辽宁鞍山市部分普通高中2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

高二年级阶段测试数学卷 满分150分时间120分钟 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1.已知三点A(1,5,-2),B(2,4,1),C(a,3,b+2)共线，那么a-b=() A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知P是空间内任意一点，n为空间内任一非零向量，满足条件{MPMi=0的点M构成的图形 是() A.直线 B.平面 C.线段 D.圆 3.若空间中三条不同直线a,b,c的方向向量分别为ā，i,c,已知a⊥i,且bc,则直线a与直线c必定 ( A.平行 B.相交 C.垂直 D.异面 4.若{a,b,c是空间的一个基底，且向量OA=a+6+,OB=a+2b+3,0C=2a+kb+3不能构成空 间的一个基底，则k=（) A 0.2 c D. 5.如图，两个以0为圆心的同心圆，AB切大圆于B,AC切小圆于C,交大圆于D,E,AB=12,A0=15, AD=8,则大圆与小圆的半径分别为( ) (第7题图) A.84 B.9 214 C.914 D.8 14 3 6,已知平行六面体ABCD-48,CD,的所有棱长均为2，cos∠BAD=cos∠BAA=cos∠DAA=石，则异面 直线AG与BC夹角的余弦值为( 4. B.45 3 9 c 7.如图，ABCD-EGH是棱长为1的正方体，若点P在平面BDB内，且满足P=B+2MD+A正， 6 则点P到直线AB的距离为( B.③ C.vio D.5 6 6 4 8.在棱长为2的正方体ABCD-4B,CD,中，E,F分别为DA,BB的中点，M,N分别为线段D4,AB上 1/4 鬟甲扫全任 0-。-。。2-。。一 的动点（不包括端点），且满足EW⊥FM,则线段MN的长度的取值范围为() B. [ c.( D.「2,22) 二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分） 9.已知直线：x+y-a=0和直线：m-(2a-3)y-1=0,下列说法正确的是（ ) 4始终过定点引 B.若1112，则a=-3 C.若4⊥h2,则a=2 D.当a>0时，4始终不过第三象限 10.如图，点P在正方体ABCD-ABCD,的面对角线BC,上运动（P点异于B,C点)，则下列结论 正确的是() A.异面直线BD与AB,所成角为60° B.B,D⊥平面ACD, C.三棱锥P-ACD,的体积不变 D.直线AP与平面AD,C,B所成角正弦值的取值范围为 (15 22 11.2021年3月30日我国知名品牌小米公司启用了具备“超椭圆"数学之美的全新L0g0(如图)，设计师的灵感 来源于数学中的曲线E:x”+y”=1.给出下列四个结论，其中正确的结论为() A.对任意的neR且n≠0，曲线E总关于原点成中心对称 B.当n>0时，曲线E上总过四个整点（横、纵坐标都为整数的点） C.当0<n<1时，曲线E围成的图形面积可以为2 D.当n=-1时，曲线E上的点到原点最近距离为2√2 2/4 餐巴扫描全能王 额3配人群直用的日播A -022- 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12.经过点(1，)且在x轴的截距的绝对值是y轴上截距的绝对值两倍的直线方程 13.已知两圆的方程C:x2+y2-4x+2y-4=0,C2:x2+y+6x-4y-12=0,则它们的公切线的条数 为 14.类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图，由不共面的三条射线PA, PB,PC构成的图形称为三面角P-ABC,记∠APC=a,LBPC=B,乙APB=Y,二面角A-PC-B的 大小为0，则cosy=cosa cosB+sinasin Bcos0.已知平行六面体ABCD-AB,C,D,的底面ABCD为菱形， BMD=60,0s4AD=5,A4C=60,则二面角A-CG-B的余弦值为 4 D 四、解答题（共5小题，共77分） 15.(13分)已知△ABC的顶点B(5,),AB边上的高所在的直线方程为x-2y-5=0. (1)求直线AB的方程， (2)在下面两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. ①角A的平分线所在的直线方程为x+2y-13=0: ②BC边上的中线所在的直线方程为2x-y-5=0. 求直线AC的方程， 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 16.（15分)如图，在边长为2的正方体ABCD-AB,CD中，E是棱AB上的点，平面C4E交棱BC于点F. D E (1)证明：EF/IAC: 2若点A到平面C4E的距离为子，求直线48与平面G48所成角的正弦值。 3/4 骑翻CS扫描全能王 病1配人里在用的日mAe -。22-- 17.(15分) 已知直线1：(k-1)x-2y+5-3k=0(k∈R)恒过定点P,圆C经过点A(4,0)和点P,且圆心在直线 x-2y+1=0上. (1)求定点P的坐标与圆C的方程： (2)过M(10,0)的直线4被圆截得的弦长为8，求直线4方程. (3)过点(12,10)引圆的切线，求切线方程， 18.(17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD,PC=PD=CD=2√2，AD=2BC=2AB=4,ADIIBC, ∠BAD=90 B D (I)证明：平面PAC⊥平面PCD: (2)在棱PA上是否存在点M,使得平面PCD与平面CDM的夹角为30°？若存在，求出点M的位置：若不存在， 说明理由 19.(17分) 已知圆0的圆心为坐标原点，且经过点（山，-），圆0与x轴正半轴交于点4，与y轴正半轴交于点B, 与x轴负半轴交于点C. (1)求圆0的标准方程： (2)P是圆O上一点且不在坐标轴上，直线AP交y轴于点M,直线BP交x轴于点N,求证：AWBM 为定值： (3)若直线1的斜率存在，且与圆O交于D,E两点（异于点C),直线CD与直线CE的斜率之积为3， 求证：直线过定点。 4/4 蠡田全任 -022-参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 A B c A B D C B ABD ABC 题号 11 答案 ABD 1.A 【详解】由题意知AB=(1,-1,3),AC=(a-l,-2,b+4),结合三点共线，则AC=2AB,eR 「a-1=2 「2=2 所以-2=-1，可得 a=3,故a-b=1. b+4=32 b=2 2.B 【详解】当点M与P重合时，PM为零向量，满足题意； 当点M不与P重合时，由PMn=0得PM⊥n, 在空间中，经过定点P且垂直于已知非零向量的所有直线和点，共同构成了一个平面， 此时即为该平面的法向量， 因此点M的轨迹是一个经过点P且以n为法向量的平面. 3.C 【详解】依题意，a,b,c都不是零向量， 由bc可得b/1c,又a⊥b,则可得d⊥c，,即a⊥c. 故选：C 4.A 【详解】因为OA=d+b+c和OB=ā+2b+3c显然不共线， 因此必然存在实数x,y,使得OC=xOA+yOB, 2a+kb+3c=x(a+b+c)+y(a+2b+3c), 2a+kb+3c=(x+y)a+(x+2y)b+(x+3y)c, x+y=2 3 x= x+y=2 2 所以有x+2y=k,联立 x+3y=3 x+3y=3'解 y2 代入x+2y=k,即k=3 15 222 5.B 【详解】已知AB切大圆于点B,则OB⊥AB,故△ABO是直角三角形， 答案第1页（共12页） 已知AB=12,A0=15,则大圆半径0B=√A02-AB2=V152-122=9: AC切小圆于C,故OC⊥AE,由垂径定理知，C是DE中点，DC=CE, 设DE=x,已知AD=8,则E=AD+DE=-8+x4C=AD+DC=8+ 在a40c中，0c2=402-AC2-15-（8+, 在0cE中，0c+cE-0,即1s-8++月-81， 化简整理得8x=80,解得x=10,故DC==5,AC=AD+DC=13, 故小圆半径0C=VA02-AC2=V152-132=214. 6.D 【详解】设AB=a,AD=i,A4=c,则d=b==2, cas∠BMD=cos∠B4=cos∠DM4-=G a-B=cos/BAD-2x2x1=2 63 a.c=|acos∠BA4=2×2× 12 63 B-6=BcOs/DAA=2x2x1-2 63 AC=AB+AD+A4=a+b+c,BC=AD=b, BC==2, AG"-(a+B+o)=la"+B"+l@"+2(a.B+a-c+B-c) -2+2+2+2行+号+引=2+2x2=i6. 则AC=16=4, G-C-6+5d小6=a641e6-号4+号- +33 设异面直线AC与BC的夹角为0， 1616 则cos0三 AC·BC 3=3=2,故选项D正确。 ACBC4×283 7.C 【详解】如图，以点A为原点，AB,AD,AE分别为x,y,z轴建立空间坐标系， 答案第2页（共12页） 所以A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),E(0,0,1) 则4P-@o+2a@.1o0)+@)-（G28)故PG2只8 因为点P在平面BDE内，所以P,B,D,E四点共面 由空间向是共面定理可知。+2+兮1，解行2-分所以P-行》 a向院-a0.时-)日g-共-+0 x0=1 6 -31 所以点P到直线AB的距离d= AP.n 141 10_10 V369V366 8.B 【详解】以D为坐标原点，DA,DC,DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角 坐标系， 则E(1,0,0),F(2,2,1), 设M(x,0,2),N(2,y,2),其中0<x<2,0<y<2, 则EN=(1,y,2),FM=(x-2,-2,1), DEN⊥FM,☐EN.FM=(1,y,2)(x-2,-2,1)=x-2y=0,得x=2y 00<x<2,00<y<1, 由空间中两点之间的距离公式， 用--2j+r+e-2-Q-2r+y-5号 当y=时，MN-25,当y趋近于0时，N趋近于2， 5 结合二次函数的性质可得，线段MN的长度的取值范围为 答案第3页（共12页） 9.ABD 【详解】对于A,直线l2:a(x-2y)+3y-1=0, 3y-1=0,得x=2, x-2y=0 21 4,始终过定点 3’3 故A正确； -(2a-3)-a2=0 对于B,若111L2,则有 1x(-1)-(-a)×a≠0' 解得a=-3,故B正确： 对于C,1⊥l2,则a-a(2a-3)=0,解得a=0或a=2,故C错误； 对于D,当a>0时，1：y=-x+1始终过(0，)， a 因为a>0,所以直线斜率-<0，不会过第三象限，故D正确。」 a 故选：ABD 10.ABC 【详解】 Z孙 对于A,因为正方体中BD/IB,D,且△AB,D为等边三角形，故异面直线BD与AB,夹角为∠ABD=60°， 故A正确： 对于B,由正方体的性质可知AC⊥BD,AC⊥BB,BD,BBC平面DBB,BDBB=B, ∴AC⊥平面DBB,又因为BDC平面DBB,.AC⊥BD, 同理可得DC⊥平面DCB,又因为BDC平面DCB,∴.DC⊥B,D, 又因为AC,D,CC平面ACD,AC∩DC=C,.B,D⊥平面ACD,故B正确； 对于C,因为BC IIAD,BCt平面ACD,ADC平面ACD,所以BC,II平面ACD, 所以'-ACn=V-ACn='n-ABc为定值，故C正确： 答案第4页（共12页） 对于D,建立如图所示直角坐标系，设正方体的棱长为1，BP=BC(0<1<1), 则A(1,0,0),B(1,1,1),C(01,0),B(1,1,0),C(0,1,1), 从而BP=BC=(-元，0，-)，AP=AB+BP=(-元，1,1-)： 由正方体的性质知：BA⊥CB,BC⊥CB,BC∩BA=B,BC,BAC平面AD,CB, 即CB⊥平面AD,CB,故平面AD,CB的法向量可取为B,C=（-1,0,1), 直线AP与平面ADCB所成角正弦值为sim9=|cos<A1P,B,C>|=2N2-2+ 12+1- 1 =2元-+ 因为0<<1，-+1-(-+[别 所以sin0 2W2-+i23 故D错误。 故选：ABC. 11.ABD 【详解】对于A,在曲线E:x“+y“=1中，以-x替换x,以-y替换y,方程不变，则曲线E关于原点成中心对 称，故A正确： 对于B,当n>0时，令x=0,得y=±1；令y=0,得x=±1.曲线E总过四个整点(-1,0)，(1,0)，(0，-1)，(0,1)， 故B正确： 对于C,当0<n<1时，由x“+y”=1,得：x≤1，y≤1，且等号不同时成立， x+yx”+=1.又1+1与坐标轴围成的面积为2×2=2， 2 且x”+y”=1在x+y1内部，则曲线E围成图形的面积小于2，故C错误。 对于D,当m=-1时曲线的方程为：x十+y山，不纺令xy均大于0，曲线化为十， 则d=0++f2=++2子+22+22子42=8，当且汉当r}且2-2 2 即1=1时等号成立，结合对称性可知，曲线E上点到原点距离的最小值为2√2，故D正确 故选：ABD. 答案第5页（共12页） 12.y=x或x+2y-3=0或x-2y+1=0 【详解】若直线过原点，则斜率为1，则直线方程为y=x,满足题意， 若直线不过原点，设直线方程为+上=1， a b [L+=1 [a=3a=-1 则ab,得{，3或 1, b=- 6=- a=2bl0=22 则直线方程为x+2y-3=0或x-2y+1=0, 综上，直线方程为y=x或x+2y-3=0或x-2y+1=0 13.2 【详解】圆C的圆心坐标为(2-)，半径=-4+2-4×(4 圆C的圆心4坐标为-3,2)，半径5=6+(4-4x(-12 2 5 圆心距CC=[2-(-3)]+(-1-22=34, 5-5=3-5=2,1+2=3+5=8, 因为r-<CC<片+5，所以圆C和圆C2相交， 根据两圆位置关系与公切线条数的对应规则，相交的两圆共有2条公切线 14.3f3 13 【详解】 D 如图，连接AC, 因为∠AAC=60°，则∠ACC=120° 因为ABCD是菱形，且∠BCD=∠BAD=60°， 所以∠ACB=2∠BCD=30° 因为∠BCC=∠ADD=180°-∠AAD, 所以cos∠BCC,=-cos∠A,AD,sin∠BCC=sin∠AAD 答案第6页（共12页） 设二面角A-CC-B为0， 由三面角定理得cos∠ACB=cos ACC cos BCC+sin∠4CC sin BCC cos0, 即cos30°=cos120(-cos∠AAD)+sinl20°sin∠4ADcos0, 即5_x5+5 3xco,所以cos0-3 22424 13 15.(1)2x+y-11=0(5分) (2)(8分) 若选☐：直线AC的方程为2x-1ly+49=0. 若选D:直线AC的方程为6x-5y-9=0. 【详解】(1)因为AB边上的高所在的直线方程为x-2y-5=0, 转化为斜酸式y-弓其斜率为分， 15 所以直线AB的斜率为k=一2， -2分 又△ABC的顶点B(5,1),所以直线AB的方程为y-1=-2(x-5), -4分 即2x+y-11=0 -5分 (2)若选·：角A的平分线所在的直线方程为x+2y-13=0, 2x+y-11=0, x=3 x+2y-13=0解得 y=5 所以点A(3,5): -7分 设点B关于x+2y-13=0的对称点B'(x,%), 》 +2x6,113=0 +5 2 2 解得 所以点（） 59 ----------------10分 y= 5 5、29 又点（）在直线4C上，所以k 5=2 37-11 --12分 3- 所以直线4C的方程为y-5=x-3列.即2x-1y+49=0, --13分 若选口：BC边上的中线所在的直线方程为2x-y-5=0, 答案第7页（共12页） 2x+y-11=0, 由 2x-y-5=0, 解得x=4所以点443)。 -7分 y=3, 设点C(x,y),则BC的中点在直线2x-y-5=0上， 所以2×5+五_1+1-5=0，即2x-片-1=0， 22 所以点C在直线2x-y-1=0上， 因为AB边上的高所在的直线方程为x-2y-5=0且AB边上的高一定过点C 所以点C在直线x-2y-5=0上， x-2y-5=0,∫x=-1, 由 2x-y-1=0解得 =-3即点C(-1-3), -10分 所以kAC= -3-36 -1-45 ---12分 所以直线4C的方程为y-3-x-4,即6x-5y-9=0, --13分 16.【详解】(1)由正方体可知A411CC,A4=CC, 所以四边形AACC为平行四边形，所以AC11AC, 因为AC丈平面C4E,ACC平面C,4E,所以AC/1平面C4E, 因为ACc平面ABCD,平面ABCDO平面C,AE=EF,所以AC1/EF. -5分 (2)以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xz, --6分 D C A B E B 设AE的长为4，则A(2,0,0),A(2,0,2),C(0,2,2),B(2,2,2),E(2,a,0), 4B=(0,2,0),AC=(-2,2,0),4E=(0,a,-2),A4=(0,02), 设平面C4E的一个法向量为=(x,y,z), n4C-2x+2”0,取x=1,则后-号} 则 --10分 n·A4E=ay-2z=0 答案第8页（共12页） 所以点A到平面C4E的距离d= a 2 2+a23，解得a=1.--12分 4 所以方 1,2 设直线AB与平面CAE所成角为0， AB.n 2 sin =cos(B, 2 13, -14分 22+4 2 所以直线4B与平面C4E所成角的正弦值为 ----15分 17.答案(1)P(3,),圆C的方程为(x-7}2+(y-4)}-25 (2)x=10或7x+24y-70=0 (3)x=12或11x-60y+468=0 【详解】(1)将直线1的方程整理为k(x-3)-x-2y+5=0, x-3=0 x=3 令 -x-2y+5=0' 解得 y=1' 故P(3,), -2分 由圆心在直线x-2y+1=0上可设圆心坐标为C(2m-1,m),则AC=CP, 即V(2m-1-4}+m2=V(2m-1-3}2+(m-12，解得：m=4, 故圆心坐标为C(7,4),半径为V(7-4)}+42=5, 故圆C的方程为(x-7)2+(y-4)2=25; 4分 (2)当直线l斜率不存在时，直线l为x=10, 此时圆心到x=10的距离为10-7=3， 由垂径定理得：弦长为2×√52-32=8，满足要求， -6分 当直线斜率存在时，设直线4为y=k（x-10), 圆心C(7,4)到直线y=(x-10)即x-y-104=0距离为d4+3测 V1+k2 由垂径定理得： 4+3k 82 期得：6=名 -8分 V1+2 故直线方程为：y= 24x-10)即7x+24y-70=0 综上：直线方程为x=10或7x+24y-70=0 -10分 答案第9页（共12页） (3)当切线斜率不存在时，直线方程为x=12, 与圆(x-7)2+(y-4)=25,圆心到直线的距离为5，显然相切， --12分 当切线斜率存在时，设切线斜率为k,切线方程为y-10=k(x-12), 即c-y-12k+10=0,由圆心到切线距离等于半径 7k-4-12k+10-5, Vk2+1 整理得36-60k=25,解得k=】 --14分 60 代入得切线方程为11x-60y+468=0, 所以切线方程为x=12或11x-60y+468=0. -15分 18(1)设DC中点G,连接PG,AC, AD=2BC=2AB=4,AD∥BC,∠BAD=90°，所以AC=VAB2+BC2=2N2, 因为CD=2√2，所以有AC2+CD2=AD2,则AC⊥CD, 因为PC=PD,G为CD中点，所以PG⊥CD, 因为平面PDC⊥平面ABCD,平面PDCO平面ABCD=CD,所以PG⊥平面ABCD 因为ACc平面ABCD,所以PG⊥AC, 因为PG∩CD=G,所以AC⊥平面PCD 因为ACc平面PAC,所以平面PAC⊥平面PCD. -5分 (2)在棱PA上存在点M,M为PA上靠近P的三等分点， 详解 在棱PA上存在点M,使得平面PCD与平面CDM的夹角为30°，M为PA上靠近P的三等分点.，证明如 下： 由(1)得PG⊥平面ABCD,因为CB,CQc平面ABCD,则PG⊥CB,PG⊥CQ, 过C作PG的平行线CN,则以C为原点，CQ所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CN所在直线为z轴， 建立空间直角坐标系 -6分 由题意得CD=22,则C(0,0,0),D(2,-2,0),A(2,2,0), 答案第10页（共12页） 因DG=CD=2,PD=2W2,则PG=V6,故PM,-1,N6, -8分 则PA=(1,3,-V6),CP=1,-1,V6),CD=(2,-2,0), 设PM=2PA,由题可知0<1<1， CM=CP+PM=CP+APA=(1+1,3-1,6-6), --10分 设平面PCD法向量为n=(3,,乙)， 则区-C=-%+62=0,令5=1，则男=l=0,月-10， -12分 nCD=2x-2%=0 设平面CDM的法向量为n2=(x2,2,z2), 则 m·CM=0+2x+(3-)y+60-22=0 n2CD=2x2-2y2=0 4元 令=1，则%=1,4=6-) 42 n2= l6-0月 -15分 因为平面PCD与平面CDM的夹角为30°， n'n 所以 cosn,n, =c0s300= √2×2+ 1612 2, 6(2-1)2 化简得32+21-1=0，即3孔-2+)=0，又0<元<1，则元=号 -16分 所以M为PA上靠近P的三等分点， --17分 19答案(1)x2+y2=4(2)3)证明见下、2 【详解】(1)由已知得圆0的半径r=P+(3=2。 所以圆0的标准方程为x2+y2=4. --2分 (2)证明：由(1)可知A(2,0),B(0,2),设P(x,)(x≠0≠0)，则x+y=4, 白题意知2，直线P的方程为y产2-2) -4分 令x=0,得y=-2弘 x,-2,所以M0, -2y0 x-2 答案第11页（共12页） 由名*0，得直线BP的方程为y=为-2x+2 -6分 LM M =4云+8+4+2x6-4杯，-4%=42x。-46+%)+8 x。-2(x+%)+4x06-2(x6+%)+4 =8,所以AN-BM为定值. -9分 (3)证明：设直线1的方程为y=kcx+m,D(x,y),E(,),已知C(-2,0),联立 x+y=4,得 y=kx+m, （+k)x2+2x+m2-4=0,△=4k2m2-4+(m2-4>0,即m2<4k2+4,所以x+5=1+g, 2km 5m24 -11分 Γ1+k2 所以knk=上×上。=（+mc,+m）_3xx+m名+)+m2 =3.所以 x+2x2+2xx2+2(x+x2)+4xx2+2(x+x2)+4 k-+(-6+)+m-2=0所以(-到+-o(2}m-12=0 整理得（m-2k)(m-4k)=0,所以m=2k或m=4k -15分 当m=2k时，直线l的方程为y=x+2k=k(x+2),恒过点C(-2,0),不符合题意： 当m=4k时，直线1的方程为y=c+4k=k(x+4),恒过点(-4,0)，符合题意. 所以直线过定点(-4,0) -17分 答案第12页（共12页）