高一数学上学期期中模拟卷（湘教版必修第一册第一章～第三章，高效培优）

2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷 考试版 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版必修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 3．已知偶函数的图象关于点中心对称，当时，，则（    ） A． B． C． D． 4．在以下写法中写法正确得是（    ） A． B． C． D． 5．命题“，”的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 6．若函数，且，则实数的值为（    ） A．或 B．或3 C． D．3 7．下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 8．函数，的奇偶性是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 10．下列命题正确的是（    ） A．任何一个平行四边形的对边都平行 B．非负数的平方是正数 C．任何一个四边形都有外接圆 D．，使得 11．已知函数的定义域为R，且，当时，，且满足，则下列说法正确的是（ ） A．为奇函数 B． C．不等式的解集为 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设函数的定义域为，且对于任意的正数都有若则 ______． 13．下列集合：①；②；③；④；⑤；⑥方程的实数解组成的集合.其中，是空集的所有序号为__________. 14．函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，则当时，的值域为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）解下列关于的不等式． (1)； (2)； 16．（15分）已知函数 (1)在直角坐标系内画出的图象； (2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域． 17．（15分） 已知函数． (1)求的解析式； (2)将的图象向右平移个单位长度后得到奇函数的图象，求． 18．（17分）为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2021年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用万元满足（k为常数）.如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件.已知2021年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）. （1）将该厂家2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数； （2）该厂家2021年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？ 19．（17分） 已知函数，若，且当时，． (1)求、的值，并写出的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若对任意的都有恒成立，求实数的取值范围． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版必修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定. 【详解】“”的否定是“”. 故选：C． 2．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据常见函数的奇偶性及单调性判断即可. 【详解】对于A，函数为奇函数， 且在和上为增函数，故A错误； 对于B，函数为偶函数，故B错误； 对于C，函数为奇函数，且在上为增函数，故C正确； 对于D，函数为非奇非偶函数，故D错误. 故选：C 3．已知偶函数的图象关于点中心对称，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性和对称性得到函数周期，变换，代入计算得到答案. 【详解】偶函数的图象关于点中心对称， 则，且，故， ，故函数为周期为的函数， . 故选：C 4．在以下写法中写法正确得是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的表示和集合间关系可判断. 【详解】，，，，故选项A正确. 故选：C. 5．命题“，”的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解. 【详解】“，”的否定为，. 故选：A 6．若函数，且，则实数的值为（    ） A．或 B．或3 C． D．3 【答案】B 【分析】令，利用配凑法求函数，进而根据求解即可. 【详解】令，则， 可得：，即， ∵， ∴. 故选：B. 7．下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】选项A：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故A错误； 选项B：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故B错误； 选项C：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故C错误； 选项D：的定义域是， 去绝对值分段得， 定义域和表达式均和一致，是同一函数，故D正确． 8．函数，的奇偶性是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【答案】C 【分析】先判断函数的定义即可得到结果. 【详解】由函数的定义域为，不关于原点对称，故该函数为非奇非偶函数 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】直接利用基本不等式即可判断A；消元再结合反比例函数的性质即可判断B；根据基本不等式中“1”的整体代换即可判断C；消元再结合二次函数的性质即可判断D. 【详解】对于A，因为，且， 所以， 当且仅当时取等号， 所以的最大值为，故A正确； 对于B，因为，且，所以， 由，得， 则，故B错误； 对于C，由，得， 则 ， 当且仅当，即， 又因，所以，故C错误； 对于D，由B选项可得， 则当时，取得最小值，故D正确. 故选：AD. 【点睛】易错点点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 10．下列命题正确的是（    ） A．任何一个平行四边形的对边都平行 B．非负数的平方是正数 C．任何一个四边形都有外接圆 D．，使得 【答案】AD 【分析】根据平行四边形定义可判断A，根据特值可判断B，根据四边形有外接圆的条件可判断C，利用特值可判断D. 【详解】A，由平行四边形的定义知任何一个平行四边形的对边都平行，故A正确； B，因为，不是正数，故B错误； C，因为只有对角互补的四边形才有外接圆，故C错误； D，因为当，时，，故D正确. 故选：AD． 11．已知函数的定义域为R，且，当时，，且满足，则下列说法正确的是（ ） A．为奇函数 B． C．不等式的解集为 D． 【答案】AB 【分析】根据奇函数的定义，并结合条件即可判断A；根据奇函数的性质求的值即可判断B；根据单调性的定义，判断函数的单调性，再求解不等式判断C；根据奇函数的性质求和判断D. 【详解】对于A，令，可得，所以， 令，得到，即，所以为奇函数，故A正确； 对于B，因为为奇函数，所以，故B正确； 对于C，设，取，可得， 又由，可得，所以， 即，所以在上单调递增， 因为，所以， 故， 又在上单调递增，则，得到，即的解集为 ，故C错误； 对于D，因为为奇函数，所以， 所以， 又，故，故D错误. 故选：AB 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设函数的定义域为，且对于任意的正数都有若则 ______． 【答案】 【分析】首先根据赋值法求得，再根据条件求得的值，再结合条件，即可求解. 【详解】令，得，得， 令，得， 令，得， 因为所以， 所以. 故答案为： 13．下列集合：①；②；③；④；⑤；⑥方程的实数解组成的集合.其中，是空集的所有序号为__________. 【答案】②④⑥ 【分析】根据空集的定义逐项判断即可. 【详解】①集合中含有一个元素，故不是空集； ②因为，，故是空集； ③集合中含有一个元素，故不是空集； ④是空集； ⑤集合中含有一个元素，故不是空集； ⑥因为方程没有实数解，故是空集； 故答案为：②④⑥. 14．函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，则当时，的值域为______. 【答案】 【分析】根据函数的定义求出函数解析式，从而可求出其值域. 【详解】因为， 所以当时，， 所以函数的值域为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） (1)； (2)； 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）原不等式进行等价转化，再根据二次不等式的解法求解； （2）分式不等式转化为整式不等式，利用数轴穿根法求解. 【详解】（1）原不等式等价于 ，得 ， 整理得，即， 故 或 ，即不等式的解集为或. （2）由，得 ，通分得， 所以， 得， 由数轴标根法得或，故不等式的解集为 或. 16． （15分） 已知函数 (1)在直角坐标系内画出的图象； (2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为，值域为． 【分析】（1）根据分段函数中两段函数的解析式，结合二次函数和一次函数的图象特征，即可画出函数的图象；（2）根据图象直接求函数的单调区间和值域. 【详解】（1）略 （2）由图可知的单调递增区间为，单调递减区间为，值域为． 17．（15分） 已知函数． (1)求的解析式； (2)将的图象向右平移个单位长度后得到奇函数的图象，求． 【答案】(1)；(2)12 【分析】（1）方法一：整体法进行求解；方法二：换元法进行求解； （2）方法一：利用求出，进而求出，；方法二：利用求出，进而求出，. 【详解】（1）方法一：因为， 所以． 方法二：令，则， 得， 所以 （2）方法一：由题意得． 因为是奇函数，所以， 即，解得． 故，． 方法二：因为是奇函数，所以，得， 故，． 18． （17分） 为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2021年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用万元满足（k为常数）.如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件.已知2021年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）. （1）将该厂家2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数； （2）该厂家2021年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？ 【答案】（1）；（2）该厂家2021年的年促销费用投入2.5万元时，厂家利润最大. 【分析】（1）根据题意，当时，x=1，进而代入已知等式解出k，然后求出每件产品的销售价格，最后得到函数的解析式； （2）根据（1）中的式子，结合基本不等式即可得到答案. 【详解】（1）由题意，当时，x=1，则，于是，所以. （2）由（1），， 当且仅当时“=”成立. 所以，该厂家2021年的年促销费用投入2.5万元时，厂家利润最大. 19．（17分） 已知函数，若，且当时，． (1)求、的值，并写出的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若对任意的都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，， (2)在上单调递减， 证明：、，， ， 由，得，，， 则，即，所以函数在上单调递减. (3) 【分析】（1）根据给定函数解析式，结合两个条件求出、的值，进而求得的解析式. （2）判断（1）中函数在上的单调性，再利用单调性定义推理得证. （3）由给定不等式可得，再利用建立不等式并借助单调性化简，再分离参数，借助基本不等式求出最值即可求出范围. 【详解】（1）函数，当时，由，得，则， 由，得，即，则，所以，， 函数的解析式为. （2）在上单调递减， 证明：、，， ， 由，得，，， 则，即，所以函数在上单调递减. （3）由（1）知，当时，，函数在上单调递减， 则函数在上单调递增， 当时，；当时，， 由任意的都有恒成立，得，， 则任意的都有，且恒成立， 因此对任意的恒成立， 而，，当且仅当时取等号，则， 所以实数的取值范围是. 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C C C C A B D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD AD AB 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．-12 13．②④⑥ 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）原不等式等价于 ，得 ，……2分 整理得，即，……4分 故 或 ，……6分 即不等式的解集为或.……7分 由，得 ，……8分 通分得，所以， ……10分 得，……12分 由数轴标根法得或，故不等式的解集为 或.……13分 16．（15分） 【解析】(1) ……6分 由图可知的单调递增区间为，……9分 单调递减区间为，……12分 值域为．……15分 17．（15分） 【详解】（1）方法一：因为， 所以． 方法二：令，则， 得， 所以 （2）方法一：由题意得． 因为是奇函数，所以， 即，解得． 故，． 方法二：因为是奇函数，所以，得， 故，． 18．（17分） 【详解】（1）由题意，当时，x=1，则， ……2分 于是，所以. ……6分 （2）由（1），，……14分 当且仅当时“=”成立. ……16分 所以，该厂家2021年的年促销费用投入2.5万元时，厂家利润最大.……17分 19． （17分） 【详解】（1）函数， 当时，由，得，则，……2分 由，得，即，则，……4分 所以，， 函数的解析式为.……5分 （2）在上单调递减，……6分 证明：、，，……7分 ， ……9分 由，得，，，则，……11分 即，所以函数在上单调递减. ……12分 （3）由（1）知，当时，，函数在上单调递减， 则函数在上单调递增， ……13分 当时，；当时，， 由任意的都有恒成立，得，， 则任意的都有，且恒成立， 因此对任意的恒成立， ……15分 而，，当且仅当时取等号，则， ……17分 所以实数的取值范围是. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $