第30章 直线与圆的位置关系 20分钟小练- 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第 30 章 直线与圆的位置关系（全章综合二）（五点梳理） 知识点：本章全部知识点：直线与圆的位置关系；切线的性质与判定；切线长定理；三角形的内切圆（内心）；正多边形与圆（中心角、半径、边心距、面积）。跨章联系：垂径定理、圆周角定理、直径所对的圆周角是直角、勾股定理、解直角三角形、相似三角形。 易错点：① 切线证明漏"垂直于过切点的半径"中的"过切点"；② 平行线的依据写错（垂直于同一条直线）；③ 30° 直角三角形三边关系用错；④ 等边三角形内切圆半径:高=1:3 记错为 1:2。 重点：切线判定与性质的综合证明；切线长定理与三角函数结合的计算。 难点：直径＋切线＋垂直的复合证明（多角度转化：圆心角→圆周角→直角三角形）；四边形 OAPB 的面积分割。 常考点：综合解答题（证平行/切线+求线段）；切线长定理综合；特殊正多边形（等边、正六边形）的比值与计算。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 30 章 直线与圆的位置关系（全章综合二）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．直线 l 外一点 P,⊙O 经过点 P,圆心 O 到直线 l 的距离为 3,⊙O 的半径为 5,则直线 l 与 ⊙O 的位置关系是（　　） A．相离　B．相切　C．相交　D．无法确定　 2．PA、PB 与 ⊙O 分别相切于点 A、B,若 ∠P=60°,则 ∠PAB 的度数为（　　） A．30°　B．45°　C．60°　D．90°　 3．等边三角形的内切圆的半径与它的高之比为（　　） A．1:2　B．1:3　C．1:√3　D．2:3　 4．若正 n 边形的中心角与它的每个内角都相等,则 n 的值为（　　） A．3　B．4　C．5　D．6　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．⊙O 的半径为 5,圆心 O 到直线 l 的距离为 4,直线 l 与 ⊙O 相交于 A、B 两点,则 AB=　　　　　　。 6．PA 与 ⊙O 相切于点 A,AB 是 ⊙O 的直径,若 PA=4,OP=5,则 AB=　　　　　　。 7．直角三角形的斜边长为 10,内切圆的半径为 2,则它的两条直角边的和为　　　　　　。 8．正六边形的半径为 4,则它的边心距为　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,AB 是 ⊙O 的直径,CD 与 ⊙O 相切于点 C,且 AD⊥CD,垂足为 D,连接 AC。 （1）求证：OC∥AD；（4 分） （2）若 ∠CAB=30°,AB=8,求 AD 的长。（6 分） 10．如图,PA、PB 与 ⊙O 分别相切于点 A、B,∠P=60°,⊙O 的半径为 4。 （1）求切线 PA 的长；（5 分） （2）求四边形 OAPB 的面积。（5 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．C　　2．C　　3．B　　4．B 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．6 6．6 7．14 8．2√3 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）OC⊥CD 且 AD⊥CD，得 OC∥AD；（2）AD=6（∠OCA=∠CAB=30°，∠ACD=60°，AC=AB×cos30°=4√3，AD=AC×sin60°） （1）CD 与 ⊙O 相切于 C，所以 OC⊥CD 2 分； 又 AD⊥CD，在同一平面内垂直于同一条直线的两直线平行，所以 OC∥AD 2 分； （2）AB 是直径，得 ∠ACB=90° 1 分； OA=OC，得 ∠OCA=∠CAB=30° 2 分； 切线性质得 ∠OCD=90°，所以 ∠ACD=90°−30°=60°，且 ∠ADC=90° 1 分； 在 Rt△ACD 中，AC=AB×cos30°=8×(√3/2)=4√3，AD=AC×sin60°=4√3×(√3/2)=6 2 分。 10．【标准答案】（1）PA=4√3；（2）四边形 OAPB 的面积=16√3 （1）由切线性质得 OA⊥PA，OP 平分 ∠APB，∠APO=30° 3 分； 在 Rt△OAP 中，PA=OA/tan30°=4√3 2 分； （2）S△OAP=½×PA×OA=½×4√3×4=8√3 3 分； 四边形 OAPB 的面积=2S△OAP=16√3 2 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 30 章 直线与圆的位置关系（全章综合一）（20 分钟小练） （满分 100 分，时间 20 分钟）　班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿ 一、选择题（每小题 10 分，共 40 分） 1．⊙O 的半径为 6,圆心 O 到直线 l 的距离为 8,则直线 l 与 ⊙O 的位置关系是（　　） A．相离　B．相切　C．相交　D．无法确定　 2．PA 与 ⊙O 相切于点 A,若 ∠P=40°,则 ∠AOP 的度数为（　　） A．40°　B．50°　C．60°　D．90°　 3．△ABC 中,I 是内心,若 ∠A=60°,则 ∠BIC 的度数为（　　） A．90°　B．120°　C．150°　D．135°　 4．正六边形的边长为 3,则它的外接圆的半径为（　　） A．3　B．3√3　C．6　D．6√3　 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 5．在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,以 C 为圆心作圆与 AB 相切,则 ⊙C 的半径为　　　　　　。 6．PA、PB 与 ⊙O 分别相切于点 A、B,若 ∠P=50°,则 ∠AOB 的度数为　　　　　　。 7．若三角形的面积为 12,周长为 8,则它的内切圆的半径为　　　　　　。 8．正方形的边心距为 3,则它的面积为　　　　　　。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 9．如图,AB 是 ⊙O 的直径,AC 与 ⊙O 相切于点 A,连接 BC 交 ⊙O 于点 D,若 ∠B=45°,AB=4。 （1）求证：AD⊥BC；（6 分） （2）求 BD 的长。（4 分） 10．如图,在 △ABC 中,∠C=90°,点 O 在边 AC 上,⊙O 与 BC 相切于点 C,与 AB 相切于点 D,AC=4,BC=3。 （1）求 ⊙O 的半径；（6 分） （2）求 AD 的长。（4 分） 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 10 分） 1．A　　2．B　　3．B　　4．A 【评分标准】选对得 10 分，选错或不选得 0 分。 二、填空题（每小题 10 分） 5．2.4 6．130° 7．3 8．36 【评分标准】答对得 10 分，答错或不答得 0 分。 三、解答题（每小题 10 分） 9．【标准答案】（1）连接 AD，AB 是直径得 ∠ADB=90°，即 AD⊥BC；（2）∠B=45°，BD=AB×cos45°=2√2 （1）连接 AD 2 分； AB 是 ⊙O 的直径，得 ∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角） 3 分； 所以 AD⊥BC 1 分； （2）∠B=45°，在 Rt△ABD 中，BD=AB×cos45°=4×(√2/2)=2√2 4 分。 10．【标准答案】（1）r=3/2；（2）AD=2（AO=4−r=5/2，Rt△ADO 中 AD=√(AO²−r²)） （1）连接 OD，由切线性质得 OD⊥AB，且 OD=OC=r 2 分； 设 r=OC，则 AO=AC−OC=4−r 1 分； 由 ∠A 公共，得 Rt△ADO∽Rt△ACB 2 分； 所以 OD/BC=AO/AB，即 r/3=(4−r)/5，解得 r=3/2 1 分； （2）AO=4−3/2=5/2，在 Rt△ADO 中，AD=√(AO²−OD²)=√(25/4−9/4)=2 4 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 30 章 直线与圆的位置关系（全章综合一）（五点梳理） 知识点：直线与圆位置关系（d 与 r）；切线的性质与判定；切线长定理；三角形的内切圆（S=½×l×r，直角三角形 r=½(a+b−c)，∠BIC=90°+½∠A）；正多边形的半径、边心距、中心角与面积。本章与前面章节的联系：直径所对的圆周角是直角、勾股定理、相似三角形、解直角三角形。 易错点：① 切线性质与判定条件用混；② 内切圆与外接圆混淆；③ 正多边形问题中把"半径"当"边心距"用；④ 相似列比例式时对应边写错。 重点：切线的综合证明（连半径证垂直）；内切圆半径的计算；正多边形与圆的互化计算。 难点：切线与相似三角形、圆周角定理的综合：设半径、列比例（或勾股）方程求解。 常考点：位置关系判断；切线证明与计算；内切圆半径；正六边形、正方形计算；综合解答题（证切线+求线段）。 学科网（北京）股份有限公司 $