形与中心对称图形混淆。 重点：利用旋转、中心对称的性质求线段与角度；关于原点对称的点的坐标计算；中心对称图形的辨认。 难点：旋转、中心对称与全等结合的证明与计算；坐标系中的对称综合问题。 常考点：中心对称图形的辨认；关于原点对称的坐标求值；网格或坐标系中的对称作图；利用性质求线段长、角度与面积。 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.1 图形的旋转（两课时综合）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．下列现象中,属于旋转的是（　　） A．电梯的升降运动　　B．汽车方向盘的转动　　 C．传送带上货物的移动　　D．直升机沿直线上升　　 2．下列关于旋转的说法错误的是（　　） A．旋转不改变图形的形状和大小 B．对应点到旋转中心的距离相等 C．图形上每一点都绕旋转中心沿相同方向旋转了相同的角度 D．旋转中心一定在原图形的内部 3．如图,将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转 60° 得到 △ADE,若 ∠BAC=80°,则 ∠DAC 的度数为（　　） A．20°　B．40°　C．60°　D．80°　 4．如图,在 4×4 的正方形网格中,每个小正方形的边长均为 1,△ABC 绕某点旋转 90° 后得到 △DEF,则旋转中心是（　　） A．点P　B．点Q　C．点R　D．点S　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．钟表上 4:30 时,时针与分针的夹角是＿＿＿°。 6．△ABC 绕点 O 旋转 180° 后与 △DEF 重合,若 A 与 D 是对应点,且 AD=8,则 OA=＿＿。 7．如图,该图案由 8 个相同的叶片组成,绕其中心至少旋转＿＿＿° 后能与自身重合。 8．将 △ABC 绕点 A 旋转得到 △ADE（B、C 的对应点分别为 D、E）,若 AB=5,则 DE=＿＿＿。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,在网格中,每个小正方形的边长均为 1,△ABC 的顶点均在格点上. (1) 画出 △ABC 绕点 O 逆时针旋转 90° 得到的 △A'B'C';（6 分） (2) 求 △ABC 的面积.（4 分） 10．如图,在 △ABC 中,∠BAC=100°.将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转 60°,得到 △ADE. (1) 试判断 △ABD 的形状并说明理由;（5 分） (2) 求 ∠BAE 的度数.（5 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．B　　2．D　　3．A　　4．A 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．45 6．4 7．45 8．5 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】(1) 正确画出 △A'B'C'（图略）；(2) △ABC 的面积为 3. 正确画出旋转后的 △A′B′C′ 4 分； 正确标出对应点 A′、B′、C′ 2 分； 正确求出 △ABC 的面积为 3 4 分。 10．【标准答案】(1) △ABD 是等边三角形；(2) ∠BAE=160°. 由旋转性质得出 AB=AD 2 分； 得出旋转角 ∠BAD=60° 2 分； 判断出 △ABD 是等边三角形 1 分； 得出 ∠DAE=∠BAC=100° 3 分； 求得 ∠BAE=∠BAD+∠DAE=160° 2 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.1 图形的旋转（第 2 课时）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．画一个图形绕某点旋转后的图形,正确的做法是先画出（　　） A．图形的周长　B．一些关键点的对应点　C．图形的面积　D．图形的对称轴　 2．如图,由 6 个相同的“叶片”组成的图案,绕其中心至少旋转（　　）后能与自身重合。 A．30°　B．45°　C．60°　D．90°　 3．正方形绕其中心至少旋转（　　）后能与自身重合。 A．45°　B．60°　C．90°　D．180°　 4．下列说法正确的是（　　） A．旋转作图时只需画出一个点的对应点 B．网格中图形绕格点旋转 90° 后,对应线段一定互相垂直 C．图形旋转后大小会发生改变 D．利用旋转设计图案时,旋转中心必须选在图形内部 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．如图,该图案由一个“花瓣”绕中心旋转得到,每次旋转的最小角度是　　　　　　°。 6．正六边形绕其中心至少旋转　　　　　　°后能与自身重合。 7．如图,△ABC 绕点　　　　　　（填图中字母）旋转 180° 后与 △DEF 重合。 8．如图,△A′B′C′ 由 △ABC 绕点 P 旋转得到,则旋转角 ∠APA′=　　　　　　°。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,在网格中画出 △ABC 绕点 O 逆时针旋转 90° 后的 △A′B′C′。 （1）画出点 A、B、C 的对应点 A′、B′、C′；（6 分） （2）连接 A′B′、B′C′、C′A′,得到 △A′B′C′。（4 分） 10．如图,△ABD 与 △ACE 都是等边三角形,△ADC 绕点 A 旋转后能与 △ABE 重合。 （1）指出旋转方向与旋转角度；（4 分） （2）试说明 BE=DC。（6 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．B　　2．C　　3．C　　4．B 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．72 6．60 7．R 8．90 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】A′、B′、C′ 的位置如图所示（A′ 在点 O 右方 3 格、下方 1 格处，B′ 在点 O 上方 2 格、右方 3 格处，C′ 在点 O 上方 2 格、右方 1 格处），图略 （1）正确画出点 A′、B′、C′（每个 2 分，共 6 分） 6 分。 （2）正确连线成 △A′B′C′ 并标注顶点 4 分。 10．【标准答案】（1）绕点 A 逆时针旋转 60°；（2）BE=DC（理由见评分标准） （1）指出旋转方向为逆时针 2 分； 写出旋转角为 60° 2 分。 （2）得 AB=AD、AC=AE 2 分； 说明 ∠BAE=∠DAC（均为 60° 加 ∠DAE） 2 分； 得 △ABE≌△ADC，故 BE=DC 2 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.1 图形的旋转（第 2 课时）（五点梳理） 知识点：画旋转后图形的方法：只要画出图形中一些关键点（如多边形的顶点）的对应点，连接这些对应点即可；利用旋转可以设计美丽的图案；一个图形绕某点旋转一定角度后能与自身重合（旋转对称思想）。 易错点：① 旋转方向弄反（顺时针/逆时针）；② 网格中旋转 90° 时对应点的横向、纵向格数位置互换，容易数错；③ 多次旋转时每次的旋转角不统一。 重点：网格中画简单图形旋转 90°、180° 后的图形；求图案的最小旋转角。 难点：由旋转前后的图形反求旋转中心与旋转角（对应点连线段的交点/垂直平分线法）。 常考点：网格作图题；判断图案绕中心旋转多少度能与自身重合。 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.2 中心对称（第 1 课时）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．下列说法正确的是（　　） A．成中心对称的两个图形一定全等 B．全等的两个图形一定成中心对称 C．旋转角不是 180° 的两个旋转图形不可能全等 D．成中心对称的两个图形的对称点连线不一定经过对称中心 2．如图,△ABC 与 △A′B′C′ 关于点 O 成中心对称,则下列结论错误的是（　　） A．AO=A′O　B．BO=B′O　C．AB=A′B′　D．BO=CO　 3．成中心对称的两个图形中,对应点连线（　　） A．互相平行　B．互相垂直　C．相等　D．经过对称中心且被对称中心平分　 4．如图,网格中 △ABC 与 △DEF 成中心对称,则对称中心是（　　） A．点 P　B．点 Q　C．点 R　D．点 S　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．点 A 与点 A′ 关于点 O 对称,且 AA′=8 cm,则 OA=　　　　　　cm。 6．△ABC 与 △DEF 关于点 O 成中心对称,若 AB=5,则 DE=　　　　　　。 7．△ABC 与 △A′B′C′ 关于点 O 成中心对称,且 A、O、A′ 在同一直线上,若 AA′=6,BO=4,则 BB′=　　　　　　。 8．△ABC 与 △DEF 关于点 O 成中心对称,△ABC 的面积为 8,AB 边上的高为 4,则 DE 边上的高为　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,在网格中画出 △ABC 关于点 O 对称的 △A′B′C′。 （1）画出点 A、B、C 关于点 O 的对称点 A′、B′、C′；（6 分） （2）连接 A′B′、B′C′、C′A′,得到 △A′B′C′。（4 分） 10．如图,线段 AC、BD 相交于点 O,且 OA=OC,OB=OD。 （1）说明 △AOB 与 △COD 全等的理由；（5 分） （2）△AOB 与 △COD 关于点 O 成中心对称吗?请说明理由。（5 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．A　　2．D　　3．D　　4．C 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．4 6．5 7．8 8．4 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）（2）图略：A′、B′、C′ 分别在点 O 与 A、B、C 相对的方向上，且到点 O 的距离分别等于 OA、OB、OC（A′ 在 O 右 4 格上 1 格，B′ 在 O 右 4 格下 2 格，C′ 在 O 右 2 格下 2 格） （1）正确画出点 A′、B′、C′（每个 2 分，共 6 分） 6 分。 （2）正确连线成 △A′B′C′ 并标注顶点 4 分。 10．【标准答案】（1）△AOB≌△COD（SAS）；（2）成中心对称（理由见评分标准） （1）写出对顶角 ∠AOB=∠COD 2 分； 由 OA=OC、OB=OD，用 SAS 得全等 3 分。 （2）由 OA=OC 且 A、O、C 共线，得 A 与 C 关于点 O 对称 2 分； 同理 B 与 D 关于点 O 对称 2 分； 旋转 180° 后两三角形重合，故成中心对称 1 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.2 中心对称（第 2 课时）（五点梳理） 知识点：中心对称图形：一个图形绕某一点旋转 180° 后能与原来的图形重合，这个图形叫作中心对称图形，该点是对称中心；线段（中点）、平行四边形（对角线交点）、矩形、菱形、正方形、圆（圆心）都是中心对称图形；矩形、菱形、正方形既是轴对称图形又是中心对称图形。 易错点：① 等边三角形、等腰梯形、五角星、角只是轴对称图形，不是中心对称图形；② 平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；③ 两个全等三角形不一定成中心对称。 重点：识别常见的中心对称图形；判断哪些图形既是轴对称又是中心对称图形。 难点：确定中心对称图形的对称中心；利用中心对称性质判断图形重合关系。 常考点：中心对称图形的识别（选择高频）；字母、交通标志等生活图案的判断；对称轴条数与对称中心位置。 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.1 图形的旋转（第 1 课时）（五点梳理） 知识点：旋转的定义：把一个平面图形绕着平面内某一点 O 转动一个角度，叫作图形的旋转，点 O 叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角；旋转前后的图形全等；旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 易错点：① 旋转角是对应点与旋转中心连线所成的角（如 ∠AOA′），不是任意两条边的夹角；② 描述旋转必须说清旋转中心、旋转方向、旋转角三要素；③ 旋转只改变位置，不改变图形的形状和大小。 重点：识别旋转三要素；利用旋转性质求对应线段的长与角的度数。 难点：旋转性质的综合运用：判断三角形的形状、在网格中确定旋转中心与旋转角。 常考点：旋转现象的辨认；钟表指针转过的角度；利用性质求角度与线段长。 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.1 图形的旋转（第 2 课时）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．画一个图形绕某点旋转后的图形,正确的做法是先画出（　　） A．图形的周长　B．一些关键点的对应点　C．图形的面积　D．图形的对称轴　 2．如图,由 6 个相同的“叶片”组成的图案,绕其中心至少旋转（　　）后能与自身重合。 A．30°　B．45°　C．60°　D．90°　 3．正方形绕其中心至少旋转（　　）后能与自身重合。 A．45°　B．60°　C．90°　D．180°　 4．下列说法正确的是（　　） A．旋转作图时只需画出一个点的对应点 B．网格中图形绕格点旋转 90° 后,对应线段一定互相垂直 C．图形旋转后大小会发生改变 D．利用旋转设计图案时,旋转中心必须选在图形内部 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．如图,该图案由一个“花瓣”绕中心旋转得到,每次旋转的最小角度是　　　　　　°。 6．正六边形绕其中心至少旋转　　　　　　°后能与自身重合。 7．如图,△ABC 绕点　　　　　　（填图中字母）旋转 180° 后与 △DEF 重合。 8．如图,△A′B′C′ 由 △ABC 绕点 P 旋转得到,则旋转角 ∠APA′=　　　　　　°。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,在网格中画出 △ABC 绕点 O 逆时针旋转 90° 后的 △A′B′C′。 （1）画出点 A、B、C 的对应点 A′、B′、C′；（6 分） （2）连接 A′B′、B′C′、C′A′,得到 △A′B′C′。（4 分） 10．如图,△ABD 与 △ACE 都是等边三角形,△ADC 绕点 A 旋转后能与 △ABE 重合。 （1）指出旋转方向与旋转角度；（4 分） （2）试说明 BE=DC。（6 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．B　　2．C　　3．C　　4．B 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．72 6．60 7．R 8．90 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】A′、B′、C′ 的位置如图所示（A′ 在点 O 右方 3 格、下方 1 格处，B′ 在点 O 上方 2 格、右方 3 格处，C′ 在点 O 上方 2 格、右方 1 格处），图略 （1）正确画出点 A′、B′、C′（每个 2 分，共 6 分） 6 分。 （2）正确连线成 △A′B′C′ 并标注顶点 4 分。 10．【标准答案】（1）绕点 A 逆时针旋转 60°；（2）BE=DC（理由见评分标准） （1）指出旋转方向为逆时针 2 分； 写出旋转角为 60° 2 分。 （2）得 AB=AD、AC=AE 2 分； 说明 ∠BAE=∠DAC（均为 60° 加 ∠DAE） 2 分； 得 △ABE≌△ADC，故 BE=DC 2 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.2 中心对称（第 1 课时）（五点梳理） 知识点：中心对称：一个图形绕某一点旋转 180°，如果旋转后的图形能与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点对称（中心对称），该点叫对称中心，重合的点叫对称点；性质：对称点所连线段经过对称中心且被对称中心平分，成中心对称的两个图形全等；作中心对称图形：画关键点的对称点，再连线。 易错点：① 中心对称（两图形的关系）与中心对称图形（一个图形的性质）混淆；② 中心对称与轴对称混淆：轴对称是沿直线翻折，中心对称是绕点旋转 180°；③ 找对称中心时误取对应边中点。 重点：中心对称的性质及其应用；画与已知图形关于某点对称的图形。 难点：网格中确定对称中心；用中心对称的性质进行说理。 常考点：中心对称性质的正误判断；作中心对称图形；全等与中心对称的综合说理。 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.2 中心对称（第 2 课时）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．下列图形中,是中心对称图形的是（　　） A．等边三角形　B．五角星　C．平行四边形　D．等腰梯形　 2．下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．角　B．矩形　C．等腰三角形　D．平行四边形　 3．平行四边形的对称中心是（　　） A．对角线的交点　B．对角线　C．边的中点　D．任意一个顶点　 4．下列说法：① 线段是中心对称图形；② 两个全等三角形一定成中心对称；③ 圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心；④ 正方形既是轴对称图形又是中心对称图形。其中正确的是（　　） A．①②③　B．①③④　C．②③④　D．①②④　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．线段的对称中心是　　　　　　,圆的对称中心是　　　　　　。 6．在字母 H、N、S、W、Z 中,是中心对称图形的有___（填字母）。 7．平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O,△AOB 绕点 O 旋转 180° 后与 △___ 重合。 8．正方形既是轴对称图形又是中心对称图形,它共有___条对称轴。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,在 7×7 的网格中,以格点为顶点画一个四边形,使它既是轴对称图形又是中心对称图形（画出一种即可）,并指出它的对称中心与对称轴。 （1）画出满足条件的四边形；（6 分） （2）指出它的对称中心与对称轴。（4 分） 10．如图,点 O1、O2分别是两个半圆的圆心,两个半圆的直径在同一条直线上,公共端点为点 B。 （1）这个图形是中心对称图形吗?（4 分） （2）如果是,指出它的对称中心,并说明理由。（6 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．C　　2．B　　3．A　　4．B 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．中点 6．H、N、S、Z 7．COD 8．4 【评分标准】答对得 10 分（第 5 题每空 5 分），答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】图略（如画以两个格点为对角顶点的正方形或矩形，答案不唯一）；对称中心为对角线的交点，对称轴见评分标准 （1）正确画出既是轴对称又是中心对称的四边形（正方形、矩形、菱形均可） 6 分。 （2）正确指出对称中心 2 分； 正确指出对称轴（正方形 4 条、矩形 2 条、菱形 2 条） 2 分。 10．【标准答案】（1）是中心对称图形；（2）对称中心是点 B（线段 O1O2的中点，即两直径的公共点）（理由见评分标准） （1）判断出是中心对称图形 4 分。 （2）指出对称中心为点 B 3 分； 理由：AB=BC，绕点 B 旋转 180° 后上半圆与下半圆重合 3 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.1 一元二次方程的概念（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．下列方程中,是关于 x 的一元二次方程的是（　　） A．2x+1=0　B．x2+=3　C．3x2−2x−1=0　D．x2+y=1　 2．方程 (m−3)x2+mx−1=0 是关于 x 的一元二次方程,则 m 的取值范围是（　　） A．m≠3　B．m≠−3　C．m≠0　D．m≠1　 3．把方程 2x(x−1)=3(x+2) 化成一般形式后,二次项系数、一次项系数、常数项依次为（　　） A．2、−5、−6　B．2、5、−6　C．2、−5、6　D．2、5、6　 4．若 x=1 是方程 x2+ax−6=0 的一个根,则 a 的值为（　　） A．5　B．−5　C．6　D．−6　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．把方程 (2x−1)(x+3)=4 化成一般形式为　　　　　　。 6．若 x=2 是方程 x2−bx+2=0 的一个根,则 b=　　　　　　。 7．写出一个二次项系数为 2、一次项系数为 −3 的一元二次方程：　　　　　　。 8．若 (a+1)−3x+5=0 是关于 x 的一元二次方程,则 a=　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．将方程 2x(x−3)=4(x+1)−8 化成一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。 10．已知关于 x 的方程 (m+1)−3x+2=0（m 为常数）。 （1）当 m 取何值时,它是一元二次方程?（5 分） （2）当 m 取何值时,它是一元一次方程?（5 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．C　　2．A　　3．A　　4．A 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．2x2+5x−7=0 6．3 7．如 2x2−3x+1=0（答案不唯一） 8．1 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】去括号：2x2−6x=4x+4−8，移项合并：2x2−10x+4=0；二次项系数 2，一次项系数 −10，常数项 4 去括号，得 2x2−6x=4x−4 4 分； 移项、合并同类项，得一般形式 2x2−10x+4=0 3 分； 正确指出二次项系数 2、一次项系数 −10、常数项 4 3 分。 10．【标准答案】（1）m2+1=2 且 m+1≠0，即 m=1；（2）m2+1=1 或 m+1=0，即 m=0 或 m=−1 （1）由 m2+1=2 得 m=±1 2 分； 由 m+1≠0 舍去 m=−1，得 m=1 3 分； （2）m2+1=1 或 m+1=0，分类讨论 2 分； 得 m=0 或 m=−1 3 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.1 一元二次方程的概念（知识点清单） 【核心知识点】 1. 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是 2。三个必备条件：一个未知数、最高次数为 2、整式方程（分母中不含未知数）。（必考） 2. 一般形式 ax2+bx+c=0（a≠0）：a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项；b、c 可以为 0，但 a≠0 是核心前提，a=0 时就不再是一元二次方程。（必考、易错） 3. 方程的解（根）：使方程左右两边相等的未知数的值；已知根可代入方程求待定系数。（必考） 4. 化一般式的方法：去括号、移项、合并同类项，右边化为 0，左边按 x 的次数从高到低排列。（必考） 【拓展知识点】 1. 含参数方程 (a+1)−3x+5=0 型：既要指数等于 2，又要系数不为 0，两个条件缺一不可。（易错、拓展） 2. 由实际问题（面积、比赛场次等）列一元二次方程并化成一般形式。（拓展） 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2.1 配方法（第1课时）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．方程 x2=16 的根是（　　） A．x=4　B．x=−4　C．x=±4　D．x=8　 2．方程 (x−1)2=9 的根是（　　） A．x=4　B．x=−2　C．x=4 或 x=−2　D．x=10 或 x=−8　 3．下列方程中,没有实数根的是（　　） A．(x−1)2=0　B．(x+2)2=−3　C．(x−3)2=4　D．x2=5　 4．方程 (x−2)2=0 的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根　　B．有两个相等的实数根　　 C．没有实数根　　D．只有一个实数根　　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．方程 x2−25=0 的根为　　　　　　。 6．方程 (2x−1)2=9 的根为　　　　　　。 7．若 (x+m)2=n（m、n 为常数）有实数根,则 n 的取值范围是　　　　　　。 8．方程 3(x+1)2−12=0 的根为　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．解方程：4(x−1)2−36=0。 10．已知关于 x 的方程 (x−a)2=b（a、b 为常数）。 （1）当 b>0 时,直接写出方程的根（用含 a、b 的式子表示）；（5 分） （2）当 b 取何值时,方程有两个相等的实数根?并求出此时的根。（5 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．C　　2．C　　3．B　　4．B 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．x=±5 6．x=2 或 x=−1 7．n≥0 8．x=1 或 x=−3 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】移项得 4(x−1)2=36，系数化 1 得 (x−1)2=9，开平方 x−1=±3，x=4 或 x=−2 移项，得 4(x−1)2=36；两边除以 4，得 (x−1)2=9 5 分； 开平方，得 x−1=±3 3 分； 得 x1=4，x2=−2 2 分。 10．【标准答案】（1）x−a=±，即 x1=a+，x2=a−；（2）b=0 时两根相等，x1=x2=a （1）开平方得 x−a=± 3 分； 所以 x1=a+，x2=a− 2 分； （2）两个相等实数根时 (x−a)2=0，即 b=0 3 分； 此时 x1=x2=a 2 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2.2 公式法（第1课时）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．方程 2x2−3x+1=0 的根的判别式的值为（　　） A．1　B．−1　C．11　D．9　 2．不解方程,方程 x2−4x+4=0 的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根　B．有两个相等的实数根　C．没有实数根　D．无法确定　 3．下列一元二次方程中,有两个不相等的实数根的是（　　） A．x2−2x+3=0　B．x2+4=0　C．2x2−4x+2=0　D．x2−3x−1=0　 4．若关于 x 的方程 x2−2x+m=0 没有实数根,则 m 的取值范围是（　　） A．m>1　B．m<1　C．m≥1　D．m≤1　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．方程 x2+x−2=0 的根的判别式 Δ=　　　　　　。 6．若方程 x2+3x+k=0 有两个相等的实数根,则 k=　　　　　　。 7．若方程 x2−6x+c=0 有两个不相等的实数根,则 c 的取值范围是　　　　　　。 8．已知关于 x 的方程 x2−4x+m=0 有两个不相等的实数根,则 m 的最大整数值为　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．不解方程,判断方程 2x2+3x−4=0 的根的情况。 10．已知关于 x 的方程 mx2−2x+1=0（m 为常数）。 （1）当 m=1 时,求此方程的根；（5 分） （2）若此方程有两个不相等的实数根,求 m 的取值范围。（5 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．A　　2．B　　3．D　　4．A 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．9 6． 7．c<9 8．3 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】a=2，b=3，c=−4，Δ=b2−4ac=9+32=41>0，方程有两个不相等的实数根 确定 a=2，b=3，c=−4 3 分； 计算 Δ=32−4×2×(−4)=41 4 分； 由 Δ>0 得方程有两个不相等的实数根 3 分。 10．【标准答案】（1）x2−2x+1=0，Δ=0，x1=x2=1；（2）m≠0 且 Δ=4−4m>0，即 m<1 且 m≠0 （1）当 m=1 时方程为 x2−2x+1=0 2 分； Δ=0，由求根公式得 x1=x2=1 3 分； （2）方程有两个不相等的实数根，需 m≠0 且 Δ>0 3 分； 由 4−4m>0 得 m<1，故 m<1 且 m≠0 2 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2.2 公式法（第2课时）（知识点清单） 【核心知识点】 1. 求根公式：当 Δ=b2−4ac≥0 时，x=。（必考） 2. 公式法步骤：①化成一般形式；②确定 a、b、c（带符号）；③计算 Δ；④Δ≥0 时代入公式求根，Δ<0 时无实数根。（必考） 3. 公式法适用于所有一元二次方程，是解方程的"万能"方法；结果含根式时通常保留根号。（必考） 4. 先化一般式再取系数：如 x2+5=6x 应化为 x2−6x+5=0；3x2+2=4x 应化为 3x2−4x+2=0。（易错） 【拓展知识点】 1. Δ=12、24、44 等非完全平方数时，需把 化为 并约分后再写解。（拓展） 2. 由实际情境（长方形面积）列方程并用公式法求解，结果取正值。（拓展） 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．方程 x2−5x+6=0 的两根之和为（　　） A．5　B．−5　C．6　D．−6　 2．方程 2x2+4x−1=0 的两根之积为（　　） A．　B．　C．2　D．−2　 3．若 x1、x2是方程 x2−3x−2=0 的两根,则 x1+x2−x1x2的值为（　　） A．1　B．5　C．−5　D．−1　 4．两根之和为 3、两根之积为 −4 的一元二次方程是（　　） A．x2+3x−4=0　B．x2−3x−4=0　C．x2−3x+4=0　D．x2+3x+4=0　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．方程 x2+6x−7=0 的两根为 x1、x2,则 x1+x2=　　　　　　。 6．方程 x2−4x+3=0 的两根为 x1、x2,则 x1x2=　　　　　　。 7．若 x1、x2是方程 x2−2x−1=0 的两根,则 x12+x22=　　　　　　。 8．已知方程 x2−kx+6=0 的一个根为 2,则 k=　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．已知 x1、x2是方程 x2−4x+2=0 的两实数根。 （1）求 x1+x2与 x1x2的值；（6 分） （2）求 (x1−1)(x2−1) 的值。（4 分） 10．已知关于 x 的方程 x2−(k+1)x+k−2=0 的两根之和为 3,求 k 的值,并求出此方程的两根。 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．A　　2．B　　3．B　　4．B 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．−6 6．3 7．6 8．5 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）Δ=16−8=8>0，x1+x2=4，x1x2=2；（2）(x1−1)(x2−1)=x1x2−(x1+x2)+1=2−4+1=−1 （1）验证 Δ=16−8=8>0，方程有实数根 2 分； 由根与系数关系得 x1+x2=4，x1x2=2 4 分； （2）展开 (x1−1)(x2−1)=x1x2−(x1+x2)+1 2 分； 代入得 2−4+1=−1 2 分。 10．【标准答案】由 x1+x2=k+1=3 得 k=2；方程为 x2−3x=0，两根为 x1=0，x2=3 由两根之和得 k+1=3，解得 k=2 4 分； 代入得方程 x2−3x=0 3 分； 解得 x1=0，x2=3 3 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.3 实际问题与一元二次方程（第1课时）（知识点清单） 【核心知识点】 1. 面积问题建模：设未知边长，用含 x 的式子表示有关线段，按"面积关系"列一元二次方程；矩形四周加等宽边框时，新矩形长、宽各加 2x。（必考） 2. 解方程后必须检验：舍去不符合实际意义的根（边长、宽度不能为负）。（必考、易错） 3. 几何中常用恒等式：(a+b)2=a2+b2+2ab 配合勾股定理 a2+b2=c2 使用。（必考） 4. 由根的实际意义反求线段长：方程的两根都可能是正数时，要逐一检验是否符合题意。（必考） 【拓展知识点】 1. 周长与面积同时约束的问题（如周长 12、面积 6 的直角三角形）需设三个量建立方程组转化为一元二次方程。（拓展） 2. 圆的半径变化问题：(r+2)2π−r2π=ΔS 型建模。（拓展） 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.3 实际问题与一元二次方程（第2课时）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．某工厂一月份产值为 100 万元,三月份产值为 121 万元,设月平均增长率为 x,可列方程（　　） A．100(1+x)2=121　　B．100(1+2x)=121　　 C．121(1−x)2=100　　D．100(1+x)+100(1+x)2=121　　 2．某种流感病毒,若每轮传染中平均 1 人传染 x 人,第一轮后共有 (1+x) 人被传染,两轮后共有 100 人被传染,则 x 的值为（　　） A．9　B．10　C．99　D．11　 3．某商品原价 500 元,连续两次降价后为 405 元,设平均每次降价的百分率为 x,则所列方程及 x 的值为（　　） A．500(1−x)2=405,x=10%　　B．500(1−2x)=405,x=9.5%　　 C．500(1−x)2=405,x=90%　　D．405(1+x)2=500,x=10%　　 4．某植物主干长出 x 个支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干、小分支总数为 13,则 x 的值为（　　） A．3　B．−4　C．3 或 −4　D．4　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．某商品经过两次连续涨价,每次涨价率为 x,现售价 y 与原价 a 的关系式为　　　　　　。 6．某种细菌若每轮繁殖后数量变为原来的 3 倍,从 1 个开始,两轮后共有　　　　　　个。 7．某公司两年前投入研发经费 100 万元,今年投入 144 万元,则年平均增长率为　　　　　　。 8．若某人传染两轮后共有 64 人被传染（设每轮平均 1 人传染 x 人）,则 x=　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．某种传染病,开始有 1 人患病,每轮传染中平均 1 人传染 x 人。经过两轮传染后共有 121 人患病。 （1）求每轮传染中平均 1 人传染了多少人；（7 分） （2）按照这样的传染速度,第三轮传染后共有多少人患病?（3 分） 10．某公司 2024 年投入研发经费 1000 万元,2026 年投入研发经费 1440 万元。 （1）求这两年投入研发经费的年平均增长率；（7 分） （2）若增长率不变,该公司 2027 年投入研发经费多少万元?（3 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．A　　2．A　　3．A　　4．A 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．y=a(1+x)2 6．9 7．20% 8．7 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）(1+x)2=121，1+x=±11，x=10 或 x=−12（舍），每轮平均 1 人传染 10 人；（2）三轮后 (1+10)3=1331 人 （1）由题意得 (1+x)2=121 3 分； 开方得 1+x=±11，x=10 或 x=−12 2 分； 由实际意义舍去 x=−12，得每轮平均 1 人传染 10 人 2 分； （2）三轮后共有 (1+10)3=1331 人 3 分。 10．【标准答案】（1）1000(1+x)2=1440，(1+x)2=1.44，x=0.2 或 x=−2.2（舍），增长率为 20%；（2）1440×1.2=1728 万元 （1）由题意得 1000(1+x)2=1440 3 分； (1+x)2=1.44，1+x=±1.2，x=0.2 或 x=−2.2 2 分； 舍去负值，年平均增长率为 20% 2 分； （2）2027 年投入 1440×1.2=1728 万元 3 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.3 实际问题与一元二次方程（第2课时）（知识点清单） 【核心知识点】 1. 增长率模型：原量为 a，平均增长率为 x，n 次增长后的量为 a(1+x)n；下降时用 a(1−x)n。最常见的是两轮增长 a(1+x)2=b。（必考） 2. 传播（传染）模型：每轮平均 1 人传染 x 人，从 1 人开始，两轮后共 (1+x)2 人，三轮后 (1+x)3 人。（必考） 3. 增长率、下降率问题必须检验：x 的值要符合实际意义（如增长率不能小于 −100%，实际常取正），负根一般舍去。（必考、易错） 4. 分支（递推）模型：主干 1 个、支干 x 个、小分支 x2 个，总数 1+x+x2=常数。（必考） 【拓展知识点】 1. 注意"下降额"与"下降率"的区别：比较两对象的下降快慢应比较下降率而非下降额。（拓展） 2. 三态混合：连续两轮增长中每轮基数不同（如第二轮从 (1+x) 人出发传染 x 人），须逐轮列式再化简为 (1+x)2。（拓展） 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.3 实际问题与一元二次方程（第3课时）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．x 支篮球队参加单循环比赛（每两队之间比赛 1 场）,共比赛 28 场,则 x 的值为（　　） A．7　B．8　C．8 或 −7　D．14　 2．n 支球队进行主客场双循环比赛（每两队之间进行两场比赛）,共比赛 30 场,则 n 的值为（　　） A．5　B．6　C．15　D．30　 3．某次聚会上,每两人都握 1 次手,所有人共握手 36 次,则参加聚会的人数为（　　） A．6　B．8　C．9　D．18　 4．x 名同学互赠贺卡（每人给其他同学各赠 1 张）,共赠出 56 张,则 x 的值为（　　） A．7　B．8　C．7 或 8　D．28　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．6 支球队单循环比赛,总共比赛　　　　　　场。 6．n 边形共有 14 条对角线,则 n=　　　　　　。 7．某小组每两人都通一次电话,共通话 15 次,这个小组共　　　　　　人。 8．10 名同学进行主客场双循环篮球赛,总共比赛　　　　　　场。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．组织一次排球邀请赛,赛制为单循环形式（每两队之间比赛 1 场）,赛程计划安排 7 天,每天安排 4 场比赛。 （1）本次邀请赛共安排多少场比赛?（4 分） （2）应邀请多少支球队参赛?（6 分） 10．某足球联赛采用主客场双循环赛制（每两支球队之间进行两场比赛）,赛季结束后共比赛 90 场。 （1）共有多少支球队参加比赛?（6 分） （2）若该联赛改为单循环赛制,参赛队数不变,则共需比赛多少场?（4 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．B　　2．B　　3．C　　4．B 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．15 6．7 7．6 8．90 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）7×4=28 场；（2）=28，x2−x−56=0，x=8 或 x=−7（舍），应邀请 8 支球队 （1）7×4=28 场 4 分； （2）由题意得 =28 3 分； 化简得 x2−x−56=0，解得 x=8 或 x=−7 2 分； 由实际意义舍去负值，应邀请 8 支球队 1 分。 10．【标准答案】（1）n(n−1)=90，n2−n−90=0，n=10 或 n=−9（舍），共 10 支球队；（2）单循环共比赛 45 场 （1）由题意得 n(n−1)=90 3 分； 化简得 n2−n−90=0，解得 n=10 或 n=−9 2 分； 由实际意义舍去负值，共有 10 支球队 1 分； （2）单循环赛制下共比赛 45 场 4 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.3 实际问题与一元二次方程（第3课时）（知识点清单） 【核心知识点】 1. 单循环（握手、通话）模型：n 个对象每两个之间进行 1 次，总数为 。（必考） 2. 双循环（互赠礼物）模型：n 个对象每两个之间进行 2 次，总数为 n(n−1)。（必考） 3. 多边形对角线：n 边形的对角线条数为 。（必考） 4. 计数问题的解必须为正整数，负根一律舍去；列方程后先化成一般形式再分解。（必考、易错） 【拓展知识点】 1. 辨析："每两队之间比赛 1 场"与"每两队之间主客场各赛 1 场"的方程相差一个因子 2。（易错、拓展） 2. 反算验证型问题（如"总场数 300 对不对"）：由 n(n−1)=300 的根不是正整数判断不可能。（拓展） 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2.1 二次函数 y=ax2 的图象和性质 知识点清单 【核心知识点】 ① 抛物线 y=ax2 的性质（a≠0）：对称轴是 y 轴，顶点是原点 (0, 0)；a>0 开口向上，顶点是最低点；a<0 开口向下，顶点是最高点。 必考 ② |a| 越大，抛物线的开口越小；|a| 相等（如 y=5x2 与 y=−5x2）则形状相同。 易错 ③ 增减性：a>0 时，x<0 y 随 x 增大而减小、x>0 随 x 增大而增大；a<0 时相反。 必考 ④ 描点法画图：列表（关于 y 轴对称取点）→ 描点 → 平滑曲线连接，顶点处不能画成尖角。 常考 【拓展知识点】 ① 由图象开口大小反推 |a|：开口越大 |a| 越小。 常考 ② 点在抛物线上：把点的坐标代入求待定字母。 必考 ③ 对称性：图象上点 (m, am2) 关于 y 轴的对称点 (−m, am2) 也在图象上。 拓展 易错提示（供命题与讲解参考） 1. 开口方向只看 a 的符号，开口大小只看 |a|，两者互不干扰； 2. y=5x2 与 y=−5x2 形状相同、关于 x 轴对称，别说成「没有关系」； 3. 增减性必须先分 x<0 与 x>0 两段说，不能笼统说「y 随 x 增大而增大」； 4. 顶点是 (0, 0) 而不是 (0, a)，a<0 时顶点是最高点。 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2.2 二次函数的图象和性质（第1课时）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．抛物线 y=3x2+2 可以由抛物线 y=3x2（　　）得到 A．向上平移 2 个单位长度　　B．向下平移 2 个单位长度　　 C．向左平移 2 个单位长度　　D．向右平移 2 个单位长度　　 2．抛物线 y=−2x2−3 的顶点坐标和开口方向分别是（　　） A．(0, 3),向上　B．(0, −3),向上　C．(0, −3),向下　D．(−3, 0),向下　 3．如图,实线抛物线与虚线抛物线 y=x2 的关系是（　　） A．由 y=x2 向上平移 3 个单位长度得到　　B．由 y=x2 向下平移 3 个单位长度得到　　 C．由 y=x2 向左平移 3 个单位长度得到　　D．由 y=x2 向右平移 3 个单位长度得到　　 4．把抛物线 y=−x2 向上平移 4 个单位长度,所得抛物线的解析式为（　　） A．y=−x2−4　B．y=−(x+4)2　C．y=−x2+4　D．y=−(x−4)2　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．抛物线 y=4x2+k 经过点 (1, 6),则 k=　　　　　　。 6．抛物线 y=−x2+5 与 y 轴的交点坐标是　　　　　　。 7．把抛物线 y=6x2 向下平移 7 个单位长度,所得抛物线的解析式为　　　　　　。 8．抛物线 y=x2−2 与 y=x2+1 的顶点之间的距离是　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．已知抛物线 y=ax2+k 经过点 (−1, −1) 和 (2, 11)。（1）求这条抛物线的解析式；（2）写出它的顶点坐标和对称轴；（3）它与 y=ax2 的图象有怎样的位置关系?（10 分） 10．把抛物线 L：y=−x2 向上平移 3 个单位长度,得到抛物线 L1。（1）求 L1 的解析式和顶点坐标；（2）写出 L1 与 y 轴的交点坐标；（3）当 0<x<3 时,在 L1 上 y 随 x 的增大如何变化?（10 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．A　　2．C　　3．B　　4．C 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．2 6．(0, 5) 7．y=6x2−7 8．3 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）a+k=−1，4a+k=11，解得 a=4，k=−5，y=4x2−5；（2）顶点 (0, −5)，对称轴是 y 轴；（3）由 y=4x2 向下平移 5 个单位长度得到 （1）代入两点得 a+k=−1，4a+k=11 3 分； 解得 a=4，k=−5，写出 y=4x2−5 2 分； （2）顶点 (0, −5)，对称轴是 y 轴 3 分； （3）由 y=4x2 向下平移 5 个单位长度得到 2 分。 10．【标准答案】（1）L1：y=−x2+3，顶点 (0, 3)；（2）(0, 3)；（3）开口向下，当 0<x<3 时 y 随 x 的增大而减小 （1）向上平移 3 个单位得 y=−x2+3 3 分； 顶点为 (0, 3) 2 分； （2）与 y 轴交点 (0, 3) 2 分； （3）a=−1<0，当 0<x<3 时 y 随 x 的增大而减小 3 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2.2 二次函数的图象和性质（第2课时）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．抛物线 y=(x−3)2 的对称轴和顶点坐标分别是（　　） A．x=3,(3, 0)　B．x=−3,(−3, 0)　C．x=3,(0, 3)　D．x=−3,(0, −3)　 2．把抛物线 y=2x2 向左平移 3 个单位长度,所得抛物线的解析式为（　　） A．y=2(x+3)2　B．y=2(x−3)2　C．y=2x2+3　D．y=2x2−3　 3．如图,实线抛物线与虚线抛物线 y=−x2 之间的关系是（　　） A．向左平移 1 个单位长度　　B．向右平移 1 个单位长度　　 C．向上平移 1 个单位长度　　D．向下平移 1 个单位长度　　 4．抛物线 y=−(x+2)2 与 x 轴的公共点坐标是（　　） A．(2, 0)　B．(−2, 0)　C．(0, −2)　D．没有公共点　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．抛物线 y=3(x−h)2 的顶点在直线 x=−4 上,则 h=　　　　　　。 6．抛物线 y=a(x−1)2 经过点 (3, 8),则 a=　　　　　　。 7．把抛物线 y=−3x2 向右平移 5 个单位长度,所得抛物线的解析式为　　　　　　。 8．抛物线 y=2(x+1)2,当 x>−1 时,y 随 x 的增大而　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．（1）把抛物线 y=−4x2 向左平移 2 个单位长度,求所得抛物线的解析式；（2）写出所得抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）当 x<−2 时,y 随 x 的增大如何变化?（4）所得抛物线与 y=−4x2 的形状有什么关系?（10 分） 10．已知抛物线 y=a(x−h)2 经过点 (−1, 2) 和 (3, 2)。（1）求这条抛物线的解析式；（2）写出它的对称轴和顶点坐标。（10 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．A　　2．A　　3．A　　4．B 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．−4 6．2 7． 8．增大 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）y=−4(x+2)2；（2）顶点 (−2, 0)，对称轴 x=−2；（3）开口向下，当 x<−2 时 y 随 x 的增大而增大；（4）形状完全相同，只是位置不同 （1）y=−4(x+2)2 3 分； （2）顶点 (−2, 0)，对称轴 x=−2 3 分； （3）当 x<−2 时 y 随 x 的增大而增大 2 分； （4）形状相同、位置不同 2 分。 10．【标准答案】（1）−1 与 3 关于对称轴对称，对称轴 x=1，a(−2)2=2，a=，y=(x−1)2；（2）对称轴 x=1，顶点 (1, 0) （1）由两点纵坐标相等知对称轴 3 分； 代入得 4a=2，a=，y=(x−1)2 4 分； （2）对称轴 x=1，顶点 (1, 0) 3 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2.2 二次函数的图象和性质（第3课时）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．抛物线 y=2(x−1)2+3 的顶点坐标和开口方向分别是（　　） A．(1, 3),向上　B．(1, 3),向下　C．(−1, 3),向上　D．(−1, −3),向下　 2．把抛物线 y=−x2 先向左平移 2 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度,所得抛物线的解析式为（　　） A．y=−(x−2)2+1　B．y=−(x+2)2+1　C．y=−(x+2)2−1　D．y=−(x−2)2−1　 3．抛物线 y=3(x+1)2−2 的对称轴和顶点坐标分别是（　　） A．x=1,(1, −2)　B．x=−1,(−1, −2)　C．x=−1,(−1, 2)　D．x=1,(1, 2)　 4．二次函数 y=−5(x−2)2+6 的最大值是（　　） A．−5　B．6　C．2　D．−6　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．抛物线 y=(x−1)2+k 经过点 (3, 5),则 k=　　　　　　。 6．抛物线 y=−(x−1)2+3 与 y 轴的交点坐标是　　　　　　。 7．顶点为 (2, −3),开口向上且与抛物线 y=−3x2 形状相同的抛物线的解析式为　　　　　　。 8．把抛物线 y=2(x−1)2+3 向右平移 2 个单位长度、再向下平移 1 个单位长度,所得抛物线的解析式为　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,圆形喷水池中心 O 处竖直安装一根水管,水管顶端的喷头向外喷水,水柱呈抛物线形。以水管与地面交点为原点、原点与落水点的连线为 x 轴建立平面直角坐标系,水柱的最高点为 (3, 4)（即离池中心水平距离 3 m 处最高,高 4 m）,落水点离池中心 7 m。（1）求水柱所在抛物线的解析式；（2）求水管的长。（10 分） 10．已知抛物线 y=−2(x−1)2+8。（1）求它与 x 轴交点的坐标；（2）写出顶点坐标；（3）求该抛物线与 x 轴两交点及顶点构成的三角形的面积。（10 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．A　　2．B　　3．B　　4．B 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．1 6．(0, 2) 7． 8． 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）设 y=a(x−3)2+4，把 (7, 0) 代入得 16a+4=0，a=−，y=−(x−3)2+4（0≤x≤7）；（2）令 x=0，y=−×9+4=1.75，水管长 1.75 m （1）设 y=a(x−3)2+4 3 分； 把 (7, 0) 代入得 16a+4=0，即 a=，写出解析式 3 分； （2）令 x=0 得 y==1.75 3 分； 水管长 1.75 m 1 分。 10．【标准答案】（1）由 −2(x−1)2+8=0 得 (x−1)2=4，x=−1 或 3，交点 (−1, 0)、(3, 0)；（2）顶点 (1, 8)；（3）底 4、高 8，面积=×4×8=16 （1）令 y=0 得 (x−1)2=4，x=−1 或 3，写出两交点 4 分； （2）顶点 (1, 8) 2 分； （3）底=3−(−1)=4，高=8 2 分； 面积 16 2 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2.2 二次函数的图象和性质（第3课时） 知识点清单 【核心知识点】 ① y=a(x−h)2+k 的性质：对称轴 x=h，顶点 (h, k)；a>0 开口向上，x=h 时取最小值 k；a<0 开口向下，x=h 时取最大值 k。 必考 ② 平移合成：y=ax2 经「左加右减、上加下减」两步平移得 y=a(x−h)2+k，与平移顺序无关。 必考 ③ 待定系数：已知顶点设顶点式 y=a(x−h)2+k，再代一点求 a。 常考 ④ 抛物线应用（喷水、投篮等）：合理建系——常以顶点或起点为原点，注意自变量取实际范围。 常考 【拓展知识点】 ① 令 y=0 解 a(x−h)2+k=0 求 x 轴交点：先移项、开平方，注意两根。 必考 ② 抛物线与 x 轴两交点、顶点构成的三角形：底=两交点横坐标之差，高=|顶点纵坐标|。 常考 ③ 「形状相同」即 |a| 相等（a 可同号也可异号，开口方向由符号定）。 易错 易错提示（供命题与讲解参考） 1. 综合平移两步走：先左右（括号内），再上下（括号外），与顺序无关但要两步都写全； 2. 「形状相同」指 |a| 相等，开口方向由 a 的符号另定，别默认同号； 3. 顶点式 y=a(x−h)2+k 中最大/最小值是 k（x=h 时取得），答最值要带上 x 的取值； 4. 实际抛物线（喷泉、水柱）自变量范围由实际意义限定，解析式后要注明范围。 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.3 二次函数与一元二次方程（第1课时）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．抛物线 y=x2−2x−3 与 x 轴的交点坐标是（　　） A．(−1, 0) 和 (3, 0)　　B．(1, 0) 和 (−3, 0)　　 C．(−1, 0) 和 (−3, 0)　　D．(1, 0) 和 (3, 0)　　 2．抛物线 y=x2−4x+4 与 x 轴的公共点个数是（　　） A．0 个　B．1 个　C．2 个　D．3 个　 3．如图,抛物线 ①、②、③ 与 x 轴的公共点个数依次是（　　） A．2、1、0　B．1、2、0　C．0、1、2　D．2、0、1　 4．二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴没有公共点,则方程 ax2+bx+c=0 的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根　　B．有两个相等的实数根　　 C．没有实数根　　D．只有一个实数根　　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．若抛物线 y=x2−6x+k 与 x 轴只有一个公共点,则 k=　　　　　　。 6．若抛物线 y=x2+2x+c 与 x 轴有两个公共点,则 c 的取值范围是　　　　　　。 7．抛物线 y=2x2−3x−2 与 x 轴交点的横坐标是　　　　　　。 8．若抛物线 y=x2+kx+4 与 x 轴只有一个公共点,则 k=　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．不画图象,判断下列抛物线与 x 轴公共点的个数：（1）y=x2−4x+4；（2）y=2x2−x+3；（3）y=−x2+2x+8。（10 分） 10．已知抛物线 y=x2−(m+2)x+(m+1)。（1）求证：无论 m 取何值（m≠0）,该抛物线与 x 轴总有两个不同的公共点；（2）当 m=1 时,求该抛物线与 x 轴的交点坐标。（10 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．A　　2．B　　3．A　　4．C 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．9 6．c<1 7．2 和 − 8．±4 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）Δ=0，1 个公共点；（2）Δ=1−24=−23<0，没有公共点；（3）Δ=4+32=36>0，两个公共点（交点 (−2, 0)、(4, 0)） （1）Δ=(−4)2−4×1×4=0，1 个公共点 3 分； （2）Δ=(−1)2−4×2×3=−23<0，没有公共点 3 分； （3）Δ=22−4×(−1)×8=36>0，两个公共点 3 分； 写出交点 (−2, 0)、(4, 0) 1 分。 10．【标准答案】（1）Δ=(m+2)2−4(m+1)=m2，m≠0 时 m2>0，总有两个不同公共点；（2）m=1 时 y=x2−3x+2，交点 (1, 0)、(2, 0) （1）Δ=(m+2)2−4(m+1) 3 分； 化简得 Δ=m2，m≠0 时 Δ>0，总有两个不同公共点 4 分； （2）m=1 时 y=x2−3x+2=(x−1)(x−2) 2 分； 交点 (1, 0)、(2, 0) 1 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.3 二次函数与一元二次方程（第2课时）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．小球从地面抛出,飞行高度 h（m）与时间 t（s）满足 h=30t−5t2,小球达到最高点时的高度是（　　） A．30 m　B．45 m　C．40 m　D．50 m　 2．小球飞行高度 h（m）与时间 t（s）满足 h=20t−5t2,小球飞行高度为 15 m 时,飞行时间为（　　） A．1 s　B．3 s　C．1 s 或 3 s　D．2 s　 3．已知抛物线 y=x2−2x−2,它的图象与 x 轴交点的横坐标约为 −0.7 和 2.7,则方程 x2−2x−2=0 的近似根是（　　） A．x1≈−0.7,x2≈2.7　　B．x1≈0.7,x2≈−2.7　　 C．x1≈−2.7,x2≈−0.7　　D．没有近似根　　 4．如图,二次函数 y=x2−5x+3 的图象与 x 轴有两个公共点,则方程 x2−5x+3=0 的较小根所在的范围是（　　） A．−1 与 0 之间　B．0 与 1 之间　C．1 与 2 之间　D．3 与 4 之间　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．小球飞行高度 h（m）与时间 t（s）满足 h=20t−5t2,小球从抛出到落地经过　　　　　　s。 6．抛物线 y=x2−3x−1 中,当 x=3 时 y=−1<0,当 x=4 时 y=3>0,所以方程 x2−3x−1=0 的一个根在　　　　　　之间。 7．烟花升空后高度 h（m）与时间 t（s）满足 h=45t−5t2,烟花升空后上升到 100 m 处需　　　　　　s。 8．小球飞行高度 h（m）与时间 t（s）满足 h=35t−5t2,小球从抛出到落地共经过　　　　　　s。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,小球从地面抛出,飞行高度 h（m）与飞行时间 t（s）满足 h=24t−5t2。（1）小球飞行高度能否达到 16 m?如果能,需要多长时间?（2）小球飞行高度能否达到 30 m?请说明理由；（3）小球从抛出到落地需要多长时间?（10 分） 10．如图,二次函数 y=x2−6x+7 的图象与 x 轴有两个公共点。（1）观察图象,判断方程 x2−6x+7=0 的两个根分别在哪两个相邻整数之间；（2）取 1 与 2 的平均数 1.5,求 x=1.5 时对应的函数值,把较小的根所在范围缩小一次；（3）用同样的方法估计方程 x2−6x+7=0 的两个根（精确到 0.1）。（10 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．B　　2．C　　3．A　　4．B 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．4 6．3 与 4 7．4 或 5 8．7 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）24t−5t2=16，5t2−24t+16=0，t=0.8 或 4，能达到；（2）24t−5t2=30，Δ=(−24)2−4×5×30=−24<0，不能；（3）令 h=0 得 t=4.8 s （1）令 24t−5t2=16，化得 5t2−24t+16=0 3 分； 解得 t=0.8 或 4，能达到 16 m 3 分； （2）令 24t−5t2=30，Δ=−24<0，不能达到 2 分； （3）令 h=0 得 t=4.8 s 2 分。 10．【标准答案】（1）较小的根在 1 与 2 之间，较大的根在 4 与 5 之间；（2）x=1.5 时 y=0.25>0，而 x=2 时 y=−1<0，较小的根在 1.5 与 2 之间；（3）x=1.6 时 y=−0.04<0，故较小根 ≈1.6；x=4.4 时 y=−0.04<0，x=4.5 时 y=0.25>0，故较大根 ≈4.4 （1）两根分别在 1 与 2、4 与 5 之间 3 分； （2）x=1.5 时 y=0.25>0，x=2 时 y=−1<0 2 分； 较小根在 1.5 与 2 之间 1 分； （3）由 x=1.6 时 y<0 得较小根 ≈1.6 2 分； 由 x=4.4 时 y<0、x=4.5 时 y>0 得较大根 ≈4.4 2 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.3 二次函数与一元二次方程（综合） 知识点清单 【核心知识点】 ① Δ 的综合运用：由公共点个数定参数范围；含参 Δ 化简后判断符号（如 Δ=16 恒正）。 必考 ② 由根求公共点：公共点横坐标 x=，含参时用求根公式表示。 难点 ③ 「高度为定值」问题转化为方程，两根都作答（上升、下落各一次）。 必考 ④ 抛物线与 x 轴交点距离=|x1−x2|=。 拓展 【拓展知识点】 ① 配方求最高点：y=−x2+4x=−(x−2)2+4。 必考 ② 「任意实数」型结论：Δ 恒正时参数取值不受限制，答题要说清理由。 易错 ③ 应用题两根的取舍要看实际意义（水平距离取正值）。 易错 易错提示（供命题与讲解参考） 1. 含参 Δ 先化简再判断：如 Δ=4(m−1)2−4(m2−2m−3)=16 恒正，参数不受限； 2. 「求证总有公共点」类题目要写出 Δ 的化简过程并说明符号； 3. 含参公共点横坐标可用求根公式表示，也可因式分解； 4. 应用题两根的取舍看实际意义（水平距离取正值）。 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.4 实际问题与二次函数（第2课时）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．某商品进价 40 元,售价 60 元时每周可售 300 件；售价每涨 1 元,每周少售 10 件。设涨价 x 元,每周利润 y 元,则 y 与 x 的函数关系式为（　　） A．y=(60+x−40)(300−10x)　　B．y=(60+x)(300−10x)　　 C．y=(60−x)(300+10x)　　D．y=(20+x)(300−10x)−40　　 2．某商品进价 30 元,售价 40 元时每天可售 100 件；售价每涨 1 元,每天少售 5 件。设涨价 x 元,则每天利润最大时的售价是（　　） A．40 元　B．42 元　C．45 元　D．50 元　 3．某商品售价 50 元时每天可售 80 件,进价 30 元；每降价 1 元,每天多售 20 件。设降价 x 元,每天利润 y 元,则 y 与 x 的函数关系式为（　　） A．y=(50−x)(80+20x)　　B．y=(50−x−30)(80+20x)　　 C．y=(30+x)(80+20x)　　D．y=(50−x)(80−20x)　　 4．旅行社某线路 20 人起组团,每人收费 2100 元；每增加 1 人,每人收费减少 30 元。设增加 x 人,总营业额 y 元,则 y 与 x 的函数关系式为（　　） A．y=(20+x)(2100−30x)　　B．y=2100(20+x)−30x　　 C．y=(20+x)×2100×30x　　D．y=(20−x)(2100+30x)　　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．某商品进价 40 元,售价 60 元时每月可售 300 件；售价每涨 1 元,每月少售 10 件。设涨价 x 元,月利润 y=−10x2+100x+6000,当 x=　　　　　　时,月利润最大。 6．某商品每件利润 50 元,每天可售 40 件；每降价 1 元,每天多售 10 件。设降价 x 元,每天利润 y=(50−x)(40+10x) 元,化成一般式为　　　　　　。 7．上题中,当 x=　　　　　　元时,每天利润最大。 8．抛物线 y=−10x2+80x+5000 的最大值是　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．某网店销售一种成本为 40 元/件的商品,售价为 60 元/件时每月可售 300 件；售价每上涨 1 元,每月少售 10 件（售价为整数）。（1）设每件涨价 x 元,月利润为 y 元,写出 y 与 x 的函数关系式；（2）售价定为多少元时月利润最大?最大月利润是多少?（3）售价定为 70 元时,月利润比最大月利润少多少元?（10 分） 10．某果园批发一种水果,进价 10 元/kg,售价 20 元/kg 时每天可售 100 kg；售价每降价 1 元,每天多售 50 kg。（1）设降价 x 元,每天利润为 y 元,写出 y 与 x 的函数关系式；（2）当售价定为多少元时,每天利润最大?最大利润是多少?（3）当售价定为多少元时,每天利润恰为 1000 元?（10 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．A　　2．C　　3．B　　4．A 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．5 6．y=−10x2+460x+2000 7．23 8．5160 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）y=(60+x−40)(300−10x)=−10x2+100x+6000（0≤x≤30，x 为整数）；（2）x=5，定价 65 元，最大 6250 元；（3）x=10 时 y=6000，少 250 元 （1）y=(20+x)(300−10x)=−10x2+100x+6000 4 分； （2）x==5，定价 65 元，最大利润 6250 元 3 分； （3）x=10 时 y=6000 2 分； 比最大利润少 250 元 1 分。 10．【标准答案】（1）y=(20−x−10)(100+50x)=−50x2+400x+1000（0≤x<10）；（2）x=4，定价 16 元，最大 1800 元；（3）−50x2+400x+1000=1000 得 x=0 或 8，定价 20 元或 12 元 （1）y=(20−x−10)(100+50x)=−50x2+400x+1000 4 分； （2）x=4，定价 16 元，最大利润 1800 元 3 分； （3）令 y=1000 得 −50x2+400x=0 2 分； x=0 或 8，售价 20 元或 12 元 1 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.4 实际问题与二次函数（第2课时） 知识点清单 【核心知识点】 ① 利润=单件利润×销量：涨价型 y=(原利润+x)(原销量−kx)；降价型 y=(原利润−x)(原销量+kx)。 必考 ② 求最值：化一般式后取顶点 x=−，再代回求最大利润与对应定价。 必考 ③ 总营业额=人数×单价：人数增、单价减的双变量模型 y=(m+x)(p−kx)。 常考 ④ 自变量范围由实际意义定：销量非负（300−10x≥0）、涨价非负等。 必考 【拓展知识点】 ① 「售价为整数」时顶点若非整数，要在整数点中比较取最大。 易错 ② 列式先写单件利润（售价−进价），不要漏减进价。 易错 ③ 已知利润求定价：解一元二次方程，两根都符合实际时要都保留。 常考 易错提示（供命题与讲解参考） 1. 利润=（售价−进价）×销量，单件利润别忘减进价； 2. 涨价、降价两问的解析式不同（少售/多售方向相反），列式前先看清调价方向； 3. 「售价为整数」且顶点非整数时，要在整数点中比较取最大； 4. 已知利润反求定价要解方程，两根都符合实际时都保留（两个定价都可行）。 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.4 实际问题与二次函数（第3课时）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．一座拱桥的桥拱是抛物线,以拱顶为原点、抛物线的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系,拱顶离水面 4 m,水面宽 10 m,则该抛物线的解析式为（　　） A．y=−x2　B．y=−x2+4　C．y=x2　D．y=−x2　 2．运动员投篮时,球的运动路线是抛物线 y=−x2+3.85 的一部分,若球在 x 轴正半轴上方 3.05 m 处入筐,则篮筐到出手点正下方的水平距离为（　　） A．1 m　B．2 m　C．3 m　D．4 m　 3．喷泉喷出的水柱高度 h（m）与水平距离 x（m）满足 h=−x2+4x+1,水柱的最高点为（　　） A．(2, 5)　B．(2, 4)　C．(4, 1)　D．(−2, 5)　 4．对于同一条抛物线,建立的平面直角坐标系不同,所得的函数解析式（　　） A．相同　B．不同,但图象相同　C．不同,图象也不同　D．无法确定　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．抛物线形拱桥 y=−x2（拱顶为原点）,水面在 y=−4 处,此时水面宽　　　　　　m。 6．抛物线 y=−x2+3 的最高点是　　　　　　。 7．小球飞行高度 h（m）与时间 t（s）满足 h=−t2+3t+1,小球飞行的最大高度是　　　　　　m。 8．抛物线形拱桥以拱顶为原点、对称轴为 y 轴建系,桥拱经过点 (5, −4),则解析式为　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,一座抛物线形拱桥,拱顶离水面 4 m,水面宽 12 m,以拱顶为原点、抛物线的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系。（1）求桥拱所在抛物线的解析式；（2）突降暴雨,水面上升 1 m,求此时水面的宽度（结果保留根号）。（10 分） 10．如图,一名运动员在离地面 4 m 的 O′ 处将球投出,球的运动路线是抛物线 y=−x2+4 的一部分（O′ 为抛物线上的点,出手点正下方的地面点为原点 O）。（1）球能达到的最大高度是多少米?（2）若篮筐距地面 3 m,求篮筐到出手点正下方的水平距离；（3）球落地处到出手点正下方的距离是多少米?（10 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．A　　2．B　　3．A　　4．B 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．8 6．(0, 3) 7．10 8．y=−x2 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）设 y=ax2，把 (6, −4) 代入得 36a=−4，a=−，y=−x2；（2）水面上升 1 m 后 y=−3，−x2=−3，x=±3，水面宽 6 m （1）设 y=ax2，代入 (6, −4) 得 36a=−4 4 分； a=，y=−x2 2 分； （2）令 y=−3 得 x2=27，x=±3 3 分； 水面宽 6 m 1 分。 10．【标准答案】（1）最高 4 m（顶点 (0, 4)）；（2）−x2+4=3，x2=4，x=2（取正值），水平距离 2 m；（3）令 y=0 得 x=4，距离 4 m （1）顶点 (0, 4)，最大高度 4 m 3 分； （2）令 y=3 得 x2=4，x=2（取正），水平距离 2 m 4 分； （3）令 y=0 得 x=4，距离 4 m 3 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.4 实际问题与二次函数（第3课时） 知识点清单 【核心知识点】 ① 拱桥建系（顶点为原点、对称轴为 y 轴）：设 y=ax2，代一个已知点求 a；水面在 y=−h 处，宽=2|x|。 必考 ② 建系不同解析式不同，但抛物线（图象）本身相同；解题选使解析式简单的建系方式。 常考 ③ 投篮（喷水）问题：出手点、入筐点是抛物线上的点，高度对应的 y 值给定时解方程求 x。 必考 ④ 上升后的水面宽：把新的水面纵坐标代入解析式重新求 x。 常考 【拓展知识点】 ① 结果保留根号或取近似值按要求执行；宽度是两根横坐标之差。 易错 ② 最高点即顶点：y=ax2+bx+c 的顶点或 y=−x2+4 型的常数项。 必考 ③ x 取正值还是绝对值要看所求的是「距离/宽度」还是「坐标」。 易错 易错提示（供命题与讲解参考） 1. 拱桥建系常用「拱顶为原点、对称轴为 y 轴」，解析式最简（y=ax2 型）； 2. 水面宽=两根横坐标之差（2|x|），「宽 12 m」对应 x=±6，别只算一半； 3. 水面上升后把新的纵坐标代入重新求 x，不要沿用旧数据； 4. 通行判断：货车居中时取 x=车宽的一半求净高，与车高（加安全余量）比较。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 26 章 二次函数（全章综合一）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点,则 c 的值为（　　） A．0　B．1　C．−1　D．不能确定　 2．把抛物线 y=x2−2x+3 先向上平移 1 个单位长度,再向右平移 2 个单位长度,所得抛物线的解析式为（　　） A．y=(x−3)2+3　B．y=(x−3)2+2　C．y=(x+1)2+3　D．y=(x+1)2+2　 3．如图,抛物线与 x 轴交于 (−2, 0) 和 (4, 0) 两点,则它的对称轴是（　　） A．x=−2　B．x=1　C．x=2　D．x=4　 4．二次函数 y=−(x−h)2+k 的图象顶点在 x 轴上,则 k 的值为（　　） A．0　B．h　C．−h　D．1　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．把抛物线 y=x2+4x−1 化成顶点式为　　　　　　。 6．抛物线 y=−x2+6x−5 与 x 轴的交点坐标是　　　　　　。 7．水柱高度 y（m）与水平距离 x（m）满足 y=−(x−2)2+6,水柱的最大高度是　　　　　　m。 8．抛物线 y=x2−2mx+3 的对称轴是直线 x=−1,则 m=　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 (0, 3)、(1, 0) 和 (3, 0)。（1）求这条抛物线的解析式；（2）求它的顶点坐标和最小值；（3）当 x 取何值时,y<0?（10 分） 10．如图,一座抛物线形拱桥以拱顶为原点、对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系,桥拱离水面 4 m 时水面宽 10 m。（1）求桥拱所在抛物线的解析式；（2）暴雨后水面上升 1 m,求此时水面的宽度（结果保留根号,或取近似值精确到 0.1 m）；（3）一艘宽 4 m、船舱顶部为长方形且露出水面 1.6 m 的小船要从此桥下通过,能否安全通过?请说明理由。（10 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．A　　2．A　　3．B　　4．A 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5． 6．(1, 0) 和 (5, 0) 7．6 8．−1 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）设 y=a(x−1)(x−3)，把 (0, 3) 代入得 3a=3，a=1，y=x2−4x+3；（2）y=(x−2)2−1，顶点 (2, −1)，最小值 −1；（3）1<x<3 时 y<0 （1）用交点式 y=a(x−1)(x−3) 3 分； 代入 (0, 3) 得 a=1，y=x2−4x+3 2 分； （2）配方 y=(x−2)2−1，顶点 (2, −1)，最小值 −1 3 分； （3）当 1<x<3 时 y<0 2 分。 10．【标准答案】（1）y=−x2；（2）令 y=−3 得 x2=，x=±，宽 5≈8.7 m；（3）x=±2 处 y=−=−0.64，净高 2.36 m>1.6 m，能安全通过 （1）设 y=ax2，代入 (5, −4) 得 a= 3 分； （2）令 y=−3 得 x2=，水面宽 5≈8.7 m 3 分； （3）x=±2 处 y=−0.64，净高 2.36 m 3 分； 2.36>1.6，能安全通过 1 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 26 章 二次函数（全章综合一） 知识点清单 【核心知识点】 ① 全章主线：概念（a≠0）→ 图象性质（开口/对称轴/顶点/增减/最值）→ 与方程（Δ 与公共点）→ 实际应用。 必考 ② 三种待定系数式：一般式（三点）、顶点式（顶点+一点）、交点式（与 x 轴两交点）。 必考 ③ 平移三步法：先化顶点式，再按「左加右减、上加下减」平移顶点。 必考 ④ 拱桥综合题：建系→求解析式→水面变化代入→通行判断（净高比较）。 常考 【拓展知识点】 ① 经过原点 ⇔ c=0；顶点在 x 轴上 ⇔ 纵坐标为 0（k=0 或 Δ=0）。 易错 ② 净高=桥面在该处的高度−水面高度，别用错坐标符号（顶点为原点时是负数运算）。 易错 ③ 范围最值要检验端点。 常考 易错提示（供命题与讲解参考） 1. 经过原点 ⇔ c=0；顶点在 x 轴上 ⇔ 顶点纵坐标为 0（即 Δ=0）； 2. 已知与 x 轴两交点用交点式 y=a(x−x1)(x−x2) 最快； 3. 拱桥综合题三问层层递进：解析式→水面变化→通行判断，前问结果是后问的工具； 4. 含根号的结果按要求取近似（如宽约 8.7 m），别提前四舍五入。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 26 章 二次函数（全章综合二）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．抛物线 y=2x2、y=−2x2、y=−2x2+3 的图象中,开口方向相同的是（　　） A．y=2x2 与 y=−2x2　　B．y=−2x2 与 y=−2x2+3　　 C．y=2x2 与 y=−2x2+3　　D．三条都相同　　 2．抛物线 y=x2−2ax+3 的对称轴是直线 x=3,则 a 的值为（　　） A．3　B．−3　C．6　D．−6　 3．方程 x2−4x+3=0 的根与抛物线 y=x2−4x+3 的关系是（　　） A．根是抛物线与 y 轴交点的横坐标　　B．根是抛物线与 x 轴交点的横坐标　　 C．根是抛物线顶点的坐标　　D．没有关系　　 4．某商品涨价 x 元后月利润 y=−2x2+16x+5000 元,则月利润最大时涨价为（　　） A．4 元　B．8 元　C．16 元　D．2 元　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．抛物线 y=2x2−3x−2 与 x 轴的交点坐标是　　　　　　。 6．把抛物线 y=3x2 先向左平移 1 个单位长度,再向下平移 2 个单位长度,所得抛物线的解析式为　　　　　　。 7．抛物线 y=−(x+1)2+2 与 y 轴的交点坐标是　　　　　　。 8．若抛物线 y=x2+bx+3 的顶点纵坐标为 −6,则 b=　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,抛物线 y=2x2−4x−6 与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 的左侧）。（1）求 A、B 两点的坐标和顶点坐标；（2）求 △ABC 的面积（C 为顶点）；（3）当 x 取何值时,y>0?（10 分） 10．某商店销售一种商品,成本 30 元/件,售价 40 元/件时每天可售 60 件；售价每上涨 1 元,每天少售 5 件。（1）设每件涨价 x 元,每天利润为 y 元,写出 y 与 x 之间的函数关系式；（2）当售价定为多少元时,每天利润最大?最大利润是多少?（3）当售价定为多少元时,每天利润为 600 元?（10 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．B　　2．A　　3．B　　4．A 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．(2, 0) 和 (−, 0) 6． 7．(0, 1) 8．±6 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）令 y=0 得 2x2−4x−6=0，x=−1 或 3，A(−1, 0)、B(3, 0)；顶点 (1, −8)；（2）S=×4×8=16；（3）x<−1 或 x>3 时 y>0 （1）令 y=0 得 2x2−4x−6=0，即 x2−2x−3=0 3 分； x=−1 或 3，A(−1, 0)、B(3, 0) 2 分； 顶点 (1, −8)，S=×4×8=16 3 分； （3）当 x<−1 或 x>3 时 y>0 2 分。 10．【标准答案】（1）y=(10+x)(60−5x)=−5x2+10x+600；（2）y=−5(x−1)2+605，x=1 时最大 605 元，定价 41 元；（3）−5x2+10x+600=600 得 x=0 或 2，定价 40 元或 42 元 （1）y=(10+x)(60−5x)=−5x2+10x+600 4 分； （2）配方 y=−5(x−1)2+605，定价 41 元，最大利润 605 元 3 分； （3）令 y=600 得 −5x2+10x=0 2 分； x=0 或 2，定价 40 元或 42 元 1 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.2 反比例函数的图象和性质（综合）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．下列函数：① y=；② xy=−6；③ ；④ y=x−1。其中是反比例函数的有（　　） A．①②　B．①②④　C．②④　D．①④　 2．反比例函数 的图象两支分别在第二、四象限,则 m 的取值范围是（　　） A．m>3　B．m<3　C．m>−3　D．m<−3　 3．反比例函数 y= 与一次函数 y=x+1 的图象没有交点,则 k 的取值范围是（　　） A．k<　B．k>　C．k<　D．k>　 4．双曲线 y= 与直线 y=x 的交点坐标是（　　） A．(2, 2) 和 (−2, −2)　B．(2, 2)　C．(−2, −2)　D．(2, −2)　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．反比例函数 y= 的图象经过点 (2, −3),则 k=　　　　　　；在每一象限内,y 随 x 的增大而　　　　　　。 6．若函数 y= 是反比例函数,则 m=　　　　　　。 7．直线 y=x+2 与双曲线 y= 交于点 A(1, 3),则 k=　　　　　　,另一交点坐标为　　　　　　。 8．已知点 P(a, b) 在反比例函数 y= 的图象上,且 a+b=5,则点 P 的坐标为　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,一次函数 y1=kx+b 的图象与反比例函数 y2= 的图象交于点 A(−1, 4)、B(4, n)。（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象,直接写出 y1>y2 时自变量 x 的取值范围。（10 分） 10．直线 y=−x+4 与双曲线 y= 交于点 A(m, 1)。（1）求 m 的值与反比例函数的解析式；（2）求直线与 x 轴的交点 C 的坐标,并求 △AOC 的面积。（10 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．B　　2．A　　3．A　　4．A 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．−6；增大 6．±3 7．3；(−3, −1) 8．(2, 3) 或 (3, 2) 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）y2=−，y1=−x+3；（2）x<−1 或 0<x<4 （1）由 A(−1, 4) 得 m=−4，即 y2=− 2 分； 由 B(4, n) 得 n=−1 1 分； 由 A、B 两点解得 k=−1、b=3，y1=−x+3 2 分； （2）由图象得 x<−1 或 0<x<4（以 x=0 为界分段） 5 分。 10．【标准答案】（1）m=3，k=3；（2）C(4, 0)，S△AOC=2 （1）由 A(m, 1) 在直线上得 m=3 2 分； k=3×1=3 2 分； （2）令 y=0 得 C(4, 0) 2 分； S=×4×1=2 4 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 27 章 反比例函数（全章综合） 知识点清单 【核心知识点】 ① 全章知识链：定义 → 解析式（待定系数法）→ 图象（双曲线）→ 性质（象限、增减性）→ 应用。 必考 ② 组合函数：y=+k2x 型用两组对应值列方程组求 k1、k2。 重点、常考 ③ 双曲线上点的坐标特征：横纵坐标之积恒为 k；已知 xy 与 x+y 可联立解出点的坐标。 常考 ④ 实际模型：总量一定时 （t>0），自变量范围由实际意义限定，图象只取一支。 常考 ⑤ 不等式解集：直线与双曲线的上下位置分段写，以交点横坐标与 x=0 为分界。 重点、常考 【拓展知识点】 ① y 与 x 的 n 次幂成反比例（ 型），待定系数法照用。 拓展 ② 含参整数最值：先解不等式得 k 的范围，再取符合条件的整数端点。 拓展、易错 ③ 跨支比较不能用单调性，逐点代入或先分象限再比较。 易错 易错提示（供命题与讲解参考） 1. 组合函数设式 y=+k2x，两组对应值列两个方程，别只用一个条件； 2. 含参整数最值先解不等式再取整数，注意「大于 」的最小整数是 0 不是 −1； 3. 双曲线 xy=k 与 x+y 联立得方程，两根都要检验是否符合原式； 4. 不等式解集分段书写：跨 x=0 时两侧分别看图，不能连写成一个区间。 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.1 图形的旋转（两课时综合）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．下列现象中,属于旋转的是（　　） A．电梯的升降运动　　B．汽车方向盘的转动　　 C．传送带上货物的移动　　D．直升机沿直线上升　　 2．下列关于旋转的说法错误的是（　　） A．旋转不改变图形的形状和大小 B．对应点到旋转中心的距离相等 C．图形上每一点都绕旋转中心沿相同方向旋转了相同的角度 D．旋转中心一定在原图形的内部 3．如图,将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转 60° 得到 △ADE,若 ∠BAC=80°,则 ∠DAC 的度数为（　　） A．20°　B．40°　C．60°　D．80°　 4．如图,在 4×4 的正方形网格中,每个小正方形的边长均为 1,△ABC 绕某点旋转 90° 后得到 △DEF,则旋转中心是（　　） A．点P　B．点Q　C．点R　D．点S　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．钟表上 4:30 时,时针与分针的夹角是＿＿＿°。 6．△ABC 绕点 O 旋转 180° 后与 △DEF 重合,若 A 与 D 是对应点,且 AD=8,则 OA=＿＿。 7．如图,该图案由 8 个相同的叶片组成,绕其中心至少旋转＿＿＿° 后能与自身重合。 8．将 △ABC 绕点 A 旋转得到 △ADE（B、C 的对应点分别为 D、E）,若 AB=5,则 DE=＿＿＿。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,在网格中,每个小正方形的边长均为 1,△ABC 的顶点均在格点上. (1) 画出 △ABC 绕点 O 逆时针旋转 90° 得到的 △A'B'C';（6 分） (2) 求 △ABC 的面积.（4 分） 10．如图,在 △ABC 中,∠BAC=100°.将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转 60°,得到 △ADE. (1) 试判断 △ABD 的形状并说明理由;（5 分） (2) 求 ∠BAE 的度数.（5 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．B　　2．D　　3．A　　4．A 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．45 6．4 7．45 8．5 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】(1) 正确画出 △A'B'C'（图略）；(2) △ABC 的面积为 3. 正确画出旋转后的 △A′B′C′ 4 分； 正确标出对应点 A′、B′、C′ 2 分； 正确求出 △ABC 的面积为 3 4 分。 10．【标准答案】(1) △ABD 是等边三角形；(2) ∠BAE=160°. 由旋转性质得出 AB=AD 2 分； 得出旋转角 ∠BAD=60° 2 分； 判断出 △ABD 是等边三角形 1 分； 得出 ∠DAE=∠BAC=100° 3 分； 求得 ∠BAE=∠BAD+∠DAE=160° 2 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.1 图形的旋转（第 1 课时）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．下列现象中,属于旋转的是（　　） A．电梯从 1 楼升到 5 楼　　B．汽车在笔直的公路上行驶　　 C．钟摆的摆动　　D．传送带上货物的移动　　 2．如图,△ABC 绕点 O 旋转后得到 △A′B′C′,则下列说法错误的是（　　） A．OA=OA′　B．∠AOA′=∠BOB′　C．AB=A′B′　D．AB=B′C′　 3．下列说法正确的是（　　） A．旋转角是对应边之间的夹角　　B．旋转中心一定在旋转的图形上　　 C．旋转前后图形的形状和大小都不变　　D．旋转方向只有逆时针一种　　 4．△ABC 绕点 O 旋转后得到 △A′B′C′,则下列结论：① △ABC≌△A′B′C′；② ∠ACB=∠A′C′B′；③ OC=OC′；④ 旋转中心是点 O。其中正确的有（　　） A．1 个　B．2 个　C．3 个　D．4 个　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．如图,△AOB 绕点 O 旋转后与 △DOC 重合,若 OA=3,则 OD=　　　　　　。 6．钟表的分针从 6:00 起（此时指向 12）按顺时针方向旋转 150°,分针此时指向数字　　　　　　。 7．点 A 绕点 O 旋转 60° 后得到点 A′,若 OA=4,则 AA′=　　　　　　。 8．钟表上 3:30 时,时针与分针的夹角为　　　　　　°。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,将 △ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 40° 得到 △A′B′C′,若 ∠ACB=95°。 （1）写出图中的一个旋转角；（3 分） （2）求 ∠A′CB 的度数。（7 分） 10．如图,网格中 △ABC 绕某点旋转后与 △A′B′C′ 重合。 （1）指出旋转中心与旋转角度；（4 分） （2）连接 OA、OA′,判断 △OAA′ 的形状并说明理由；（3 分） （3）若 OA=2,直接写出 AA′ 的长。（3 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．C　　2．D　　3．C　　4．D 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．3 6．5 7．4 8．75 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）∠ACA′（或 ∠BCB′）；（2）55° （1）写出 ∠ACA′ 或 ∠BCB′ 3 分。 （2）由旋转性质得 ∠ACA′=∠BCB′=40° 3 分； 得 ∠A′CB=∠ACB−∠ACA′=95°−40°=55° 4 分。 10．【标准答案】（1）旋转中心为点 O，旋转角为 90°；（2）等腰直角三角形（理由见评分标准）；（3） （1）指出旋转中心为点 O 2 分； 写出旋转角为 90° 2 分。 （2）判断 △OAA′ 是等腰直角三角形 2 分； 理由：OA=OA′，∠AOA′=90° 1 分。 （3）直接写出 3 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.1 图形的旋转（第 1 课时）（五点梳理） 知识点：旋转的定义：把一个平面图形绕着平面内某一点 O 转动一个角度，叫作图形的旋转，点 O 叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角；旋转前后的图形全等；旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 易错点：① 旋转角是对应点与旋转中心连线所成的角（如 ∠AOA′），不是任意两条边的夹角；② 描述旋转必须说清旋转中心、旋转方向、旋转角三要素；③ 旋转只改变位置，不改变图形的形状和大小。 重点：识别旋转三要素；利用旋转性质求对应线段的长与角的度数。 难点：旋转性质的综合运用：判断三角形的形状、在网格中确定旋转中心与旋转角。 常考点：旋转现象的辨认；钟表指针转过的角度；利用性质求角度与线段长。 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.1 图形的旋转（第 2 课时）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．画一个图形绕某点旋转后的图形,正确的做法是先画出（　　） A．图形的周长　B．一些关键点的对应点　C．图形的面积　D．图形的对称轴　 2．如图,由 6 个相同的“叶片”组成的图案,绕其中心至少旋转（　　）后能与自身重合。 A．30°　B．45°　C．60°　D．90°　 3．正方形绕其中心至少旋转（　　）后能与自身重合。 A．45°　B．60°　C．90°　D．180°　 4．下列说法正确的是（　　） A．旋转作图时只需画出一个点的对应点 B．网格中图形绕格点旋转 90° 后,对应线段一定互相垂直 C．图形旋转后大小会发生改变 D．利用旋转设计图案时,旋转中心必须选在图形内部 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．如图,该图案由一个“花瓣”绕中心旋转得到,每次旋转的最小角度是　　　　　　°。 6．正六边形绕其中心至少旋转　　　　　　°后能与自身重合。 7．如图,△ABC 绕点　　　　　　（填图中字母）旋转 180° 后与 △DEF 重合。 8．如图,△A′B′C′ 由 △ABC 绕点 P 旋转得到,则旋转角 ∠APA′=　　　　　　°。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,在网格中画出 △ABC 绕点 O 逆时针旋转 90° 后的 △A′B′C′。 （1）画出点 A、B、C 的对应点 A′、B′、C′；（6 分） （2）连接 A′B′、B′C′、C′A′,得到 △A′B′C′。（4 分） 10．如图,△ABD 与 △ACE 都是等边三角形,△ADC 绕点 A 旋转后能与 △ABE 重合。 （1）指出旋转方向与旋转角度；（4 分） （2）试说明 BE=DC。（6 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．B　　2．C　　3．C　　4．B 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．72 6．60 7．R 8．90 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】A′、B′、C′ 的位置如图所示（A′ 在点 O 右方 3 格、下方 1 格处，B′ 在点 O 上方 2 格、右方 3 格处，C′ 在点 O 上方 2 格、右方 1 格处），图略 （1）正确画出点 A′、B′、C′（每个 2 分，共 6 分） 6 分。 （2）正确连线成 △A′B′C′ 并标注顶点 4 分。 10．【标准答案】（1）绕点 A 逆时针旋转 60°；（2）BE=DC（理由见评分标准） （1）指出旋转方向为逆时针 2 分； 写出旋转角为 60° 2 分。 （2）得 AB=AD、AC=AE 2 分； 说明 ∠BAE=∠DAC（均为 60° 加 ∠DAE） 2 分； 得 △ABE≌△ADC，故 BE=DC 2 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.1 图形的旋转（第 2 课时）（五点梳理） 知识点：画旋转后图形的方法：只要画出图形中一些关键点（如多边形的顶点）的对应点，连接这些对应点即可；利用旋转可以设计美丽的图案；一个图形绕某点旋转一定角度后能与自身重合（旋转对称思想）。 易错点：① 旋转方向弄反（顺时针/逆时针）；② 网格中旋转 90° 时对应点的横向、纵向格数位置互换，容易数错；③ 多次旋转时每次的旋转角不统一。 重点：网格中画简单图形旋转 90°、180° 后的图形；求图案的最小旋转角。 难点：由旋转前后的图形反求旋转中心与旋转角（对应点连线段的交点/垂直平分线法）。 常考点：网格作图题；判断图案绕中心旋转多少度能与自身重合。 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.2 中心对称（第 1 课时）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．下列说法正确的是（　　） A．成中心对称的两个图形一定全等 B．全等的两个图形一定成中心对称 C．旋转角不是 180° 的两个旋转图形不可能全等 D．成中心对称的两个图形的对称点连线不一定经过对称中心 2．如图,△ABC 与 △A′B′C′ 关于点 O 成中心对称,则下列结论错误的是（　　） A．AO=A′O　B．BO=B′O　C．AB=A′B′　D．BO=CO　 3．成中心对称的两个图形中,对应点连线（　　） A．互相平行　B．互相垂直　C．相等　D．经过对称中心且被对称中心平分　 4．如图,网格中 △ABC 与 △DEF 成中心对称,则对称中心是（　　） A．点 P　B．点 Q　C．点 R　D．点 S　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．点 A 与点 A′ 关于点 O 对称,且 AA′=8 cm,则 OA=　　　　　　cm。 6．△ABC 与 △DEF 关于点 O 成中心对称,若 AB=5,则 DE=　　　　　　。 7．△ABC 与 △A′B′C′ 关于点 O 成中心对称,且 A、O、A′ 在同一直线上,若 AA′=6,BO=4,则 BB′=　　　　　　。 8．△ABC 与 △DEF 关于点 O 成中心对称,△ABC 的面积为 8,AB 边上的高为 4,则 DE 边上的高为　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,在网格中画出 △ABC 关于点 O 对称的 △A′B′C′。 （1）画出点 A、B、C 关于点 O 的对称点 A′、B′、C′；（6 分） （2）连接 A′B′、B′C′、C′A′,得到 △A′B′C′。（4 分） 10．如图,线段 AC、BD 相交于点 O,且 OA=OC,OB=OD。 （1）说明 △AOB 与 △COD 全等的理由；（5 分） （2）△AOB 与 △COD 关于点 O 成中心对称吗?请说明理由。（5 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．A　　2．D　　3．D　　4．C 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．4 6．5 7．8 8．4 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）（2）图略：A′、B′、C′ 分别在点 O 与 A、B、C 相对的方向上，且到点 O 的距离分别等于 OA、OB、OC（A′ 在 O 右 4 格上 1 格，B′ 在 O 右 4 格下 2 格，C′ 在 O 右 2 格下 2 格） （1）正确画出点 A′、B′、C′（每个 2 分，共 6 分） 6 分。 （2）正确连线成 △A′B′C′ 并标注顶点 4 分。 10．【标准答案】（1）△AOB≌△COD（SAS）；（2）成中心对称（理由见评分标准） （1）写出对顶角 ∠AOB=∠COD 2 分； 由 OA=OC、OB=OD，用 SAS 得全等 3 分。 （2）由 OA=OC 且 A、O、C 共线，得 A 与 C 关于点 O 对称 2 分； 同理 B 与 D 关于点 O 对称 2 分； 旋转 180° 后两三角形重合，故成中心对称 1 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.1.1 圆的有关概念（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．下列说法中,正确的是（　　） A．弦是直径　B．半圆是弧　C．过圆心的线段是直径　D．等圆的半径不一定相等　 2．已知 ⊙O 的半径为 6,点 P 在 ⊙O 的内部,则 OP 的取值范围是（　　） A．OP<6　B．OP>6　C．OP≤6　D．OP≥6　 3．如图,AB 是 ⊙O 的直径,点 C、D 在 ⊙O 上,连接 AC、BD,则图中的弦共有（　　） A．2 条　B．3 条　C．4 条　D．5 条　 4．下列说法中,错误的是（　　） A．同圆的半径相等　　B．直径是圆中最长的弦　　 C．能够重合的两个圆叫等圆　　D．长度相等的两条弧是等弧　　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．已知 ⊙O 的半径为 3,点 P 到圆心 O 的距离为 5,则点 P 在 ⊙O 的　　　　　　（填"内""上"或"外"）。 6．⊙O 的半径为 5,则圆上的点到圆心 O 的最大距离为　　　　　　。 7．⊙O 的半径为 4,则 ⊙O 中最长的弦长为　　　　　　。 8．一棵 40 年树龄的树,树干的横截面（圆形）直径为 24 cm,则横截面的半径平均每年增加　　　　　　cm。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．在 Rt△ABC 中,∠C=90°,D 为斜边 AB 的中点。求证：A、B、C 三点在以点 D 为圆心、 以 DA 为半径的同一个圆上。 10．体育课上要在操场上画一个半径为 5 m 的圆。小明说用一根长 5 m 的绳子和一根木桩就可以完成。 （1）写出小明画圆的方法；（6 分） （2）说明这样画出的曲线是圆的理由。（4 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．B　　2．A　　3．B　　4．D 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．外 6．10 7．8 8．0.3 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】证明见评分标准（利用"直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半"） 由 ∠C=90°，得 CD 为斜边 AB 上的中线 4 分； 由"直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半"，得 CD=DA=DB 4 分； 所以 A、B、C 三点到 D 的距离都等于 DA，三点在同一个圆上 2 分。 10．【标准答案】（1）把木桩固定在定点上，用长 5 m 的绳子一端系在木桩上，拉紧绳子另一端绕木桩转一圈；（2）理由：线段绕固定端点旋转一周，另一端点形成的图形叫圆 （1）把木桩固定作为定点，绳长 5 m 一端系在木桩上 3 分； 拉紧绳子另一端，绕木桩旋转一周画出曲线 3 分。 （2）线段 OP 绕固定的端点 O 旋转一周，另一端点 P 所形成的图形叫圆 4 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.1.1 圆的有关概念（五点梳理） 知识点：圆的定义：在一个平面内，线段 OP 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 P 所形成的图形叫做圆；圆心为 O、半径为 r 的圆也可以看成平面内到点 O 的距离等于定长 r 的所有点组成的图形。弦（连接圆上任意两点的线段）、直径（经过圆心的弦，等于半径的 2 倍）、弧（圆上任意两点间的部分）、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧。点与圆的位置关系：点在圆外 d>r，点在圆上 d=r，点在圆内 d<r。 易错点：① 误认为"弦就是直径"——直径是过圆心的弦，是弦的特殊情形；② "过圆心的线段是直径"错误，线段两端点必须在圆上；③ 等弧是能完全重合的弧，不是"长度相等的弧"；④ 判断点与圆的位置关系时先比较 d 与 r 的大小。 重点：圆的两定义（旋转定义与点集定义）；弦、直径、弧的概念辨析；点与圆位置关系的判断。 难点：用圆的定义证明几个点在同一个圆上（常与"直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半"结合）。 常考点：概念正误判断；由 d 与 r 的大小判断点的位置；圆的实际应用（画圆、树轮问题）。 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.1.2 反证法（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．用反证法证明一个命题时,第一步应（　　） A．直接证明结论成立　　B．提出与结论相反的假设　　 C．举反例说明结论不成立　　D．从已知条件出发推理　　 2．用反证法证明"一个三角形中不能有两个角是直角"时,第一步应假设（　　） A．三角形中三个角都是直角　　B．三角形中有两个角是直角　　 C．三角形中没有直角　　D．三角形中只有一个直角　　 3．用反证法证明"在同一平面内,若 a∥b,c 与 a 相交,则 c 与 b 也相交"时,第一步应假设（　　） A．c 与 b 相交　B．c 与 b 平行　C．c 与 a 不相交　D．a 与 b 相交　 4．用反证法证明命题时,若推出的结论与已知条件矛盾,则应（　　） A．肯定假设成立　　B．说明假设不成立,从而原结论成立　　 C．改变假设重新推理　　D．得出命题无法证明　　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．用反证法证明"在同一平面内,两条不重合的直线 a、b 最多有一个交点"时,应假设　　　　　　。 6．用反证法证明"一个三角形中至少有两个锐角"时,应假设　　　　　　。 7．用反证法证明"两直线平行,同位角相等"时,应假设同位角　　　　　　。 8．用反证法证题时,从假设出发推出　　　　　　,从而肯定原命题的结论成立。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．用反证法证明：400 人中至少有两个人的生日相同。 （按"提出假设—推出矛盾—得出结论"三步写出证明。） 10．用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角。 （按"提出假设—推出矛盾—得出结论"三步写出证明。） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．B　　2．B　　3．B　　4．B 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．a、b 有两个（或两个以上）交点 6．三角形中至多有一个锐角（即至少有两个直角或钝角） 7．不相等 8．矛盾 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】证明见评分标准（假设 400 人生日各不相同 → 一年最多 366 天 → 矛盾） 假设 400 个人的生日两两不同，即每天最多只有 1 人过生日 3 分； 而一年最多有 366 天，366<400，每天最多 1 人时 400 人无法安排 3 分； 与事实矛盾，假设不成立 2 分； 所以 400 人中至少有两个人的生日相同 2 分。 10．【标准答案】证明见评分标准（假设三角形中有两个直角 → 内角和大于 180° → 矛盾） 假设三角形中有两个角是直角，设 ∠B=∠C=90° 3 分； 则 ∠B+∠C=180°，得 ∠A+∠B+∠C>180° 3 分； 这与"三角形内角和等于 180°"矛盾，假设不成立 2 分； 所以一个三角形中不能有两个角是直角 2 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.1.2 反证法（五点梳理） 知识点：反证法：先提出与命题结论相反的假设，然后从假设出发，经过推理得出与定义、基本事实、定理或已知条件相矛盾的结果，说明假设不成立，从而肯定原命题的结论成立。三个步骤：提出假设—推出矛盾—得出结论。适用于结论涉及"至少""至多""唯一""不能"等直接证明困难的命题。 易错点：① 假设写错：应否定结论而不是否定条件；"至少两个"的反面是"至多一个"；② 推出的矛盾必须与定义、基本事实、定理或已知条件相矛盾，不能凭感觉；③ 最后必须写"假设不成立，所以原结论成立"，不能推出矛盾就结束。 重点：反证法三个步骤的完整书写；正确写出与结论相反的假设。 难点：由假设出发构造矛盾（如与内角和、平行公理、数量比较矛盾）。 常考点：写反证法的假设；用反证法证明"至少/至多"类命题；反证法与过同一直线上三点不能作圆的结合。 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.1 圆的有关概念（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．下列说法中,正确的是（　　） A．弧是半圆,半圆是弧　　B．直径是弦,弦不一定是直径　　 C．长度相等的弧是等弧　　D．圆的任意一条弦都等于直径的一半　　 2．以平面直角坐标系的原点 O 为圆心、5 为半径作 ⊙O,点 P 的坐标为 (3, 4),则点 P 与 ⊙O 的位置关系是（　　） A．点 P 在 ⊙O 内　B．点 P 在 ⊙O 上　C．点 P 在 ⊙O 外　D．无法确定　 3．直角三角形的两条直角边分别为 5 和 12,则它的外接圆的半径为（　　） A．5　B．6　C．6.5　D．13　 4．用反证法证明"过同一条直线上的三点不能作圆"时,第一步应假设（　　） A．过同一条直线上的三点不能作圆　　B．过同一条直线上的三点可以作一个圆　　 C．过任意三点都不能作圆　　D．过同一条直线上的三点只能作一个圆　　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．⊙O 的半径为 4,点 P 在 ⊙O 的外部,则 OP　　　　　　4（填">""="或"<"）。 6．等边三角形的边长为 ,则它的外接圆的半径为　　　　　　。 7．⊙O 中最长的弦长为 10,则 ⊙O 的半径为　　　　　　。 8．用反证法证明"一个三角形中最多有一个直角"时,应假设　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O。 求证：A、B、C、D 四点在以点 O 为圆心、OA 为半径的同一个圆上。 10．如图,在 △ABC 中,∠C=90°,AC=6,BC=8。 （1）用尺规作 △ABC 的外接圆 ⊙O（保留作图痕迹,标出圆心 O）；（6 分） （2）求 △ABC 的外接圆的半径。（4 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．B　　2．B　　3．C　　4．B 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．> 6．4 7．5 8．三角形中有两个（或两个以上）直角 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】证明见评分标准（矩形对角线相等且互相平分 → OA=OB=OC=OD） 四边形 ABCD 是矩形，所以 AC=BD（矩形对角线相等） 3 分； 对角线互相平分，得 OA=OC=½AC，OB=OD=½BD 4 分； 所以 OA=OB=OC=OD，四点在以 O 为圆心、OA 为半径的圆上 3 分。 10．【标准答案】（1）图略：作两边的垂直平分线定圆心 O（直角三角形外心在斜边中点）；（2）半径为 5 （1）正确作出两条边（或斜边与一条直角边）的垂直平分线 3 分； 确定圆心 O 并画出外接圆、标出 O 3 分。 （2）由勾股定理得 AB=10，直角三角形的外心是斜边中点 2 分； 所以外接圆半径 =½AB=5 2 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.2.1 垂直于弦的直径（五点梳理） 知识点：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心。常用模型：半径 r、弦心距 d、半弦长 a 构成直角三角形，r²=d²+a²。 易错点：① "平分弦的直径垂直于弦"中被平分的弦不能是直径（直径被平分时不一定垂直）；② 垂径定理中"平分弦所对的两条弧"容易漏写；③ 弦长、半径、拱高计算时列错直角三角形，半弦长=弦长的一半，不要用整条弦。 重点：垂径定理及其推论；用勾股定理求弦长、弦心距、半径；拱桥（弓形高）问题。 难点：拱桥半径、排水管水面等实际问题的几何建模（构造 r²=d²+a² 的直角三角形）。 常考点：垂径定理的基本计算（知三求一）；赵州桥、拱桥、排水管类应用题；同心圆弦长相等的证明。 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.2.2 圆心角（五点梳理） 知识点：顶点在圆心的角叫圆心角。圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心；圆也是旋转对称图形，绕圆心旋转任意角度都与自身重合。圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；反之，两条弧相等→所对圆心角相等；两条弦相等→所对弧相等、圆心角相等、弦心距相等。"知一得三"：圆心角、弧、弦（弦心距）中一个相等，其余都相等。 易错点：① "在同圆或等圆中"这一前提不能丢，两个不同的圆中相等的圆心角所对的弧不相等；② 弦所对的弧有两条（优弧与劣弧），表述时注意区分；③ 圆心角 60° 的弦等于半径，这一结论常用于计算。 重点：圆心角、弧、弦之间关系的定理及运用；等边三角形与圆心角 120° 的对应关系。 难点：利用"知一得三"进行弦长、弦心距、圆心角的转化计算（含 120°、60° 特殊角）。 常考点：等弦⇔等弧⇔等圆心角的判断与证明；弧等分圆心角的计算；全等三角形与圆心角定理的综合。 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.2.3 圆周角（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．下列关于圆周角的说法中,正确的是（　　） A．顶点在圆内的角是圆周角　　B．顶点在圆上并且两边都与圆相交的角是圆周角　　 C．顶点在圆心的角是圆周角　　D．顶点在圆上的任意角都是圆周角　　 2．在 ⊙O 中,圆心角 ∠AOB=100°,则它所对的弧所对的圆周角为（　　） A．25°　B．50°　C．100°　D．200°　 3．AB 是 ⊙O 的直径,点 C 在 ⊙O 上,∠BAC=30°,则 ∠B 的度数为（　　） A．30°　B．45°　C．60°　D．90°　 4．下列结论中,错误的是（　　） A．同弧所对的圆周角相等　　B．直径所对的圆周角是直角　　 C．90° 的圆周角所对的弦是直径　　D．圆周角等于圆心角的一半　　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．一条弧所对的圆心角为 70°,则这条弧所对的圆周角为　　　　　　度。 6．⊙O 的直径 AB=10,弦 AC=6（C 在圆上）,则 BC 的长为　　　　　　。 7．点 A、B、C 都在 ⊙O 上,∠BAC=40°,则圆心角 ∠BOC 的度数为　　　　　　度。 8．如图,点 A、B、C 都在 ⊙O 上,∠BAC=50°,连接 OB,则 ∠OBC 的度数为　　　　　　度。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,⊙O 的直径 AB 的长为 10,弦 AC 的长为 6,∠ACB 的平分线交 ⊙O 于点 D。 （1）求 BC 的长；（5 分） （2）求 AD、BD 的长。（5 分） 10．如图,A、P、B、C 是 ⊙O 上的四个点,∠APC=∠CPB=60°。 （1）判断 △ABC 的形状；（4 分） （2）证明你的结论。（6 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．B　　2．B　　3．C　　4．D 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．35 6．8 7．80 8．40 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）BC=8；（2）AD=BD=5√2（过程见评分标准） （1）由 AB 是直径得 ∠ACB=90°，BC=√(AB²−AC²)=8 5 分； （2）由 CD 平分 ∠ACB 得 弧AD=弧BD，所以 AD=BD 3 分； 在 Rt△ABD 中，AD²+BD²=AB²，又 AD=BD，所以 AD=BD=5√2 2 分。 10．【标准答案】（1）△ABC 是等边三角形；（2）证明见评分标准 （1）△ABC 是等边三角形 4 分。 （2）∠ABC 与 ∠APC 是同弧 AC 所对的圆周角，得 ∠ABC=60° 3 分； ∠BAC 与 ∠CPB 是同弧 BC 所对的圆周角，得 ∠BAC=60° 2 分； 两个角是 60°，第三个角也是 60°，所以 △ABC 是等边三角形 1 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆的内接四边形（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形,若 ∠A=70°,则 ∠C 的度数为（　　） A．70°　B．90°　C．110°　D．130°　 2．四边形 ABCD 内接于 ⊙O,点 E 在 BC 的延长线上,若 ∠DCE=50°,则 ∠A 的度数为（　　） A．130°　B．40°　C．100°　D．50°　 3．下列说法中,正确的是（　　） A．圆内接四边形的对角相等　　B．圆内接四边形的对角互补　　 C．圆内接四边形的外角等于它的邻角　　D．任何四边形都有外接圆　　 4．四边形 ABCD 内接于 ⊙O,若 ∠B:∠D=1:2,则 ∠B 的度数为（　　） A．30°　B．60°　C．90°　D．120°　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形,若 ∠A=50°,则 ∠C 的度数为　　　　　　度。 6．四边形 ABCD 内接于 ⊙O,点 E 在 CD 的延长线上,若 ∠ADE=70°,则 ∠ABC 的度数为　　　　　　度。 7．四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形,∠A:∠B:∠C=2:3:4,则 ∠D 的度数为　　　　　　度。 8．四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形,且 AB=AD,若 ∠C=78°,则 ∠ABD 的度数为　　　　　　度。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形,若 ∠BOD=100°。求 ∠A 和 ∠C 的度数。 （提示：先由圆周角定理求 ∠A。） 10．如图,四边形 ABCD 内接于 ⊙O,点 E 在 CD 的延长线上。 求证：∠ADE=∠ABC。 （提示：利用圆内接四边形对角互补和平角定义。） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．C　　2．D　　3．B　　4．B 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．130 6．70 7．90 8．39 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】∠A=50°，∠C=130°（过程见评分标准） 由圆周角定理，∠A=½∠BOD=½×100°=50° 5 分； 由圆内接四边形对角互补，∠C=180°−∠A=130° 5 分。 10．【标准答案】证明见评分标准（同角的补角相等） 因为四边形 ABCD 内接于 ⊙O，所以 ∠ADC+∠ABC=180° 4 分； 因为 E 在 CD 的延长线上，∠ADC+∠ADE=180° 4 分； 所以 ∠ADE=∠ABC（同角的补角相等） 2 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.3 弧长和扇形面积（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．半径为 9、圆心角为 40° 的弧长为（　　） A．　B．　C．　D．　 2．半径为 6、圆心角为 90° 的扇形面积为（　　） A．　B．　C．　D．　 3．圆锥的底面半径为 4,母线长为 8,则它的侧面积为（　　） A．　B．　C．　D．　 4．圆锥的底面半径为 5,母线长为 12,则它的侧面展开图的圆心角为（　　） A．120°　B．135°　C．150°　D．180°　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．一段弧长为 4π,圆心角为 60°,则这段弧所在圆的半径为　　　　　　。 6．一个扇形的半径为 6,面积为 12π,则这个扇形的弧长为　　　　　　。 7．用圆心角为 90°、半径为 8 的扇形纸片卷成一个无底圆锥,则这个圆锥底面圆的半径为　　　　　　。 8．圆锥的底面半径为 3,高为 4,则它的侧面积为　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,正方形 ABCD 的边长为 4,分别以点 B、D 为圆心、4 为半径,在正方形内部画弧 AC,两弧围成一个叶形阴影。 求阴影部分（叶形）的面积。 10．如图是一个圆锥形烟囱帽,它的底面圆半径为 30 cm,母线长为 50 cm。 （1）求制作一个这样的烟囱帽所需铁皮的面积（即圆锥的侧面积,用 π 表示）；（5 分） （2）若烟囱帽的高为 40 cm,请用勾股定理验证"半径 30、高 40、母线 50"构成直角三角形。（5 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．B　　2．A　　3．C　　4．C 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．12 6． 7．2 8． 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】阴影面积为 8π−16（过程见评分标准） 正方形面积为 4×4=16，以 B 为圆心的四分之一圆面积为 ¼π×4²=4π 4 分； 半片叶形 = 四分之一圆 − 正方形的一半 = 4π−8 3 分； 叶形由两片对称半叶组成，S=2×(4π−8)=8π−16 3 分。 10．【标准答案】（1）1500π cm²；（2）30²+40²=50²，是直角三角形 （1）由圆锥侧面积公式 S=πrl 2 分； S=π×30×50=1500π cm² 3 分。 （2）计算 30²+40²=900+1600=2500 3 分； 50²=2500，所以 30²+40²=50²，构成直角三角形 2 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 30.1.2 切线长定理（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．从圆外一点引圆的两条切线,则这两条切线的（　　） A．切线长相等　B．切线长不相等　C．夹角为 90°　D．夹角为 60°　 2．如图,PA、PB 分别与 ⊙O 相切于点 A、B,若 ∠P=50°,则 ∠AOB 的度数为（　　） A．50°　B．100°　C．130°　D．140°　 3．PA、PB 与 ⊙O 分别相切于点 A、B,若 ∠P=60°,则 ∠PAB 的度数为（　　） A．30°　B．45°　C．60°　D．90°　 4．四边形 ABCD 的各边与 ⊙O 相切,若 AB=5,CD=7,则四边形 ABCD 的周长为（　　） A．20　B．24　C．28　D．32　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．PA、PB 与 ⊙O 分别相切于点 A、B,若 PA=6,OP=10,则 ⊙O 的半径为　　　　　　。 6．PA、PB 与 ⊙O 分别相切于点 A、B,若 ∠P=60°,OA=3,则 OP=　　　　　　。 7．PA、PB 与 ⊙O 分别相切于点 A、B,若 ∠P=40°,则 ∠AOB 的度数为　　　　　　。 8．点 P 在 ⊙O 外,PA 与 ⊙O 相切于点 A,若 ⊙O 的半径为 3,OP=6,则切线 PA 的长为　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,PA、PB 是 ⊙O 的切线,A、B 为切点,直线 OP 交 ⊙O 于点 C、D,交 AB 于点 E。 （1）写出图中所有的垂直关系；（3 分） （2）若 PA=4,PD=2,求 ⊙O 的半径。（7 分） 10．如图,PA、PB 与 ⊙O 分别相切于点 A、B,∠P=40°,点 C 是劣弧 AB 上一点（不与 A、B 重合）。 连接 AC、BC,求 ∠ACB 的度数。 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．A　　2．C　　3．C　　4．B 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．8 6．6 7．140° 8．3√3 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）OA⊥PA、OB⊥PB、OP⊥AB；（2）半径为 3（OP=r+2，PA²=OP²−r²，得 16=4r+4） （1）OA⊥PA、OB⊥PB、OP⊥AB（写出三条） 3 分； （2）设半径为 r，则 OP=OD+DP=r+2 3 分； 在 Rt△OAP 中，PA²=OP²−OA²=(r+2)²−r²=4r+4 2 分； 由 4r+4=16，解得 r=3 2 分。 10．【标准答案】∠ACB=110°（∠AOB=140°，优弧 AB 为 220°，圆周角=所对弧的一半） 连接 OA、OB，由切线性质得 ∠OAP=∠OBP=90° 3 分； 四边形 OAPB 中，∠AOB=360°−90°−90°−40°=140° 3 分； 优弧 AB 的度数为 360°−140°=220° 2 分； 由圆周角定理，∠ACB=½×220°=110° 2 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 30.2 三角形的内切圆（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．三角形的内心是三角形（　　） A．三条角平分线的交点　　B．三条边的中垂线的交点　　 C．三条中线的交点　　D．三条高所在直线的交点　　 2．⊙I 是 △ABC 的内切圆,则点 I 到 △ABC 三个（　　）的距离相等 A．顶点　B．边　C．边的三等分点　D．以上都不对　 3．等边三角形的边长为 2√3,则它的内切圆的半径为（　　） A．1　B．√3　C．2　D．2√3　 4．直角三角形的两条直角边分别为 5 和 12,则它的内切圆的半径为（　　） A．1　B．2　C．3　D．4　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．若三角形的面积为 18,周长为 12,则它的内切圆的半径为　　　　　　。 6．若等边三角形的内切圆的半径为 √3,则它的边长为　　　　　　。 7．△ABC 中,I 是内心,若 ∠A=50°,则 ∠BIC 的度数为　　　　　　。 8．直角三角形的两条直角边分别为 9 和 12,则它的内切圆的半径为　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,△ABC 中,I 是内心,连接 BI、CI。 （1）若 ∠ABC=50°,∠ACB=70°,求 ∠BIC 的度数；（7 分） （2）说明 ∠BIC 与 ∠A 之间的数量关系。（3 分） 10．如图,△ABC 中,∠C=90°,AC=6,BC=8,⊙I 是 △ABC 的内切圆,D、E、F 分别是边 BC、CA、AB 上的切点。 （1）求 ⊙I 的半径；（5 分） （2）求 AF、BF 的长。（5 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．A　　2．B　　3．A　　4．B 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．3 6．6 7．115° 8．3 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）∠BIC=120°；（2）∠BIC=90°+½∠A （1）BI 平分 ∠ABC，得 ∠IBC=½×50°=25° 3 分； CI 平分 ∠ACB，得 ∠ICB=½×70°=35° 2 分； 所以 ∠BIC=180°−25°−35°=120° 2 分； （2）∠BIC=180°−½(∠ABC+∠ACB)=180°−½(180°−∠A)=90°+½∠A 3 分。 10．【标准答案】（1）r=2；（2）AF=4，BF=6（切线长：AF=AC−r，BF=BC−r） （1）由勾股定理得 AB=√(6²+8²)=10 2 分； r=½(AC+BC−AB)=½(6+8−10)=2 3 分； （2）由切线长定理，CE=CD=r=2 2 分； 所以 AF=AE=AC−r=6−2=4，BF=BD=BC−r=8−2=6 3 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 30.3 正多边形与圆（五点梳理） 知识点：正多边形的中心：外接圆的圆心；半径：外接圆的半径；中心角：每条边所对的圆心角=360°/n；边心距：中心到边的距离（=R×cos(180°/n)）。正 n 边形每个内角=(n−2)×180°/n。正六边形的边长等于其外接圆半径；正方形边长=√2×边心距。正多边形是轴对称图形（n 条对称轴），边数为偶数时也是中心对称图形。 易错点：① 中心角（360°/n）与内角（(n−2)×180°/n）混淆；② 正六边形"边长=半径"记错为"边长=边心距"；③ 计算面积时忘记乘以三角形个数 n，或把边心距当成高用错底。 重点：中心角、半径、边长、边心距的计算（解由半径、半边、边心距构成的直角三角形）。 难点：正多边形面积的计算（分割成 n 个等腰三角形）；延安宝塔、螺帽等实际问题的建模与计算。 常考点：中心角与边数互求；半径、边长、边心距的互化；正多边形面积（正八边形空地、正六边形螺帽）。 学科网（北京）股份有限公司 $ 30.3 正多边形与圆（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．正十边形的中心角的度数为（　　） A．36°　B．45°　C．60°　D．72°　 2．正六边形的半径为 R,则它的边心距为（　　） A．R　B．(√3/2)R　C．(√2/2)R　D．(1/2)R　 3．若正方形的面积为 8,则它的外接圆的半径为（　　） A．1　B．2　C．2√2　D．4　 4．正三角形的边长为 2√3,则它的外接圆的面积为（　　） A．2π　B．3π　C．4π　D．4√3π　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．正六边形的边心距为 √3,则它的边长为　　　　　　。 6．正方形的外接圆的半径为 4,则正方形的面积为　　　　　　。 7．正三角形的半径（外接圆半径）为 6,则它的边长为　　　　　　。 8．正六边形的边长为 2,则它的面积为　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,正六边形 ABCDEF 内接于 ⊙O,⊙O 的半径为 6,连接 OA、OB,作 OP⊥AB,垂足为 P。 （1）求正六边形的边心距；（5 分） （2）求正六边形 ABCDEF 的面积。（5 分） 10．如图,正方形 ABCD 的边长为 4,⊙O₁ 是它的内切圆,⊙O₂ 是它的外接圆。 （1）分别求 ⊙O₁ 与 ⊙O₂ 的半径；（5 分） （2）求阴影部分（圆环）的面积。（5 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．A　　2．B　　3．B　　4．C 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．2 6．32 7．6√3 8．6√3 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）边心距 3√3；（2）面积 54√3（6×½×6×3√3） （1）中心角 ∠AOB=60°，△OAB 是等边三角形，AB=OA=6 2 分； 在 Rt△AOP 中，OP=OA×sin60°=6×(√3/2)=3√3 3 分； （2）S=6×S△AOB=6×½×AB×OP=6×½×6×3√3 3 分； 所以面积为 54√3 2 分。 10．【标准答案】（1）内切圆半径 2，外接圆半径 2√2；（2）圆环面积 4π（π(8−4)） （1）内切圆半径=边长的一半=2 2 分； 外接圆半径等于对角线的一半=½×4√2=2√2 3 分； （2）圆环面积 S=π(R²−r²)=π(8−4)=4π 5 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 30 章 直线与圆的位置关系（全章综合一）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．⊙O 的半径为 6,圆心 O 到直线 l 的距离为 8,则直线 l 与 ⊙O 的位置关系是（　　） A．相离　B．相切　C．相交　D．无法确定　 2．PA 与 ⊙O 相切于点 A,若 ∠P=40°,则 ∠AOP 的度数为（　　） A．40°　B．50°　C．60°　D．90°　 3．△ABC 中,I 是内心,若 ∠A=60°,则 ∠BIC 的度数为（　　） A．90°　B．120°　C．150°　D．135°　 4．正六边形的边长为 3,则它的外接圆的半径为（　　） A．3　B．3√3　C．6　D．6√3　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,以 C 为圆心作圆与 AB 相切,则 ⊙C 的半径为　　　　　　。 6．PA、PB 与 ⊙O 分别相切于点 A、B,若 ∠P=50°,则 ∠AOB 的度数为　　　　　　。 7．若三角形的面积为 12,周长为 8,则它的内切圆的半径为　　　　　　。 8．正方形的边心距为 3,则它的面积为　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,AB 是 ⊙O 的直径,AC 与 ⊙O 相切于点 A,连接 BC 交 ⊙O 于点 D,若 ∠B=45°,AB=4。 （1）求证：AD⊥BC；（6 分） （2）求 BD 的长。（4 分） 10．如图,在 △ABC 中,∠C=90°,点 O 在边 AC 上,⊙O 与 BC 相切于点 C,与 AB 相切于点 D,AC=4,BC=3。 （1）求 ⊙O 的半径；（6 分） （2）求 AD 的长。（4 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．A　　2．B　　3．B　　4．A 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．2.4 6．130° 7．3 8．36 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）连接 AD，AB 是直径得 ∠ADB=90°，即 AD⊥BC；（2）∠B=45°，BD=AB×cos45°=2√2 （1）连接 AD 2 分； AB 是 ⊙O 的直径，得 ∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角） 3 分； 所以 AD⊥BC 1 分； （2）∠B=45°，在 Rt△ABD 中，BD=AB×cos45°=4×(√2/2)=2√2 4 分。 10．【标准答案】（1）r=3/2；（2）AD=2（AO=4−r=5/2，Rt△ADO 中 AD=√(AO²−r²)） （1）连接 OD，由切线性质得 OD⊥AB，且 OD=OC=r 2 分； 设 r=OC，则 AO=AC−OC=4−r 1 分； 由 ∠A 公共，得 Rt△ADO∽Rt△ACB 2 分； 所以 OD/BC=AO/AB，即 r/3=(4−r)/5，解得 r=3/2 1 分； （2）AO=4−3/2=5/2，在 Rt△ADO 中，AD=√(AO²−OD²)=√(25/4−9/4)=2 4 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 30 章 直线与圆的位置关系（全章综合一）（五点梳理） 知识点：直线与圆位置关系（d 与 r）；切线的性质与判定；切线长定理；三角形的内切圆（S=½×l×r，直角三角形 r=½(a+b−c)，∠BIC=90°+½∠A）；正多边形的半径、边心距、中心角与面积。本章与前面章节的联系：直径所对的圆周角是直角、勾股定理、相似三角形、解直角三角形。 易错点：① 切线性质与判定条件用混；② 内切圆与外接圆混淆；③ 正多边形问题中把"半径"当"边心距"用；④ 相似列比例式时对应边写错。 重点：切线的综合证明（连半径证垂直）；内切圆半径的计算；正多边形与圆的互化计算。 难点：切线与相似三角形、圆周角定理的综合：设半径、列比例（或勾股）方程求解。 常考点：位置关系判断；切线证明与计算；内切圆半径；正六边形、正方形计算；综合解答题（证切线+求线段）。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 28 章 旋转（全章综合）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．等边三角形　B．五角星　C．菱形　D．等腰梯形　 2．下列说法中正确的是（　　） A．两个全等的图形一定成中心对称 B．旋转后的图形与原图形的对应边一定平行 C．成中心对称的两个图形中,对应点的连线经过对称中心,且被对称中心平分 D．绕某点旋转 90° 后能重合的两个图形成中心对称 3．如图,将 △ABC 绕点 C 顺时针旋转得到 △A'B'C（点 A、B 的对应点分别为 A'、B'）,若 ∠BCB'=36°,则 ∠CBB' 的度数为（　　） A．36°　B．54°　C．72°　D．90°　 4．在平面直角坐标系中,△OAB 是等边三角形,点 B(3,0).将 △OAB 绕原点 O 逆时针旋转 90°,则点 A 的对应点 A′ 的坐标为（　　） A．（−,）　　B．（−,−）　　 C．（,−）　　D．（−,）　　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．已知点 P(m,n) 与点 Q(m+4, 2n−3) 关于原点对称,则 mn=＿＿＿。 6．△ABC 与 △DEF 关于点 O 成中心对称,若 AB=5,BC=6,CA=7,则 DE+EF=＿＿＿。 7．△ABC 与 △A'B'C' 关于点 O 成中心对称,若 △ABC 的面积为 6,BC=4,则 B'C' 边上的高等于＿＿＿。 8．钟表上 10:15 时,时针与分针的夹角是＿＿＿°。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(−2,3)、B(−4,1)、C(−1,1). (1) 画出 △ABC 关于原点 O 对称的 △A'B'C',并写出点 A'、B'、C' 的坐标;（6 分） (2) 求 △ABC 的面积.（4 分） 10．如图,□ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,过点 O 的直线分别交 AD、BC 于点 E、F. (1) 求证:OE=OF;（5 分） (2) 求证:四边形 AECF 是平行四边形.（5 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．C　　2．C　　3．C　　4．A 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．−2（m=−2,n=1） 6．11 7．3 8．142.5 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】(1) 图略,A′(2,−3)、B′(4,−1)、C′(1,−1)；(2) △ABC 的面积为 3. 正确画出 △A′B′C′ 3 分； 正确写出三个对应点的坐标 3 分； 正确求出 △ABC 的面积为 3 4 分。 10．【标准答案】(1) △AOE≌△COF（ASA）,OE=OF；(2) 四边形 AECF 是平行四边形（对角线 AC 与 EF 互相平分）. 由平行四边形性质得出 OA=OC 1 分； 得出对顶角 ∠AOE=∠COF 1 分； 由 AD∥BC 得出 ∠OAE=∠OCF 1 分； 证得 △AOE≌△COF 1 分； 得出 OE=OF 1 分； 得出 AC 与 EF 互相平分（OA=OC、OE=OF） 3 分； 判定四边形 AECF 是平行四边形 2 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.1 图形的旋转（第 1 课时）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．下列现象中,属于旋转的是（　　） A．电梯从 1 楼升到 5 楼　　B．汽车在笔直的公路上行驶　　 C．钟摆的摆动　　D．传送带上货物的移动　　 2．如图,△ABC 绕点 O 旋转后得到 △A′B′C′,则下列说法错误的是（　　） A．OA=OA′　B．∠AOA′=∠BOB′　C．AB=A′B′　D．AB=B′C′　 3．下列说法正确的是（　　） A．旋转角是对应边之间的夹角　　B．旋转中心一定在旋转的图形上　　 C．旋转前后图形的形状和大小都不变　　D．旋转方向只有逆时针一种　　 4．△ABC 绕点 O 旋转后得到 △A′B′C′,则下列结论：① △ABC≌△A′B′C′；② ∠ACB=∠A′C′B′；③ OC=OC′；④ 旋转中心是点 O。其中正确的有（　　） A．1 个　B．2 个　C．3 个　D．4 个　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．如图,△AOB 绕点 O 旋转后与 △DOC 重合,若 OA=3,则 OD=　　　　　　。 6．钟表的分针从 6:00 起（此时指向 12）按顺时针方向旋转 150°,分针此时指向数字　　　　　　。 7．点 A 绕点 O 旋转 60° 后得到点 A′,若 OA=4,则 AA′=　　　　　　。 8．钟表上 3:30 时,时针与分针的夹角为　　　　　　°。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,将 △ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 40° 得到 △A′B′C′,若 ∠ACB=95°。 （1）写出图中的一个旋转角；（3 分） （2）求 ∠A′CB 的度数。（7 分） 10．如图,网格中 △ABC 绕某点旋转后与 △A′B′C′ 重合。 （1）指出旋转中心与旋转角度；（4 分） （2）连接 OA、OA′,判断 △OAA′ 的形状并说明理由；（3 分） （3）若 OA=2,直接写出 AA′ 的长。（3 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．C　　2．D　　3．C　　4．D 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．3 6．5 7．4 8．75 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）∠ACA′（或 ∠BCB′）；（2）55° （1）写出 ∠ACA′ 或 ∠BCB′ 3 分。 （2）由旋转性质得 ∠ACA′=∠BCB′=40° 3 分； 得 ∠A′CB=∠ACB−∠ACA′=95°−40°=55° 4 分。 10．【标准答案】（1）旋转中心为点 O，旋转角为 90°；（2）等腰直角三角形（理由见评分标准）；（3） （1）指出旋转中心为点 O 2 分； 写出旋转角为 90° 2 分。 （2）判断 △OAA′ 是等腰直角三角形 2 分； 理由：OA=OA′，∠AOA′=90° 1 分。 （3）直接写出 3 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.1 图形的旋转（第 1 课时）（五点梳理） 知识点：旋转的定义：把一个平面图形绕着平面内某一点 O 转动一个角度，叫作图形的旋转，点 O 叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角；旋转前后的图形全等；旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 易错点：① 旋转角是对应点与旋转中心连线所成的角（如 ∠AOA′），不是任意两条边的夹角；② 描述旋转必须说清旋转中心、旋转方向、旋转角三要素；③ 旋转只改变位置，不改变图形的形状和大小。 重点：识别旋转三要素；利用旋转性质求对应线段的长与角的度数。 难点：旋转性质的综合运用：判断三角形的形状、在网格中确定旋转中心与旋转角。 常考点：旋转现象的辨认；钟表指针转过的角度；利用性质求角度与线段长。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 28 章 旋转（全章综合二）（五点梳理） 知识点：中心对称图形与两个图形成中心对称的区别与联系；成中心对称的两个图形的性质（对应点的连线经过对称中心且被对称中心平分,对应线段平行（或在同一直线上）且相等）；旋转角的定义（对应点与旋转中心连线所成的角）；图形在坐标系中绕原点旋转、平移与对称的组合变换。 易错点：把「绕某点旋转 90° 重合」误当作中心对称（应是旋转 180°）；旋转角找错（须是对应点与旋转中心的连线夹角,如图中 ∠BAD 不是旋转角）；平移后再求对称点时漏变换或顺序颠倒。 重点：中心对称图形的辨认；利用旋转性质进行角度计算；网格或坐标系中确定对称中心；关于原点对称的点的坐标求值。 难点：旋转性质与等腰直角三角形结合的证明与计算（含三点共线的推理）；对称中心的确定与四边形形状的判定综合。 常考点：中心对称图形但非轴对称图形的辨认；分针转角问题；图案的最小旋转角；网格中的中心对称作图；平移与对称的组合坐标计算。 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.1 图形的旋转（两课时综合）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．下列现象中,属于旋转的是（　　） A．电梯的升降运动　　B．汽车方向盘的转动　　 C．传送带上货物的移动　　D．直升机沿直线上升　　 2．下列关于旋转的说法错误的是（　　） A．旋转不改变图形的形状和大小 B．对应点到旋转中心的距离相等 C．图形上每一点都绕旋转中心沿相同方向旋转了相同的角度 D．旋转中心一定在原图形的内部 3．如图,将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转 60° 得到 △ADE,若 ∠BAC=80°,则 ∠DAC 的度数为（　　） A．20°　B．40°　C．60°　D．80°　 4．如图,在 4×4 的正方形网格中,每个小正方形的边长均为 1,△ABC 绕某点旋转 90° 后得到 △DEF,则旋转中心是（　　） A．点P　B．点Q　C．点R　D．点S　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．钟表上 4:30 时,时针与分针的夹角是＿＿＿°。 6．△ABC 绕点 O 旋转 180° 后与 △DEF 重合,若 A 与 D 是对应点,且 AD=8,则 OA=＿＿。 7．如图,该图案由 8 个相同的叶片组成,绕其中心至少旋转＿＿＿° 后能与自身重合。 8．将 △ABC 绕点 A 旋转得到 △ADE（B、C 的对应点分别为 D、E）,若 AB=5,则 DE=＿＿＿。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,在网格中,每个小正方形的边长均为 1,△ABC 的顶点均在格点上. (1) 画出 △ABC 绕点 O 逆时针旋转 90° 得到的 △A'B'C';（6 分） (2) 求 △ABC 的面积.（4 分） 10．如图,在 △ABC 中,∠BAC=100°.将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转 60°,得到 △ADE. (1) 试判断 △ABD 的形状并说明理由;（5 分） (2) 求 ∠BAE 的度数.（5 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．B　　2．D　　3．A　　4．A 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．45 6．4 7．45 8．5 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】(1) 正确画出 △A'B'C'（图略）；(2) △ABC 的面积为 3. 正确画出旋转后的 △A′B′C′ 4 分； 正确标出对应点 A′、B′、C′ 2 分； 正确求出 △ABC 的面积为 3 4 分。 10．【标准答案】(1) △ABD 是等边三角形；(2) ∠BAE=160°. 由旋转性质得出 AB=AD 2 分； 得出旋转角 ∠BAD=60° 2 分； 判断出 △ABD 是等边三角形 1 分； 得出 ∠DAE=∠BAC=100° 3 分； 求得 ∠BAE=∠BAD+∠DAE=160° 2 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.1 图形的旋转（两课时综合）（五点梳理） 知识点：旋转的三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角）；旋转的性质（对应点到旋转中心的距离相等,对应线段、对应角相等,每一点绕旋转中心的旋转角都相等）；旋转作图的方法（定中心、定方向、定角度,找关键点的对应点）；旋转图案设计中求最小旋转角（360°÷份数）。 易错点：旋转的顺、逆时针方向看反；误把任意对应线段的夹角当旋转角（旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角）；误认为旋转中心一定在原图形内部。 重点：利用旋转性质求线段长与角度；确定旋转中心；钟表指针转角问题；图案最小旋转角。 难点：旋转性质与等边（等腰）三角形结合的证明与计算；复杂图形的旋转作图。 常考点：旋转现象的辨认；网格中的旋转作图；利用旋转性质求角度与线段长；图形重合的最小旋转角。 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.1 图形的旋转（第 2 课时）（五点梳理） 知识点：画旋转后图形的方法：只要画出图形中一些关键点（如多边形的顶点）的对应点，连接这些对应点即可；利用旋转可以设计美丽的图案；一个图形绕某点旋转一定角度后能与自身重合（旋转对称思想）。 易错点：① 旋转方向弄反（顺时针/逆时针）；② 网格中旋转 90° 时对应点的横向、纵向格数位置互换，容易数错；③ 多次旋转时每次的旋转角不统一。 重点：网格中画简单图形旋转 90°、180° 后的图形；求图案的最小旋转角。 难点：由旋转前后的图形反求旋转中心与旋转角（对应点连线段的交点/垂直平分线法）。 常考点：网格作图题；判断图案绕中心旋转多少度能与自身重合。 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.2 中心对称（第 2 课时）（五点梳理） 知识点：中心对称图形：一个图形绕某一点旋转 180° 后能与原来的图形重合，这个图形叫作中心对称图形，该点是对称中心；线段（中点）、平行四边形（对角线交点）、矩形、菱形、正方形、圆（圆心）都是中心对称图形；矩形、菱形、正方形既是轴对称图形又是中心对称图形。 易错点：① 等边三角形、等腰梯形、五角星、角只是轴对称图形，不是中心对称图形；② 平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；③ 两个全等三角形不一定成中心对称。 重点：识别常见的中心对称图形；判断哪些图形既是轴对称又是中心对称图形。 难点：确定中心对称图形的对称中心；利用中心对称性质判断图形重合关系。 常考点：中心对称图形的识别（选择高频）；字母、交通标志等生活图案的判断；对称轴条数与对称中心位置。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 28 章 旋转（全章综合二）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．下列图形中,属于中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A．等边三角形　B．平行四边形　C．正方形　D．等腰梯形　 2．如图,将 △ABC 绕点 C 顺时针旋转 90° 得到 △DEC（A、B 的对应点分别为 D、E）,若 ∠BAC=25°,则 ∠BAD 的度数为（　　） A．20°　B．45°　C．70°　D．90°　 3．在平面直角坐标系中,点 P(−2, 5) 关于原点对称的点的坐标是（　　） A．(2,−5)　B．(−2,−5)　C．(2,5)　D．(5,−2)　 4．钟表的分针匀速旋转,从 12:00 到 12:45,分针转过的角度是（　　） A．45°　B．90°　C．180°　D．270°　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．如图,该图案由 6 个相同的部分组成,绕其中心至少旋转＿＿＿° 后能与自身重合。 6．已知点 M(3a−1, 4) 与点 N(−5, 2b) 关于原点对称,则 ab=＿＿＿。 7．在平面直角坐标系中,将点 P(−3, 2) 先向右平移 5 个单位得到 P₁,则 P₁ 关于原点对称的点 P₂ 的坐标是＿＿＿。 8．如图,在平面直角坐标系中,△ABC 与 △DEF 关于某点成中心对称,则其对称中心的坐标是＿＿＿。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,在网格中,每个小正方形的边长均为 1,△ABC 的顶点均在格点上. (1) 画出 △ABC 关于点 O 成中心对称的 △A'B'C';（6 分） (2) 连接 AA'、BB',判断四边形 ABA'B' 的形状并说明理由.（4 分） 10．如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8.将 △ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°,得到 △DCE（A、B 的对应点分别为 D、E）. (1) 求证:△ACD 是等腰直角三角形;（5 分） (2) 求 AE 的长.（5 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．B　　2．C　　3．A　　4．D 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．60 6．−4（a=2,b=−2） 7．(−2,−2) 8．(3,3) 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】(1) 图略（正确画出 △A'B'C'）；(2) 四边形 ABA'B' 是平行四边形（对角线 AA' 与 BB' 互相平分）. 正确画出 △A'B'C' 6 分； 判断出四边形 ABA'B' 是平行四边形 2 分； 说明理由：对角线 AA' 与 BB' 互相平分 2 分。 10．【标准答案】(1) 由旋转得 CA=CD,∠ACD=90°,故 △ACD 是等腰直角三角形；(2) AE=14. 由旋转性质得出 CA=CD 2 分； 得出旋转角 ∠ACD=90° 2 分； 证得 △ACD 是等腰直角三角形 1 分； 得出 CE=CB=8,且 A、C、E 三点共线 3 分； 求得 AE=AC+CE=14 2 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 28 章 旋转（全章综合）（五点梳理） 知识点：旋转的概念与性质；中心对称的概念（旋转 180°）与性质（对应点的连线经过对称中心且被对称中心平分,对应线段平行且相等）；中心对称图形的定义；关于原点对称的点的坐标特征（横、纵坐标均变为相反数）。 易错点：混淆中心对称与中心对称图形；关于原点对称时只变一个坐标；把中心对称与轴对称混淆；全等图形与中心对称图形混淆。 重点：利用旋转、中心对称的性质求线段与角度；关于原点对称的点的坐标计算；中心对称图形的辨认。 难点：旋转、中心对称与全等结合的证明与计算；坐标系中的对称综合问题。 常考点：中心对称图形的辨认；关于原点对称的坐标求值；网格或坐标系中的对称作图；利用性质求线段长、角度与面积。 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2.1 配方法（第2课时）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．用配方法解方程 x2+6x−5=0,配方后所得的方程是（　　） A．(x+3)2=14　B．(x+3)2=5　C．(x−3)2=14　D．(x−3)2=5　 2．用配方法解方程 2x2−4x−6=0,二次项系数化为 1 后,配方正确的是（　　） A．x2−2x+1=−3+1,即 (x−1)2=−2　　B．x2−2x+1=3+1,即 (x−1)2=4　　 C．x2−2x+1=3,即 (x−1)2=3　　D．x2−2x−1=3−1,即 (x−1)2=3　　 3．用配方法解方程 x2+4x−3=0,配方正确的是（　　） A．(x+2)2=7　B．(x+2)2=−1　C．(x−2)2=7　D．(x−2)2=1　 4．一元二次方程 x2+2x−m=0 经过配方后得 (x+1)2=3−m,则 m 的值为（　　） A．3　B．1　C．−3　D．0　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．填空：x2+10x+　　　　　　=(x+　　　　　　)2。 6．填空：x2−3x+　　　　　　=(x−　　　　　　)2。 7．若 x2−6x+m=(x−3)2,则 m=　　　　　　。 8．用配方法解方程 x2−2x−8=0,得 (x−1)2=　　　　　　,方程的根为　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．用配方法解方程：2x2+4x−6=0。 10．用配方法解方程：2x2−5x+3=0。 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．A　　2．B　　3．A　　4．B 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．25；5 6．； 7．9 8．9；x=4 或 x=−2 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】除以 2：x2+2x−3=0，移项：x2+2x=3，配方：(x+1)2=4，x+1=±2，x=1 或 x=−3 两边除以 2，得 x2+2x−3=0；移项得 x2+2x=3 3 分； 两边加上 12，得 (x+1)2=4 3 分； 开平方得 x+1=±2 2 分； 得 x1=1，x2=−3 2 分。 10．【标准答案】除以 2：x2−x=，配方：(x−)2=，x−=±，x= 或 x=1 两边除以 2，得 x2−x= 3 分； 两边加上 ，得 (x−)2= 3 分； 开平方得 x−=± 2 分； 得 x1=，x2=1 2 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2.2 公式法（第1课时）（知识点清单） 【核心知识点】 1. 根的判别式：对 ax2+bx+c=0（a≠0），Δ=b2−4ac。（必考） 2. 判别式与根的情况：Δ>0 时有两个不相等的实数根；Δ=0 时有两个相等的实数根；Δ<0 时没有实数根。（必考） 3. 用判别式判断根的情况的步骤：先化成一般形式，确定 a、b、c（注意符号），再计算 Δ，最后下结论。（必考、易错） 4. 逆向问题：由根的情况求字母的取值范围（Δ>0、Δ=0、Δ<0 列不等式）。（必考） 【拓展知识点】 1. 含参数二次项系数的方程（如 mx2−2x+1=0）讨论根的情况时，必须先保证二次项系数 m≠0。（易错、拓展） 2. "有实数根"对应 Δ≥0（两分支：Δ>0 或 Δ=0），与"有两个不相等的实数根"（Δ>0）不同。（易错、拓展） 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2.2 公式法（第2课时）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．用公式法解方程 x2−3x−1=0,方程的根为（　　） A．　B．　C．　D．　 2．方程 x2+5=6x 的根是（　　） A．x=1 或 x=5　B．x=−1 或 x=−5　C．x=1　D．x=5　 3．用公式法解方程 3x2+2=4x,结论正确的是（　　） A．x=1 或 x=　B．方程没有实数根　C．x=2　D．x=−1 或 x=　 4．一元二次方程 2x2−4x−1=0 的两根为（　　） A．　B．　C．　D．1±　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．方程 x2−2x−4=0 的根为　　　　　　。 6．方程 2x2−3x−2=0 的根为　　　　　　。 7．方程 (x+1)(x−3)=2x−4 的根为　　　　　　。 8．一个长方形的长比宽多 2,面积为 8,则它的宽为　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．用公式法解方程：x2+4x+1=0。 10．用公式法解方程：2x2−5x+2=0。 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．A　　2．A　　3．B　　4．A 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．x=1± 6．x=2 或 x= 7．x=2± 8．2 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】a=1，b=4，c=1，Δ=16−4=12>0，，即 x1=−2+，x2=−2− 确定 a=1，b=4，c=1，Δ=42−4×1×1=12 4 分； 代入求根公式 x= 3 分； 化简得 x1=−2+，x2=−2− 3 分。 10．【标准答案】a=2，b=−5，c=2，Δ=25−16=9>0，，即 x1=2，x2= 确定 a=2，b=−5，c=2，Δ=(−5)2−4×2×2=9 4 分； 代入求根公式 3 分； 得 x1=2，x2= 3 分。 学科网（北京）股份有限公司 $25.2.3因式分解法（20分钟小练) (满分100分，时间20分钟)班级： 姓名： 一、选择题（每小题10分，共40分) 1.方程x(x-2)=0的根是() A.xX=0B.x=2C.x=0或x=2D.x=0且x=2 2.用因式分解法解方程4x2-1=0,正确的是() 1 1 A(2x+102x-0=0,x±号B.Xc.(2x+12x-1=0X-号D.X2 3.方程x2-3x=0的根是() A.X=3B.X=0或x=3C.x=0D.X=-3 4.方程x2+x-2=0的两根是（) A.=1或x=-2B.=-1或x=2C.x=1或=2D.x=-1或=-2 二、填空题（每小题10分，共40分） 5.方程x2-4x=0的根为 6.方程(x-3)2-4=0的根为 7.方程x2-5x+6=0的根为」 8.方程3x(&-1)=2-2x的根为 三、解答题（每小题10分，共20分） 9.用因式分解法解方程：(x+2)=(2x-1)2。 10.用因式分解法解方程：2(x-3)-x2-9。 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题10分) 1.C2.A3.B4.A 【评分标准】选对得10分，选错或不选得0分。 二、填空题（每小题10分） 5.x0或x=4 6.x=1或x=5 7.x=2或x=3 8.x1或X3 【评分标准】答对得10分，答错或不答得0分。 三、解答题（每小题10分） 9.【标准答案】移项得(x+2)2-(2x-1)2=0,平方差分解：(x+2+2x-1)(x+2-2x+1)=0,即(3x+1)3-x=0, 片 移项得(x+2)2-(2x-1)2=0 3分： 用平方差公式分解为(3x+1)(3-X)-0.4分； 1 得X1=一 X533 10.【标准答案】2x-3)=(x-3)x+3),移项提公因式：(x-3)(2-x-3)=0,即(x-3)(-x-1)）0,x=3或x=-1 右边分解为(K-3)(X+3)3分： 移项提公因式，得(K-3)(2-X-3)=0,即(-3)(-X-1)=0.4分： 得X13,X3-1.3分0 25.2.3 因式分解法（知识点清单） 【核心知识点】 1. 因式分解法：把方程一边化为 0，另一边分解成两个一次因式的积，令每个因式为 0 求根。依据：若 ab=0，则 a=0 或 b=0。（必考） 2. 常用分解方法：提公因式、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法（如 x2−5x+6=(x−2)(x−3)）。（必考） 3. 因式分解法是解一元二次方程最简便的方法，能分解时优先使用。（必考） 4. 易错提醒：不能两边同时除以含未知数的因式（如 x(x−2)=x），否则会丢根。（易错） 【拓展知识点】 1. 含平方式的方程（如 (x+2)2=(2x−1)2）先移项用平方差公式分解，或直接开平方。（拓展） 2. 移项后提公因式（如 2(x−3)=x2−9）是避免丢根的关键技巧。（易错、拓展） 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.3 实际问题与一元二次方程（第1课时）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．直角三角形的两条直角边之和为 7,面积为 6,则斜边长为（　　） A．5　B．6　C．　D．7　 2．一个矩形的长比宽多 3,面积为 40,则它的宽为（　　） A．4　B．5　C．8　D．10　 3．一个圆的半径增加 2 后,面积增加 12π,则原来圆的半径为（　　） A．1　B．2　C．3　D．4　 4．把一块长 20 m、宽 10 m 的矩形绿地四周修一条等宽的小路,绿地与小路的总面积为 336 m2,设小路宽 x m,可列方程（　　） A．(20+2x)(10+2x)=336　　B．(20+x)(10+x)=336　　 C．(20+2x)(10+2x)−200=336　　D．20×10+4x=336　　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．一个正方形的边长增加 3 后,面积增加 39,则原正方形的边长为　　　　　　。 6．直角三角形的两条直角边之差为 2,面积为 24,则较长的直角边为　　　　　　。 7．一个长方形的周长为 28,面积为 40,则它的长为　　　　　　。 8．两个连续正整数的积为 20,则这两个正整数中较大的数是　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．要为一张长 20 cm、宽 16 cm 的照片配一个四周宽度相等的相框,使相框的面积等于照片面积的一半。 求相框的宽度。（10 分） 10．一个直角三角形的周长为 12,面积为 6。 （1）求这个直角三角形两条直角边的长；（7 分） （2）求斜边的长。（3 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．A　　2．B　　3．B　　4．A 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．5 6．8 7．10 8．5 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】设相框宽 x cm，则 (20+2x)(16+2x)=320+160=480，化简得 x2+18x−40=0，(x+20)(x−2)=0，x=−20（舍）或 x=2，相框宽 2 cm 设相框宽 x cm，相框面积为照片面积的一半，由题意得 (20+2x)(16+2x)=480 4 分； 化简得 x2+18x−40=0 3 分； 分解得 (x+20)(x−2)=0，x=−20（舍去），x=2 3 分。 10．【标准答案】（1）设两直角边为 a、b，a+b=12−c，由 (a+b)2=a2+b2+2ab 得 (12−c)2=c2+24，解得 c=5，a+b=7，ab=12，a=3、b=4；（2）斜边长 5 （1）设两直角边为 a、b，斜边为 c，则 a+b=12−c 2 分； 由面积关系得 ab=12 2 分； 由勾股定理 a2+b2=c2，结合 (a+b)2=a2+b2+2ab，得 (12−c)2=c2+24 2 分； 解得 c=5，a+b=7，得 a=3，b=4 1 分； （2）斜边长为 5 3 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.1 二次函数的概念（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．下列函数中,是二次函数的是（　　） A．y=2x+1　B．y=x2−(x−1)2　C．y=(x+1)(x−3)　D．y=+2x　 2．二次函数 y=3−2x2−x 化成一般式后,二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．3、−2、−1　B．−2、−1、3　C．−2、1、3　D．3、−1、−2　 3．若函数 y= 是二次函数,则 m 的值为（　　） A．2　B．−2　C．±2　D．0　 4．把一个边长为 6 m 的正方形木框的边长减少 x m,若减少后木框围成的面积为 y m2,则 y 与 x 的函数关系式为（　　） A．y=36−x2　B．y=(6−x)2　C．y=36−6x　D．y=6−x2　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．若函数 y= 是二次函数,则 a=　　　　　　。 6．当 x=−2 时,二次函数 y=2x2−3x−1 的函数值是　　　　　　。 7．某厂一月份产值 50 万元,设月平均增长率为 x,则三月份产值 y（万元）与 x 的函数关系式是 y=50(1+x)2,化成一般式为　　　　　　。 8．已知二次函数 y=x2+bx+3,当 x=1 时 y=5,则 b=　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．用长 12 m 的木条围成一个矩形菜园（不靠墙）,设矩形的一边长为 x m,面积为 S m2。（1）写出 S 与 x 之间的函数关系式,并化为一般式,指出自变量的取值范围；（2）当 x=2 时,求 S 的值；（3）判断 S 是不是 x 的二次函数。（10 分） 10．已知 y=（m 为常数）是二次函数。（1）求 m 的值；（2）写出该二次函数的解析式,并求当 x=−1 时的函数值。（10 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．C　　2．B　　3．A　　4．B 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．−1 6．13 7．y=50x2+100x+50 8．1 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）S=x(6−x)=−x2+6x，其中 0<x<6；（2）S=−4+12=8；（3）S 是 x 的二次函数 （1）S=x(6−x) 2 分； 化为一般式 S=−x2+6x，并指出 0<x<6 4 分； （2）代入 x=2 得 S=8 2 分； （3）判断 S 是 x 的二次函数并说明理由 2 分。 10．【标准答案】（1）由 m2−m=2 得 m=2 或 m=−1，m=−1 时 m+1=0 舍去，故 m=2；（2）y=3x2，当 x=−1 时 y=3 （1）由二次函数定义得 m2−m=2 3 分； 解得 m=2 或 m=−1，且 m=−1 时系数为 0 舍去，m=2 3 分； （2）解析式 y=3x2 2 分； 当 x=−1 时 y=3 2 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2.2 二次函数的图象和性质（第1课时） 知识点清单 【核心知识点】 ① y=ax2+k 的图象：由 y=ax2 向上（k>0）或向下（k<0）平移 |k| 个单位长度得到，形状不变、位置改变。 必考 ② y=ax2+k 的性质：对称轴仍是 y 轴，顶点是 (0, k)；a>0 时 (0, k) 是最低点，函数有最小值 k；a<0 时是最高点，有最大值 k。 必考 ③ 增减性只看 a 与顶点：a>0 时 x<0 减、x>0 增；a<0 时 x<0 增、x>0 减。 必考 ④ 与 y 轴交点即 (0, k)（令 x=0）。 常考 【拓展知识点】 ① 平移规律记「上加下减」：只动常数项 k，不改变抛物线形状与开口方向。 易错 ② 待定系数求 a、k：把两个已知点代入 y=ax2+k 联立方程组。 常考 ③ 两顶点距离：同轴抛物线顶点纵坐标之差的绝对值。 拓展 易错提示（供命题与讲解参考） 1. 「上加下减」只改常数项 k：向上平移 3 个单位是 +3，不要写到括号里； 2. y=ax2+k 的顶点是 (0, k)，最小值/最大值就是 k，说「最小值是顶点」不完整； 3. 与 y 轴交点即令 x=0，得 (0, k)，与顶点是同一点； 4. 平移只改变位置，不改变形状与开口方向。 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2 二次函数的图象和性质（综合） 知识点清单 【核心知识点】 ① 一般式⇔顶点式互化：y=ax2+bx+c = a(x−h)2+k，顶点 (h, k)、对称轴 x=h；任意抛物线用顶点式设式最快捷。 必考 ② 已知顶点+一点用顶点式；已知三点用一般式解方程组；已知与 x 轴两交点用交点式 y=a(x−x1)(x−x2)。 必考 ③ 给定范围内求最值：顶点在范围内→顶点处取最值；不在→比较端点函数值。 难点 ④ y>0、y<0 的 x 范围看图象与 x 轴的相对位置（两根之间/之外）。 必考 【拓展知识点】 ① 「形状相同」只约束 |a|，开口方向由顶点式设式时 a 的符号结合开口方向定。 易错 ② 顶点式化一般式要展开合并，检验一次项系数符号。 常考 ③ 最值题答题要写清取得最值时 x 的值。 易错 易错提示（供命题与讲解参考） 1. 已知顶点+一点用顶点式设式 y=a(x−h)2+k，比一般式少解一个未知数； 2. 配方时先提 a 再配，常数项同步除以 a； 3. 范围内最值：顶点在范围内用顶点，不在则比较两端点函数值； 4. y>0、y<0 的范围由图象与 x 轴相对位置读出，别只解方程不看开口。 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.3 二次函数与一元二次方程（第1课时） 知识点清单 【核心知识点】 ① 二次函数与一元二次方程的关系：抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴公共点的横坐标就是方程 ax2+bx+c=0 的根。 必考 ② 三种对应关系：Δ>0 ⇔ 两个公共点；Δ=0 ⇔ 一个公共点（顶点在 x 轴上）；Δ<0 ⇔ 没有公共点。 必考 ③ 判别式求参数：由公共点个数列 Δ 的不等式（或方程）求字母范围。 必考 ④ 由根的情况反推图象：方程有两根⇒图象穿 x 轴两次；无实根⇒图象全在 x 轴上方或下方。 常考 【拓展知识点】 ① 「有公共点」与「有两个公共点」不同：前者含相切（Δ≥0），后者 Δ>0。 易错 ② 求交点就是令 y=0 解方程，注意 a≠0 且方程要化一般式。 必考 ③ Δ 是含参式时先化简再判断符号（如 Δ=m2 型非负式）。 拓展 易错提示（供命题与讲解参考） 1. 公共点个数与 Δ 一一对应：Δ>0 两个、Δ=0 一个、Δ<0 没有，先算 Δ 再下结论； 2. 「与 x 轴有公共点」对应 Δ≥0（含相切），与「有两个公共点」（Δ>0）不同； 3. 由公共点个数反求参数要解不等式，注意不等号方向与是否带等号； 4. 求交点坐标就是令 y=0 解方程，方程要先化成一般式再算 Δ。 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.4 实际问题与二次函数（第1课时）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．抛物线 y=−x2+4x 的最大值是（　　） A．2　B．4　C．−4　D．0　 2．用长 24 m 的篱笆围成一个矩形（不靠墙）,矩形面积的最大值是（　　） A．24 m2　B．30 m2　C．36 m2　D．48 m2　 3．用长 40 m 的篱笆围成一个一面靠墙的矩形菜园,垂直于墙的边长为 x m,则菜园面积 S（m2）与 x 之间的函数关系式及自变量取值范围是（　　） A．S=x(40−x),0<x<40　　B．S=x(40−2x),0<x<20　　 C．S=x(40−2x),0<x≤20　　D．S=2x(40−2x),0<x<20　　 4．二次函数 y=−2x2+8x+1 在 0≤x≤3 上的最大值是（　　） A．1　B．8　C．9　D．7　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．小球飞行高度 h（m）与时间 t（s）满足 h=−5t2+20t,小球达到最高点的时刻是抛出后　　　　　　s。 6．矩形周长为 36 m,一边长为 x m,面积为 S m2,则 S 关于 x 的函数解析式为　　　　　　。 7．用长 24 m 的篱笆围成一个一面靠墙的矩形菜园（墙足够长）,垂直于墙的边长为 x m,菜园的最大面积是　　　　　　m2。 8．二次函数 y=x2−6x+8 在 0≤x≤5 上的最小值是　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．跳水运动员起跳后,重心相对于水面的高度 h（m）与起跳后的时间 t（s）满足 h=−5t2+6t+1。（1）运动员起跳后经过多长时间达到最高点?（2）重心离水面的最大高度是多少?（10 分） 10．如图,用长 36 m 的篱笆围成一个矩形菜园,一面靠墙（墙长 16 m,平行于墙的边不能超过墙长）,垂直于墙的边长为 x m。（1）写出菜园面积 S（m2）与 x 之间的函数关系式,并写出 x 的取值范围；（2）当 x 为何值时,菜园面积最大?最大面积是多少?（10 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．B　　2．C　　3．B　　4．C 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．2 6．S=−x2+18x 7．72 8．−1 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】由顶点坐标公式得 t=0.6 s；最大高度 h=−5×0.36+3.6+1=2.8 m t==0.6 s 5 分； 最大高度 h=−5×0.36+3.6+1=2.8 m 5 分。 10．【标准答案】（1）S=x(36−2x)=−2x2+36x，由 0<36−2x≤16 得 10≤x<18；（2）顶点 x=9 不在范围内，开口向下，S 在 x=10 处最大，S=−200+360=160 m2 （1）S=x(36−2x)=−2x2+36x 3 分； 由 36−2x≤16 且 36−2x>0 得 10≤x<18 3 分； （2）顶点 x=9 不在取值范围内，在 10≤x<18 上 S 随 x 的增大而减小，故在 x=10 处取最大 2 分； 最大面积 S=160 m2 2 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.4 实际问题与二次函数（第1课时） 知识点清单 【核心知识点】 ① 最值问题三步：列函数关系（注意自变量范围）→ 求顶点 → 检验顶点是否在范围内。 必考 ② 几何面积最值：周长定值的矩形，两边相等（正方形）时面积最大。 必考 ③ 靠墙围矩形：垂直墙边 x，平行墙边 = 总长−2x；墙长有限时自变量要加约束。 必考 ④ 高度最值：h=at2+bt 型，最高点在 t=−，最大高度=顶点纵坐标。 常考 【拓展知识点】 ① 顶点不在自变量范围内时，最值在端点处取得（如墙长限制型）。 难点、易错 ② 「不少于」「不超过」决定不等号是否带等号，影响范围端点。 易错 ③ 实际问题要写单位，面积单位是 m2。 常考 易错提示（供命题与讲解参考） 1. 最值三步走：列式（含自变量范围）→ 求顶点 → 检验顶点是否在范围内； 2. 靠墙围矩形：平行于墙的边=总长−2x（两个垂直边），别漏乘 2； 3. 墙长有限制时顶点可能取不到，此时最大值在端点处取得（本题 x=10 处 160 m2）； 4. 「不超过墙长」对应不等号带等号，范围端点写法要准确。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 26 章 二次函数（全章综合二） 知识点清单 【核心知识点】 ① 全章知识网络：a、h、k、b、c 各自的作用——a 定开口与大小，h、k 定位置，c 定与 y 轴交点。 必考 ② 读图取信息：与 x 轴交点（方程的根）、顶点（最值）、图象位于 x 轴上方与下方的范围。 必考 ③ 三角形面积：抛物线与 x 轴两交点为底、顶点纵坐标绝对值为高。 常考 ④ 利润最值综合：列式→配方→答定价与利润；已知利润反求定价要解方程并检验。 必考 【拓展知识点】 ① x2−2x−3=0 与 2x2−4x−6=0 同解：二次项系数约去后再解，别忘开口大小不同。 易错 ② y>0 的范围与开口方向有关：a>0 取两根之外，a<0 取两根之间。 易错 ③ 顶点纵坐标公式 c− 反用可求 b。 拓展 易错提示（供命题与讲解参考） 1. 令 y=0 解方程前先约去二次项系数的公因数（2x2−4x−6=0 即 x2−2x−3=0）； 2. 抛物线与 x 轴两交点、顶点构成的三角形：底=两根距离，高=|顶点纵坐标|； 3. 利润问题已知利润反求定价时两根都作答； 4. y>0 的范围与开口方向有关：a>0 取两根之外，别背反。 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.1 反比例函数的概念 知识点清单 【核心知识点】 ① 反比例函数的定义：形如 （k 为常数，k≠0）的函数，自变量 x 的取值范围是 x≠0 的一切实数。 必考 ② 三种等价形式：一般式 、乘积形式 xy=k（k 为定值）、负指数形式 yx−1=k，判断时可互相转化。 必考 ③ 待定系数法求解析式：设 ，代一组对应值解出 k 即可，只需一个点的坐标。 必考 ④ 实际问题列式：总量一定时，效率与时间成反比例（如 ），解析式后要注明自变量的实际范围。 常考 ⑤ 函数值计算：已知解析式，代 x 求 y 或代 y 求 x，注意符号。 必考 【拓展知识点】 ① y 与 x 的 n 次幂成反比例：形如 （如 y 与 x2 成反比例，设 y=），仍用待定系数法求 k。 拓展 ② 含参判定：形如 要同时满足「指数=−1」与「系数≠0」，常有一解需舍去。 易错、拓展 ③ 判断前先化简整理：分母是（x−1）等整体的、一次式 ，都不是反比例函数。 易错 易错提示（供命题与讲解参考） 1. 判断先化简： 的分母是整体、 是正比例函数，都不是反比例函数； 2. 含参判定别漏「系数≠0」：由指数条件解出 m=±1 时，若 m=−1 使系数为 0 必须舍去； 3. 实际问题解析式要带自变量范围（如 中 x>0），漏写要扣分； 4. y 与 x 的平方成反比例时设 ，别设成 y=kx2 或 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.2 反比例函数的图象和性质（第1课时）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．反比例函数 y= 的图象位于（　　） A．第一、三象限　B．第二、四象限　C．第一、二象限　D．第三、四象限　 2．下列各点中,在反比例函数 y= 的图象上的是（　　） A．(2, 3)　B．(−2, −3)　C．(−1, 4)　D．(−1.5, 4)　 3．已知反比例函数 y=,在每一个象限内 y 随 x 的增大而增大,则 k 的取值范围与图象所在象限为（　　） A．k>0,一、三象限　B．k<0,二、四象限　C．k>0,二、四象限　D．k<0,一、三象限　 4．反比例函数 y= 的图象经过点 (2, 3),则它的图象两支分别在（　　） A．第一、三象限　B．第二、四象限　C．第一、二象限　D．第三、四象限　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．反比例函数 y= 的图象叫　　　　　　；在每一象限内,y 随 x 的增大而　　　　　　。 6．反比例函数 y= 的图象经过点 (3, −4),则 k=　　　　　　。 7．点 A(−1, y1)、B(2, y2) 都在反比例函数 y= 的图象上,则 y1　　　　　　y2（填「>」「<」或「=」）。 8．写一个图象位于第一、三象限的反比例函数解析式：　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,反比例函数 y= 的图象经过点 A(−2, 4)。（1）求 k 的值,并写出这个函数的解析式；（2）判断点 B(4, −2)、C(2, 4) 是否在这个函数的图象上,并说明理由。（10 分） 10．已知反比例函数 y=。（1）它的图象位于哪些象限?在每一象限内,y 随 x 的增大如何变化?（2）点 P(x1, y1)、Q(x2, y2) 是第一象限的图象上的两点,且 x1<x2,比较 y1 与 y2 的大小,并说明理由。（10 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．B　　2．D　　3．B　　4．A 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．双曲线；减小 6．−12 7．> 8．（k>0 均可） 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）k=−8，；（2）点 B 在图象上，点 C 不在 （1）由 A(−2, 4) 得 k=(−2)×4=−8 4 分； 写出 2 分； （2）B(4, −2)：4×(−2)=−8=k，在图象上 2 分； C(2, 4)：2×4=8≠k，不在图象上 2 分。 10．【标准答案】（1）一、三象限，每一象限内 y 随 x 增大而减小；（2）y1>y2 （1）k=6>0，图象位于第一、三象限 3 分； 每一象限内 y 随 x 增大而减小 2 分； （2）同象限内用增减性：x1<x2 得 y1>y2 4 分； 说明理由（k=6>0 时每一象限内 y 随 x 增大而减小） 1 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.2 反比例函数的图象和性质（第1课时） 知识点清单 【核心知识点】 ① 图象特征：反比例函数 的图象是双曲线，由两支组成，无限接近两坐标轴但永不相交。 必考 ② k>0 时：两支分别在第一、三象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小。 必考 ③ k<0 时：两支分别在第二、四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大。 必考 ④ 增减性的前提：必须先说「在每一象限内」，两支合起来不能笼统说增减。 易错、必考 ⑤ 点与图象：点 (m, n) 在图象上 ⇔ mn=k，图象上每点的横纵坐标之积恒为 k。 必考 【拓展知识点】 ① 由一点定 k：图象经过一个点即可用待定系数法求出 k，进而确定位置与增减性。 常考 ② 对称性：双曲线关于原点成中心对称，也关于直线 y=x、y=−x 成轴对称。 拓展 ③ 位置与符号互推：由图象所在象限反定 k 的符号，由 k 的符号定象限。 常考 易错提示（供命题与讲解参考） 1. 增减性必须带「在每一象限内」，笼统说「y 随 x 增大而减小」是典型错误； 2. 判断点是否在图象上用横纵坐标之积是否等于 k，别把减法当乘法； 3. k 的符号决定象限：k=−12 在二、四象限，别与 k>0 的情形混淆； 4. 双曲线与坐标轴无限接近但永不相交，x、y 都取不到 0。 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.2 反比例函数的图象和性质（第2课时）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．反比例函数 的图象两支分别在第一、三象限,则 m 的取值范围是（　　） A．m>2　B．m<2　C．m≥2　D．m≠2　 2．反比例函数 的图象的一支位于第一象限,则它的另一支位于（　　） A．第三象限,且 a>　　B．第四象限,且 a>　　 C．第三象限,且 a<　　D．第四象限,且 a<　　 3．点 A(x1, y1)、B(x2, y2) 都在反比例函数 y= 位于第二象限的图象上,若 x1<x2,则 y1 与 y2 的大小关系是（　　） A．y1<y2　B．y1>y2　C．y1=y2　D．无法确定　 4．在同一平面直角坐标系中,函数 y=kx 与 y=（k≠0）的图象,下列说法一定正确的是（　　） A．两图象一定有两个交点　　B．两图象的交点可能都在第一象限　　 C．两图象最多有一个交点　　D．当 k<0 时两图象没有交点　　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．若反比例函数 的图象的一支位于第二象限,则另一支位于第　　　　　　象限,m 的取值范围是　　　　　　。 6．点 A(−2, y1)、B(−1, y2)、C(3, y3) 都在反比例函数 y= 的图象上,则 y1、y2、y3 的大小关系是　　　　　　（用「<」连接）。 7．双曲线 y= 经过点 (−3, 2),则在每一象限内,y 随 x 的增大而　　　　　　。 8．若反比例函数 y= 与一次函数 y=−2x 的图象有交点,则 k 的取值范围是　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．已知点 (−2, −4) 在反比例函数 y= 的图象上。（1）求 k 的值,并指出图象所在的象限；（2）当 y<4 时,求自变量 x 的取值范围。（10 分） 10．如图,反比例函数 y= 的图象与正比例函数 y=kx 的图象交于 A、B 两点。（1）求 k 的取值范围；（2）当 k=4 时,求两图象的交点坐标。（10 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．A　　2．A　　3．A　　4．A 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．四；m< 6．y2<y1<y3 7．增大 8．k<0 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）k=8，图象在第一、三象限；（2）x<0 或 x>2 （1）k=(−2)×(−4)=8 3 分； 图象位于第一、三象限 2 分； （2）x<0 时 y<0<4 恒成立，得 x<0 2 分； x>0 时 <4，得 x>2，故 x<0 或 x>2 3 分。 10．【标准答案】（1）k>0；（2）交点为 (1, 4) 与 (−1, −4) （1）联立 kx= 得 x2= 3 分； 有两个交点 ⇔ x2>0，得 k>0 2 分； （2）k=4 时 x2=1，x=±1 3 分； 交点为 (1, 4) 与 (−1, −4) 2 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.2 反比例函数的图象和性质（综合） 知识点清单 【核心知识点】 ① 综合识别：先化简整理，能写成 （k≠0）或 xy=k 的才是反比例函数，乘积式、负指数式都算。 必考 ② 性质链：k 的符号 → 象限位置 → 增减性，由任一环可推其余。 必考 ③ 直线与双曲线交点：联立方程组求解，知道一个交点可由方程另一根得另一交点。 必考 ④ 由图象比函数值：以上下位置分段读解集，交点横坐标与 x=0 为分界。 重点、常考 【拓展知识点】 ① 无交点条件：联立化为一元二次方程后用判别式 Δ<0 求参数范围。 拓展、常考 ② 双曲线上两点横坐标互为相反数，则纵坐标也互为相反数（中心对称）。 拓展 ③ 三点比大小：先分象限，负值小于正值，同象限内再用增减性。 常考 易错提示（供命题与讲解参考） 1. 识别反比例函数看化简后的形式，xy=−6 与 y=x−1 都是，别漏乘积式与负指数式； 2. 解集由图象读出时以交点横坐标与 y 轴（x=0）为分界，x=0 处双曲线无定义必须分段； 3. 直线解析式由两个交点坐标联立求出，两个交点都要代回检验； 4. 面积计算用「底×高÷2」，底和高取坐标的绝对值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.2 中心对称（第 1 课时）（五点梳理） 知识点：中心对称：一个图形绕某一点旋转 180°，如果旋转后的图形能与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点对称（中心对称），该点叫对称中心，重合的点叫对称点；性质：对称点所连线段经过对称中心且被对称中心平分，成中心对称的两个图形全等；作中心对称图形：画关键点的对称点，再连线。 易错点：① 中心对称（两图形的关系）与中心对称图形（一个图形的性质）混淆；② 中心对称与轴对称混淆：轴对称是沿直线翻折，中心对称是绕点旋转 180°；③ 找对称中心时误取对应边中点。 重点：中心对称的性质及其应用；画与已知图形关于某点对称的图形。 难点：网格中确定对称中心；用中心对称的性质进行说理。 常考点：中心对称性质的正误判断；作中心对称图形；全等与中心对称的综合说理。 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.2 中心对称（第 2 课时）（五点梳理） 知识点：中心对称图形：一个图形绕某一点旋转 180° 后能与原来的图形重合，这个图形叫作中心对称图形，该点是对称中心；线段（中点）、平行四边形（对角线交点）、矩形、菱形、正方形、圆（圆心）都是中心对称图形；矩形、菱形、正方形既是轴对称图形又是中心对称图形。 易错点：① 等边三角形、等腰梯形、五角星、角只是轴对称图形，不是中心对称图形；② 平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；③ 两个全等三角形不一定成中心对称。 重点：识别常见的中心对称图形；判断哪些图形既是轴对称又是中心对称图形。 难点：确定中心对称图形的对称中心；利用中心对称性质判断图形重合关系。 常考点：中心对称图形的识别（选择高频）；字母、交通标志等生活图案的判断；对称轴条数与对称中心位置。 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.2 中心对称（第 3 课时）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．点 A(2, −3) 关于原点对称的点的坐标是（　　） A．(−2, 3)　B．(2, 3)　C．(−2, −3)　D．(3, −2)　 2．若点 P(m, −1) 与点 Q(2, n) 关于原点对称,则（　　） A．m=2, n=1　B．m=−2, n=−1　C．m=−2, n=1　D．m=2, n=−1　 3．下列各组点中,关于原点对称的是（　　） A．(−1, 2) 与 (1, 2)　　B．(2, 3) 与 (−2, 3)　　 C．(3, −1) 与 (3, 1)　　D．(−4, 5) 与 (4, −5)　　 4．点 A(−3, 2) 关于 x 轴的对称点是点 B,点 B 关于 y 轴的对称点是点 C,则点 A 与点 C（　　） A．关于 x 轴对称　B．关于 y 轴对称　C．关于原点对称　D．重合　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．点 M(−4, 0) 关于原点对称的点的坐标是　　　　　　。 6．若点 P(a, b) 关于原点对称的点的坐标为 (3, −2),则 ab=　　　　　　。 7．已知点 A(2a−1, −3) 与点 B(5, 2b+1) 关于原点对称,则 ab=　　　　　　。 8．平行四边形 ABCD 的对角线交于坐标原点 O,若点 A 的坐标为 (−2, 1),则点 C 的坐标为　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(−3, 2)、B(−4, −1)、C(−1, −1)。 （1）画出 △ABC 关于原点对称的 △A′B′C′；（4 分） （2）写出点 A′、B′、C′ 的坐标。（6 分） 10．在平面直角坐标系中,已知点 P1(−2, 3)。 （1）点 P1 关于原点的对称点是 P2,点 P2 关于 x 轴的对称点是 P3,点 P3 关于 y 轴的对称点是 P4,依次写出 P2、P3、P4 的坐标；（6 分） （2）观察 P4 与 P1 的坐标,你发现了什么结论?（4 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．A　　2．C　　3．D　　4．C 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．(4, 0) 6．−6 7．−2 8．(2, −1) 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）图略（A′、B′、C′ 在点 O 与 A、B、C 相对的方向上）；（2）A′(3, −2)、B′(4, 1)、C′(1, 1) （1）正确画出点 A′、B′、C′（每个 1 分，共 3 分） 3 分； 连线成图并标注顶点 1 分。 （2）每写对一个点的坐标得 2 分（共 3 个点） 6 分。 10．【标准答案】（1）P2(2, −3)、P3(2, 3)、P4(−2, 3)；（2）P4 与 P1 重合（坐标相同） （1）每写对一个点的坐标得 2 分（共 3 个点） 6 分。 （2）得出 P4 与 P1 重合（坐标相同） 4 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 28 章 旋转（全章综合二）（五点梳理） 知识点：中心对称图形与两个图形成中心对称的区别与联系；成中心对称的两个图形的性质（对应点的连线经过对称中心且被对称中心平分,对应线段平行（或在同一直线上）且相等）；旋转角的定义（对应点与旋转中心连线所成的角）；图形在坐标系中绕原点旋转、平移与对称的组合变换。 易错点：把「绕某点旋转 90° 重合」误当作中心对称（应是旋转 180°）；旋转角找错（须是对应点与旋转中心的连线夹角,如图中 ∠BAD 不是旋转角）；平移后再求对称点时漏变换或顺序颠倒。 重点：中心对称图形的辨认；利用旋转性质进行角度计算；网格或坐标系中确定对称中心；关于原点对称的点的坐标求值。 难点：旋转性质与等腰直角三角形结合的证明与计算（含三点共线的推理）；对称中心的确定与四边形形状的判定综合。 常考点：中心对称图形但非轴对称图形的辨认；分针转角问题；图案的最小旋转角；网格中的中心对称作图；平移与对称的组合坐标计算。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 28 章 旋转（全章综合）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．等边三角形　B．五角星　C．菱形　D．等腰梯形　 2．下列说法中正确的是（　　） A．两个全等的图形一定成中心对称 B．旋转后的图形与原图形的对应边一定平行 C．成中心对称的两个图形中,对应点的连线经过对称中心,且被对称中心平分 D．绕某点旋转 90° 后能重合的两个图形成中心对称 3．如图,将 △ABC 绕点 C 顺时针旋转得到 △A'B'C（点 A、B 的对应点分别为 A'、B'）,若 ∠BCB'=36°,则 ∠CBB' 的度数为（　　） A．36°　B．54°　C．72°　D．90°　 4．在平面直角坐标系中,△OAB 是等边三角形,点 B(3,0).将 △OAB 绕原点 O 逆时针旋转 90°,则点 A 的对应点 A′ 的坐标为（　　） A．（−,）　　B．（−,−）　　 C．（,−）　　D．（−,）　　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．已知点 P(m,n) 与点 Q(m+4, 2n−3) 关于原点对称,则 mn=＿＿＿。 6．△ABC 与 △DEF 关于点 O 成中心对称,若 AB=5,BC=6,CA=7,则 DE+EF=＿＿＿。 7．△ABC 与 △A'B'C' 关于点 O 成中心对称,若 △ABC 的面积为 6,BC=4,则 B'C' 边上的高等于＿＿＿。 8．钟表上 10:15 时,时针与分针的夹角是＿＿＿°。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(−2,3)、B(−4,1)、C(−1,1). (1) 画出 △ABC 关于原点 O 对称的 △A'B'C',并写出点 A'、B'、C' 的坐标;（6 分） (2) 求 △ABC 的面积.（4 分） 10．如图,□ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,过点 O 的直线分别交 AD、BC 于点 E、F. (1) 求证:OE=OF;（5 分） (2) 求证:四边形 AECF 是平行四边形.（5 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．C　　2．C　　3．C　　4．A 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．−2（m=−2,n=1） 6．11 7．3 8．142.5 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】(1) 图略,A′(2,−3)、B′(4,−1)、C′(1,−1)；(2) △ABC 的面积为 3. 正确画出 △A′B′C′ 3 分； 正确写出三个对应点的坐标 3 分； 正确求出 △ABC 的面积为 3 4 分。 10．【标准答案】(1) △AOE≌△COF（ASA）,OE=OF；(2) 四边形 AECF 是平行四边形（对角线 AC 与 EF 互相平分）. 由平行四边形性质得出 OA=OC 1 分； 得出对顶角 ∠AOE=∠COF 1 分； 由 AD∥BC 得出 ∠OAE=∠OCF 1 分； 证得 △AOE≌△COF 1 分； 得出 OE=OF 1 分； 得出 AC 与 EF 互相平分（OA=OC、OE=OF） 3 分； 判定四边形 AECF 是平行四边形 2 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.1.2 过三点的圆（五点梳理） 知识点：经过一点或两点可以作无数个圆；经过同一条直线上的三个点不能作圆；不在同一条直线上的三个点确定一个圆。经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆，外接圆的圆心叫三角形的外心（三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等），这个三角形叫圆的内接三角形。外心位置：锐角三角形在内部，直角三角形在斜边上，钝角三角形在外部；直角三角形外接圆半径等于斜边的一半。 易错点：① "三个点确定一个圆"漏了"不在同一条直线上"这个前提；② 外心是三边垂直平分线的交点，不是三条角平分线或中线的交点；③ 外接圆与内接三角形的关系表述颠倒（圆是三角形的外接圆，三角形是圆的内接三角形）。 重点：三点定圆；尺规作三角形的外接圆；外心性质（到三个顶点距离相等）。 难点：理解"过两点的圆心在连线段垂直平分线上"并用于确定圆心；直角三角形外接圆半径的计算。 常考点：过点作圆个数的判断；作三角形外接圆；求外接圆半径（直角、等边三角形）；破镜重圆问题。 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.1 圆的有关概念（五点梳理） 知识点：圆的概念（弦、直径、弧、等圆等弧）与点与圆的位置关系（d>r 在外、d=r 在上、d<r 在内）；不在同一条直线上的三个点确定一个圆，三角形的外接圆与外心（三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等）；直角三角形外接圆半径等于斜边的一半；反证法的三个步骤。 易错点：① 等弧是"能够完全重合的弧"，不是长度相等；② 外心是垂直平分线的交点，不是角平分线交点；③ 反证法的假设要否定结论，"最多一个直角"的反面是"至少两个直角"；④ 判断点与圆位置先求 d 再比较。 重点：点与圆位置关系；外接圆作图与外心性质；反证法假设的写法。 难点：用"对角线相等且互相平分"证明四点共圆；坐标系中用勾股定理求点与圆心的距离。 常考点：概念正误判断；点与圆位置；直角三角形外接圆半径；反证法假设；四点共圆证明。 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.2.1 垂直于弦的直径（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．垂径定理的内容是（　　） A．垂直于弦的直线平分弦 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧 D．平分弧的弦垂直平分弧所对的弦 2．如图,AB 是 ⊙O 的直径,弦 CD⊥AB,垂足为 E。下列结论中不一定成立的是（　　） A．CE=DE　B．AE=BE　C．AC=AD　D．OA=OB　 3．⊙O 的半径为 5,弦 AB=8,则圆心 O 到弦 AB 的距离为（　　） A．2　B．3　C．4　D．5　 4．下列命题中,正确的是（　　） A．平分弦的直径垂直于弦　　B．垂直于弦的直线过圆心　　 C．弦的垂直平分线必经过圆心　　D．平分弦的直径必平分弦所对的弧　　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．⊙O 的半径为 13,弦 AB=24,则圆心 O 到弦 AB 的距离为　　　　　　。 6．一座圆弧形拱桥,跨度（弧所对弦长）为 36 m,拱高（弧的中点到弦的距离）为 6 m,则拱桥所在圆的半径为　　　　　　m。 7．如图,AB 是 ⊙O 的直径,弦 CD⊥AB,垂足为 E。若 CD=8,OE=3,则 ⊙O 的半径为　　　　　　。 8．水平放置的圆柱形排水管的截面半径为 1 m,截面中有水部分（弓形）的水面宽 1.6 m,则圆心到水面的距离为　　　　　　m。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．一座圆弧形拱桥,跨度（弧所对弦长）AB=24 m,拱高 CD=8 m,其中 D 为 AB 的中点,C 为弧 AB 的中点。 求拱桥所在圆的半径。 10．如图,两个圆都以点 O 为圆心,大圆的弦 AB 交小圆于 C、D 两点。求证：AC=BD。 （提示：过圆心 O 作 OE⊥AB,垂足为 E。） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．C　　2．B　　3．B　　4．C 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．5 6．30 7．5 8．0.6 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】半径为 13 m（过程：AD=12，OD=R−8，R²=12²+(R−8)²，解得 R=13） 连接 OA，作 OD⊥AB 于 D，由垂径定理得 AD=½AB=12 4 分； 设半径为 R，则 OD=OC−CD=R−8 3 分； 在 Rt△OAD 中，R²=12²+(R−8)²，解得 R=13 3 分。 10．【标准答案】证明见评分标准（作 OE⊥AB 于 E，AE=BE、CE=DE，相减即得） 过 O 作 OE⊥AB，垂足为 E 3 分； 由垂径定理得 AE=BE，CE=DE 4 分； 所以 AE−CE=BE−DE，即 AC=BD 3 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.2 圆的有关性质（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．⊙O 的半径为 10,圆心 O 到弦 AB 的距离为 6,则弦 AB 的长为（　　） A．8　B．16　C．12　D．20　 2．四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形,若 ∠A=80°,则 ∠C 的度数为（　　） A．80°　B．90°　C．100°　D．160°　 3．如图,AB 是 ⊙O 的弦,∠OAB=40°,则 ∠AOB 的度数为（　　） A．40°　B．50°　C．80°　D．100°　 4．⊙O 的半径为 5,弦 AB=6,则圆心 O 到弦 AB 的距离为（　　） A．3　B．4　C．5　D．6　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．一座圆弧形拱桥的跨度为 16 m,拱高为 4 m,则拱桥所在圆的半径为　　　　　　m。 6．⊙O 的半径为 3,弦 AB 所对的圆心角为 120°,则 AB 的长为　　　　　　。 7．AB 是 ⊙O 的直径,点 C 在 ⊙O 上,∠BAC=25°,则 ∠B 的度数为　　　　　　度。 8．四边形 ABCD 内接于 ⊙O,∠A:∠C=3:2,则 ∠A 的度数为　　　　　　度。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,AB 是 ⊙O 的直径,弦 CD⊥AB,垂足为 E,且 CD=8,AE=2。求 ⊙O 的半径。 （提示：设半径为 r,则 OE=r−AE=r−2。） 10．如图,四边形 ABCD 内接于 ⊙O,连接 OB、OD,∠BOD=140°。 （1）求 ∠A 的度数；（5 分） （2）求 ∠C 的度数。（5 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．B　　2．C　　3．D　　4．B 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．10 6． 7．65 8．108 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】半径为 5（CE=4，设 r，OE=r−2，r²=4²+(r−2)²，解得 r=5） 由垂径定理得 CE=½CD=4 2 分； 设半径为 r，则 OE=OA−AE=r−2 2 分； 在 Rt△OEC 中，r²=4²+(r−2)² 3 分； 解得 r=5 3 分。 10．【标准答案】（1）∠A=70°；（2）∠C=110°（过程见评分标准） （1）∠A 与 ∠BOD 是同弧所对的圆周角与圆心角，∠A=½∠BOD=70° 5 分； （2）四边形 ABCD 内接于 ⊙O，∠C=180°−∠A=110° 5 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 29 章 圆（全章综合一）（五点梳理） 知识点：本章主线：圆的概念与点与圆位置关系 → 三点定圆与外心 → 垂径定理 → 圆心角定理 → 圆周角定理及推论 → 圆内接四边形对角互补 → 弧长与扇形面积 → 圆锥侧面积与全面积。 易错点：① 圆周角定理必须"同弧（等弧）"；② 垂径定理计算用半弦长；③ 圆锥底面半径与母线的对应关系（展开扇形半径=母线，弧长=底面周长）。 重点：垂径定理、圆周角定理、弧长与圆锥公式的综合运用。 难点：利用等弧构造等边三角形证明菱形；设未知数列方程求半径。 常考点：垂径计算、圆周角互化、内接四边形、弧长/扇形/圆锥的计算，以及它们的综合。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 29 章 圆（全章综合二）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．下列说法中,错误的是（　　） A．直径是圆中最长的弦　B．半圆是弧　C．同圆的半径相等　D．长度相等的弧是等弧　 2．用反证法证明"一个三角形中至少有两个锐角"时,第一步应假设（　　） A．三角形中至少有一个锐角　　B．三角形中至少有两个钝角　　 C．三角形中至多有一个锐角　　D．三角形中没有锐角　　 3．⊙O 的半径为 13,弦 AB=10,则圆心 O 到弦 AB 的距离为（　　） A．5　B．12　C．13　D．8　 4．一个扇形的半径为 6,面积为 9π,则它的圆心角为（　　） A．60°　B．80°　C．90°　D．120°　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．若 ⊙O 是 △ABC 的外接圆,则 OA、OB、OC 的大小关系是　　　　　　。 6．⊙O 的半径为 10,弦 AB=12,则圆心 O 到弦 AB 的距离为　　　　　　。 7．半径为 3 的圆中,一段弧长为 π,则这段弧所对的圆心角为　　　　　　度。 8．一个圆锥的侧面展开图是半径为 9、圆心角为 120° 的扇形,则这个圆锥底面圆的半径为　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,AB 是 ⊙O 的直径,点 C、D 在 ⊙O 上,∠ADC=25°。 （1）求 ∠ABC 的度数；（5 分） （2）求 ∠BAC 的度数。（5 分） 10．如图,从一块直径为 4 m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 90° 的扇形 BAC,其中点 A 在圆上,点 B、C 在圆上且扇形的两条半径分别在 AB、AC 上。 （1）求剪下扇形后剩余部分铁皮的面积（结果保留 π）；（6 分） （2）把剪下的扇形围成圆锥,求这个圆锥底面圆的半径（结果保留小数点后两位）。（4 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．D　　2．C　　3．B　　4．C 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．相等 6．8 7．60 8．3 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）∠ABC=25°；（2）∠BAC=65°（过程见评分标准） （1）∠ABC 与 ∠ADC 是同弧 AC 所对的圆周角，∠ABC=∠ADC=25° 5 分； （2）AB 是直径，得 ∠ACB=90° 3 分； ∠BAC=90°−∠ABC=90°−25°=65° 2 分。 10．【标准答案】（1）剩余面积为 2π m²；（2）底面半径约 0.71 m（过程见评分标准） （1）由 ∠BAC=90° 是圆周角，得 BC 是 ⊙O 的直径，BC=4 2 分； Rt△BAC 中 AB=AC（等腰），AB=AC=2√2 2 分； S扇形=¼π×(2√2)²=2π，S圆=π×2²=4π 1 分； 剩余面积 =4π−2π=2π m² 1 分。 （2）扇形弧长 =¼×2π×2√2=√2π 2 分； 2πr=√2π，r=√2/2≈0.71 m 2 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 30.1.1 直线与圆的位置关系（五点梳理） 知识点：直线与圆的三种位置关系：直线与圆有两个公共点（相交，d<r）；只有一个公共点（相切，d=r，这条直线叫圆的切线，唯一公共点叫切点）；没有公共点（相离，d>r）。其中 d 是圆心 O 到直线的距离，r 是 ⊙O 的半径。判定位置关系只需比较 d 与 r 的大小。 易错点：① 混淆"直线与圆相切"与"直线与圆相离"的 d、r 大小关系；② 已知圆上一点 P 在直线 l 上且 OP=r 时，直线与圆不一定相切，还可能相交（l 恰好经过 ⊙O 内部）；③ 题目给的是直径时，比较 d 与 r 前要先把直径除以 2。 重点：三种位置关系的判定（d 与 r 比大小）；公共点个数与位置关系的对应。 难点：Rt△ 中动圆位置关系问题：先用面积法求圆心到斜边的距离（斜边上的高），再与半径比较。 常考点：由 d 与 r 判断位置关系；由位置关系反求 d 或 r 的取值范围；直角三角形中圆与斜边位置关系的判断。 学科网（北京）股份有限公司 $ 30.1.2 切线的性质（五点梳理） 知识点：切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。常作的辅助线：① 连接圆心与切点，得到垂直关系（构造直角三角形用勾股定理）；② 已知切线，"见切点连半径"。切线的其他性质：切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于半径。 易错点：① "切线垂直于半径"漏掉"过切点"三个字，垂直于不过切点的半径不一定成立；② 连切点半径后忘记用勾股定理计算，切线问题常化归为直角三角形；③ 计算角度时把 ∠AOP 与 ∠P 的关系弄反。 重点：切线性质定理及运用：连半径、得垂直、构造直角三角形求线段或角。 难点：车轮（或圆与两相交直线相切）问题中，利用切线性质证明四边形是正方形（或矩形），并求相关距离。 常考点：切线性质定理的运用；含切线的直角三角形计算（勾股定理）；切线与直径、延长线组合的求角问题。 学科网（北京）股份有限公司 $ 30.1.2 切线的判定（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．下列直线中,一定是 ⊙O 的切线的是（　　） A．经过圆上一点的直线　　B．垂直于半径的直线　　 C．经过半径外端点的直线　　D．经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线　　 2．在 △AOB 中,OA=OB=3,AB=4,以 O 为圆心、2.6 为半径作 ⊙O,则 AB 所在直线与 ⊙O 的位置关系是（　　） A．相离　B．相切　C．相交　D．无法确定　 3．下列条件中,能判定直线 l 与 ⊙O 相切的是（　　） A．圆心 O 到 l 的距离等于 ⊙O 的半径　　B．l 与 ⊙O 有一个公共点　　 C．l 垂直于 ⊙O 的半径　　D．圆心 O 在 l 上　　 4．已知 ⊙O 的半径为 5,直线 l₁ 与圆心 O 的距离为 5,直线 l₂ 与 ⊙O 有两个公共点,直线 l₃ 与 ⊙O 相离,则下列说法正确的是（　　） A．l₁、l₂、l₃ 都是切线　B．只有 l₁ 是切线　C．l₂ 是切线　D．l₃ 是切线　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．在 △ABC 中,∠C=90°,AC=BC=2,以 C 为圆心、√2 为半径作 ⊙C,则 AB 所在直线与 ⊙C 的位置关系是　　　　　　。 6．圆心 O 到直线 l 的距离为 4,若要 l 与 ⊙O 相切,则 ⊙O 的半径应为　　　　　　。 7．等腰 △ABC 中,AB=AC=5,BC=6,O 是 BC 的中点,以 O 为圆心作圆与 AB 相切,则 ⊙O 的半径为　　　　　　。 8．在 Rt△ABC 中,∠A=90°,AB=6,AC=8,以 A 为圆心、4.8 为半径作 ⊙A,则 BC 所在直线与 ⊙A 的位置关系是　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,△ABC 中,AB=AC,O 是 BC 的中点,⊙O 与 AB 相切于点 D。 求证：AC 是 ⊙O 的切线。 10．如图,OC 平分 ∠AOB,点 D 在 OC 上,⊙D 与 OA 相切于点 E。 求证：OB 与 ⊙D 相切。 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．D　　2．C　　3．A　　4．B 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．相切 6．4 7．2.4 8．相切 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】证明见评分标准（连 OD、作 OE⊥AC，证 △OBD≌△OCE 得 OE=OD） 连接 OD，过点 O 作 OE⊥AC，垂足为 E 3 分； ⊙O 与 AB 相切于 D，所以 OD⊥AB，即 ∠BDO=90° 3 分； 由 AB=AC、OB=OC，得 ∠B=∠C，所以 △OBD≌△OCE（AAS） 2 分； 所以 OE=OD 为 ⊙O 的半径，AC 是 ⊙O 的切线 2 分。 10．【标准答案】证明见评分标准（作 DF⊥OB 于 F，由角平分线性质得 DF=DE=r） 过 D 作 DF⊥OB，垂足为 F 3 分； ⊙D 与 OA 相切于 E，所以 DE⊥OA，且 DE 是 ⊙D 的半径 3 分； 由 OC 平分 ∠AOB，得 DF=DE（角平分线上的点到角两边距离相等） 2 分； 所以 DF 为 ⊙D 的半径，OB 与 ⊙D 相切 2 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 30.1.2 切线长定理（五点梳理） 知识点：切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角。由切线长定理可得：PA=PB，OP 平分 ∠APB，OP 垂直平分切点弦 AB。圆外切四边形的两组对边之和相等：AB+CD=AD+BC。 易错点：① 切线长与切线混淆：切线是直线，切线长是切点与已知点之间线段的长度；② 求 ∠AOB 时忘记四边形内角和为 360°（或漏掉两个直角）；③ 圆外切四边形中对边关系用反（应为 AB+CD=AD+BC）。 重点：切线长定理及其推论（OP 平分夹角、垂直平分切点弦）；含切线三角形的周长、角度计算。 难点：切线长与垂径定理、勾股定理的综合：设半径为 r，利用 PA²=OP²−r² 建立方程求半径。 常考点：∠P 与 ∠AOB 互求（∠AOB=180°−∠P）；切线长定理与圆周角定理结合求角；切线长方程求半径。 学科网（北京）股份有限公司 $ 30.2 三角形的内切圆（五点梳理） 知识点：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点（内心），内心到三角形三边的距离相等。常用结论：① S=½×l×r（l 为周长）；② 直角三角形内切圆半径 r=½(a+b−c)（a、b 为直角边，c 为斜边）；③ ∠BIC=90°+½∠A。 易错点：① 内心（角平分线交点，到三边距离相等）与外心（中垂线交点，到三顶点距离相等）混淆；② 内切圆与外接圆混淆；③ 直角三角形内切圆半径公式中 c 是斜边，不要代成直角边。 重点：内心的性质与应用；直角三角形内切圆半径的计算；切点分边线段长（切线长定理）的计算。 难点：探究并证明 ∠BIC=90°+½∠A；用面积法（S=½×周长×r）求内切圆半径。 常考点：内心概念辨析；∠BIC 的度数计算；直角三角形内切圆半径与切点分边线段的计算。 学科网（北京）股份有限公司 $ 30.2 三角形的内切圆（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．三角形的内切圆的圆心是三角形（　　） A．三条边的中垂线的交点　　B．三条角平分线的交点　　 C．三条中线的交点　　D．三条高的交点　　 2．△ABC 中,I 是内心,若 ∠A=80°,则 ∠BIC 的度数为（　　） A．100°　B．120°　C．130°　D．140°　 3．直角三角形的两条直角边分别为 5 和 12,则它的内切圆的半径为（　　） A．1　B．2　C．3　D．4　 4．（选学）如图,⊙O₁ 与 ⊙O₂ 的半径分别为 3 和 2,圆心距 O₁O₂=5,则两圆的位置关系是（　　） A．外离　B．外切　C．相交　D．内切　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．若三角形的面积为 30,周长为 30,则它的内切圆的半径为　　　　　　。 6．等边三角形的内切圆的半径与外接圆的半径之比为　　　　　　。 7．（选学）⊙O₁ 与 ⊙O₂ 的半径分别为 5 和 3,圆心距 O₁O₂=2,则两圆的位置关系是　　　　　　。 8．△ABC 中,I 是内心,若 ∠A=70°,则 ∠BIC 的度数为　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,⊙I 是 △ABC 的内切圆,D、E、F 分别是边 BC、CA、AB 上的切点,连接 IE、IF、ID。 （1）若 ∠A=60°,求 ∠EIF 的度数,并求 ∠EDF 的度数；（6 分） （2）若 △ABC 的面积为 24,周长为 24,求 ⊙I 的半径。（4 分） 10．如图,一块直角三角形的余料,∠C=90°,AC=30 cm,BC=40 cm。要从中剪出一个面积最大的圆, 使圆与三角形的三边都相切（即 △ABC 的内切圆）。 （1）求这个最大圆的半径；（6 分） （2）求切点分斜边 AB 的两条线段的长。（4 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．B　　2．C　　3．B　　4．B 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．2 6．1:2 7．内切 8．125° 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）∠EIF=120°，∠EDF=60°；（2）r=2（S=½×周长×r） （1）连接 IE、IF，由切线性质得 IE⊥AC、IF⊥AB 2 分； 四边形 AEIF 中，∠EIF=360°−90°−90°−60°=120° 2 分； ∠EDF 是弧 EF 所对的圆周角，∠EDF=½∠EIF=60° 2 分； （2）由 S=½×l×r（l 为周长），得 24=½×24×r 3 分； 所以 r=2 1 分。 10．【标准答案】（1）r=10 cm；（2）AF=20 cm，BF=30 cm（切线长：AF=AC−r，BF=BC−r） （1）由勾股定理得 AB=√(30²+40²)=50 cm 2 分； r=½(AC+BC−AB)=½(30+40−50)=10 cm 4 分； （2）由切线长定理，AE=AF、CE=CD=r=10、BD=BF=r=10 2 分； 所以 AF=AC−CE=30−10=20 cm，BF=BC−CD=40−10=30 cm 2 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 30.2 三角形的内切圆（五点梳理） 知识点：三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆；内心是三条角平分线的交点，到三边距离相等。常用结论：S=½×周长×r；直角三角形 r=½(a+b−c)；∠BIC=90°+½∠A；切点弦所对圆心角 ∠EIF=180°−∠A。（选学）圆与圆的五种位置关系：外离 d>R+r、外切 d=R+r、相交 R−r<d<R+r、内切 d=R−r、内含 d<R−r。 易错点：① 内心与外心混淆；② 用 S=½×l×r 时把周长当面积代入；③ 圆与圆位置关系中 R−r 与 R+r 的边界情形（恰好等于时是内切或外切）；④ 切点分斜边的线段长求错（用切线长定理从各顶点出发考虑）。 重点：内心的性质；切点构成的圆心角与圆周角计算；直角三角形内切圆的半径与切线长。 难点：剪最大圆问题（内切圆建模）；切点弦角度的推导（连心线、四边形内角和、圆周角定理联用）。 常考点：∠BIC 与 ∠A 互求；S=½×l×r 求半径；切点分边线段；（选学）由 d 与 R、r 判断两圆位置关系。 学科网（北京）股份有限公司 $ 30.3 正多边形与圆（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．正六边形的中心角的度数为（　　） A．60°　B．90°　C．120°　D．135°　 2．若正 n 边形的中心角为 24°,则 n 的值为（　　） A．12　B．15　C．18　D．20　 3．正方形的边长为 a,则它的外接圆的半径为（　　） A．a　B．√2a　C．(√2/2)a　D．(√3/2)a　 4．下列关于正六边形的说法中,正确的是（　　） A．正六边形的边长等于它的边心距　　B．正六边形的边长等于它的外接圆的半径　　 C．正六边形的中心角等于它的内角　　D．正六边形的内角为 60°　　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．正三角形的边长为 6,则它的边心距为　　　　　　。 6．正方形的边心距为 2,则它的面积为　　　　　　。 7．正六边形的半径（外接圆半径）为 6,则它的周长为　　　　　　。 8．若正多边形的每个内角都为 150°,则这个正多边形的边数为　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,一块空地的形状是半径为 4 m 的正八边形,中心为 O,连接 OA、OB。 求这块空地的面积（结果保留小数点后一位,√2 取 1.414）。 10．如图是一个正六边形螺帽的示意图,其相对两条边之间的距离（对边距离）为 12 mm。 （1）求螺帽的边长；（5 分） （2）求螺帽的面积。（5 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．A　　2．B　　3．C　　4．B 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．√3 6．16 7．36 8．12 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】64.0 m²（中心角 45°，AP=OP=2√2，每个等腰三角形面积 AP²=8，共 8×8=64） ∠AOB=360°/8=45°，作 AP⊥OB，垂足为 P 3 分； 由 ∠AOB=45° 得 AP=OP，且 2AP²=OA²=16，AP²=8 3 分； S△AOB=½×AB×OP=AP²=8 2 分； 正八边形面积 S=8×8=64 m² 2 分。 10．【标准答案】（1）边长 4√3 mm；（2）面积 72√3 mm² （1）对边距离的一半即边心距，边心距=12/2=6 mm 2 分； 中心角=60°，边心距垂直平分边，半边长=6×tan30°=2√3 mm 4 分； 所以边长 a=4√3 mm 1 分； （2）S=6×½×a×r=3×4√3×6=72√3 mm² 3 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 30 章 直线与圆的位置关系（全章综合二）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．直线 l 外一点 P,⊙O 经过点 P,圆心 O 到直线 l 的距离为 3,⊙O 的半径为 5,则直线 l 与 ⊙O 的位置关系是（　　） A．相离　B．相切　C．相交　D．无法确定　 2．PA、PB 与 ⊙O 分别相切于点 A、B,若 ∠P=60°,则 ∠PAB 的度数为（　　） A．30°　B．45°　C．60°　D．90°　 3．等边三角形的内切圆的半径与它的高之比为（　　） A．1:2　B．1:3　C．1:√3　D．2:3　 4．若正 n 边形的中心角与它的每个内角都相等,则 n 的值为（　　） A．3　B．4　C．5　D．6　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．⊙O 的半径为 5,圆心 O 到直线 l 的距离为 4,直线 l 与 ⊙O 相交于 A、B 两点,则 AB=　　　　　　。 6．PA 与 ⊙O 相切于点 A,AB 是 ⊙O 的直径,若 PA=4,OP=5,则 AB=　　　　　　。 7．直角三角形的斜边长为 10,内切圆的半径为 2,则它的两条直角边的和为　　　　　　。 8．正六边形的半径为 4,则它的边心距为　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,AB 是 ⊙O 的直径,CD 与 ⊙O 相切于点 C,且 AD⊥CD,垂足为 D,连接 AC。 （1）求证：OC∥AD；（4 分） （2）若 ∠CAB=30°,AB=8,求 AD 的长。（6 分） 10．如图,PA、PB 与 ⊙O 分别相切于点 A、B,∠P=60°,⊙O 的半径为 4。 （1）求切线 PA 的长；（5 分） （2）求四边形 OAPB 的面积。（5 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．C　　2．C　　3．B　　4．B 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．6 6．6 7．14 8．2√3 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）OC⊥CD 且 AD⊥CD，得 OC∥AD；（2）AD=6（∠OCA=∠CAB=30°，∠ACD=60°，AC=AB×cos30°=4√3，AD=AC×sin60°） （1）CD 与 ⊙O 相切于 C，所以 OC⊥CD 2 分； 又 AD⊥CD，在同一平面内垂直于同一条直线的两直线平行，所以 OC∥AD 2 分； （2）AB 是直径，得 ∠ACB=90° 1 分； OA=OC，得 ∠OCA=∠CAB=30° 2 分； 切线性质得 ∠OCD=90°，所以 ∠ACD=90°−30°=60°，且 ∠ADC=90° 1 分； 在 Rt△ACD 中，AC=AB×cos30°=8×(√3/2)=4√3，AD=AC×sin60°=4√3×(√3/2)=6 2 分。 10．【标准答案】（1）PA=4√3；（2）四边形 OAPB 的面积=16√3 （1）由切线性质得 OA⊥PA，OP 平分 ∠APB，∠APO=30° 3 分； 在 Rt△OAP 中，PA=OA/tan30°=4√3 2 分； （2）S△OAP=½×PA×OA=½×4√3×4=8√3 3 分； 四边形 OAPB 的面积=2S△OAP=16√3 2 分。 学科网（北京）股份有限公司 $