第42讲 成对数据的统计相关性专项训练-2027届高三数学一轮复习

第42讲 成对数据的统计相关性 目　　录 模拟·基础演练 2 题型01 相关关系的判断 （重） 2 题型02 样本相关系数 重难 6 题型03 经验回归方程与预测 重难 10 题型04 残差与非线性回归 重难 15 题型05 决定系数与模型比较 重难 19 重难·创新演练 21 真题·实战演练 25 模拟·基础演练 考查重点：相关系数与经验回归方程 考点聚焦：散点图与正相关、负相关的直观判断 ▶ 题型01 相关关系的判断 一、单选题 1．某班统计了 名学生的数学成绩与物理成绩，散点图显示点大致沿一条从左下到右上的直线分布，则这两个变量（　　） A．正相关 B．负相关 C．不相关 D．是函数关系 【答案】A 【分析】点云从左下到右上为正相关。 【详解】点云从左下方向右上方分布，说明数学成绩高时物理成绩也趋于高； 符合正相关特征，且点不严格在直线上，不是函数关系； 所以选 A． 2．下列两个变量之间的关系中，属于负相关的是（　　） A．气温与空调销量 B．商品价格与销售量 C．学习时间与考试成绩 D．身高与体重 【答案】B 【分析】价格越高销量越低，属于负相关。 【详解】A、C、D 各项两个变量一般同向变化，属于正相关； B 项价格越高销量越低，属于负相关，选 B． 3．某地区统计发现“空调销量”与“中暑人数”都随气温升高而增加，下列说法正确的是（　　） A．空调销量增加导致中暑人数增加 B．两者正相关，但不能说明因果关系 C．两者负相关 D．两者没有任何关系 【答案】B 【分析】同步增加是正相关，因果需另行判断。 【详解】两者都随气温升高而增加，属于正相关，C、D 错误；相关不等于因果，A 错误；只能说明两者正相关，不能说明因果关系，故选 B． 4．下列两个变量之间的关系中，属于相关关系的是（　　） A．正方形的边长与面积 B．匀速直线运动中路程与时间 C．人的身高与体重 D．圆的半径与周长 【答案】C 【分析】函数关系是确定性的，相关关系是非确定性的，据此区分。 【详解】A 中面积由边长唯一确定，是函数关系； B 中路程与时间成正比，是函数关系； D 中周长由半径唯一确定，是函数关系； C 中身高与体重有联系，但相同身高的人体重不完全相同，属于相关关系． 故选 C． 5．某组数据的散点图显示，随着 的增大， 先增大后减小，各点明显地呈曲线趋势．则下列说法正确的是（　　） A．两个变量正相关 B．两个变量负相关 C．两个变量不相关 D．不能用样本相关系数刻画二者的相关程度 【答案】D 【分析】样本相关系数只刻画线性相关的强弱，曲线趋势不宜用它刻画。 【详解】散点呈先增后减的曲线趋势，说明两个变量之间不是线性相关关系， 既不能简单说成正相关，也不能说成负相关，更不是不相关． 样本相关系数 只度量线性相关的强弱，此时用它刻画二者的相关程度并不合适． 故选 D． 6．某地区统计了近 年居民人均可支配收入 （万元）与恩格尔系数 ，散点图中的点大致沿一条从左上到右下的直线分布，则 与 （　　） A．正相关 B．负相关 C．不相关 D．具有函数关系 【答案】B 【分析】散点自左上向右下分布，说明一个变量增大时另一个变量总体减小。 【详解】散点图中的点大致沿从左上到右下的直线分布， 说明随着 的增大， 总体呈减小趋势，故两个变量负相关． 收入与恩格尔系数之间不是确定性的函数关系，D 错误． 故选 B． 二、多选题 1．关于相关关系，下列说法正确的是（　　） A．相关关系是一种不确定的依赖关系 B．函数关系是一种确定的依赖关系 C．两个变量相关就一定存在因果关系 D．散点图可以直观判断相关关系的方向 【答案】ABD 【分析】逐项对照相关关系与函数关系的区别。 【详解】相关关系不能由一方唯一确定另一方，A 正确； 函数关系中一方由另一方唯一确定，B 正确； 相关不等于因果，C 错误； 散点图能直观看出正负相关，D 正确．故选 ABD． 2．下列各组变量中，呈现正相关的是（　　） A．家庭收入与食品支出占比 B．汽车的行驶里程与轮胎磨损程度 C．商品价格与需求量 D．锻炼时长与体重（在不控制饮食的情况下） 【答案】B 【分析】同向变化才叫正相关。 【详解】收入越高，食品支出占比通常越低，A 为负相关；行驶里程越长，轮胎磨损越严重，B 为正相关；价格上涨需求量下降，C 为负相关；锻炼时长与体重的关系不确定，D 不一定正相关．故选 B． 3．关于相关关系，下列说法正确的是（　　） A．相关关系是一种非确定性关系 B．两个变量相关，不一定存在因果关系 C．样本相关系数 越大，两个变量的线性相关程度越强 D．散点图能帮助我们直观判断两个变量是否具有相关关系 【答案】ABD 【分析】抓住“非确定性”“相关不等于因果”“ 刻画强弱”三点判断。 【详解】相关关系中一个变量取值后，另一个变量的取值带有随机性，A 正确． 相关只说明两个变量有统计上的联系，未必有因果关系，B 正确． 线性相关程度由 刻画， 的相关程度比 强，故 C 错误． 散点图可以直观显示点的分布趋势，D 正确． 故选 ABD． 4．甲、乙、丙、丁四组数据的散点图特征如下：甲组各点几乎都在一条直线上；乙组各点比较分散，但仍有明显的上升趋势；丙组各点杂乱无章；丁组各点呈明显的曲线趋势．则下列说法正确的是（　　） A．甲组数据的线性相关程度最强 B．乙组的样本相关系数大于甲组 C．丙组的样本相关系数接近于 D．丁组不宜用样本相关系数刻画其相关程度 【答案】ACD 【分析】由散点的集中程度判断 的大小，由是否呈直线趋势判断能否用 刻画。 【详解】甲组各点几乎共线，线性相关程度最强，其 最接近 ，A 正确． 乙组点较分散， 小于甲组，B 错误． 丙组杂乱无章，几乎没有线性相关关系， 接近于 ，C 正确． 丁组呈曲线趋势， 不能反映其相关程度，D 正确． 故选 ACD． 行驶里程越大，轮胎磨损越严重，B 为正相关； 价格越高需求越低，C 为负相关； 锻炼时长与体重的关系不确定，D 不构成稳定正相关．故选 B． 三、填空题 1．某商店统计了 个月的某商品价格 与月销量 ，发现价格上升时销量下降，则 与 是________相关关系（填“正”或“负”）． 【答案】负 【分析】由变化方向判断。 【详解】价格 x 增大时销量 y 趋于减小，两者反向变化，故 x 与 y 是负相关关系． 2．已知变量 与 的 组数据满足 ，则 与 是________相关． 【答案】负 【分析】样本相关系数的分子为 ，其符号决定相关方向。 【详解】价格 x 增大时销量 y 趋于减小，两者反向变化，故 x 与 y 是负相关关系． 分母为正，故 的符号与 的符号相同． 由 得 ，故 与 负相关． 两个变量反向变化，属于负相关； 所以填“负”． 考点聚焦：相关系数 r 的公式、范围与强弱判断 ▶ 题型02 样本相关系数 一、单选题 1．已知两组数据的样本相关系数分别为 ，，则（　　） A．第一组线性相关更强 B．第二组线性相关更强 C．两组线性相关一样强 D．无法比较 【答案】A 【分析】比较绝对值。 【详解】，； 绝对值越大线性相关越强； 所以第一组更强，选 A． 2．若所有样本点都落在直线 上，则样本相关系数 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】完全正线性相关时 。 【详解】所有点都在斜率为正的直线上； 属于完全正线性相关， 且 ； 所以 ，选 C． 3．若两个变量的样本相关系数 ，则（　　） A．两个变量一定没有关系 B．两个变量没有线性相关关系，但可能有非线性相关 C．两个变量一定正相关 D．两个变量一定负相关 【答案】B 【分析】 只说明没有线性相关。 【详解】r 衡量的是线性相关程度； 只说明两个变量没有线性相关关系，仍可能存在非线性相关，故选 B． 4．已知变量 与 的样本相关系数为 ，若把每个 都变为 ， 不变，则新的样本相关系数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】样本相关系数对数据的平移和正比例伸缩不变。 【详解】设新变量 ，则 ，． 代入相关系数公式得 ． 故相关系数不变，选 B． 5．若两个变量的样本相关系数 ，则（　　） A．两个变量之间没有任何关系 B．两个变量之间不存在线性相关关系，但可能存在非线性关系 C．两个变量相互独立 D．两个变量负相关 【答案】B 【分析】 只度量线性相关， 只说明没有线性相关关系。 【详解】 表示两个变量之间不存在线性相关关系，但可能存在曲线相关等非线性关系，A 错误，B 正确． 不能推出两个变量相互独立，C 错误． 时既不正相关也不负相关，D 错误． 故选 B． 6．已知变量 与 的样本相关系数为 ，若把每个 都变为 ，则新的样本相关系数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】数据乘以负数时相关系数改变符号，但绝对值不变。 【详解】设 ，则 ． 代入得 ． 故选 B． 说明没有线性相关，但可能存在曲线相关； 所以选 B． 二、多选题 1．关于样本相关系数 ，下列说法正确的是（　　） A． 的取值范围是 B． 表示正相关 C． 越接近 ，线性相关程度越强 D． 的大小与变量的单位有关 【答案】ABC 【分析】逐项对照 的性质。 【详解】 的范围是 ，A 正确； 的符号表示正负相关，B 正确； 绝对值越接近 线性相关越强，C 正确； 是无量纲的，与单位无关，D 错误．故选 ABC． 2．已知三组数据的样本相关系数分别为 ，，，则（　　） A． 对应的线性相关最强 B． 对应的线性相关最弱 C． 与 的方向相反 D．三组数据的线性相关程度相同 【答案】ABC 【分析】按绝对值排序，按符号判方向。 【详解】，故 r2 对应的线性相关最强、r3 最弱，A、B 正确；r1 与 r2 符号相反，方向相反，C 正确；三组相关程度不同，D 错误．故选 ABC． 3．已知某组数据的样本相关系数 ，则下列说法正确的是（　　） A．两个变量负相关 B．两个变量的线性相关程度很强 C．若把每个 都加上 ， 不变 D．若把每个 都乘以 ， 仍为 【答案】ABC 【分析】由 的符号判断方向，由 判断强弱，再由线性变换对 的影响判断 C、D。 【详解】 说明两个变量负相关，A 正确． 接近 ，线性相关程度很强，B 正确． 数据平移不改变 ，C 正确． 都乘以 后， 变为 ，D 错误． 故选 ABC． 4．已知变量 与 的样本相关系数为 ，经验回归方程为 ，则下列说法正确的是（　　） A． 与 的符号相同 B．若 ，则所有样本点都在经验回归直线上 C．若 ，则 D． 的取值可以为 【答案】ABC 【分析】由 与 的公式比较符号，并结合 。 【详解】 与 的分子相同、分母为正，故二者符号相同，A 正确． 表示所有样本点共线且与回归直线重合，B 正确． 时分子为 ，故 ，C 正确． 由 知 不可能等于 ，D 错误． 故选 ABC． 、，方向相反，C 正确； 三组绝对值不同，相关程度不同，D 错误．故选 ABC． 三、填空题 1．已知 组数据的统计量为 ，，，则样本相关系数 ________． 【答案】 【分析】直接代入相关系数公式。 【详解】． 2．已知两个变量的样本相关系数 ，则 ________． 【答案】 【分析】 即决定系数，直接平方即可。 【详解】． 它表示在这组数据中， 的变异中约有 可以由 的变化来解释． ，所以 ． 考点聚焦：最小二乘求 a、b，回归直线必过样本中心 ▶ 题型03 经验回归方程与预测 一、单选题 1．已知 关于 的经验回归方程为 ，且样本中心点为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】回归直线过样本中心点。 【详解】把 代入 得 ； 所以 ，选 A． 2．已知 ，，，则经验回归方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由中心点求截距。 【详解】； 所以 ，选 A． 3．根据经验回归方程 ，当 时， 的预测值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接代入。 【详解】把 代入得 ，选 B． 4．已知变量 与 的样本相关系数 ， 的标准差 ， 的标准差 ，则经验回归方程 中 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用 直接计算。 【详解】由 得 ，选 A． 5．已知变量 与 的 组数据为 ，，，，，则 关于 的经验回归方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求样本中心点，再由最小二乘公式求 ，最后求 。 【详解】，． ， ， 故 ，． 所以经验回归方程为 ，选 A． 6．某商品的广告费用 （万元）与销售额 （万元）的经验回归方程为 ，则下列说法正确的是（　　） A．广告费用为 万元时，销售额一定为 万元 B．广告费用为 万元时，销售额的预测值为 万元 C．广告费用每增加 万元，销售额一定增加 万元 D．该方程可以精确预测任意广告费用下的销售额 【答案】B 【分析】回归方程给出的是平均意义的预测值，不是确定值。 【详解】把 代入得 ，这只是销售额的预测值，实际销售额还受其他因素影响，A 错误，B 正确． 表示广告费用每增加 万元，销售额平均增加 万元，不是"一定"，C 错误． 回归方程只反映平均变化规律，不能精确预测，D 错误． 故选 B． 所以预测值为 ，选 B． 二、多选题 1．关于经验回归方程 ，下列说法正确的是（　　） A．回归直线一定经过样本中心点 B． 说明两个变量正相关 C． 表示 每增加 个单位， 平均变化 个单位 D．由回归方程求出的预测值一定等于实际值 【答案】ABC 【分析】逐项对照回归方程的性质。 【详解】回归直线过样本中心点，A 正确； 的符号与相关方向一致，B 正确； 是平均变化率，C 正确； 预测值只是估计，一般不等于实际值，D 错误．故选 ABC． 2．求经验回归方程时，下列说法正确的是（　　） A． 的分子是交叉偏差积之和 B． 的分母是 的偏差平方和 C．可以由 求截距 D． 的分母是 的偏差平方和 【答案】ABC 【分析】对照斜率公式。 【详解】b 的分子为 ∑̄ȳ)，A 正确；b 的分母为 ∑̄)²，B 正确、D 错误；截距可由 a=ȳ̄ 求得，C 正确．故选 ABC． 3．已知变量 与 的 组数据满足 ，，，，则下列说法正确的是（　　） A． B． C．经验回归方程为 D．当 时， 的预测值为 【答案】ABC 【分析】由最小二乘公式求 ，再由回归直线过样本中心点求 。 【详解】，A 正确． ，B 正确． 故经验回归方程为 ，C 正确． 当 时，，D 错误． 故选 ABC． 4．已知变量 与 的样本相关系数 ，经验回归方程为 ，则下列说法正确的是（　　） A．两个变量正相关 B． 每增加 个单位， 平均增加 个单位 C．当 时， 的预测值为 D．所有样本点都落在直线 上 【答案】ABC 【分析】由 判方向，由 的实际意义解释斜率，再代入预测；只有 时才全部落在回归直线上。 【详解】，两个变量正相关，A 正确． 表示 每增加 个单位， 平均增加 个单位，B 正确． 当 时，，C 正确． ，样本点不全在回归直线上，D 错误． 故选 ABC． 分母为 ，B 正确、D 错误； 截距由中心点公式求得，C 正确．故选 ABC． 三、填空题 1．已知一组数据的统计量为 ，，则 ________． 【答案】 【分析】斜率等于两个和之比。 【详解】． 2．已知变量 与 的样本中心点为 ，经验回归方程为 ，则 ________． 【答案】 【分析】经验回归直线必过样本中心点，代入即可。 【详解】． 故 ，解得 ． 代入得 ． 四、解答题 1．某企业统计了 个月的产品产量 （百件）与利润 （万元），数据为 ，，，，． (1) 求 关于 的经验回归方程； (2) 预测产量为 百件时的利润． 【答案】(1) ；(2) 13.3 万元 【分析】用最小二乘公式求 ，再由回归直线过样本中心点求 。 【详解】(1) ，，，， 故 ，，经验回归方程为 ． (2) 当 时，（万元）． 2．某企业统计了近 个月的产品产量 （百件）与利润 （万元），数据如下：，，，，． (1) 求 关于 的经验回归方程 ； (2) 预测产量为 百件时的利润； (3) 求这 个样本点的残差平方和． 【答案】(1) ；(2) 万元；(3) 【分析】先求样本中心点与 ，再求 ；残差为观测值减去预测值。 【详解】(1) ，． ， ， 故 ，． 所以经验回归方程为 ． (2) 当 时，， 即预测产量为 百件时的利润为 万元． (3) 各样本点的预测值依次为 ，，，，， 残差依次为 ，，，，， 故残差平方和为 ． 【答案】(1) 　(2) 万元 【分析】先求中心点，再用公式求斜率与截距。 【详解】，； ； ； ，； 所以 ； (2) 时 （万元）． 考点聚焦：残差分析、R² 与非线性转线性 ▶ 题型04 残差与非线性回归 一、单选题 1．某观测点的观测值为 ，由经验回归方程求得的预测值为 ，则该点的残差为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】残差等于观测值减预测值。 【详解】残差 ； 残差为正说明实际值高于预测值，选 B． 2．甲、乙两个模型对同一组数据的残差平方和分别为 与 ，则（　　） A．甲的拟合效果更好 B．乙的拟合效果更好 C．两者拟合效果相同 D．无法比较 【答案】A 【分析】残差平方和越小越好。 【详解】残差平方和越大，观测值与预测值整体偏差越大；甲为 2.4<3.6，拟合效果更好，故选 A． 3．某观测点的观测值为 ，由经验回归方程求得的预测值为 ，则该观测点的残差为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】残差等于观测值减去预测值。 【详解】残差 ，故选 A． 4．若残差图中的点比较均匀地分布在以横轴为中心的水平带状区域内，则（　　） A．模型的拟合效果较好 B．模型的拟合效果较差 C．两个变量一定线性相关 D．残差平方和一定为零 【答案】A 【分析】残差均匀分布在水平带状区域内，说明模型提取了主要规律，剩余为随机误差。 【详解】残差图中的点均匀分布在水平带状区域内，说明残差没有明显的规律性， 模型对数据的拟合效果较好，A 正确，B 错误． 残差均匀分布不能说明变量一定线性相关，C 错误． 残差平方和一般不为零，D 错误． 故选 A． ，甲的残差平方和更小； 所以甲拟合更好，选 A． 二、多选题 1．关于残差与残差分析，下列说法正确的是（　　） A．残差等于观测值减去预测值 B．残差图可以帮助判断模型是否合适 C．残差平方和越小，拟合效果越好 D．残差和为零说明拟合完美 【答案】ABC 【分析】逐项对照残差的定义与作用。 【详解】残差定义为 ，A 正确； 残差图看是否有规律，B 正确； 残差平方和越小拟合越好，C 正确； 残差和恒为零是回归的必然结果，D 错误．故选 ABC． 2．关于非线性回归的线性化，下列说法正确的是（　　） A． 两边取对数可化为线性关系 B． 令 可化为线性关系 C．线性化后求出方程还原时要注意取指数 D．线性化后可以直接把 当作 的预测值 【答案】ABC 【分析】逐项对照常见变换。 【详解】 两边取对数得 ，可化为线性关系，A 正确；形如 的模型令 可化为 的线性关系，B 正确；线性化求出方程后还原时要注意取指数，C 正确；lny 的预测值不能直接当作 y 的预测值，须取指数还原，D 错误．故选 ABC． 3．关于残差与残差分析，下列说法正确的是（　　） A．残差 B．残差平方和越小，模型的拟合效果越好 C．残差图中的点均匀分布在水平带状区域内，说明模型比较合适 D．残差平方和可能为负数 【答案】ABC 【分析】按残差定义、残差平方和的意义与残差图的用途判断。 【详解】残差等于观测值减去预测值，A 正确． 残差平方和越小，说明预测值与观测值越接近，拟合效果越好，B 正确． 残差图中的点均匀分布在水平带状区域内，说明残差近似为随机误差，模型比较合适，C 正确． 残差平方和是平方和，不可能为负数，D 错误． 故选 ABC． 4．关于非线性回归的线性化，下列说法正确的是（　　） A．对于 （），可令 将其化为线性关系 B．对于 （），可令 将其化为线性关系 C．对于 ，可令 将其化为线性关系 D．任何非线性回归模型都可以通过变量代换化为线性回归模型 【答案】ABC 【分析】逐个验证代换后是否成为 的形式。 【详解】A 中两边取对数得 ，令 即为线性关系，正确． B 中令 得 ，为线性关系，正确． C 中令 得 ，为线性关系，正确． 并非所有非线性模型都能线性化（如 ），D 错误． 故选 ABC． 令 化为线性，B 正确； 还原时必须取指数，C 正确； 是中间变量，不是 的预测值，D 错误．故选 ABC． 三、填空题 1．某组数据的观测值依次为 ，，，，，由经验回归方程求得的预测值依次为 ，，，，，则这组数据的残差平方和为________． 【答案】 【分析】残差等于观测值减预测值，再求平方和。 【详解】残差依次为 ，，，，； 平方依次为 ，，，，； 残差平方和为 ． 2．已知变量 与 满足 ，令 后得到经验回归方程 ，则 关于 的经验回归方程为________． 【答案】 【分析】取指数还原，注意 、。 【详解】由 得 ；因 ，，故 ． 3．某组数据的观测值依次为 ，由经验回归方程求得的预测值依次为 ，则这组数据的残差平方和为________． 【答案】 【分析】先逐项求残差，再求平方和。 【详解】由 得 ；因 ，，故 ． 故残差平方和为 ． 4．已知变量 关于 的经验回归方程为 ，令 ，则 关于 的经验回归方程为________． 【答案】 【分析】两边取自然对数，把指数模型化为线性模型。 【详解】对 两边取自然对数得 ，即 ． 取指数得 ； 其中 ，； 所以 ． 四、解答题 1．某研究收集了变量 与 的 组数据 ，，，．经分析， 与 近似成线性关系． (1) 令 ，求 关于 的经验回归方程； (2) 求 关于 的经验回归方程，并预测 时 的值． 【答案】(1) ；(2) ， 时 【分析】先对 做线性回归，再把 换回 。 【详解】(1) 的取值为 1，2，3，4，，，，， 故 ，，即 ． (2) 回代 得 ；当 时 ． 2．某研究收集了变量 与 的 组数据：，，，．现用两个模型拟合这组数据： 模型一：；模型二：． (1) 求模型一的残差平方和； (2) 求模型二的残差平方和； (3) 判断哪个模型的拟合效果更好，并说明理由． 【答案】(1) ；(2) ；(3) 模型一更好，因为其残差平方和更小 【分析】分别计算预测值与残差，再比较残差平方和；残差平方和越小拟合越好。 【详解】(1) 模型一的预测值依次为 ，，，， 残差依次为 ，，，， 故残差平方和为 ． (2) 模型二的预测值依次为 ，，，， 残差依次为 ，，，， 故残差平方和为 ． (3) 因为 ，即模型一的残差平方和更小， 说明模型一的预测值与观测值更接近，故模型一的拟合效果更好． 考点聚焦：R² 表示解释变异的比例，越接近 1 拟合越好 ▶ 题型05 决定系数与模型比较 一、单选题 1．某回归模型的决定系数 ，说明（　　） A．模型解释了 的变异 B．预测准确率为 C．相关系数为 D．残差平方和为 【答案】A 【分析】 是“被解释的变异占总变异的比例”。 【详解】 表示模型解释了 的变异， 故选 A． 2．比较两个回归模型，，，则（　　） A．模型 拟合更好 B．模型 拟合更好 C．两者一样 D．无法比较 【答案】A 【分析】同一组数据下 越大拟合越好。 【详解】， 故模型 拟合更好． 故选 A． 二、多选题 1．关于决定系数 ，下列说法正确的是（　　） A． B． 可以为负数 C． 越大，模型拟合效果越好 D．一元线性回归中 【答案】ACD 【分析】 由残差平方和定义，取值不超过 1。 【详解】A、C 是定义与性质； 一元线性回归中 ，D 正确； 不会为负，B 错误． 故选 ACD． 三、填空题 1．一元线性回归中样本相关系数 ，则决定系数 ________． 【答案】 【分析】。 【详解】． 四、解答题 1．某研究得到两个回归模型的残差平方和分别为 与 ，总平方和为 ，分别求 并比较优劣． (1) 分别计算两个 ； (2) 比较并下结论． 【答案】 与 ，第一个模型更好 【分析】。 【详解】，． ，故第一个模型拟合更好． 【答案】(1) 　(2) ，预测值为 【分析】先换元线性化，求线性回归后再回代。 【详解】 的取值为 ，，，，所以 ，； ； ； ，； (1) 所以 ； (2) 回代 得 ； 时 ． 重难·创新演练 一、单选题 设题创新：模型选择与非线性还原 1．某公司统计了近 年的年研发投入 （百万元）与年利润 （百万元），数据为 ，，，．经分析 与 满足 ． (1) 令 ，求 关于 的经验回归方程（参考数据：，）； (2) 求 关于 的经验回归方程，并预测第 年的利润． 【答案】(1) 　(2) ，预测 百万元 【分析】取对数后按线性回归求参数，再取指数还原。 【详解】 的取值为 ，，，，依次约为 ，，，； ，； ，； ，； 所以 ； (2) 取指数得 ； 时 （百万元）． 2．某班甲、乙两名同学分别用两个模型拟合同一组数据，得到残差平方和分别为 ，，且甲模型残差的绝对值最大为 ，乙模型残差的绝对值最大为 ． (1) 仅由残差平方和能否判断哪个模型更好？说明理由； (2) 结合残差的最大绝对值，应选择哪个模型？为什么？ 【答案】(1) 不能，两者残差平方和相同　(2) 选乙模型，其残差波动更均匀 【分析】残差平方和相同时要看残差的分布是否均匀。 【详解】(1) 两个模型的残差平方和都等于 ，单看这一指标无法区分； (2) 甲模型残差绝对值最大为 ，说明存在偏差很大的点； 乙模型残差绝对值最大仅 ，各点偏差都比较小且均匀； 所以应选乙模型，说明残差分析还要看分布而不能只看平方和． 3．已知变量 与 的 组数据为 ，，，，． (1) 求样本相关系数 （精确到 ）； (2) 判断 与 的线性相关程度，并求经验回归方程． 【答案】(1) ；(2) x 与 y 的线性相关程度很强， 【分析】相关系数 等于分子除以两平方和的几何平均；再按最小二乘求回归方程。 【详解】(1) ，，，，， 故 ． (2) 因 接近 1，故线性相关程度很强．又 ，， 经验回归方程为 ． 4．某商场统计了近 个月的月销售额 （十万元）与月利润 （万元），数据如下：，，，，． (1) 求 关于 的经验回归方程； (2) 预测月销售额为 （十万元）时的月利润； (3) 求这 个样本点的残差平方和，并说明该回归方程的拟合效果． 【答案】(1) ；(2) 万元；(3) 残差平方和为 ，拟合效果较好 【分析】先求样本中心点与 ；再代入预测；残差平方和越小拟合越好。 【详解】(1) ，． ， ， 故 ，． 所以经验回归方程为 ． (2) 当 时，，即预测月利润为 万元． (3) 各样本点的预测值依次为 ，，，，， 残差依次为 ，，，，， 故残差平方和为 ． 残差绝对值都不超过 ，且正负交替、无明显规律，说明拟合效果较好． 5．某地区研究发现，某种商品的月销量 （百件）与价格 （元）近似满足 ．对 取自然对数得 ，由样本数据算得 ，，，． (1) 求 关于 的经验回归方程； (2) 求 关于 的经验回归方程； (3) 预测价格 元时的月销量． 【答案】(1) ；(2) ；(3) 百件 【分析】(1) 对线性化后的数据用最小二乘公式；(2) 把 还原为 ；(3) 代入方程计算。 【详解】(1) ， ， 故 ． (2) 由 得 ， 即 关于 的经验回归方程为 （此即 ，）． (3) 当 时，， 即预测价格为 元时月销量为 百件． 6．某班甲、乙两名同学分别用两个模型拟合同一组 个数据，得到残差如下： 甲模型：，，，，； 乙模型：，，，，． 已知该组数据的 ，． (1) 分别求两个模型的残差平方和； (2) 判断哪个模型的拟合效果更好，并说明理由； (3) 求甲模型的决定系数 （精确到 ）． 【答案】(1) 甲：，乙：；(2) 甲模型更好，理由见解析；(3) 【分析】(1) 残差平方和即各残差平方之和；(2) 比较残差平方和；(3) 注意 ，其中 为残差平方和， 为总平方和。 【详解】(1) 甲模型的残差平方和为 ； 乙模型的残差平方和为 ． (2) 因为 ，甲模型的残差平方和更小， 说明甲模型的预测值与观测值更接近，故甲模型的拟合效果更好． (3) 总平方和为 ，故 ， 即 的变异中约有 可以由 解释． 【答案】(1) 　(2) 线性相关很强， 【分析】按公式求 ，再用同一组统计量求回归系数。 【详解】，； ； ，； (1) ； (2) 接近 ，线性相关很强； ，； 所以 ． 真题·实战演练 一、单选题 高频考点：相关性与回归的高考真题 1．若两个变量的样本相关系数 ，则（　　） A．正相关，且线性相关程度很强 B．负相关，且线性相关程度很强 C．负相关，且线性相关程度很弱 D．不相关 【答案】B 【分析】符号定方向，绝对值定强弱。 【详解】，两个变量负相关； 接近 ，线性相关程度很强； 所以选 B． 2．已知 关于 的经验回归方程为 ，样本中心点的横坐标为 ，则样本中心点的纵坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】回归直线过样本中心点。 【详解】把 代入 得 ； 所以样本中心点为 ，选 C． 3．某组数据的残差平方和为 ，若换用另一个模型后残差平方和变为 ，则（　　） A．原模型拟合效果更好 B．新模型拟合效果更好 C．两个模型一样好 D．无法比较 【答案】A 【分析】残差平方和越小越好。 【详解】原模型的残差平方和为 2.4，新模型为 3.6；2.4<3.6，残差平方和越小拟合效果越好，故原模型拟合效果更好，选 A． 4．已知两个变量的样本相关系数 ，则（　　） A．两个变量正相关，且线性相关程度较弱 B．两个变量负相关，且线性相关程度较强 C．两个变量负相关，且线性相关程度较弱 D．两个变量不相关 【答案】B 【分析】 的符号定方向， 的大小定强弱。 【详解】，两个变量负相关． 接近 ，线性相关程度较强． 故选 B． 5．已知 关于 的经验回归方程为 ，则当 时， 的预测值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把 直接代入经验回归方程。 【详解】将 代入得 ， 即 的预测值为 ，选 B． 6．某观测点的观测值为 ，由经验回归方程求得的预测值为 ，则该观测点的残差为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】残差等于观测值减去预测值，注意符号。 【详解】残差 ，故选 A． ，原模型的残差平方和更小； 所以原模型拟合更好，选 A． 二、多选题 1．关于相关关系与回归分析，下列说法正确的是（　　） A．样本相关系数 的绝对值越接近 ，线性相关程度越强 B．经验回归直线一定经过样本中心点 C．相关关系不一定是因果关系 D．残差平方和越大，模型拟合越好 【答案】ABC 【分析】逐项对照概念。 【详解】 越接近 线性相关越强，A 正确； 回归直线过样本中心点，B 正确； 相关不等于因果，C 正确； 残差平方和越小拟合越好，D 错误．故选 ABC． 2．关于一元线性回归模型，下列说法正确的是（　　） A． 时两个变量正相关 B． 表示 每增加 个单位 的平均变化量 C．由 可以求截距 D．预测值一定等于实际观测值 【答案】ABC 【分析】逐项对照回归系数的意义。 【详解】b 的符号与相关方向一致， 时正相关，A 正确；b 表示 x 每增加 1 个单位时 y 的平均变化量，B 正确；截距可由 求得，C 正确；预测值与实际观测值一般不等，D 错误．故选 ABC． 3．关于相关关系与回归分析，下列说法正确的是（　　） A．样本相关系数 满足 B． 越接近 ，两个变量的线性相关程度越强 C．两个变量相关，不一定存在因果关系 D．经验回归直线一定经过所有的样本点 【答案】ABC 【分析】由 的范围、强弱标准、相关与因果的区别以及回归直线的性质判断。 【详解】由相关系数的性质知 ，A 正确． 越接近 ，线性相关程度越强，B 正确． 相关关系不等于因果关系，C 正确． 经验回归直线只经过样本中心点 ，一般不过所有样本点，D 错误． 故选 ABC． 4．关于一元线性回归模型与残差，下列说法正确的是（　　） A．残差平方和越小，模型的拟合效果越好 B．经验回归直线一定经过样本中心点 C．若所有样本点都在经验回归直线上，则残差平方和为 D．残差平方和越大，说明两个变量的线性相关程度越强 【答案】ABC 【分析】逐项用残差平方和的意义与回归直线的性质判断。 【详解】残差平方和越小，拟合效果越好，A 正确． 经验回归直线必过样本中心点，B 正确． 所有样本点都在回归直线上时，每个残差都为 ，残差平方和为 ，C 正确． 残差平方和越大说明拟合越差，与线性相关程度强弱无必然联系，D 错误． 故选 ABC． 是平均变化率，B 正确； 截距由中心点公式求得，C 正确； 预测只是估计，一般不等于观测值，D 错误．故选 ABC． 三、填空题 1．已知一组数据的统计量为 ，，则 ________． 【答案】 【分析】斜率等于两个和之比。 【详解】． 2．已知变量 与 的样本中心点为 ，经验回归方程为 ，则 ________． 【答案】 【分析】回归直线过样本中心点，代入求 。 【详解】． 故 ． 代入得 ． 四、解答题 1．某商场统计了 天的气温 （摄氏度）与某饮料销量 （百瓶），数据为 ，，，，． (1) 求 关于 的经验回归方程； (2) 若某天气温为 摄氏度，预测该饮料的销量（精确到 百瓶）． 【答案】(1) 　(2) 约 百瓶 【分析】先求中心点，再求斜率与截距。 【详解】，； ； ； ，； 所以 ； (2) 时 （百瓶）． 2．某厂用两个模型拟合产品的产量与成本数据，模型一的残差依次为 ，，，，，模型二的残差依次为 ，，，，． (1) 分别求两个模型的残差平方和； (2) 判断哪个模型的拟合效果更好，并说明理由． 【答案】(1) 模型一的残差平方和为 ，模型二为 ；(2) 模型一的拟合效果更好 【分析】残差平方和越小，拟合效果越好。 【详解】(1) 模型一：； 模型二：． (2) 因 ，即模型一的残差平方和更小，故模型一的拟合效果更好． 3．某公司统计了近 个月的月广告投入 （万元）与月销售额 （万元），数据如下：，，，，． (1) 求 关于 的经验回归方程； (2) 预测月广告投入为 万元时的月销售额； (3) 求这 个样本点的残差平方和． 【答案】(1) ；(2) 万元；(3) 【分析】先求 与 ，再求 ；残差为观测值减预测值。 【详解】(1) ，． ， ， 故 ，． 所以经验回归方程为 ． (2) 当 时，，即预测月销售额为 万元． (3) 各样本点的预测值依次为 ，，，，， 残差依次为 ，，，，， 故残差平方和为 ． 4．某研究小组对同一组 个数据用两个模型进行拟合，已知 ，，模型一的残差平方和为 ，模型二的残差平方和为 ． (1) 判断哪个模型的拟合效果更好，并说明理由； (2) 求模型一的决定系数 ； (3) 求模型二的决定系数 ，并说明其含义． 【答案】(1) 模型一更好，理由见解析；(2) ；(3) ，含义见解析 【分析】残差平方和越小拟合越好；由 计算，其中 为残差平方和， 为总平方和。 【详解】(1) 因为 ，模型一的残差平方和更小， 说明模型一的预测值与观测值更接近，故模型一的拟合效果更好． (2) 总平方和为 ， 故模型一的决定系数 ． (3) 模型二的决定系数 ， 它表示在 的总变异中，约有 可以由模型二所反映的 的变化来解释， 其余约 的变异由其他因素或随机误差引起． 【答案】(1) 模型一 ，模型二 　(2) 模型一更好 【分析】残差平方和越小拟合越好。 【详解】(1) 模型一的残差平方和为 ； 模型二的残差平方和为 ； (2) 因为 ，模型一的残差平方和更小； 残差平方和越小说明观测值与预测值越接近，所以模型一的拟合效果更好． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第42讲 成对数据的统计相关性 目　　录 模拟·基础演练 2 题型01 相关关系的判断 （重） 2 题型02 样本相关系数 重难 3 题型03 经验回归方程与预测 重难 6 题型04 残差与非线性回归 重难 8 题型05 决定系数与模型比较 重难 10 重难·创新演练 12 真题·实战演练 14 模拟·基础演练 考查重点：相关系数与经验回归方程 考点聚焦：散点图与正相关、负相关的直观判断 ▶ 题型01 相关关系的判断 一、单选题 1．某班统计了 名学生的数学成绩与物理成绩，散点图显示点大致沿一条从左下到右上的直线分布，则这两个变量（　　） A．正相关 B．负相关 C．不相关 D．是函数关系 2．下列两个变量之间的关系中，属于负相关的是（　　） A．气温与空调销量 B．商品价格与销售量 C．学习时间与考试成绩 D．身高与体重 3．某地区统计发现“空调销量”与“中暑人数”都随气温升高而增加，下列说法正确的是（　　） A．空调销量增加导致中暑人数增加 B．两者正相关，但不能说明因果关系 C．两者负相关 D．两者没有任何关系 4．下列两个变量之间的关系中，属于相关关系的是（　　） A．正方形的边长与面积 B．匀速直线运动中路程与时间 C．人的身高与体重 D．圆的半径与周长 5．某组数据的散点图显示，随着 的增大， 先增大后减小，各点明显地呈曲线趋势．则下列说法正确的是（　　） A．两个变量正相关 B．两个变量负相关 C．两个变量不相关 D．不能用样本相关系数刻画二者的相关程度 6．某地区统计了近 年居民人均可支配收入 （万元）与恩格尔系数 ，散点图中的点大致沿一条从左上到右下的直线分布，则 与 （　　） A．正相关 B．负相关 C．不相关 D．具有函数关系 二、多选题 1．关于相关关系，下列说法正确的是（　　） A．相关关系是一种不确定的依赖关系 B．函数关系是一种确定的依赖关系 C．两个变量相关就一定存在因果关系 D．散点图可以直观判断相关关系的方向 2．下列各组变量中，呈现正相关的是（　　） A．家庭收入与食品支出占比 B．汽车的行驶里程与轮胎磨损程度 C．商品价格与需求量 D．锻炼时长与体重（在不控制饮食的情况下） 3．关于相关关系，下列说法正确的是（　　） A．相关关系是一种非确定性关系 B．两个变量相关，不一定存在因果关系 C．样本相关系数 越大，两个变量的线性相关程度越强 D．散点图能帮助我们直观判断两个变量是否具有相关关系 4．甲、乙、丙、丁四组数据的散点图特征如下：甲组各点几乎都在一条直线上；乙组各点比较分散，但仍有明显的上升趋势；丙组各点杂乱无章；丁组各点呈明显的曲线趋势．则下列说法正确的是（　　） A．甲组数据的线性相关程度最强 B．乙组的样本相关系数大于甲组 C．丙组的样本相关系数接近于 D．丁组不宜用样本相关系数刻画其相关程度 三、填空题 1．某商店统计了 个月的某商品价格 与月销量 ，发现价格上升时销量下降，则 与 是________相关关系（填“正”或“负”）． 2．已知变量 与 的 组数据满足 ，则 与 是________相关． 考点聚焦：相关系数 r 的公式、范围与强弱判断 ▶ 题型02 样本相关系数 一、单选题 1．已知两组数据的样本相关系数分别为 ，，则（　　） A．第一组线性相关更强 B．第二组线性相关更强 C．两组线性相关一样强 D．无法比较 2．若所有样本点都落在直线 上，则样本相关系数 （　　） A． B． C． D． 3．若两个变量的样本相关系数 ，则（　　） A．两个变量一定没有关系 B．两个变量没有线性相关关系，但可能有非线性相关 C．两个变量一定正相关 D．两个变量一定负相关 4．已知变量 与 的样本相关系数为 ，若把每个 都变为 ， 不变，则新的样本相关系数为（　　） A． B． C． D． 5．若两个变量的样本相关系数 ，则（　　） A．两个变量之间没有任何关系 B．两个变量之间不存在线性相关关系，但可能存在非线性关系 C．两个变量相互独立 D．两个变量负相关 6．已知变量 与 的样本相关系数为 ，若把每个 都变为 ，则新的样本相关系数为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 1．关于样本相关系数 ，下列说法正确的是（　　） A． 的取值范围是 B． 表示正相关 C． 越接近 ，线性相关程度越强 D． 的大小与变量的单位有关 2．已知三组数据的样本相关系数分别为 ，，，则（　　） A． 对应的线性相关最强 B． 对应的线性相关最弱 C． 与 的方向相反 D．三组数据的线性相关程度相同 3．已知某组数据的样本相关系数 ，则下列说法正确的是（　　） A．两个变量负相关 B．两个变量的线性相关程度很强 C．若把每个 都加上 ， 不变 D．若把每个 都乘以 ， 仍为 4．已知变量 与 的样本相关系数为 ，经验回归方程为 ，则下列说法正确的是（　　） A． 与 的符号相同 B．若 ，则所有样本点都在经验回归直线上 C．若 ，则 D． 的取值可以为 三、填空题 1．已知 组数据的统计量为 ，，，则样本相关系数 ________． 2．已知两个变量的样本相关系数 ，则 ________． 考点聚焦：最小二乘求 a、b，回归直线必过样本中心 ▶ 题型03 经验回归方程与预测 一、单选题 1．已知 关于 的经验回归方程为 ，且样本中心点为 ，则 （　　） A． B． C． D． 2．已知 ，，，则经验回归方程为（　　） A． B． C． D． 3．根据经验回归方程 ，当 时， 的预测值为（　　） A． B． C． D． 4．已知变量 与 的样本相关系数 ， 的标准差 ， 的标准差 ，则经验回归方程 中 的值为（　　） A． B． C． D． 5．已知变量 与 的 组数据为 ，，，，，则 关于 的经验回归方程为（　　） A． B． C． D． 6．某商品的广告费用 （万元）与销售额 （万元）的经验回归方程为 ，则下列说法正确的是（　　） A．广告费用为 万元时，销售额一定为 万元 B．广告费用为 万元时，销售额的预测值为 万元 C．广告费用每增加 万元，销售额一定增加 万元 D．该方程可以精确预测任意广告费用下的销售额 二、多选题 1．关于经验回归方程 ，下列说法正确的是（　　） A．回归直线一定经过样本中心点 B． 说明两个变量正相关 C． 表示 每增加 个单位， 平均变化 个单位 D．由回归方程求出的预测值一定等于实际值 2．求经验回归方程时，下列说法正确的是（　　） A． 的分子是交叉偏差积之和 B． 的分母是 的偏差平方和 C．可以由 求截距 D． 的分母是 的偏差平方和 3．已知变量 与 的 组数据满足 ，，，，则下列说法正确的是（　　） A． B． C．经验回归方程为 D．当 时， 的预测值为 4．已知变量 与 的样本相关系数 ，经验回归方程为 ，则下列说法正确的是（　　） A．两个变量正相关 B． 每增加 个单位， 平均增加 个单位 C．当 时， 的预测值为 D．所有样本点都落在直线 上 三、填空题 1．已知一组数据的统计量为 ，，则 ________． 2．已知变量 与 的样本中心点为 ，经验回归方程为 ，则 ________． 四、解答题 1．某企业统计了 个月的产品产量 （百件）与利润 （万元），数据为 ，，，，． (1) 求 关于 的经验回归方程； (2) 预测产量为 百件时的利润． 2．某企业统计了近 个月的产品产量 （百件）与利润 （万元），数据如下： ，，，，． (1) 求 关于 的经验回归方程 ； (2) 预测产量为 百件时的利润； (3) 求这 个样本点的残差平方和． 考点聚焦：残差分析、R² 与非线性转线性 ▶ 题型04 残差与非线性回归 一、单选题 1．某观测点的观测值为 ，由经验回归方程求得的预测值为 ，则该点的残差为（　　） A． B． C． D． 2．甲、乙两个模型对同一组数据的残差平方和分别为 与 ，则（　　） A．甲的拟合效果更好 B．乙的拟合效果更好 C．两者拟合效果相同 D．无法比较 3．某观测点的观测值为 ，由经验回归方程求得的预测值为 ，则该观测点的残差为（　　） A． B． C． D． 4．若残差图中的点比较均匀地分布在以横轴为中心的水平带状区域内，则（　　） A．模型的拟合效果较好 B．模型的拟合效果较差 C．两个变量一定线性相关 D．残差平方和一定为零 二、多选题 1．关于残差与残差分析，下列说法正确的是（　　） A．残差等于观测值减去预测值 B．残差图可以帮助判断模型是否合适 C．残差平方和越小，拟合效果越好 D．残差和为零说明拟合完美 2．关于非线性回归的线性化，下列说法正确的是（　　） A． 两边取对数可化为线性关系 B． 令 可化为线性关系 C．线性化后求出方程还原时要注意取指数 D．线性化后可以直接把 当作 的预测值 3．关于残差与残差分析，下列说法正确的是（　　） A．残差 B．残差平方和越小，模型的拟合效果越好 C．残差图中的点均匀分布在水平带状区域内，说明模型比较合适 D．残差平方和可能为负数 4．关于非线性回归的线性化，下列说法正确的是（　　） A．对于 （），可令 将其化为线性关系 B．对于 （），可令 将其化为线性关系 C．对于 ，可令 将其化为线性关系 D．任何非线性回归模型都可以通过变量代换化为线性回归模型 三、填空题 1．某组数据的观测值依次为 ，，，，，由经验回归方程求得的预测值依次为 ，，，，，则这组数据的残差平方和为________． 2．已知变量 与 满足 ，令 后得到经验回归方程 ，则 关于 的经验回归方程为________． 3．某组数据的观测值依次为 ，由经验回归方程求得的预测值依次为 ，则这组数据的残差平方和为________． 4．已知变量 关于 的经验回归方程为 ，令 ，则 关于 的经验回归方程为________． 四、解答题 1．某研究收集了变量 与 的 组数据 ，，，．经分析， 与 近似成线性关系． (1) 令 ，求 关于 的经验回归方程； (2) 求 关于 的经验回归方程，并预测 时 的值． 2．某研究收集了变量 与 的 组数据：，，，．现用两个模型拟合这组数据： 模型一：；模型二：． (1) 求模型一的残差平方和； (2) 求模型二的残差平方和； (3) 判断哪个模型的拟合效果更好，并说明理由． 考点聚焦：R² 表示解释变异的比例，越接近 1 拟合越好 ▶ 题型05 决定系数与模型比较 一、单选题 1．某回归模型的决定系数 ，说明（　　） A．模型解释了 的变异 B．预测准确率为 C．相关系数为 D．残差平方和为 2．比较两个回归模型，，，则（　　） A．模型 拟合更好 B．模型 拟合更好 C．两者一样 D．无法比较 二、多选题 1．关于决定系数 ，下列说法正确的是（　　） A． B． 可以为负数 C． 越大，模型拟合效果越好 D．一元线性回归中 三、填空题 1．一元线性回归中样本相关系数 ，则决定系数 ________． 四、解答题 1．某研究得到两个回归模型的残差平方和分别为 与 ，总平方和为 ，分别求 并比较优劣． (1) 分别计算两个 ； (2) 比较并下结论． 重难·创新演练 一、单选题 设题创新：模型选择与非线性还原 1．某公司统计了近 年的年研发投入 （百万元）与年利润 （百万元），数据为 ，，，．经分析 与 满足 ． (1) 令 ，求 关于 的经验回归方程（参考数据：，）； (2) 求 关于 的经验回归方程，并预测第 年的利润． 2．某班甲、乙两名同学分别用两个模型拟合同一组数据，得到残差平方和分别为 ，，且甲模型残差的绝对值最大为 ，乙模型残差的绝对值最大为 ． (1) 仅由残差平方和能否判断哪个模型更好？说明理由； (2) 结合残差的最大绝对值，应选择哪个模型？为什么？ 3．已知变量 与 的 组数据为 ，，，，． (1) 求样本相关系数 （精确到 ）； (2) 判断 与 的线性相关程度，并求经验回归方程． 4．某商场统计了近 个月的月销售额 （十万元）与月利润 （万元），数据如下： ，，，，． (1) 求 关于 的经验回归方程； (2) 预测月销售额为 （十万元）时的月利润； (3) 求这 个样本点的残差平方和，并说明该回归方程的拟合效果． 5．某地区研究发现，某种商品的月销量 （百件）与价格 （元）近似满足 ．对 取自然对数得 ，由样本数据算得 ，，，． (1) 求 关于 的经验回归方程； (2) 求 关于 的经验回归方程； (3) 预测价格 元时的月销量． 6．某班甲、乙两名同学分别用两个模型拟合同一组 个数据，得到残差如下： 甲模型：，，，，； 乙模型：，，，，． 已知该组数据的 ，． (1) 分别求两个模型的残差平方和； (2) 判断哪个模型的拟合效果更好，并说明理由； (3) 求甲模型的决定系数 （精确到 ）． 真题·实战演练 一、单选题 高频考点：相关性与回归的高考真题 1．若两个变量的样本相关系数 ，则（　　） A．正相关，且线性相关程度很强 B．负相关，且线性相关程度很强 C．负相关，且线性相关程度很弱 D．不相关 2．已知 关于 的经验回归方程为 ，样本中心点的横坐标为 ，则样本中心点的纵坐标为（　　） A． B． C． D． 3．某组数据的残差平方和为 ，若换用另一个模型后残差平方和变为 ，则（　　） A．原模型拟合效果更好 B．新模型拟合效果更好 C．两个模型一样好 D．无法比较 4．已知两个变量的样本相关系数 ，则（　　） A．两个变量正相关，且线性相关程度较弱 B．两个变量负相关，且线性相关程度较强 C．两个变量负相关，且线性相关程度较弱 D．两个变量不相关 5．已知 关于 的经验回归方程为 ，则当 时， 的预测值为（　　） A． B． C． D． 6．某观测点的观测值为 ，由经验回归方程求得的预测值为 ，则该观测点的残差为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 1．关于相关关系与回归分析，下列说法正确的是（　　） A．样本相关系数 的绝对值越接近 ，线性相关程度越强 B．经验回归直线一定经过样本中心点 C．相关关系不一定是因果关系 D．残差平方和越大，模型拟合越好 2．关于一元线性回归模型，下列说法正确的是（　　） A． 时两个变量正相关 B． 表示 每增加 个单位 的平均变化量 C．由 可以求截距 D．预测值一定等于实际观测值 3．关于相关关系与回归分析，下列说法正确的是（　　） A．样本相关系数 满足 B． 越接近 ，两个变量的线性相关程度越强 C．两个变量相关，不一定存在因果关系 D．经验回归直线一定经过所有的样本点 4．关于一元线性回归模型与残差，下列说法正确的是（　　） A．残差平方和越小，模型的拟合效果越好 B．经验回归直线一定经过样本中心点 C．若所有样本点都在经验回归直线上，则残差平方和为 D．残差平方和越大，说明两个变量的线性相关程度越强 三、填空题 1．已知一组数据的统计量为 ，，则 ________． 2．已知变量 与 的样本中心点为 ，经验回归方程为 ，则 ________． 四、解答题 1．某商场统计了 天的气温 （摄氏度）与某饮料销量 （百瓶），数据为 ，，，，． (1) 求 关于 的经验回归方程； (2) 若某天气温为 摄氏度，预测该饮料的销量（精确到 百瓶）． 2．某厂用两个模型拟合产品的产量与成本数据，模型一的残差依次为 ，，，，，模型二的残差依次为 ，，，，． (1) 分别求两个模型的残差平方和； (2) 判断哪个模型的拟合效果更好，并说明理由． 3．某公司统计了近 个月的月广告投入 （万元）与月销售额 （万元），数据如下： ，，，，． (1) 求 关于 的经验回归方程； (2) 预测月广告投入为 万元时的月销售额； (3) 求这 个样本点的残差平方和． 4．某研究小组对同一组 个数据用两个模型进行拟合，已知 ，，模型一的残差平方和为 ，模型二的残差平方和为 ． (1) 判断哪个模型的拟合效果更好，并说明理由； (2) 求模型一的决定系数 ； (3) 求模型二的决定系数 ，并说明其含义． / 学科网（北京）股份有限公司 $