第二十七章 反比例函数 20分钟小练- 2026-2027学年人教版九年级数学上册

27.1 反比例函数的概念 知识点清单 【核心知识点】 ① 反比例函数的定义：形如 （k 为常数，k≠0）的函数，自变量 x 的取值范围是 x≠0 的一切实数。 必考 ② 三种等价形式：一般式 、乘积形式 xy=k（k 为定值）、负指数形式 yx−1=k，判断时可互相转化。 必考 ③ 待定系数法求解析式：设 ，代一组对应值解出 k 即可，只需一个点的坐标。 必考 ④ 实际问题列式：总量一定时，效率与时间成反比例（如 ），解析式后要注明自变量的实际范围。 常考 ⑤ 函数值计算：已知解析式，代 x 求 y 或代 y 求 x，注意符号。 必考 【拓展知识点】 ① y 与 x 的 n 次幂成反比例：形如 （如 y 与 x2 成反比例，设 y=），仍用待定系数法求 k。 拓展 ② 含参判定：形如 要同时满足「指数=−1」与「系数≠0」，常有一解需舍去。 易错、拓展 ③ 判断前先化简整理：分母是（x−1）等整体的、一次式 ，都不是反比例函数。 易错 易错提示（供命题与讲解参考） 1. 判断先化简： 的分母是整体、 是正比例函数，都不是反比例函数； 2. 含参判定别漏「系数≠0」：由指数条件解出 m=±1 时，若 m=−1 使系数为 0 必须舍去； 3. 实际问题解析式要带自变量范围（如 中 x>0），漏写要扣分； 4. y 与 x 的平方成反比例时设 ，别设成 y=kx2 或 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.1 反比例函数的概念（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．下列函数中,是反比例函数的是（　　） A．y=　B．y=　C．y=　D．y=　 2．式子 ① y=−x−1、② xy=6、③ y= 中,是反比例函数的有（　　） A．0 个　B．1 个　C．2 个　D．3 个　 3．下列问题中的两个变量,成反比例关系的是（　　） A．正方形的面积 S 与边长 a　　B．矩形面积为定值时,长 y 与宽 x　　 C．速度一定时,路程 s 与时间 t　　D．人的身高与年龄　　 4．反比例函数 y=（k>0）,当自变量 x 扩大到原来的 2 倍时,对应的函数值 y（　　） A．缩小到原来的一半　B．扩大到原来的 2 倍　C．保持不变　D．无法确定　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．若函数 y= 是反比例函数,则 m=　　　　　　。 6．已知 y 是 x 的反比例函数,当 x=2 时 y=−6,则 y 关于 x 的函数解析式为　　　　　　。 7．某车间计划加工 600 个零件,平均每天加工 x 个,完成任务所需天数 t（天）与 x 的函数关系式为　　　　　　（写出自变量的取值范围）。 8．电压保持 220 V 不变时,电流 I（A）与电阻 R（Ω）满足 I=,当 R=11 Ω 时,I=　　　　　　A。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．已知 y 与 x 成反比例,且当 x=4 时 y=−3。（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）当 x=−6 时,求 y 的值。（10 分） 10．一个游泳池的容积为 2000 m3,向池中注满水。（1）写出注水速度 v（m3/h）与注水时间 t（h）之间的函数关系式,并指出自变量 t 的取值范围；（2）若 8 h 恰好注满水池,求注水速度 v。（10 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．A　　2．C　　3．B　　4．A 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．1 6． 7．（x>0） 8．20 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）；（2）当 x=−6 时，y=2 （1）设 ，把 x=4、y=−3 代入得 k=−12 4 分； 写出 2 分； （2）把 x=−6 代入得 y=2 4 分。 10．【标准答案】（1）（t>0）；（2）v=250 m3/h （1）由「容积=速度×时间」得 3 分； 指出自变量取值范围 t>0 3 分； （2）把 t=8 代入得 v=250 m3/h 4 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.2 反比例函数的图象和性质（第1课时） 知识点清单 【核心知识点】 ① 图象特征：反比例函数 的图象是双曲线，由两支组成，无限接近两坐标轴但永不相交。 必考 ② k>0 时：两支分别在第一、三象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小。 必考 ③ k<0 时：两支分别在第二、四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大。 必考 ④ 增减性的前提：必须先说「在每一象限内」，两支合起来不能笼统说增减。 易错、必考 ⑤ 点与图象：点 (m, n) 在图象上 ⇔ mn=k，图象上每点的横纵坐标之积恒为 k。 必考 【拓展知识点】 ① 由一点定 k：图象经过一个点即可用待定系数法求出 k，进而确定位置与增减性。 常考 ② 对称性：双曲线关于原点成中心对称，也关于直线 y=x、y=−x 成轴对称。 拓展 ③ 位置与符号互推：由图象所在象限反定 k 的符号，由 k 的符号定象限。 常考 易错提示（供命题与讲解参考） 1. 增减性必须带「在每一象限内」，笼统说「y 随 x 增大而减小」是典型错误； 2. 判断点是否在图象上用横纵坐标之积是否等于 k，别把减法当乘法； 3. k 的符号决定象限：k=−12 在二、四象限，别与 k>0 的情形混淆； 4. 双曲线与坐标轴无限接近但永不相交，x、y 都取不到 0。 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.2 反比例函数的图象和性质（第2课时）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．反比例函数 的图象两支分别在第一、三象限,则 m 的取值范围是（　　） A．m>2　B．m<2　C．m≥2　D．m≠2　 2．反比例函数 的图象的一支位于第一象限,则它的另一支位于（　　） A．第三象限,且 a>　　B．第四象限,且 a>　　 C．第三象限,且 a<　　D．第四象限,且 a<　　 3．点 A(x1, y1)、B(x2, y2) 都在反比例函数 y= 位于第二象限的图象上,若 x1<x2,则 y1 与 y2 的大小关系是（　　） A．y1<y2　B．y1>y2　C．y1=y2　D．无法确定　 4．在同一平面直角坐标系中,函数 y=kx 与 y=（k≠0）的图象,下列说法一定正确的是（　　） A．两图象一定有两个交点　　B．两图象的交点可能都在第一象限　　 C．两图象最多有一个交点　　D．当 k<0 时两图象没有交点　　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．若反比例函数 的图象的一支位于第二象限,则另一支位于第　　　　　　象限,m 的取值范围是　　　　　　。 6．点 A(−2, y1)、B(−1, y2)、C(3, y3) 都在反比例函数 y= 的图象上,则 y1、y2、y3 的大小关系是　　　　　　（用「<」连接）。 7．双曲线 y= 经过点 (−3, 2),则在每一象限内,y 随 x 的增大而　　　　　　。 8．若反比例函数 y= 与一次函数 y=−2x 的图象有交点,则 k 的取值范围是　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．已知点 (−2, −4) 在反比例函数 y= 的图象上。（1）求 k 的值,并指出图象所在的象限；（2）当 y<4 时,求自变量 x 的取值范围。（10 分） 10．如图,反比例函数 y= 的图象与正比例函数 y=kx 的图象交于 A、B 两点。（1）求 k 的取值范围；（2）当 k=4 时,求两图象的交点坐标。（10 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．A　　2．A　　3．A　　4．A 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．四；m< 6．y2<y1<y3 7．增大 8．k<0 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）k=8，图象在第一、三象限；（2）x<0 或 x>2 （1）k=(−2)×(−4)=8 3 分； 图象位于第一、三象限 2 分； （2）x<0 时 y<0<4 恒成立，得 x<0 2 分； x>0 时 <4，得 x>2，故 x<0 或 x>2 3 分。 10．【标准答案】（1）k>0；（2）交点为 (1, 4) 与 (−1, −4) （1）联立 kx= 得 x2= 3 分； 有两个交点 ⇔ x2>0，得 k>0 2 分； （2）k=4 时 x2=1，x=±1 3 分； 交点为 (1, 4) 与 (−1, −4) 2 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 27 章 反比例函数（全章综合） 知识点清单 【核心知识点】 ① 全章知识链：定义 → 解析式（待定系数法）→ 图象（双曲线）→ 性质（象限、增减性）→ 应用。 必考 ② 组合函数：y=+k2x 型用两组对应值列方程组求 k1、k2。 重点、常考 ③ 双曲线上点的坐标特征：横纵坐标之积恒为 k；已知 xy 与 x+y 可联立解出点的坐标。 常考 ④ 实际模型：总量一定时 （t>0），自变量范围由实际意义限定，图象只取一支。 常考 ⑤ 不等式解集：直线与双曲线的上下位置分段写，以交点横坐标与 x=0 为分界。 重点、常考 【拓展知识点】 ① y 与 x 的 n 次幂成反比例（ 型），待定系数法照用。 拓展 ② 含参整数最值：先解不等式得 k 的范围，再取符合条件的整数端点。 拓展、易错 ③ 跨支比较不能用单调性，逐点代入或先分象限再比较。 易错 易错提示（供命题与讲解参考） 1. 组合函数设式 y=+k2x，两组对应值列两个方程，别只用一个条件； 2. 含参整数最值先解不等式再取整数，注意「大于 」的最小整数是 0 不是 −1； 3. 双曲线 xy=k 与 x+y 联立得方程，两根都要检验是否符合原式； 4. 不等式解集分段书写：跨 x=0 时两侧分别看图，不能连写成一个区间。 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.2 反比例函数的图象和性质（综合） 知识点清单 【核心知识点】 ① 综合识别：先化简整理，能写成 （k≠0）或 xy=k 的才是反比例函数，乘积式、负指数式都算。 必考 ② 性质链：k 的符号 → 象限位置 → 增减性，由任一环可推其余。 必考 ③ 直线与双曲线交点：联立方程组求解，知道一个交点可由方程另一根得另一交点。 必考 ④ 由图象比函数值：以上下位置分段读解集，交点横坐标与 x=0 为分界。 重点、常考 【拓展知识点】 ① 无交点条件：联立化为一元二次方程后用判别式 Δ<0 求参数范围。 拓展、常考 ② 双曲线上两点横坐标互为相反数，则纵坐标也互为相反数（中心对称）。 拓展 ③ 三点比大小：先分象限，负值小于正值，同象限内再用增减性。 常考 易错提示（供命题与讲解参考） 1. 识别反比例函数看化简后的形式，xy=−6 与 y=x−1 都是，别漏乘积式与负指数式； 2. 解集由图象读出时以交点横坐标与 y 轴（x=0）为分界，x=0 处双曲线无定义必须分段； 3. 直线解析式由两个交点坐标联立求出，两个交点都要代回检验； 4. 面积计算用「底×高÷2」，底和高取坐标的绝对值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 27 章 反比例函数（全章综合）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．下列说法正确的是（　　） A．反比例函数 中,y 随 x 的增大而减小 B．双曲线 y= 的图象位于第二、四象限 C．y= 的图象经过点 (−1, 1) D．反比例函数的图象可能与坐标轴相交 2．已知反比例函数 ,在每一象限内 y 随 x 的增大而减小,且 k 为整数,则 k 的最小值是（　　） A．0　B．−1　C．−2　D．1　 3．在同一平面直角坐标系中,函数 y=kx 与 y=（k≠0）的图象交点个数为（　　） A．2 个　B．1 个　C．0 个　D．随 k 的符号变化　 4．某蓄水池容积 800 m3,匀速排水速度 v（m3/h）与排完水所需时间 t（h）满足 v=（t>0）。下列说法正确的是（　　） A．v 是 t 的反比例函数　　B．v 的图象是完整的双曲线　　 C．t 越大,v 越大　　D．v 随 t 的增大而增大　　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．已知 y 与 x2 成反比例,当 x=2 时 y=3,则当 x=6 时 y=　　　　　　。 6．双曲线 经过点 (−1, 4),则 m=　　　　　　,此时图象位于第　　　　　　象限。 7．点 A(−1, y1)、B(2, y2) 都在反比例函数 y= 的图象上,则 y1−y2=　　　　　　。 8．甲、乙两地相距 240 km,汽车的平均速度 v（km/h）与行驶时间 t（h）的函数关系式为　　　　　　；行驶 3 h 时的平均速度为　　　　　　km/h。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．已知 y=y1+y2,其中 y1 与 x 成反比例,y2 与 x 成正比例,且当 x=1 时 y=6；当 x=3 时 y=10。（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）当 x=−1 时,求 y 的值。（10 分） 10．如图,一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 的图象交于点 A(1, 4)、B(−4, −1)。（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象,直接写出不等式 kx+b> 的解集。（10 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．B　　2．A　　3．A　　4．A 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5． 6．−2；二、四 7．9 8．；80 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）；（2）当 x=−1 时 y=−6 （1）设 y=+k2x，代入 x=1、x=3 3 分； 联立得 k1+k2=6、+3k2=10，解得 k1=3、k2=3 4 分； 写出 1 分； （2）x=−1 时 y=−3−3=−6 2 分。 10．【标准答案】（1），；（2）−4<x<0 或 x>1 （1）由 A(1, 4) 得 m=4 2 分； 由 A、B 解得 k=1、b=3，y=x+3 3 分； （2）由图象分段读出：−4<x<0 或 x>1 5 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.2 反比例函数的图象和性质（第1课时）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．反比例函数 y= 的图象位于（　　） A．第一、三象限　B．第二、四象限　C．第一、二象限　D．第三、四象限　 2．下列各点中,在反比例函数 y= 的图象上的是（　　） A．(2, 3)　B．(−2, −3)　C．(−1, 4)　D．(−1.5, 4)　 3．已知反比例函数 y=,在每一个象限内 y 随 x 的增大而增大,则 k 的取值范围与图象所在象限为（　　） A．k>0,一、三象限　B．k<0,二、四象限　C．k>0,二、四象限　D．k<0,一、三象限　 4．反比例函数 y= 的图象经过点 (2, 3),则它的图象两支分别在（　　） A．第一、三象限　B．第二、四象限　C．第一、二象限　D．第三、四象限　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．反比例函数 y= 的图象叫　　　　　　；在每一象限内,y 随 x 的增大而　　　　　　。 6．反比例函数 y= 的图象经过点 (3, −4),则 k=　　　　　　。 7．点 A(−1, y1)、B(2, y2) 都在反比例函数 y= 的图象上,则 y1　　　　　　y2（填「>」「<」或「=」）。 8．写一个图象位于第一、三象限的反比例函数解析式：　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,反比例函数 y= 的图象经过点 A(−2, 4)。（1）求 k 的值,并写出这个函数的解析式；（2）判断点 B(4, −2)、C(2, 4) 是否在这个函数的图象上,并说明理由。（10 分） 10．已知反比例函数 y=。（1）它的图象位于哪些象限?在每一象限内,y 随 x 的增大如何变化?（2）点 P(x1, y1)、Q(x2, y2) 是第一象限的图象上的两点,且 x1<x2,比较 y1 与 y2 的大小,并说明理由。（10 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．B　　2．D　　3．B　　4．A 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．双曲线；减小 6．−12 7．> 8．（k>0 均可） 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）k=−8，；（2）点 B 在图象上，点 C 不在 （1）由 A(−2, 4) 得 k=(−2)×4=−8 4 分； 写出 2 分； （2）B(4, −2)：4×(−2)=−8=k，在图象上 2 分； C(2, 4)：2×4=8≠k，不在图象上 2 分。 10．【标准答案】（1）一、三象限，每一象限内 y 随 x 增大而减小；（2）y1>y2 （1）k=6>0，图象位于第一、三象限 3 分； 每一象限内 y 随 x 增大而减小 2 分； （2）同象限内用增减性：x1<x2 得 y1>y2 4 分； 说明理由（k=6>0 时每一象限内 y 随 x 增大而减小） 1 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.2 反比例函数的图象和性质（第2课时） 知识点清单 【核心知识点】 ① 由一支所在象限定参数：如 的一支在第一象限 ⇔ m−5>0，且另一支必在第三象限。 必考 ② 同支比较大小：先确认两点在同一象限，再用该象限内的增减性比较。 必考 ③ 异支比较：不同象限内一正一负，直接用符号判断大小（正值支上的函数值大）。 必考 ④ 正比例与反比例的交点：联立两解析式求解，交点关于原点对称、成对出现。 常考 ⑤ 图象共存：y=kx 与 中 k 相同，由直线的位置推双曲线的位置。 常考 【拓展知识点】 ① 含根号参数：如 由一支象限定 a 的范围，方法与一般含参式相同。 拓展 ② 有交点/无交点条件：联立后化为 x2= 型，由正负性定参数范围。 拓展、常考 ③ 实际反比例函数只取一支（x>0），不是完整双曲线。 拓展 易错提示（供命题与讲解参考） 1. 由一支象限定参数范围时，另一支的象限同时确定，别只求参数忘答象限； 2. 同支比较先确认两点在同一象限，跨支比较正负号直接分胜负； 3. y=kx 与 中 k 相同：直线过一、三象限（k>0）时双曲线也在一、三象限； 4. 交点关于原点对称成对出现，只答一个要丢一半分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.2 反比例函数的图象和性质（综合）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．下列函数：① y=；② xy=−6；③ ；④ y=x−1。其中是反比例函数的有（　　） A．①②　B．①②④　C．②④　D．①④　 2．反比例函数 的图象两支分别在第二、四象限,则 m 的取值范围是（　　） A．m>3　B．m<3　C．m>−3　D．m<−3　 3．反比例函数 y= 与一次函数 y=x+1 的图象没有交点,则 k 的取值范围是（　　） A．k<　B．k>　C．k<　D．k>　 4．双曲线 y= 与直线 y=x 的交点坐标是（　　） A．(2, 2) 和 (−2, −2)　B．(2, 2)　C．(−2, −2)　D．(2, −2)　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．反比例函数 y= 的图象经过点 (2, −3),则 k=　　　　　　；在每一象限内,y 随 x 的增大而　　　　　　。 6．若函数 y= 是反比例函数,则 m=　　　　　　。 7．直线 y=x+2 与双曲线 y= 交于点 A(1, 3),则 k=　　　　　　,另一交点坐标为　　　　　　。 8．已知点 P(a, b) 在反比例函数 y= 的图象上,且 a+b=5,则点 P 的坐标为　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,一次函数 y1=kx+b 的图象与反比例函数 y2= 的图象交于点 A(−1, 4)、B(4, n)。（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象,直接写出 y1>y2 时自变量 x 的取值范围。（10 分） 10．直线 y=−x+4 与双曲线 y= 交于点 A(m, 1)。（1）求 m 的值与反比例函数的解析式；（2）求直线与 x 轴的交点 C 的坐标,并求 △AOC 的面积。（10 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．B　　2．A　　3．A　　4．A 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．−6；增大 6．±3 7．3；(−3, −1) 8．(2, 3) 或 (3, 2) 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）y2=−，y1=−x+3；（2）x<−1 或 0<x<4 （1）由 A(−1, 4) 得 m=−4，即 y2=− 2 分； 由 B(4, n) 得 n=−1 1 分； 由 A、B 两点解得 k=−1、b=3，y1=−x+3 2 分； （2）由图象得 x<−1 或 0<x<4（以 x=0 为界分段） 5 分。 10．【标准答案】（1）m=3，k=3；（2）C(4, 0)，S△AOC=2 （1）由 A(m, 1) 在直线上得 m=3 2 分； k=3×1=3 2 分； （2）令 y=0 得 C(4, 0) 2 分； S=×4×1=2 4 分。 学科网（北京）股份有限公司 $