精品解析：辽宁沈阳市第二中学2026-2027学年高二上学期10月阶段能力测试数学试题

2026－2027学年上学期阶段能力测试 高二（28届）数学试题 说明：1．测试时间：120分钟，总分：150分； 2．客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上． 第I卷（73分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 2. 两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆台上底面直径为2，下底面直径为4，母线长为3，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 过点引直线，使，两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 已知空间中三点，则点到直线的距离为（　　） A. B. C. D. 6. 已知是圆上不同的两个动点，为坐标原点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 正四面体中，，点满足，则长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 某工厂生产的一种零件是由一个圆柱和一个正三棱锥穿插而成的对称组合体，如图所示．棱和平面都与圆柱侧面相切，是棱与圆柱侧面的切点．平面．已知，，圆柱的底面圆半径为，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知直线和直线，下列说法正确的是（ ） A. 始终过定点 B. 若，则或 C. 若，则或2 D. 当时，始终不过第三象限 10. 已知圆，为圆心），动点，直线，分别与圆切于点，．则下列说法正确的是（ ） A. 四边形的面积最小值为 B. 最短时，弦长为 C. 最短时，弦直线方程为 D. 直线过定点为 11. 下列说法正确的是（ ） A. 过点且在、轴截距相等的直线方程为 B. 过点且垂直于直线的直线方程为 C. 过两圆及的交点的直线的方程是 D. 已知圆，，过圆上一点作圆的两条切线，切点分别是、，则的最小值是5． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为______. 13. 已知，，直线上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是__________． 14. 已知正方体的棱长为4，M，N分别是，的中点，P是线段上的动点，的最小值是__________． 第II卷（77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，的角平分线所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为． （1）求点的坐标； （2）求直线的方程． 16. 已知的三个顶点，，，其外接圆为圆H． 求圆H的标准方程； 若直线l过点C，且被圆H截得的弦长为2，求直线l的方程． 17. 如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 在空间直角坐标系Oxyz中，已知向量，点.若直线l以为方向向量且经过点，则直线l的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为. （1）证明：向量是平面的法向量； （2）若平面，平面，直线l为平面和平面的交线，求直线l的单位方向向量（写出一个即可）； （3）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为、、，其中平面经过点，，，平面，平面，求实数m的值. 19. 设，，定义曼哈顿距离；余弦距离，其中（为坐标原点）．余弦距离亦可由二维平面推广至三维空间．据此，解决下面的问题： （1）若空间中两点，，求，之间的余弦距离； （2）若动点在直线上，动点在圆上，求的最小值； （3）若，，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年上学期阶段能力测试 高二（28届）数学试题 说明：1．测试时间：120分钟，总分：150分； 2．客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上． 第I卷（73分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果. 【详解】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为， 又因为与共线，所以的一个方向向量可以是， 故选：A. 2. 两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】l1的方程可化为9x＋12y－6＝0，再由平行线间的距离公式可得答案. 【详解】l1的方程可化为9x＋12y－6＝0， 又l2：9x＋12y－10＝0， 所以，由平行线间的距离公式得， 两条平行线间的距离d＝＝. 故选：C. 3. 已知圆台上底面直径为2，下底面直径为4，母线长为3，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出圆台的高，再利用圆台的体积计算公式计算即可. 【详解】由题意，如图， 所以. 故选：A 4. 过点引直线，使，两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】设所求的直线为，则直线平行于或直线过线段的中点，分情况讨论即可求解. 【详解】设所求的直线为，则直线平行于或直线过线段的中点， 因为，，所以， 所以过点且与平行的直线为：即， 因为，，所以线段的中点为， 所以过点与线段的中点为的直线的方程为：， 即， 所以这条直线的方程是：或， 故选：. 5. 已知空间中三点，则点到直线的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中点到直线的距离的向量公式求解. 【详解】因为 依题意得，， 则点到直线的距离为. 故选：A. 6. 已知是圆上不同的两个动点，为坐标原点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，结合弦长公式，即可求解的中点的轨迹方程，根据向量的运算可得，再结合点与圆的位置关系，即可求解. 【详解】圆的圆心坐标，半径， 设圆心到直线的距离为， 由圆的弦长公式，可得，即，解得， 设的中点为， 点的轨迹表示以为圆心，以为半径的圆， 的轨迹方程为， 因为， 又，， 即, 即的取值范围为 . 故选：C 7. 正四面体中，，点满足，则长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，延长，，至点，，，使得，，，得到，结合空间向量的共面定理，得到，，，四点共面，把到平面的距离转化为点到平面的距离的一半，结合正四棱锥的性质，即可求解. 【详解】如图所示， 延长，，至点，，，使得，，， 所以， 又由，所以，，，四点共面， 所以的最小值，即为点到平面的距离， 因为点是的中点，则点到平面的距离是点到平面的距离的一半， 又因为，所以三棱锥为正三棱锥， 取等边的中心为，连接，，可得平面， 所以即为点到平面的距离， 在等边，因为，可得， 在直角中，可得， 即点到平面的距离为， 所以的最小值为. 故选：C 8. 某工厂生产的一种零件是由一个圆柱和一个正三棱锥穿插而成的对称组合体，如图所示．棱和平面都与圆柱侧面相切，是棱与圆柱侧面的切点．平面．已知，，圆柱的底面圆半径为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先明确四面体的形状，取为基底，利用空间向量基本定理，表示出，即可求值. 【详解】因为，所以为等腰直角三角形. 所以两两垂直. 设中点，连接. 因为两两垂直，平面，，所以平面. 因为平面，所以. 如下图： 设与平面的交点为，圆柱侧面与相切于，与相切于， 因为，，，所以. 又，所以. 取为基底，则，， 所以. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知直线和直线，下列说法正确的是（ ） A. 始终过定点 B. 若，则或 C. 若，则或2 D. 当时，始终不过第三象限 【答案】AC 【解析】 【分析】求出直线过的定点判断A；取，确定的位置关系判断B；由垂直关系求出判断C；取判断D. 【详解】对于A，直线，由，得，始终过定点，A正确； 对于B，当时，与直线重合，B错误； 对于C，，则，解得或，C正确； 对于D，取，直线过第三象限，D错误. 故选：AC 10. 已知圆，为圆心），动点，直线，分别与圆切于点，．则下列说法正确的是（ ） A. 四边形的面积最小值为 B. 最短时，弦长为 C. 最短时，弦直线方程为 D. 直线过定点为 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，得到在直线上运动，当⊥直线时，四边形的面积最小，求出最小值，A正确；BC选项，在A基础上，求出弦最小值为，并得到四点共圆，求出以为直径的圆的方程，可得弦的直线方程；D选项，设，求出以为直径的圆的方程，进而得到直线的方程，求出所过定点. 【详解】A选项，中，令，则， 即在直线上运动， 的圆心为，半径为，故， 四边形的面积为， 要想四边形的面积最小，只需最小，而， 故只需最小，显然当⊥直线时，最小， 最小值为，此时，， 故四边形的面积最小值为，A正确； BC选项，最短时，由A知，四边形的面积取得最小值，， 此时⊥，四边形的面积等于， 故，解得，故弦长为，B正确； 四点共圆，此圆的直径为， 由垂直关系可知直线的斜率为，故直线的方程为，即， 联立与得，故， 故的中点坐标为，而， 故以为直径的圆的半径为，故方程为， 与相减可得， 所以弦直线方程为，C错误； D选项，设，则， 以为直径的圆的圆心为，半径为， 故以为直径的圆的方程为， 化简得， 与相减得， 即直线的方程为， 其中，故直线的方程为， 变形得到， 令，解得， 故直线过定点为，D错误. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 过点且在、轴截距相等的直线方程为 B. 过点且垂直于直线的直线方程为 C. 过两圆及的交点的直线的方程是 D. 已知圆，，过圆上一点作圆的两条切线，切点分别是、，则的最小值是5． 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，当两个轴截距均为0时，过点和原点的直线的两个轴截距相等； 而直线过点，两个轴截距均为3． 因此满足条件的直线不唯一，A错误； 对于B，直线的斜率为，其垂线斜率为． 过点的垂线方程为，即，故B正确； 对于C，将两圆方程相减，得， 即，化简得． 两圆交点同时满足两圆方程，故其公共弦所在直线为，C正确； 对于D，记的圆心为，的圆心为，则，且． 令，由三角不等式得，从而． 设，在直角三角形中，，且． 两条切线关于对称，所以，于是． 令，． 任取，则，所以， 故在上单调递增． 当在线段上且时，，此时可以取得， 故数量积的最小值为，不是5，D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算的坐标表示，可得答案. 【详解】由题意可得，设， 则，解得，所以坐标为. 故答案为：. 13. 已知，，直线上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用两点间距离及三角不等式的取等条件，将点的距离条件转化为直线与线段相交，再求斜率范围并转化为倾斜角范围． 【详解】由、得，由三角不等式及其取等条件，当且仅当点在线段上（含端点）． 令，则，． 因为在线段上的值随点的位置作线性变化，所以直线与线段相交当且仅当，即，化简得，解得或． 将直线方程化为，可知其斜率为且始终存在． 设直线的倾斜角为，则、，且，由正切函数在和上分别递增，得． 当时直线经过点，当时直线经过点，故两个端点均可取． 下图示意时直线与线段的交点． 14. 已知正方体的棱长为4，M，N分别是，的中点，P是线段上的动点，的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】将空间距离转化为平面上的距离之和，利用对称点法求最值. 【详解】 如图所示，取的中点，连接， 因为分别是，的中点， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 延长到，使得， 因为，所以四点共面. 因为面， ，， 所以， ， ， . 所以的最小值为. 第II卷（77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，的角平分线所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为． （1）求点的坐标； （2）求直线的方程． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设，则，代入，求解即可； （2）设直线的方程为：，在直线取点，利用点到直线的距离等于点到直线的距离，求解即可. 【小问1详解】 解：由题意可知点在直线上， 所以设， 所以中点， 又因为点在直线上， 所以，解得， 所以； 【小问2详解】 解：因为， 设直线的方程为：， 又因为， 所以直线的方程为：， 又因为的角平分线所在的直线方程为， 在直线取点， 则点到直线的距离等于点到直线的距离， 即有，整理得， 解得：或， 当时，所求方程即为直线的方程， 所以， 所以直线的方程为： . 16. 已知的三个顶点，，，其外接圆为圆H． 求圆H的标准方程； 若直线l过点C，且被圆H截得的弦长为2，求直线l的方程． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】根据题意，由三点的坐标求出直线AB、BC的垂直平分线，联立直线的方程即可得圆心的坐标，进而求出圆的半径，计算可得答案； 根据题意，由直线与圆的位置关系，求出圆心到直线的距离，分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，求出直线的方程，综合可得答案． 【详解】根据题意，，，， 则AB的垂直平分线是， 又由，，则BC的方程为，BC中点是， 则BC的垂直平分线是， 联立，解可得，即圆心H的坐标为， 又由， 则圆H的方程为； 根据题意，若直线l被圆H截得的弦长为2，则圆心H到直线的距离， 若直线l的斜率不存在，直线l的方程为，符合题意； 若直线l的斜率存在，设其方程为， 有，解可得， 则直线l的方程为，即， 则直线l的方程为或． 【点睛】本题考查直线与圆的方程，涉及直线与圆的位置关系以及弦长的计算，属于基础题． 17. 如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点、． ∵四边形和都是直角梯形，，，由平面几何知识易知，，则四边形和四边形是矩形，∴在Rt和Rt，， ∵，且， ∴平面是二面角的平面角，则， ∴是正三角形，由平面，得平面平面， ∵是的中点，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点、，由平面知识易得，再根据二面角的定义可知，，由此可知，，，从而可证得平面，即得； （2）由（1）可知平面，过点做平行线，所以可以以点为原点，，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，以及，即可利用线面角的向量公式解出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，过点做平行线，所以以点为原点， ，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 设，则， 设平面的法向量为 由，得，取， 设直线与平面所成角为， ∴． 18. 在空间直角坐标系Oxyz中，已知向量，点.若直线l以为方向向量且经过点，则直线l的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为. （1）证明：向量是平面的法向量； （2）若平面，平面，直线l为平面和平面的交线，求直线l的单位方向向量（写出一个即可）； （3）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为、、，其中平面经过点，，，平面，平面，求实数m的值. 【答案】（1）取平面内的任意两点，， 则两式相减得，， 即，所以，从而， 故是平面的法向量. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由空间向量的垂直即可证明； （2）设直线l的方向向量，由与两平面的法向量垂直列方程求解； （3）写出三个平面的法向量，求得与交线的方向向量，进而可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 记平面，的法向量为，， 设直线l的方向向量， 因为直线l为平面和平面的交线，所以，， 即，取，则， 所以直线l的单位方向向量为. 【小问3详解】 设， 由平面经过点，，， 所以，解得，即， 所以记平面、、的法向量为，，， 与（2）同理，与确定的交线方向向量为， 所以，即，解得. 【点睛】关键点点睛：本题的关键，结合已知概念求出相关法向量，即可解决问题. 19. 设，，定义曼哈顿距离；余弦距离，其中（为坐标原点）．余弦距离亦可由二维平面推广至三维空间．据此，解决下面的问题： （1）若空间中两点，，求，之间的余弦距离； （2）若动点在直线上，动点在圆上，求的最小值； （3）若，，求的取值范围． 【答案】（1） （2）． （3） 【解析】 【分析】（1）根据定义进行求解，结合向量夹角余弦公式得到答案； （2）由绝对值不等式和三角恒等变换得到，求出最小值； （3）由定义得，换元后，问题转化为半圆与直线有公共点时的取值范围，数形结合可得，从而求出． 【小问1详解】 ， ， 所以． 【小问2详解】 设， ， 则 ， 当时，等号成立， 所以的最小值为． 【小问3详解】 ，， 故 ， 令，则， 问题转化为与直线有公共点时的取值范围． ，两边平方得， 为半圆方程，半圆所在圆的圆心坐标为，半径为． 如图，当直线过点时，； 当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径， 故，解得， 结合图知，． 故半圆与直线有公共点时，， 于是， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $