精品解析：辽宁沈阳市第一二0中学2026-2027学年高二上学期第一次质量监测数学试卷

沈阳市第120中学2026-2027学年度上学期 高二年级第一次质量监测数学试题 满分：150分时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系Oxyz中，点在平面Oxy上的射影点的坐标为（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点在平面Oxy上的射影点的坐标特征，对各选项进行分析即可. 【详解】在空间直角坐标系中，点在平面Oxy上的射影点的坐标，其竖坐标为，横坐标和纵坐标与该点的横坐标和纵坐标相同， 故点在平面Oxy上的射影点的坐标为. 故选：. 2. 若点到直线l：的距离为，则（ ） A. 5 B. C. 5或 D. 或15 【答案】C 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由题意可得：点P到直线l的距离，解得或． 故选：C. 3. 相交但不垂直的平面和的一对法向量分别为、，若平面和的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据与相等或互补即可求解. 【详解】由题可知与相等或互补，且为锐角，故ACD错误， ，B正确， 故选：B 4. 已知点，若直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线所过定点后，再分别计算出直线过点、点时的斜率即可得. 【详解】，令，解得， 故直线过定点， 则，， 故该直线斜率的取值范围. 故选：B. 5. 已知、、三点不共线，点在平面外，点满足，则当点、、、四点共面时，实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用空间向量的基本定理可求出的值. 【详解】因为、、三点不共线，点在平面外，点满足， 设， 由题意可知、、不共面，所以，故. 故选：A. 6. 如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由异面直线夹角的定义逐个判断即可. 【详解】对于A：如图：连接， 由正方体的性质可得：，在矩形中，显然不成立， 所以不成立，故错误； 对于B： 如图取中点，连接， 由正方体的结构特点，结合，可得平面， 又平面， 所以， 在正方形中，因为， 所以， 又为平面内两条相交直线， 所以平面，又平面， 所以，故B正确； 对于C： 如图，取的中点，连接， 在正方体中可知：， 所以为平行四边形， 所以， 在正方形中，可知， 所以不成立，即不成立，故C错误， 对于D： 如图，取的中点，连接， 由中位线可知， 又在正方体中可知：， 所以， 设正方体的棱长为2，可得：， 则，所以不成立， 即不成立，故D错误. 故选：B. 7. 瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心（中垂线的交点）、重心（中线的交点）、垂心（高的交点）在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉线.若的顶点，则其欧拉线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得的重心的坐标为，再求得和的垂直平分线所在直线方程，联立方程组，求得外心的坐标，结合点斜式方程，即可求解. 【详解】解：因为的顶点，可得的重心的坐标为， 由，可得，所以的垂直平分线所在直线的斜率为， 可得的垂直平分线所在直线的方程为， 又由，可得的垂直平分线所在直线的方程为， 联立方程组，解得，即的外心的坐标为， 则，所以的方程为，即， 所以的欧拉线方程为. 故选：C. 8. 如图，正方形、，，动点、分别在和上，，当最小时，二面角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为原点，以为轴，以为轴，过垂直平面作轴，建立空间直角坐标系，设，，根据空间两点间距离公式，可得当时，取得最小值，再结合空间夹角公式即可求解. 【详解】因为四边形、为正方形，， 所以以为原点，以为轴，以为轴，过垂直平面作轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 设正方形、的边长为，又，设，， 则，，，，，，所以，， 所以当时，取得最小值， 此时，，所以，，， 设平面的法向量为，则，即，令，解得，，即， 设平面的法向量为，则，即，令，解得，，即， 设二面角为，则. 故选：C 二、多选题本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 若平面的法向量，则四点共面 B. 若平面的法向量，则与平面所成的角为 C. 若平面的法向量，则点到平面的距离是2 D. 若，且是钝角，则实数的取值范围是 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，根据空间向量共面性质判断即可；对于B，利用向量数量积为零判断垂直即可；对于C，利用点到平面距离公式求解即可；对于D，利用向量数量积小于零判断后，再排除掉反向共线的情况即可． 【详解】对于A，，故，、、、四点共面，故A正确； 对于B，，故，平面ABC，PA与平面ABC所成角为，故B正确； 对于C，点到平面ABC的距离，故C错误； 对于D，因为是钝角，所以，解得，但时与反向共线，为平角，不满足钝角，故D错误． 故选：AB． 10. 下列说法错误的是（ ） A. 直线的倾斜角的取值范围是 B. 若圆M：上恰有两点到点的距离为1，则r的取值范围是 C. “直线与直线互相垂直”是“”的充分而不必要条件 D. 过点且在x轴、y轴上的截距相同的直线方程是 【答案】ABCD 【解析】 【分析】逐项判断：A由直线斜率与倾斜角的关系求范围；B把“到定点距离为1”转化为两圆交点个数；C用两直线垂直的系数条件；D分截距是否为0两种情况求直线方程. 【详解】对于A，由得，故直线斜率. 因为，所以，其中. 当时，由得；当时，由得. 因此倾斜角的取值范围是，不是，A错误. 对于B，圆的圆心为，半径为，点，则. 到点距离为1的点在以为圆心、1为半径的圆上，所以圆与该圆恰有两个交点. 两圆相交需满足，解得. 因此的取值范围是，不是，B错误. 对于C，两直线互相垂直的充要条件是，即. 解得或，所以“两直线互相垂直”等价于“或”. 由能推出两直线垂直，但两直线垂直不一定有，故“两直线互相垂直”是“”的必要而不充分条件，C错误. 对于D，当直线在两轴上的截距均不为时，设截距均为，则直线方程为，即. 将代入得，此时直线方程为. 当直线在两轴上的截距均为时，直线过原点，设为，将代入得，即. 因此过点且在轴、轴上截距相同的直线有两条，D错误. 11. 如图，在长方体中，，，点为四边形内部（不含边界）的一个动点，平面平面，则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 当时，二面角的正切值为 C. 四面体的外接球体积为 D. 若，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系利用空间向量法可判断选项A，结合面面垂直性质定理，动点轨迹方程，以及二面角的求解方法分析可判断选项B；找出外接球的球心，利用已知条件求出半径，利用球体体积公式计算可判断选项C；根据动点的轨迹方程以及向量的坐标关系式和圆的参数方程、三角函数性质求解可判断选项D. 【详解】以为原点，分别为轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， ， 设，， 对于A，由，所以， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为，故A正确； 对于B，过作垂足为点，因为平面平面， 且平面平面，平面，所以平面， 又平面，故，又，， 平面，所以平面， 平面，故，， 根据二面角定义可知是二面角的平面角， 则，故B正确； 对于C，设的中点为，连接，因为都是直角三角形， 所以，即四面体外接球的球心为点， 所以，可得外接球半径为，所以体积，故C错误； 对于D，因为， ，， 所以，故， ， 因为，所以的轨迹是以为直径，中点为圆心的圆在正方形内的部分， 所以在平面上的轨迹方程为， 设， 得，由 得，故， 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 经过点的圆的方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设圆的一般方程为，代入点坐标，待定系数求解即可. 【详解】设圆的一般方程为，代入点可得： ，解得 故圆的一般方程为： 故答案为： 13. 若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先由得，表示以为圆心，以1为半径的半圆，画出图像，由图像根据直线与圆位置关系，即可得出结果. 【详解】由得，表示以为圆心，以为半径的半圆， 其图象如下： 由图像可得，当直线过点时， 直线与曲线恰有一个公共点，此时； 当直线过点时， 直线与曲线恰有两个公共点，此时； 当直线与半圆切于半圆的右侧时，只需圆心到直线的距离等于半径， 即，且，解得， 因此，由图像可得，为使直线与曲线恰有一个公共点， 实数b的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知，空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.用以上知识解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意分别求出这三个平面的法向量，设直线的方向向量为，由直线与平面与的法向量垂直，得出，由向量的夹角公式可得答案. 【详解】由，解得 ，即直线与平面的交点坐标为 平面的方程为，可得 所以平面的法向量为 平面的法向量为，的法向量为 设直线的方向向量为，则，即 取，设直线与平面所成角 则 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平行六面体，底面是正方形，，，设． （1）试用表示； （2）求的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量线性运算，结合几何体特征确定与的线性关系； （2）由（1），结合空间向量数量积的运算律及已知条件求的长度. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ， ， 所以 . 所以. 16. （1）一条直线经过点，倾斜角是直线的倾斜角的倍时，求该直线方程； （2）一条直线经过点，与轴的正半轴分别交于两点，当的面积最小（为坐标原点）时求该直线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求已知直线倾斜角的正切值，通过二倍角正切公式得到所求直线斜率，结合点坐标用点斜式求直线方程； （2）设直线的截距式方程，代入点坐标后利用基本不等式求出面积最小时的截距，进而得到直线方程. 【小问1详解】 设所求直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则， 将直线化为斜截式，可得其斜率， 由二倍角正切公式，所求直线的斜率， 因为直线过点，故直线方程为，整理为一般式得：. 【小问2详解】 设所求直线与轴正半轴交点为，与轴正半轴交点为，其中， 则直线的截距式方程为，将点代入方程得：， 的面积，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立， 对不等式两边平方得，即，因此， 即面积的最小值为，联立，解得， 代入截距式方程得，整理为一般式得：. 17. 如图1，在平面五边形中，，将沿折起得到如图2所示的四棱锥，且，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若为棱上一动点，直线与平面所成角的正弦值为． （i）求 （ii）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）或（ii）或． 【解析】 【分析】（1）先由平面几何性质得到，结合折叠后推出平面，可得，再由勾股定理证得，最后根据线面垂直的判定定理完成证明； （2）（i）根据第一问的垂直关系建立空间直角坐标系，设得到的坐标，求出平面的法向量和直线的方向向量，利用线面角的向量计算公式列方程求解得到结果；（ii）在已建立的空间直角坐标系中求出平面的法向量，结合已得的点坐标，利用点到平面的距离向量公式计算得到所求距离，也可通过等体积法结合三棱锥体积关系求解。 【小问1详解】 连接， 因为，所以四边形为矩形， 所以， 因为平面，所以平面． 又平面，所以，所以， 又，， 所以， 因为，所以，所以， 因为平面， 所以平面． 【小问2详解】 过点作于点，由（1）知平面． 因为平面，所以， 因为平面，所以平面， 所以两两垂直， 过点作交于点， 以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由（1）知，所以，则， 所以， 则． 所以． （i）设， 则， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则．所以． 又， 设直线与平面所成角为， 则， 整理得，解得或， 所以或． （ii）设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则，所以． 因为，所以点到平面的距离为． 由（i）得或， 当时，，此时点到平面的距离为； 当时，，此时点到平面的距离为． 综上，点到平面的距离为或． 18. 在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，设动点的轨迹为曲线． （1）求动点的轨迹方程，并说明曲线是什么图形； （2）过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程； （3）设是直线上的点，过点作曲线的切线，切点为，设，求证：过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标． 【答案】（1）动点的轨迹方程为，曲线是以为圆心，2为半径的圆（2）的方程为或.（3）证明见解析，所有定点的坐标为， 【解析】 【分析】（1）利用两点间的距离公式并结合条件，化简得出曲线的方程，根据曲线方程的表示形式确定曲线的形状； （2）根据几何法计算出圆心到直线的距离，对直线分两种情况讨论，一是斜率不存在，一是斜率存在，结合圆心到直线的距离求出直线的斜率，于此得出直线的方程； （3）设点的坐标为，根据切线的性质得出，从而可得出过、、三点的圆的方程，整理得出，然后利用 ，解出方程组可得出所过定点的坐标. 【详解】（1）由题意得，化简可得：， 所以动点的轨迹方程为. 曲线是以为圆心，为半径的圆； （2）①当直线斜率不存在时，，不成立； ②当直线的斜率存在时，设，即， 圆心到的距离为 ∵ ∴, 即，解得或， ∴的方程为或； （3）证明：∵在直线上，则设 ∵为曲线的圆心，由圆的切线的性质可得， ∴经过的三点的圆是以为直径的圆， 则方程为， 整理可得, 令，且, 解得或 则有经过三点的圆必过定点，所有定点的坐标为，. 【点睛】本题考查动点轨迹方程的求法，考查直线截圆所得弦长的计算以及动圆所过定点的问题，解决圆所过定点问题，关键是要将圆的方程求出来，对带参数的部分提公因式，转化为方程组求公共解问题． 19. 经过原点的直线与圆：相交于，两点，过点且与垂直的直线与圆的另一个交点为． （1）当点B的坐标为时，求直线的方程； （2）记点关于轴的对称点为（异于点，），求证：直线恒过轴上的一个定点； （3）求四边形的面积的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）使用两点间的斜率公式求解； （2）设直线的方程，与圆的方程联立，消元，使用韦达定理求解； （3）直线与圆相交几何法计算弦长，使用四边形的面积公式或三角形的面积公式求解. 【小问1详解】 为，，的斜率为，又， 的斜率为，又，∴直线的方程，即； 【小问2详解】 根据题意可得直线的斜率存在且不为0，又过原点， ∴设直线方程为，联立圆：， 可得，设，， 则，又，∴直线为， 令，可得 ， 直线恒过轴上定点； 【小问3详解】 设圆心到直线的距离平方为，则，即，设圆心到直线的距离平方为， 根据圆的几何性质及平面几何知识易得 ，， 又，， 四边形的面积，又，令 因为在上是增函数，，，所以， 即， 四边形的面积的取值范围为． （3）法2： 当直线斜率不存在时，，，． 当直线斜率存在时，可设直线的方程为， 所以，圆心到直线的距离为， 所以，． 直线的方程可设为整理得， 圆心到直线的距离为，所以， ． 所以，， 令，所以，上式可化为：，， 所以，．综上，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈阳市第120中学2026-2027学年度上学期 高二年级第一次质量监测数学试题 满分：150分时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系Oxyz中，点在平面Oxy上的射影点的坐标为（ ） A. B. C. D. 不确定 2. 若点到直线l：的距离为，则（ ） A. 5 B. C. 5或 D. 或15 3. 相交但不垂直的平面和的一对法向量分别为、，若平面和的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，若直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知、、三点不共线，点在平面外，点满足，则当点、、、四点共面时，实数（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是（ ） A. B. C. D. 7. 瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心（中垂线的交点）、重心（中线的交点）、垂心（高的交点）在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉线.若的顶点，则其欧拉线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形、，，动点、分别在和上，，当最小时，二面角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 若平面的法向量，则四点共面 B. 若平面的法向量，则与平面所成的角为 C. 若平面的法向量，则点到平面的距离是2 D. 若，且是钝角，则实数的取值范围是 10. 下列说法错误的是（ ） A. 直线的倾斜角的取值范围是 B. 若圆M：上恰有两点到点的距离为1，则r的取值范围是 C. “直线与直线互相垂直”是“”的充分而不必要条件 D. 过点且在x轴、y轴上的截距相同的直线方程是 11. 如图，在长方体中，，，点为四边形内部（不含边界）的一个动点，平面平面，则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 当时，二面角的正切值为 C. 四面体的外接球体积为 D. 若，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 经过点的圆的方程为___________. 13. 若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围为______. 14. 已知，空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.用以上知识解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平行六面体，底面是正方形，，，设． （1）试用表示； （2）求的长度． 16. （1）一条直线经过点，倾斜角是直线的倾斜角的倍时，求该直线方程； （2）一条直线经过点，与轴的正半轴分别交于两点，当的面积最小（为坐标原点）时求该直线方程. 17. 如图1，在平面五边形中，，将沿折起得到如图2所示的四棱锥，且，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若为棱上一动点，直线与平面所成角的正弦值为． （i）求 （ii）求点到平面的距离． 18. 在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，设动点的轨迹为曲线． （1）求动点的轨迹方程，并说明曲线是什么图形； （2）过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程； （3）设是直线上的点，过点作曲线的切线，切点为，设，求证：过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标． 19. 经过原点的直线与圆：相交于，两点，过点且与垂直的直线与圆的另一个交点为． （1）当点B的坐标为时，求直线的方程； （2）记点关于轴的对称点为（异于点，），求证：直线恒过轴上的一个定点； （3）求四边形的面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $