第27章 反比例函数 分层课后作业训练 2026--2027学年人教版九年级数学上册

人教版九年级数学（上）　第27章　反比例函数 分层课后作业训练 一、知识要点 1. 概念 　形如 y = （k 为常数，k ≠ 0）的函数叫反比例函数；也可写成 xy = k 或 y = kx⁻¹。 【解读与引例】解读：判断反比例函数看“两个变量的积是否为常数”，或整理后是否为 y = 常数/x，且 x 的次数必须是 -1、系数不为 0。引例：y = 、xy = 5、y = -2x⁻¹ 都是；y = 、y = 不是。 2. 图象 　双曲线。当 k > 0 时，图象位于第一、三象限；当 k < 0 时，位于第二、四象限；两支关于原点成中心对称。 【解读与引例】解读：图象是曲线而非直线，永不经过原点，也不与坐标轴相交。引例：y = 在一、三象限；y = 在二、四象限。 3. 增减性 　当 k > 0 时，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；当 k < 0 时，y 随 x 的增大而增大。 【解读与引例】解读：增减性必须限定在“同一支（同一象限）”内讨论，不能跨支比较。引例：y = ，x₁ = -1、x₂ = 1，虽 -1 < 1，但 y₁ = -6 < y₂ = 6，不能跨支说“减小”。 4. 待定系数法 　已知图象上一点 (x₀, y₀)，由 k = x₀y₀ 即可求出 k，从而确定解析式。 【解读与引例】解读：只需一个点的坐标就能确定 k。引例：图象过 (2, 3) ⇒ k = 6 ⇒ y = 。 5. k 的几何意义 　过双曲线上任意一点作两条坐标轴的垂线，所得矩形的面积为 |k|，所得直角三角形的面积为 。 【解读与引例】解读：面积只与 |k| 有关，与点在曲线上的位置无关，这是反比例函数最典型的几何特征。引例：P 在 y = 上，矩形 OAPB 面积为 12 ⇒ |k| = 12。 6. 与一次函数的综合 　常考：联立求交点坐标、求两图象围成的图形面积、由图象比较函数值大小、解简单的分式不等式。 【解读与引例】解读：交点坐标必须同时满足两个解析式；利用“上方图象函数值较大”可解不等式。引例：y = 2x 与 y = 联立 ⇒ x² = 4 ⇒ 交点 (2, 4)、(-2, -4)。 7. 实际应用 　凡是“两个量乘积为定值”的关系，都可建模为 y = 。常见背景：面积一定（长×宽）、杠杆（动力×动力臂）、路程一定（速度×时间）、固体压强（压力×受力面积）、电压一定（电流×电阻）、总价一定（单价×数量）、溶质一定（浓度×体积）。 【解读与引例】解读：找实际背景中的“不变量（定值）”是建模关键。引例：小区矩形绿地面积为 1000 m² ⇒ 宽 y = （x 为长）。 二、学习任务单 1. 能识别反比例函数：会判断 y = 、xy = k、y = kx⁻¹ 三种等价形式，并排除 y = 这类“伪反比例”。 2. 会用待定系数法求 k，并由 k 的符号判断图象所在象限与增减性。 3. 掌握 k 的几何意义，会用矩形面积 |k|、直角三角形面积 解题。 4.能求反比例函数与一次函数的交点，并会求相关图形的面积、由图象解简单不等式。 5.能把“面积一定、压强一定、电压一定、总价一定”等实际问题抽象为 y = 。 三、例题精讲（先看范例，再练题） 例1．已知反比例函数 y = 的图象在第二、四象限，求 m 的取值范围，并说明它的增减性。 【解析】解：反比例函数要求系数 m - 3 ≠ 0；图象在二、四象限 ⇒ 系数 m - 3 < 0 ⇒ m < 3。此时 k < 0，所以在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。 例2．如图，P 是双曲线 y = （k > 0）上任意一点，过点 P 作 PA ⊥ x 轴于点 A，若 △POA 的面积为 3，求 k。 【解析】解：由 k 的几何意义，S△POA = = = 3 ⇒ k = 6。 例3．一次函数 y = 2x 与反比例函数 y = 的一个交点为 (2, 4)，求 k 及另一个交点坐标。 【解析】解：把 (2, 4) 代入 y = 得 k = 8；联立 y = 2x 与 y = ⇒ 2x = ⇒ x² = 4 ⇒ x = 2 或 x = -2，对应 y = 4 或 y = -4，故另一交点为 (-2, -4)。两交点关于原点对称。 四、易错警示 1.误跨象限比较增减性：必须在“同一支（同一象限）”内才能用增减性；如 y = 中 x₁ = -1、x₂ = 1，不能由 -1 < 1 推出 y₁ > y₂。 2.漏掉 k ≠ 0 的条件：形如 y = 的函数，必须 a ≠ 0 才是反比例函数。 3.混淆正、反比例：y = kx（k ≠ 0）是正比例（直线、过原点）；y = （k ≠ 0）才是反比例（双曲线）。 4.忘记绝对值：k 的几何意义中矩形面积 = |k|、直角三角形面积 = ，k 可正可负，面积取正值。 五、A 组　基础巩固（全体必做） 1. 下列函数中，是反比例函数的是 （填序号）。　(1) y = 3x　(2) y = 　(3) y = 　(4) xy = 5　(5) y = 　(6) y = 4x⁻¹ 2. 已知反比例函数 y = 的图象分布在第二、四象限，则 m 的取值范围是 。 3. 反比例函数 y = 的图象经过点 (2, -3)，则 k = ；当 x > 0 时，y 随 x 的增大而 。 4. 若 y 与 x 成反比例，且 x = 4 时 y = 6，则 y 关于 x 的函数表达式为 。 5. 反比例函数 y = 经过点 (3, 2)，则 k = ，该函数的图象在第 象限。 6. 已知点 A(-2, y₁)、B(1, y₂)、C(3, y₃) 都在反比例函数 y = 的图象上，则 y₁、y₂、y₃ 从小到大的排列为 。 7. 若 y = 是反比例函数，则 k 应满足 。 8. 反比例函数 y = ，当 x = -2 时，y = 。 9. 若反比例函数 y = 的图象经过第一、三象限，则 k 0（填“>”或“<”）。 10. 成都某药店用一定量消毒液原液配制，原液量一定时，加水量 x(L) 与稀释后的浓度 y 成 比例关系（填“正”或“反”）。 11. 家庭电路中电压 U = 220 V 一定时，电流 I(A) 与电阻 R(Ω) 之间的函数关系式为 I = 。 12. 已知 y = 的图象在第二、四象限，则 m 的取值范围是 。 六、B 组　能力提升 13. 如图，P 是双曲线 y = （k > 0）上任意一点，过点 P 作 PA ⊥ x 轴于点 A，若 △POA 的面积为 4，则 k = 。 14. 如图，矩形 OABC 的顶点 A 在 x 轴正半轴、C 在 y 轴正半轴，顶点 B 在双曲线 y = 上。若矩形 OABC 的面积为 12，则 k = 。 15. 一次函数 y = 2x - 1 与反比例函数 y = 的一个交点为 (1, a)，则 k = 。 16. 成都某小区规划一块面积为 1000 m² 的矩形绿地，设长为 x m，宽为 y m，则 y 关于 x 的函数关系式为 （x > 0）。若长定为 50 m，则宽为 m。 17. 若点 P(-3, 2) 在反比例函数 y = 的图象上，则 k = ；过点 P 作两坐标轴的垂线，所得矩形的面积为 。 18. 成都某建筑工地，起重机对重物的压力 F 一定时，重物对地面的压强 p(Pa) 与受力面积 S(m²) 成 比例；若 F = 50000 N，则 p 关于 S 的关系式为 p = 。 19. 正比例函数 y = 3x 与反比例函数 y = 的一个交点为 (2, 6)，则 k = ，另一个交点坐标为 。 20. 实验电路中电压 U = 120 V 一定，电流 I(A) 与电阻 R(Ω) 满足 I = ；当 R = 30 Ω 时，I = A。 21. 矩形 OABC 中，A 在 x 轴正半轴、C 在 y 轴正半轴，顶点 B(4, 3) 在双曲线 y = 上，则 k = ，矩形 OABC 的面积为 。 22. 一次函数 y = -x + 5 与反比例函数 y = 交于点 (1, 4)，则 k = ；把 x = 4 代入直线得另一交点坐标为 。 七、C 组　拓展探究 23. 如图，菱形 OABC 中，O 为坐标原点，顶点 A 在 x 轴正半轴，顶点 B 在反比例函数 y = （k > 0）的图象上。若 OA = 4，且点 B 到 x 轴的距离为 2，则 k = 。 24. 如图，矩形 ABCD 中，AB = 4，BC = 3，点 P 在边 AB 上运动，连接 DP，过点 P 作 PE ⊥ BD 于点 E。设 AP = x，PE = y，则 y 与 x 之间的函数关系为 ，它 （填“是”或“不是”）反比例函数。 25. 如图，正比例函数 y = x 与反比例函数 y = （k > 0）的图象交于 A、B 两点，过点 A 作 AC ⊥ x 轴于点 C，过点 B 作 BD ⊥ y 轴于点 D，AC 与 BD 交于点 E。若 k = 4，则矩形 OCED 的面积为 （填数值）。 26. 成都某中学物理实验课上探究杠杆平衡：阻力 × 阻力臂 = 动力 × 动力臂。当阻力与阻力臂大小一定时，动力 y(N) 与动力臂 x(cm) 成 比例关系；若阻力 × 阻力臂 = 300 N·cm，则 y 关于 x 的关系式为 。 27. 如图（同第13题图），P 是 y = （x > 0）图象上任意一点，PA ⊥ x 轴于 A，则 △POA 的面积 S = ，说明它 （填“与 P 的位置有关”或“与 P 的位置无关”）。 28. 用 10 g 药粉配制成溶液，浓度 c(g/mL) 与溶液体积 V(mL) 满足 c = 。则 c 与 V 成 比例；当 V = 50 mL 时，c = g/mL。 29. 成都市某污水处理厂每日处理总量 Q = 6000 吨一定时，所需处理时间 t(天) 与每日处理速度 v(吨/天) 成反比例。(1) 写出 t 与 v 的函数关系式 ；(2) 若每天处理 200 吨，需要 天；(3) 若要在 20 天内完成，每天至少处理 吨。 八、方法归纳 1.识别三步：① 看形式是否为 y = 常数/x（或 xy = 常数、y = 常数·x⁻¹）；② 看分母是否为 x 的一次、系数非零；③ 排除 x 在分子或分母带“+常数”的式子。 2.求 k 两步：① 找到一个点的坐标 (x₀, y₀)；② 计算 k = x₀y₀（注意符号）。 3.图象与面积：矩形面积 = |k|、直角三角形面积 = ；比较函数值大小先看“是否同支”，跨支先代入或画图判断。 九、分层达标自评表 层级 我能做到 自评（★） A 组（基础） 识别反比例、求 k、判断象限与增减性、简单实际建模 B 组（能力） 运用 k 的几何意义、求两函数交点、用物理/工程情境建模 C 组（拓展） 处理菱形/矩形中的反比例函数、动点定值、综合应用与计算 作业训练参考答案（A / B / C 组） A 组：1. (2)(4)(6)　2. m < 2　3. -6；增大（k<0，x>0 时 y 随 x 增大而增大）　4. y = （k = 4×6 = 24）　5. 6；一、三　6. y₁ < y₃ < y₂（A(-2,-3), B(1,6), C(3,2)）　7. k ≠ 1　8. -3　9. >　10. 反　11. 　12. m < - B 组：13. 8（S△POA = = 4 ⇒ k = 8）　14. 12（矩形面积 = |k| = 12）　15. 1（a = 1，点(1,1)在双曲线上）　16. y = ；20　17. -6；6（|k| = |-6| = 6）　18. 反；　19. 12；(-2,-6)（两交点关于原点对称）　20. 4（I = 120/30 = 4）　21. 12；12（B(4,3) ⇒ k = 12，矩形面积 = |k| = 12）　22. 4；(4,1)（联立得 x = 1 或 4） C 组：23. 4（B(2, 2)，k = 2×2 = 4）　24. y = （由 △BPE∽△BDA： = ），是一次函数，不是反比例函数　25. 4（矩形 OCED 顶点 O(0,0), C(2,0), E(2,-2), D(0,-2)，面积 = 2×2 = 4）　26. 反；y = 　27. 6；与 P 的位置无关（S = = 6）　28. 反；0.2（c = 10/50 = 0.2）　29. (1) t = 　(2) 30（6000/200）　(3) 300（6000/20） 学科网（北京）股份有限公司 $