第二十五章 一元二次方程 20分钟小练-2026-2027 学年人教版九年级数学上册

25.2.1 配方法（第2课时）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．用配方法解方程 x2+6x−5=0,配方后所得的方程是（　　） A．(x+3)2=14　B．(x+3)2=5　C．(x−3)2=14　D．(x−3)2=5　 2．用配方法解方程 2x2−4x−6=0,二次项系数化为 1 后,配方正确的是（　　） A．x2−2x+1=−3+1,即 (x−1)2=−2　　B．x2−2x+1=3+1,即 (x−1)2=4　　 C．x2−2x+1=3,即 (x−1)2=3　　D．x2−2x−1=3−1,即 (x−1)2=3　　 3．用配方法解方程 x2+4x−3=0,配方正确的是（　　） A．(x+2)2=7　B．(x+2)2=−1　C．(x−2)2=7　D．(x−2)2=1　 4．一元二次方程 x2+2x−m=0 经过配方后得 (x+1)2=3−m,则 m 的值为（　　） A．3　B．1　C．−3　D．0　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．填空：x2+10x+　　　　　　=(x+　　　　　　)2。 6．填空：x2−3x+　　　　　　=(x−　　　　　　)2。 7．若 x2−6x+m=(x−3)2,则 m=　　　　　　。 8．用配方法解方程 x2−2x−8=0,得 (x−1)2=　　　　　　,方程的根为　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．用配方法解方程：2x2+4x−6=0。 10．用配方法解方程：2x2−5x+3=0。 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．A　　2．B　　3．A　　4．B 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．25；5 6．； 7．9 8．9；x=4 或 x=−2 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】除以 2：x2+2x−3=0，移项：x2+2x=3，配方：(x+1)2=4，x+1=±2，x=1 或 x=−3 两边除以 2，得 x2+2x−3=0；移项得 x2+2x=3 3 分； 两边加上 12，得 (x+1)2=4 3 分； 开平方得 x+1=±2 2 分； 得 x1=1，x2=−3 2 分。 10．【标准答案】除以 2：x2−x=，配方：(x−)2=，x−=±，x= 或 x=1 两边除以 2，得 x2−x= 3 分； 两边加上 ，得 (x−)2= 3 分； 开平方得 x−=± 2 分； 得 x1=，x2=1 2 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2.2 公式法（第1课时）（知识点清单） 【核心知识点】 1. 根的判别式：对 ax2+bx+c=0（a≠0），Δ=b2−4ac。（必考） 2. 判别式与根的情况：Δ>0 时有两个不相等的实数根；Δ=0 时有两个相等的实数根；Δ<0 时没有实数根。（必考） 3. 用判别式判断根的情况的步骤：先化成一般形式，确定 a、b、c（注意符号），再计算 Δ，最后下结论。（必考、易错） 4. 逆向问题：由根的情况求字母的取值范围（Δ>0、Δ=0、Δ<0 列不等式）。（必考） 【拓展知识点】 1. 含参数二次项系数的方程（如 mx2−2x+1=0）讨论根的情况时，必须先保证二次项系数 m≠0。（易错、拓展） 2. "有实数根"对应 Δ≥0（两分支：Δ>0 或 Δ=0），与"有两个不相等的实数根"（Δ>0）不同。（易错、拓展） 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2.2 公式法（第2课时）（知识点清单） 【核心知识点】 1. 求根公式：当 Δ=b2−4ac≥0 时，x=。（必考） 2. 公式法步骤：①化成一般形式；②确定 a、b、c（带符号）；③计算 Δ；④Δ≥0 时代入公式求根，Δ<0 时无实数根。（必考） 3. 公式法适用于所有一元二次方程，是解方程的"万能"方法；结果含根式时通常保留根号。（必考） 4. 先化一般式再取系数：如 x2+5=6x 应化为 x2−6x+5=0；3x2+2=4x 应化为 3x2−4x+2=0。（易错） 【拓展知识点】 1. Δ=12、24、44 等非完全平方数时，需把 化为 并约分后再写解。（拓展） 2. 由实际情境（长方形面积）列方程并用公式法求解，结果取正值。（拓展） 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.3 实际问题与一元二次方程（第2课时）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．某工厂一月份产值为 100 万元,三月份产值为 121 万元,设月平均增长率为 x,可列方程（　　） A．100(1+x)2=121　　B．100(1+2x)=121　　 C．121(1−x)2=100　　D．100(1+x)+100(1+x)2=121　　 2．某种流感病毒,若每轮传染中平均 1 人传染 x 人,第一轮后共有 (1+x) 人被传染,两轮后共有 100 人被传染,则 x 的值为（　　） A．9　B．10　C．99　D．11　 3．某商品原价 500 元,连续两次降价后为 405 元,设平均每次降价的百分率为 x,则所列方程及 x 的值为（　　） A．500(1−x)2=405,x=10%　　B．500(1−2x)=405,x=9.5%　　 C．500(1−x)2=405,x=90%　　D．405(1+x)2=500,x=10%　　 4．某植物主干长出 x 个支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干、小分支总数为 13,则 x 的值为（　　） A．3　B．−4　C．3 或 −4　D．4　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．某商品经过两次连续涨价,每次涨价率为 x,现售价 y 与原价 a 的关系式为　　　　　　。 6．某种细菌若每轮繁殖后数量变为原来的 3 倍,从 1 个开始,两轮后共有　　　　　　个。 7．某公司两年前投入研发经费 100 万元,今年投入 144 万元,则年平均增长率为　　　　　　。 8．若某人传染两轮后共有 64 人被传染（设每轮平均 1 人传染 x 人）,则 x=　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．某种传染病,开始有 1 人患病,每轮传染中平均 1 人传染 x 人。经过两轮传染后共有 121 人患病。 （1）求每轮传染中平均 1 人传染了多少人；（7 分） （2）按照这样的传染速度,第三轮传染后共有多少人患病?（3 分） 10．某公司 2024 年投入研发经费 1000 万元,2026 年投入研发经费 1440 万元。 （1）求这两年投入研发经费的年平均增长率；（7 分） （2）若增长率不变,该公司 2027 年投入研发经费多少万元?（3 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．A　　2．A　　3．A　　4．A 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．y=a(1+x)2 6．9 7．20% 8．7 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）(1+x)2=121，1+x=±11，x=10 或 x=−12（舍），每轮平均 1 人传染 10 人；（2）三轮后 (1+10)3=1331 人 （1）由题意得 (1+x)2=121 3 分； 开方得 1+x=±11，x=10 或 x=−12 2 分； 由实际意义舍去 x=−12，得每轮平均 1 人传染 10 人 2 分； （2）三轮后共有 (1+10)3=1331 人 3 分。 10．【标准答案】（1）1000(1+x)2=1440，(1+x)2=1.44，x=0.2 或 x=−2.2（舍），增长率为 20%；（2）1440×1.2=1728 万元 （1）由题意得 1000(1+x)2=1440 3 分； (1+x)2=1.44，1+x=±1.2，x=0.2 或 x=−2.2 2 分； 舍去负值，年平均增长率为 20% 2 分； （2）2027 年投入 1440×1.2=1728 万元 3 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.3 实际问题与一元二次方程（第2课时）（知识点清单） 【核心知识点】 1. 增长率模型：原量为 a，平均增长率为 x，n 次增长后的量为 a(1+x)n；下降时用 a(1−x)n。最常见的是两轮增长 a(1+x)2=b。（必考） 2. 传播（传染）模型：每轮平均 1 人传染 x 人，从 1 人开始，两轮后共 (1+x)2 人，三轮后 (1+x)3 人。（必考） 3. 增长率、下降率问题必须检验：x 的值要符合实际意义（如增长率不能小于 −100%，实际常取正），负根一般舍去。（必考、易错） 4. 分支（递推）模型：主干 1 个、支干 x 个、小分支 x2 个，总数 1+x+x2=常数。（必考） 【拓展知识点】 1. 注意"下降额"与"下降率"的区别：比较两对象的下降快慢应比较下降率而非下降额。（拓展） 2. 三态混合：连续两轮增长中每轮基数不同（如第二轮从 (1+x) 人出发传染 x 人），须逐轮列式再化简为 (1+x)2。（拓展） 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.3 实际问题与一元二次方程（第3课时）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．x 支篮球队参加单循环比赛（每两队之间比赛 1 场）,共比赛 28 场,则 x 的值为（　　） A．7　B．8　C．8 或 −7　D．14　 2．n 支球队进行主客场双循环比赛（每两队之间进行两场比赛）,共比赛 30 场,则 n 的值为（　　） A．5　B．6　C．15　D．30　 3．某次聚会上,每两人都握 1 次手,所有人共握手 36 次,则参加聚会的人数为（　　） A．6　B．8　C．9　D．18　 4．x 名同学互赠贺卡（每人给其他同学各赠 1 张）,共赠出 56 张,则 x 的值为（　　） A．7　B．8　C．7 或 8　D．28　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．6 支球队单循环比赛,总共比赛　　　　　　场。 6．n 边形共有 14 条对角线,则 n=　　　　　　。 7．某小组每两人都通一次电话,共通话 15 次,这个小组共　　　　　　人。 8．10 名同学进行主客场双循环篮球赛,总共比赛　　　　　　场。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．组织一次排球邀请赛,赛制为单循环形式（每两队之间比赛 1 场）,赛程计划安排 7 天,每天安排 4 场比赛。 （1）本次邀请赛共安排多少场比赛?（4 分） （2）应邀请多少支球队参赛?（6 分） 10．某足球联赛采用主客场双循环赛制（每两支球队之间进行两场比赛）,赛季结束后共比赛 90 场。 （1）共有多少支球队参加比赛?（6 分） （2）若该联赛改为单循环赛制,参赛队数不变,则共需比赛多少场?（4 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．B　　2．B　　3．C　　4．B 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．15 6．7 7．6 8．90 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）7×4=28 场；（2）=28，x2−x−56=0，x=8 或 x=−7（舍），应邀请 8 支球队 （1）7×4=28 场 4 分； （2）由题意得 =28 3 分； 化简得 x2−x−56=0，解得 x=8 或 x=−7 2 分； 由实际意义舍去负值，应邀请 8 支球队 1 分。 10．【标准答案】（1）n(n−1)=90，n2−n−90=0，n=10 或 n=−9（舍），共 10 支球队；（2）单循环共比赛 45 场 （1）由题意得 n(n−1)=90 3 分； 化简得 n2−n−90=0，解得 n=10 或 n=−9 2 分； 由实际意义舍去负值，共有 10 支球队 1 分； （2）单循环赛制下共比赛 45 场 4 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2.1 配方法（第1课时）（知识点清单） 【核心知识点】 1. 直接开平方法：形如 x2=p 的方程，当 p>0 时有两个不相等的实数根 x=±；当 p=0 时有两个相等的实数根 x1=x2=0；当 p<0 时无实数根。（必考） 2. 形如 (mx+n)2=p（p≥0）的方程：把 mx+n 看作整体，直接开平方得 mx+n=±，再解两个一元一次方程。（必考） 3. 降次思想：把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程，是解一元二次方程的基本思路。（必考） 4. 易错提醒：开平方时不要漏掉负的一支（必须写 ±）；p<0 时不能开平方。（易错） 【拓展知识点】 1. 含字母的讨论题：由 (x−a)2=b 的根的情况反求 b 的取值范围。（拓展） 2. 两次开平方的方程（如 3(x+1)2−12=0）需先整理成 (mx+n)2=p 的形式再开方。（必考、拓展） 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2.2 公式法（第1课时）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．方程 2x2−3x+1=0 的根的判别式的值为（　　） A．1　B．−1　C．11　D．9　 2．不解方程,方程 x2−4x+4=0 的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根　B．有两个相等的实数根　C．没有实数根　D．无法确定　 3．下列一元二次方程中,有两个不相等的实数根的是（　　） A．x2−2x+3=0　B．x2+4=0　C．2x2−4x+2=0　D．x2−3x−1=0　 4．若关于 x 的方程 x2−2x+m=0 没有实数根,则 m 的取值范围是（　　） A．m>1　B．m<1　C．m≥1　D．m≤1　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．方程 x2+x−2=0 的根的判别式 Δ=　　　　　　。 6．若方程 x2+3x+k=0 有两个相等的实数根,则 k=　　　　　　。 7．若方程 x2−6x+c=0 有两个不相等的实数根,则 c 的取值范围是　　　　　　。 8．已知关于 x 的方程 x2−4x+m=0 有两个不相等的实数根,则 m 的最大整数值为　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．不解方程,判断方程 2x2+3x−4=0 的根的情况。 10．已知关于 x 的方程 mx2−2x+1=0（m 为常数）。 （1）当 m=1 时,求此方程的根；（5 分） （2）若此方程有两个不相等的实数根,求 m 的取值范围。（5 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．A　　2．B　　3．D　　4．A 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．9 6． 7．c<9 8．3 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】a=2，b=3，c=−4，Δ=b2−4ac=9+32=41>0，方程有两个不相等的实数根 确定 a=2，b=3，c=−4 3 分； 计算 Δ=32−4×2×(−4)=41 4 分； 由 Δ>0 得方程有两个不相等的实数根 3 分。 10．【标准答案】（1）x2−2x+1=0，Δ=0，x1=x2=1；（2）m≠0 且 Δ=4−4m>0，即 m<1 且 m≠0 （1）当 m=1 时方程为 x2−2x+1=0 2 分； Δ=0，由求根公式得 x1=x2=1 3 分； （2）方程有两个不相等的实数根，需 m≠0 且 Δ>0 3 分； 由 4−4m>0 得 m<1，故 m<1 且 m≠0 2 分。 学科网（北京）股份有限公司 $25.2.3因式分解法（20分钟小练) (满分100分，时间20分钟)班级： 姓名： 一、选择题（每小题10分，共40分) 1.方程x(x-2)=0的根是() A.xX=0B.x=2C.x=0或x=2D.x=0且x=2 2.用因式分解法解方程4x2-1=0,正确的是() 1 1 A(2x+102x-0=0,x±号B.Xc.(2x+12x-1=0X-号D.X2 3.方程x2-3x=0的根是() A.X=3B.X=0或x=3C.x=0D.X=-3 4.方程x2+x-2=0的两根是（) A.=1或x=-2B.=-1或x=2C.x=1或=2D.x=-1或=-2 二、填空题（每小题10分，共40分） 5.方程x2-4x=0的根为 6.方程(x-3)2-4=0的根为 7.方程x2-5x+6=0的根为」 8.方程3x(&-1)=2-2x的根为 三、解答题（每小题10分，共20分） 9.用因式分解法解方程：(x+2)=(2x-1)2。 10.用因式分解法解方程：2(x-3)-x2-9。 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题10分) 1.C2.A3.B4.A 【评分标准】选对得10分，选错或不选得0分。 二、填空题（每小题10分） 5.x0或x=4 6.x=1或x=5 7.x=2或x=3 8.x1或X3 【评分标准】答对得10分，答错或不答得0分。 三、解答题（每小题10分） 9.【标准答案】移项得(x+2)2-(2x-1)2=0,平方差分解：(x+2+2x-1)(x+2-2x+1)=0,即(3x+1)3-x=0, 片 移项得(x+2)2-(2x-1)2=0 3分： 用平方差公式分解为(3x+1)(3-X)-0.4分； 1 得X1=一 X533 10.【标准答案】2x-3)=(x-3)x+3),移项提公因式：(x-3)(2-x-3)=0,即(x-3)(-x-1)）0,x=3或x=-1 右边分解为(K-3)(X+3)3分： 移项提公因式，得(K-3)(2-X-3)=0,即(-3)(-X-1)=0.4分： 得X13,X3-1.3分0 25.2.3 因式分解法（知识点清单） 【核心知识点】 1. 因式分解法：把方程一边化为 0，另一边分解成两个一次因式的积，令每个因式为 0 求根。依据：若 ab=0，则 a=0 或 b=0。（必考） 2. 常用分解方法：提公因式、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法（如 x2−5x+6=(x−2)(x−3)）。（必考） 3. 因式分解法是解一元二次方程最简便的方法，能分解时优先使用。（必考） 4. 易错提醒：不能两边同时除以含未知数的因式（如 x(x−2)=x），否则会丢根。（易错） 【拓展知识点】 1. 含平方式的方程（如 (x+2)2=(2x−1)2）先移项用平方差公式分解，或直接开平方。（拓展） 2. 移项后提公因式（如 2(x−3)=x2−9）是避免丢根的关键技巧。（易错、拓展） 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．方程 x2−5x+6=0 的两根之和为（　　） A．5　B．−5　C．6　D．−6　 2．方程 2x2+4x−1=0 的两根之积为（　　） A．　B．　C．2　D．−2　 3．若 x1、x2是方程 x2−3x−2=0 的两根,则 x1+x2−x1x2的值为（　　） A．1　B．5　C．−5　D．−1　 4．两根之和为 3、两根之积为 −4 的一元二次方程是（　　） A．x2+3x−4=0　B．x2−3x−4=0　C．x2−3x+4=0　D．x2+3x+4=0　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．方程 x2+6x−7=0 的两根为 x1、x2,则 x1+x2=　　　　　　。 6．方程 x2−4x+3=0 的两根为 x1、x2,则 x1x2=　　　　　　。 7．若 x1、x2是方程 x2−2x−1=0 的两根,则 x12+x22=　　　　　　。 8．已知方程 x2−kx+6=0 的一个根为 2,则 k=　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．已知 x1、x2是方程 x2−4x+2=0 的两实数根。 （1）求 x1+x2与 x1x2的值；（6 分） （2）求 (x1−1)(x2−1) 的值。（4 分） 10．已知关于 x 的方程 x2−(k+1)x+k−2=0 的两根之和为 3,求 k 的值,并求出此方程的两根。 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．A　　2．B　　3．B　　4．B 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．−6 6．3 7．6 8．5 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）Δ=16−8=8>0，x1+x2=4，x1x2=2；（2）(x1−1)(x2−1)=x1x2−(x1+x2)+1=2−4+1=−1 （1）验证 Δ=16−8=8>0，方程有实数根 2 分； 由根与系数关系得 x1+x2=4，x1x2=2 4 分； （2）展开 (x1−1)(x2−1)=x1x2−(x1+x2)+1 2 分； 代入得 2−4+1=−1 2 分。 10．【标准答案】由 x1+x2=k+1=3 得 k=2；方程为 x2−3x=0，两根为 x1=0，x2=3 由两根之和得 k+1=3，解得 k=2 4 分； 代入得方程 x2−3x=0 3 分； 解得 x1=0，x2=3 3 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.3 实际问题与一元二次方程（第3课时）（知识点清单） 【核心知识点】 1. 单循环（握手、通话）模型：n 个对象每两个之间进行 1 次，总数为 。（必考） 2. 双循环（互赠礼物）模型：n 个对象每两个之间进行 2 次，总数为 n(n−1)。（必考） 3. 多边形对角线：n 边形的对角线条数为 。（必考） 4. 计数问题的解必须为正整数，负根一律舍去；列方程后先化成一般形式再分解。（必考、易错） 【拓展知识点】 1. 辨析："每两队之间比赛 1 场"与"每两队之间主客场各赛 1 场"的方程相差一个因子 2。（易错、拓展） 2. 反算验证型问题（如"总场数 300 对不对"）：由 n(n−1)=300 的根不是正整数判断不可能。（拓展） 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.1 一元二次方程的概念（知识点清单） 【核心知识点】 1. 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是 2。三个必备条件：一个未知数、最高次数为 2、整式方程（分母中不含未知数）。（必考） 2. 一般形式 ax2+bx+c=0（a≠0）：a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项；b、c 可以为 0，但 a≠0 是核心前提，a=0 时就不再是一元二次方程。（必考、易错） 3. 方程的解（根）：使方程左右两边相等的未知数的值；已知根可代入方程求待定系数。（必考） 4. 化一般式的方法：去括号、移项、合并同类项，右边化为 0，左边按 x 的次数从高到低排列。（必考） 【拓展知识点】 1. 含参数方程 (a+1)−3x+5=0 型：既要指数等于 2，又要系数不为 0，两个条件缺一不可。（易错、拓展） 2. 由实际问题（面积、比赛场次等）列一元二次方程并化成一般形式。（拓展） 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.1 一元二次方程的概念（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．下列方程中,是关于 x 的一元二次方程的是（　　） A．2x+1=0　B．x2+=3　C．3x2−2x−1=0　D．x2+y=1　 2．方程 (m−3)x2+mx−1=0 是关于 x 的一元二次方程,则 m 的取值范围是（　　） A．m≠3　B．m≠−3　C．m≠0　D．m≠1　 3．把方程 2x(x−1)=3(x+2) 化成一般形式后,二次项系数、一次项系数、常数项依次为（　　） A．2、−5、−6　B．2、5、−6　C．2、−5、6　D．2、5、6　 4．若 x=1 是方程 x2+ax−6=0 的一个根,则 a 的值为（　　） A．5　B．−5　C．6　D．−6　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．把方程 (2x−1)(x+3)=4 化成一般形式为　　　　　　。 6．若 x=2 是方程 x2−bx+2=0 的一个根,则 b=　　　　　　。 7．写出一个二次项系数为 2、一次项系数为 −3 的一元二次方程：　　　　　　。 8．若 (a+1)−3x+5=0 是关于 x 的一元二次方程,则 a=　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．将方程 2x(x−3)=4(x+1)−8 化成一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。 10．已知关于 x 的方程 (m+1)−3x+2=0（m 为常数）。 （1）当 m 取何值时,它是一元二次方程?（5 分） （2）当 m 取何值时,它是一元一次方程?（5 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．C　　2．A　　3．A　　4．A 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．2x2+5x−7=0 6．3 7．如 2x2−3x+1=0（答案不唯一） 8．1 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】去括号：2x2−6x=4x+4−8，移项合并：2x2−10x+4=0；二次项系数 2，一次项系数 −10，常数项 4 去括号，得 2x2−6x=4x−4 4 分； 移项、合并同类项，得一般形式 2x2−10x+4=0 3 分； 正确指出二次项系数 2、一次项系数 −10、常数项 4 3 分。 10．【标准答案】（1）m2+1=2 且 m+1≠0，即 m=1；（2）m2+1=1 或 m+1=0，即 m=0 或 m=−1 （1）由 m2+1=2 得 m=±1 2 分； 由 m+1≠0 舍去 m=−1，得 m=1 3 分； （2）m2+1=1 或 m+1=0，分类讨论 2 分； 得 m=0 或 m=−1 3 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2.1 配方法（第1课时）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．方程 x2=16 的根是（　　） A．x=4　B．x=−4　C．x=±4　D．x=8　 2．方程 (x−1)2=9 的根是（　　） A．x=4　B．x=−2　C．x=4 或 x=−2　D．x=10 或 x=−8　 3．下列方程中,没有实数根的是（　　） A．(x−1)2=0　B．(x+2)2=−3　C．(x−3)2=4　D．x2=5　 4．方程 (x−2)2=0 的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根　　B．有两个相等的实数根　　 C．没有实数根　　D．只有一个实数根　　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．方程 x2−25=0 的根为　　　　　　。 6．方程 (2x−1)2=9 的根为　　　　　　。 7．若 (x+m)2=n（m、n 为常数）有实数根,则 n 的取值范围是　　　　　　。 8．方程 3(x+1)2−12=0 的根为　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．解方程：4(x−1)2−36=0。 10．已知关于 x 的方程 (x−a)2=b（a、b 为常数）。 （1）当 b>0 时,直接写出方程的根（用含 a、b 的式子表示）；（5 分） （2）当 b 取何值时,方程有两个相等的实数根?并求出此时的根。（5 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．C　　2．C　　3．B　　4．B 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．x=±5 6．x=2 或 x=−1 7．n≥0 8．x=1 或 x=−3 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】移项得 4(x−1)2=36，系数化 1 得 (x−1)2=9，开平方 x−1=±3，x=4 或 x=−2 移项，得 4(x−1)2=36；两边除以 4，得 (x−1)2=9 5 分； 开平方，得 x−1=±3 3 分； 得 x1=4，x2=−2 2 分。 10．【标准答案】（1）x−a=±，即 x1=a+，x2=a−；（2）b=0 时两根相等，x1=x2=a （1）开平方得 x−a=± 3 分； 所以 x1=a+，x2=a− 2 分； （2）两个相等实数根时 (x−a)2=0，即 b=0 3 分； 此时 x1=x2=a 2 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2.1 配方法（第2课时）（知识点清单） 【核心知识点】 1. 配方法解一元二次方程的一般步骤：①二次项系数化为 1；②移项，使常数项在右边；③两边同时加上一次项系数一半的平方；④写成 (x+n)2=p 的形式，开平方求解。（必考） 2. 配方依据：完全平方公式 a2+2ab+b2=(a+b)2；x2+mx 配方时加上 。（必考） 3. 配方后按 p 的符号分三种情况：p>0 两个不等实数根；p=0 两个相等实数根；p<0 无实数根。（必考、易错） 4. 填空型：x2+10x+25=(x+5)2；x2−3x+=(x−)2。（必考） 【拓展知识点】 1. 二次项系数不是 1 时必须先化系数为 1，两边同时除以二次项系数（含分数系数的配方运算）。（易错、拓展） 2. 由配方结果反求字母的值（如 (x+1)2=3−m 中 m 的确定）。（拓展） 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2.2 公式法（第2课时）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．用公式法解方程 x2−3x−1=0,方程的根为（　　） A．　B．　C．　D．　 2．方程 x2+5=6x 的根是（　　） A．x=1 或 x=5　B．x=−1 或 x=−5　C．x=1　D．x=5　 3．用公式法解方程 3x2+2=4x,结论正确的是（　　） A．x=1 或 x=　B．方程没有实数根　C．x=2　D．x=−1 或 x=　 4．一元二次方程 2x2−4x−1=0 的两根为（　　） A．　B．　C．　D．1±　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．方程 x2−2x−4=0 的根为　　　　　　。 6．方程 2x2−3x−2=0 的根为　　　　　　。 7．方程 (x+1)(x−3)=2x−4 的根为　　　　　　。 8．一个长方形的长比宽多 2,面积为 8,则它的宽为　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．用公式法解方程：x2+4x+1=0。 10．用公式法解方程：2x2−5x+2=0。 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．A　　2．A　　3．B　　4．A 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．x=1± 6．x=2 或 x= 7．x=2± 8．2 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】a=1，b=4，c=1，Δ=16−4=12>0，，即 x1=−2+，x2=−2− 确定 a=1，b=4，c=1，Δ=42−4×1×1=12 4 分； 代入求根公式 x= 3 分； 化简得 x1=−2+，x2=−2− 3 分。 10．【标准答案】a=2，b=−5，c=2，Δ=25−16=9>0，，即 x1=2，x2= 确定 a=2，b=−5，c=2，Δ=(−5)2−4×2×2=9 4 分； 代入求根公式 3 分； 得 x1=2，x2= 3 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（知识点清单） 【核心知识点】 1. 根与系数的关系（韦达定理）：若 x1、x2 是 ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则 x1+x2=，x1x2=。（必考） 2. 使用前提：方程必须有实数根，即 Δ≥0；求参数后要注意检验 Δ。（必考、易错） 3. 常见变形：x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2；(x1−1)(x2−1)=x1x2−(x1+x2)+1。（必考） 4. 已知一根求另一根与参数：由两根之积求另一根，再由两根之和求参数。（必考） 【拓展知识点】 1. 由两根之和、之积反求方程：以 x1+x2=S、x1x2=P 为两根的一元二次方程是 x2−Sx+P=0。（拓展） 2. 对称式求值：、|x1−x2| 等都可化为用两根之和与两根之积表示的整体求值。（拓展） 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.3 实际问题与一元二次方程（第1课时）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．直角三角形的两条直角边之和为 7,面积为 6,则斜边长为（　　） A．5　B．6　C．　D．7　 2．一个矩形的长比宽多 3,面积为 40,则它的宽为（　　） A．4　B．5　C．8　D．10　 3．一个圆的半径增加 2 后,面积增加 12π,则原来圆的半径为（　　） A．1　B．2　C．3　D．4　 4．把一块长 20 m、宽 10 m 的矩形绿地四周修一条等宽的小路,绿地与小路的总面积为 336 m2,设小路宽 x m,可列方程（　　） A．(20+2x)(10+2x)=336　　B．(20+x)(10+x)=336　　 C．(20+2x)(10+2x)−200=336　　D．20×10+4x=336　　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．一个正方形的边长增加 3 后,面积增加 39,则原正方形的边长为　　　　　　。 6．直角三角形的两条直角边之差为 2,面积为 24,则较长的直角边为　　　　　　。 7．一个长方形的周长为 28,面积为 40,则它的长为　　　　　　。 8．两个连续正整数的积为 20,则这两个正整数中较大的数是　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．要为一张长 20 cm、宽 16 cm 的照片配一个四周宽度相等的相框,使相框的面积等于照片面积的一半。 求相框的宽度。（10 分） 10．一个直角三角形的周长为 12,面积为 6。 （1）求这个直角三角形两条直角边的长；（7 分） （2）求斜边的长。（3 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．A　　2．B　　3．B　　4．A 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．5 6．8 7．10 8．5 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】设相框宽 x cm，则 (20+2x)(16+2x)=320+160=480，化简得 x2+18x−40=0，(x+20)(x−2)=0，x=−20（舍）或 x=2，相框宽 2 cm 设相框宽 x cm，相框面积为照片面积的一半，由题意得 (20+2x)(16+2x)=480 4 分； 化简得 x2+18x−40=0 3 分； 分解得 (x+20)(x−2)=0，x=−20（舍去），x=2 3 分。 10．【标准答案】（1）设两直角边为 a、b，a+b=12−c，由 (a+b)2=a2+b2+2ab 得 (12−c)2=c2+24，解得 c=5，a+b=7，ab=12，a=3、b=4；（2）斜边长 5 （1）设两直角边为 a、b，斜边为 c，则 a+b=12−c 2 分； 由面积关系得 ab=12 2 分； 由勾股定理 a2+b2=c2，结合 (a+b)2=a2+b2+2ab，得 (12−c)2=c2+24 2 分； 解得 c=5，a+b=7，得 a=3，b=4 1 分； （2）斜边长为 5 3 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.3 实际问题与一元二次方程（第1课时）（知识点清单） 【核心知识点】 1. 面积问题建模：设未知边长，用含 x 的式子表示有关线段，按"面积关系"列一元二次方程；矩形四周加等宽边框时，新矩形长、宽各加 2x。（必考） 2. 解方程后必须检验：舍去不符合实际意义的根（边长、宽度不能为负）。（必考、易错） 3. 几何中常用恒等式：(a+b)2=a2+b2+2ab 配合勾股定理 a2+b2=c2 使用。（必考） 4. 由根的实际意义反求线段长：方程的两根都可能是正数时，要逐一检验是否符合题意。（必考） 【拓展知识点】 1. 周长与面积同时约束的问题（如周长 12、面积 6 的直角三角形）需设三个量建立方程组转化为一元二次方程。（拓展） 2. 圆的半径变化问题：(r+2)2π−r2π=ΔS 型建模。（拓展） 学科网（北京）股份有限公司 $