第5讲 成对数据的统计分析专项训练（提高）-2027届高三数学一轮复习

成对数据的统计分析 相关关系、回归分析与独立性检验 相关关系与回归分析 提高档的回归题，解答题的骨架几乎是固定的：给一张数据表，先算相关系数判断相关强弱，再求经验回归方程，最后拿方程去预测。多出来的那一问通常是概率（条件概率、分布列、二项期望），统计这一半做对了，那一半就是本线前面几讲的复习。 真正要算的其实只有三个中间量：、、。前两个之比就是斜率 ；第一个与后两个乘积的开方之比就是相关系数 。所以只要把这三个量算准，剩下全是代公式。 这三个量不必一项一项硬算，常用两个化简式：，。当 的数值很大（比如年份 2016、2017……）时，先把 换成 1、2、3……这样的「年份代号」再算：斜率与截距的写法会变，但预测值不变，计算量却小得多。 用方程预测时，把 代进去就行；题目问「误差」，就是用预测值减去实际值再取绝对值。这里最容易错的一处是：代进方程的到底是「编号」还是「原始年份」，要看方程是用哪个建起来的 ——方程里带的是编号，就只能代编号。 除了相关系数，还有一个量常用来衡量拟合效果，叫决定系数 。 越接近 ，说明回归直线解释掉的波动越多、拟合得越好；越接近 ，说明拟合得越差。它与相关系数的关系是 ——所以两者是「同一个东西的两个说法」，只是一个管方向、一个只有大小。 最后是判断强弱的标准。有些题会给出判断尺度（比如 算强相关），照题目的标准答；没给标准时，一般说「 接近 （或接近 ），线性相关程度强」。另外，相关系数只衡量线性关系，用它下结论之前，要先确认散点图确实呈直线趋势 —— 否则算出来的数再大也没有意义。 例1（解答·★★★★☆） 某家超市连续5天的广告支出（万元）与销售额（万元）的数据如下： 第天 1 2 3 4 5 广告支出 2 4 5 6 8 销售额 20 30 60 60 80 （1）从这5天中随机抽取3天，记销售额不少于60万元的天数为，求的分布列及均值；（2）已知与线性相关，求出关于的经验回归方程，并预测广告支出为10万元时的销售额。附：经验回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， 【切入点】第一问是超几何分布（从 天里抽 天）；第二问是标准的回归流程，先算平均数、再算斜率与截距。 【关键】（1）五天中销售额不少于 万元的有 天，所以 的取值为 。，，，三者之和为 。。（2），。，。所以 ，，经验回归方程为 。当 时，（万元）。 【易错】一是第一问把样本空间当成 或其他组合数。二是算斜率时分子分母弄反（分子是 ）。三是把「预测广告支出为 万元时的销售额」代成别的数。 【答案】（1）分布列见解析，；（2）， 万元 变式1-1（解答·★★★★☆） 2016-2024年我国的国内生产总值（GDP）的数据（摘自《中国统计年鉴-2025》）如下： 年份（x） 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 GDP/万亿元（y） 74.64 83.20 91.93 98.65 101.36 114.92 120.47 129.43 134.91 由以上数据，得到x与y的9对样本数据为，，…，，有关计算结果如下：，，。（1）证明：；（2）请根据最小二乘法，求出一元线性回归方程，并计算出2025年的GDP预测值与实际值的误差。（注：从《中国统计年鉴-2025》中查得2025年的GDP为140.19万亿元。）附：一元线性回归方程，其中。 【切入点】第一问是纯代数变形（把离差乘积展开再合并）；第二问的年份数值很大，注意斜率与截距都会很大，这是正常的。 【关键】（1）把每个乘积展开：。逐项求和，后三项分别化为 、、，而 、，所以后三项合并为 。于是左边化简为 ，与右边相同，等式成立。（2）由（1）与题给数据，。把 代入 ，得 ，解得 。所以 。当 时，，所以 年的预测值为 万亿元，与实际值 万亿元的误差为 （万亿元）。 【易错】一是展开时漏项或把 的系数合并错（）。二是第二问把 代成 —— 方程里的 就是原始年份。三是截距带很多位小数就不敢写，其实这是年份数值大造成的正常结果。 【答案】（1）证明见解析；（2）， 万亿元 例2（解答·★★★★☆） 为研究昼夜温差（单位：）与某植物种子当日的百粒发芽数（单位：粒）之间的关系，实验室记录了6天的每日昼夜温差与种子当日的百粒发芽数，如下表所示： 日期编号 1 2 3 4 5 6 温差 9 13 11 15 10 14 百粒发芽数 23 28 26 31 25 29 （1）根据表中的数据，计算样本相关系数（精确到0.01）；（2）求百粒发芽数关于温差的经验回归方程，并估计昼夜温差为时，这种植物种子当日的百粒发芽数。参考公式：相关系数，，，参考数据：，，，。 【切入点】题面把三个中间量直接给了，所以两问都只是代公式；关键是别把 与 的公式用混。 【关键】（1）。（2），。，，所以 。当 时，，即估计百粒发芽数约为 粒。 【易错】一是算 时漏掉分母的一个根号（写成一个 就对）。二是把 的分子与 的分子搞混 —— 两者的分子相同，分母不同。三是最后没按题目要求取整（，估计值是 ）。 【答案】（1）；（2）， 变式2-1（解答·★★★★☆） 某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示： 特征量 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 2 5 8 9 11 12 10 8 8 7 （1）根据表中的数据，计算相关系数；（2）求特征量关于的线性回归方程，并预测当特征量为12时特征量的值。参考公式：相关系数，。参考数据：，，。 【切入点】题面给了两个开方后的量，先把「离差乘积和」算出来，两问就都能代公式。 【关键】，。，又题给 、，所以 。（2），，所以 。当 时，。 【易错】一是分母漏掉开方（题给的是「开方后」的值，直接相乘即可，若自己算 就要记得开方）。二是 里忘了「减去负数等于加上」。三是 的负号丢掉 —— 数据是下降趋势，相关系数必须是负的。 【答案】（1）；（2）， 变式2-2（解答·★★★★☆） 为深入贯彻“五育融合”的教育理念，某地在中小学全面推广劳动教育实践课程，定期统计学生参与劳动实践的情况，下表是课程开设后前5个月的数据，其中表示月份编号，表示该月份日平均参与劳动实践的学生人数（单位：万）。 月份编号 1 2 3 4 5 日平均参与人数 0.5 0.7 1 1.3 1.5 根据表格数据得到如图所示的散点图。 （1）根据散点图推断与是否线性相关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度；（2）由（1）所得结论，建立关于的回归方程，并预测第6个月的日平均参与人数；（3）假设第6个月（按30天计）的日参与人数（单位：万）服从正态分布，并视（2）的结果为的值，预测该月份日参与人数超过1.75万的天数是否不少于25天。附：①样本相关系数；②回归直线的斜率的最小二乘估计为；③；④若，则。 【切入点】散点图已经在图上，第一问先用眼睛确认「大致在一条直线附近」，再用公式算出 定量说明；后两问是回归预测加正态估计。 【关键】由表得 ，。（1）题给 、、，所以 ，，。，非常接近 ，说明 与 的线性相关程度强。（2），，所以 。当 时，（万人）。（3）由（2）取 ，标准差 ，则 。由 可知，这个月日参与人数超过 万的天数不会少于 天。 【易错】一是第一问把 里的系数 漏掉。二是第三问把 当成方差，或把「超过 」看成「小于 」。三是最后一问忘了把天数比例 化成小数再比较。 【答案】（1），线性相关程度强；（2），；（3）不少于 天 变式2-3（解答·★★★★☆） 近些年汽车市场发生了翻天覆地的变化，新能源汽车发展迅速，下表统计了2021年到2024年某地新能源汽车销量（单位：千辆） 年份 2021 2022 2023 2024 年份代号 1 2 3 4 销量 33 69 93 129 附：相关系数；回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，．（1）试根据样本相关系数的值判断该地汽车销量与年份代号的线性相关性强弱（，则认为与的线性相关性较强，，则认为与的线性相关性较弱）；（精确到0.001）（2）建立关于的线性回归方程，并预测该地2025年的新能源汽车销量。 【切入点】 是年份代号 ，先把 、 与两个化简量算齐，再代公式。 【关键】，。，所以 ；。（1），，所以 与 的线性相关性较强。（2），，所以 。 年对应的年份代号为 ，（千辆）。 【易错】一是 开方时把 的系数弄错（，配方后与 相乘时先约分更稳）。二是把 直接代进方程 —— 方程里的 是年份代号。三是判断强弱时忘了取绝对值。 【答案】（1）线性相关关系较强；（2）， 千辆 例3（解答·★★★★☆） 为了解学生初中升学的数学成绩对高一数学学习的影响，在高一年级随机抽取6名学生，对其入学的数学成绩（分）和高一第一学期期末考试数学成绩（分）进行了统计，如下表： 中考数学成绩 50 60 70 80 90 100 高一第一学期期末数学成绩 65 80 95 105 120 130 （1）规定高一期末数学成绩不低于90分为及格，不低于120分为优秀，从所抽取的6人中随机选取1人，记为“学生的高一第一学期期末数学成绩及格”，为“学生的高一第一学期期末数学成绩优秀”，求；（2）由散点图可知与之间具有线性相关关系，求关于的经验回归方程并估计某中考数学成绩为110分的学生高一第一学期期末考试的数学成绩（成绩保留整数，采用四舍五入法）。附：经验回归模型中，；参考数据：。 【切入点】第一问是条件概率（用频数直接数）；第二问给出了两个求和量，代化简式求斜率最省事。 【关键】（1）六人中期末成绩不低于 分的有 人，所以 ；其中不低于 分的有 人，所以 。于是 。（2），。，，所以 。当 时，，四舍五入得 分。 【易错】一是第一问把 的分母写成全体 人。二是化简式里 的 漏乘。三是最后一步忘了「成绩保留整数、四舍五入」的要求。 【答案】（1）；（2）， 分 变式3-1（解答·★★★★☆） 某科技公司统计了过去10年每年的研发投入（单位：亿元）和营业额（单位：亿元）的数据，如下表： /亿元 12.1 12.5 11.3 12.4 13.1 11.5 11.0 11.3 12.6 12.2 /亿元 650 680 620 660 695 640 600 630 665 660 （1）估计该公司平均每年的研发投入和平均每年的营业额；（2）求样本的相关系数（精确到0.01）；（3）已知与的关系可以用线性回归模型进行拟合，若该公司今年投入13.5亿元用于研发，利用该模型预测该公司今年的营业额。参考数据：，，。参考公式：相关系数。 【切入点】第一问数据都以 与 为基准上下浮动，用「基准加偏差的平均」算最快；第三问已经给了模型的形式，只需用中心点定出系数。 【关键】（1），。（2）题给 、、，所以 。（3）模型 过中心点 ，所以 ，解得 ，即 。当 时，（亿元）。 【易错】一是第一问硬加十个大数，容易算错；用「基准 + 偏差平均」既快又不易错。二是第二问的 忘了先乘再开方就取近似。三是第三问没看出「模型已给形式、只缺一个系数」，反而去套完整的最小二乘公式。 【答案】（1） 亿元、 亿元；（2）；（3） 亿元 独立性检验 提高档的独立性检验题，解答题的骨架是：给一张（或残缺的）列联表，按某个小概率值 做独立性检验，后面再接一问概率。要说清三件事 —— 零假设是什么、 算出来是多少、跟哪个临界值比。 写结论有固定的措辞。拒绝零假设时写：「依据 下做独立性检验，推断 不成立，即认为两个变量有关联，这一判断的失误率不超过 」；反过来则写「没有充分证据推断 不成立」。不要把「没有证据说有关」直接说成「一定无关」——这一处措辞的差别是评分点。 残缺的列联表怎么补？两条路。一是用合计倒推：某一行缺的数，等于该行合计减去已知的那个；二是用题目给的总体频率：比如「任选一人抗病虫害的概率为 」，就相当于某一列的合计占总数的 ，据此立方程。补完之后立刻验一遍：每一行、每一列的合计都要对得上。 算 时有几处最容易错。分母是四个边际合计相乘，不是四个格里的数；分子上的 是总样本量，很多同学会漏乘； 要整体平方，所以谁减谁不影响结果。算出来的数通常不整齐，题目一般只要求精确到小数点后三位或写约等号，这时不要因为「除不尽」就怀疑自己算错了。 最后一问的概率常见三类：在这一类的条件下问另一类（条件概率）、分层抽样后从中抽几个（超几何分布）、独立重复若干次（二项分布）。判断属于哪一类，只看三件事 —— 有没有放回、抽几次、问的是什么。 例4（解答·★★★★☆） 近年来，儿童近视问题日益严重，已成为影响儿童健康的重要问题之一，教育部提出了一系列措施，旨在通过学校、家庭和社会的共同努力，减少儿童近视的发生率。多项研究表明，每天增加户外活动时间可以显著降低儿童近视的发生率。为研究近视是否与户外活动时长有关，某学校数学兴趣小组采用简单随机抽样的方法调查了六年级的100名学生，其中有55名同学的户外活动时间超过2小时；100名同学中近视的学生有60人，这60人中每天户外活动时间不足2小时的有35人。（1）根据所给数据，得到成对样本数据的分类统计结果，完成以下列联表，依据小概率值的独立性检验，分析学生患近视与户外活动时间长短是否有关。 近视人数 未近视人数 合计 户外活动时间不足2小时 35 户外活动时间超过2小时 55 合计 60 （2）用频率估计概率，从已经近视的学生中采用随机抽样的方式选出1名学生，利用“物理十药物”治疗方案对该学生进行治疗。已知“物理+药物”治疗方案的治愈数据如下：在已近视的学生中，对每天户外活动时间超过2小时的学生的治愈率为，对每天户外活动时间不足2小时治愈率为，求近视学生被治愈的概率。参考公式与数据：，其中。 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【切入点】第一问的列联表是残缺的，用「合计倒推」补齐就行；第二问是两层的全概率（先分户外活动时长，再谈治愈率）。 【关键】（1）由「 名学生中近视 人、其中户外活动不足 小时的有 人」可把表补全：不足 小时一列合计为 人，超过 小时一列合计为 人；不足 小时里未近视的有 人，超过 小时里近视的有 人、未近视的有 人。于是 、、、，。。因为 ，所以在 下做独立性检验，推断学生近视与每天户外活动时间的长短有关联，这一判断的失误率不超过 。（2）设 为「该近视学生的户外活动时间超过 小时」、 为「不足 小时」，则 ，；治愈率分别为 与 。由全概率公式，。 【易错】一是补表时把「 名户外活动超过 小时」当成「未近视 人」。二是 的分母写成四个格里的数相乘。三是第二问直接在「全体近视学生」上用两个治愈率取平均，忘了按两类人数加权。 【答案】（1）有关；（2） 变式4-1（解答·★★★★☆） 2025年我国多地推广“碳普惠”体系，鼓励市民参与绿色出行获取低碳积分。某社区随机抽取100名居民调查绿色出行情况，得到如下列联表（绿色出行定义为“日常通勤采用公交、骑行、步行”）： 参与绿色出行 不参与绿色出行 总计 青年群体（不大于岁） 35 15 50 中老年群体（大于岁） 20 30 50 总计 55 45 100 （1）依据小概率值的独立性检验，分析参与绿色出行是否与年龄群体有关？（2）若市民甲前一天参与了绿色出行，则后一天参与绿色出行的概率为；若前一天没有参与绿色出行，则后一天参与绿色出行的概率为。如果市民甲第一天参与了绿色出行的概率为，分别求出他在第二天、第三天参与了绿色出行的概率。附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【切入点】第一问是常规的独立性检验；第二问是「今天参不参加」只与「昨天」有关的两状态递推，用全概率公式一天一天往后推。 【关键】（1）由表得 ，四格频数为 、、、。。因为 ，所以在 下做独立性检验，参与绿色出行的情况与年龄群体之间存在关联。（2）设 为「第 天参与」， 为其对立事件。已知 ，所以 。由全概率公式，，于是 。再推一天：。 【易错】一是第二问把 与 用反（「参与过的下一天继续参与」才是 ）。二是推到第三天时忘了先更新第二天的对立概率 。三是第一问的结论措辞不完整（没写「犯错误的概率不大于 」）。 【答案】（1）有关；（2）， 例5（解答·★★★★☆） 某电商研究中心为剖析国潮消费趋势，随机调查了该平台50名男性用户和50名女性用户，统计其对“国潮服饰类产品”的购买意愿（经常购买/不常购买），得到如下列联表： 经常购买 不常购买 男性用户 40 10 女性用户 30 20 （1）依据＝0.05的独立性检验，能否认为该平台男、女用户对国潮服饰类产品的购买意愿有差异？（2）从该平台的用户中任选一人，A表示事件“选到的人不常购买国潮服饰类产品”，B表示事件“选到的人为女性用户”，利用该调查数据，给出的估计值。附：。 0.050 0.010 0.005 k 3.841 6.635 7.879 【切入点】表格给了两行（男、女用户）两列（经常购买、不常购买），先把合计补出来，再算 ；第二问是两次条件概率。 【关键】由表得 。经常购买一列合计 ，不常购买一列合计 。（1）。因为 ，所以在 下做独立性检验，认为该平台购买国潮服饰类产品的意愿在男、女用户之间有差异。（2）设 为「选到的人不常购买」、 为「选到的人为女性」。先算 在 下的条件概率：。再算 在 （经常购买）下的条件概率：。 【易错】一是把 的分母写成 。二是 表示「经常购买」，它的合计是 而不是 之外的值。三是第二问算成 （条件与事件弄反）。 【答案】（1）有差异；（2）， 变式5-1（解答·★★★★☆） 为研究某校高三年级学生的身高是否与性别有关，现从学生群体中，随机测量了50名学生的身高，然后按“身高低于170cm”与“身高不低于170cm”分成两组，统计整理各组人数如下列联表（单位：人）。 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 男 8 24 32 女 12 6 18 合计 20 30 50 （1）依据的独立性检验，能否认为该学校高三年级学生的身高与性别有关联？（2）若从男生样本和女生样本中各选取一人，求两名学生身高不在同一组的概率。附：，其中。 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【切入点】表格已给全；第二问是「各取一人、问身高是否同组」，分成「都低于」与「都不低于」两大类。 【关键】（1）由表得 ，四格频数为 、、、。。因为 ，所以在 下做独立性检验，判定该学校高三学生的性别与身高存在关联。（2）从男生中取一人、女生中取一人，「不在同一组」包含「男生低于、女生不低于」与「男生不低于、女生低于」两类：。（也可用对立面：同组的概率为 ，所以不同组的概率为 。） 【易错】一是 里 正负不影响结果，不必纠结顺序。二是第二问只算了一类（漏掉「男生不低于、女生低于」）。三是把「不在同一组」当成「至少一人不低于」（那是另一回事）。 【答案】（1）有关联；（2） 例6（解答·★★★★☆） 某高校为制定针对性的阅读推广方案，从全校随机抽取400名大学生开展“纸质书阅读偏好”专项调查，收集到的性别与专业交叉数据如下表（单位：人）： 专业类型 阅读偏好 合计 喜欢阅读纸质书 不喜欢阅读纸质书 文科 150 120 270 理工科 50 80 130 合计 200 200 400 （1）依据的独立性检验，能否认为该校大学生“是否喜欢阅读纸质书”与“专业类型”有关？（2）从样本中“喜欢阅读纸质书”的大学生里，按专业类型用分层抽样抽取8人组建“纸质书推广志愿队”，再从这8人中随机抽取3人负责校园书展策划，记最后抽取的3人中，选中的文科学生人数为，求的分布列与数学期望。参考公式：，其中。参考数据： 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【切入点】表格已经给全；第二问是「分层抽样 + 超几何分布」的组合，先用分层比例定出两类各抽几人，再按超几何算分布列。 【关键】（1）由表得 ，四格频数为 、、、。。因为 ，所以在 下做独立性检验，有 的把握认为阅读纸质书的偏好与专业类型有关。（2）喜欢阅读纸质书的共 人，其中文科 人、理工科 人，按专业类型分层抽 人：文科 人，理工科 人。从这 人中抽 人， 为其中文科学生人数，由超几何分布得 的取值为 ：，，，三者之和为 。。 【易错】一是分层抽样时用错了分母（应当用「喜欢阅读」的 人）。二是 的取值漏掉 —— 因为理工科只有 人，抽 人文科至少有 人，所以 取不到 。三是三个概率算完不加总校验。 【答案】（1）有关；（2）分布列见解析， 变式6-1（解答·★★★★☆） 某校调查高中生“是否喜欢羽毛球”与性别的关系，随机抽取100名学生，得到列联表如下： 喜欢 不喜欢 合计 男生 30 20 50 女生 25 25 50 合计 55 45 100 （1）通过分析列联表数据，能否有95%的把握认为“喜欢羽毛球”与性别有关？请说明理由；（2）从“喜欢羽毛球”的55人中按性别分层抽样抽取11人，再从这11人中随机抽取3人，记抽到男生人数为，求的分布列与数学期望。附：，，。 【切入点】第一问按 判断即可；第二问是「分层抽样 + 超几何分布」，先用比例定出抽到的男、女生人数。 【关键】（1）由表得 ，四格频数为 、、、。。因为 ，所以没有 的把握认为「喜欢羽毛球」与性别有关。（2）喜欢羽毛球的共 人：男生 人、女生 人。按性别比例抽 人，男生抽 人、女生抽 人。于是这 人中男生 人、女生 人。从这 人中抽 人， 为抽到的男生人数，由超几何分布得 的取值为 ：，，，，四者之和为 。。 【易错】一是分层抽样时用全体 人作分母（应当用「喜欢」的 人）。二是超几何分布的分母写成 （抽样只在抽出的 人里进行）。三是第一问的「把握」与 的关系弄反。 【答案】（1）没有 的把握；（2）分布列见解析， 变式6-2（解答·★★★★☆） 冬季气温骤降、空气干燥且气压变化大，慢性阻塞性肺疾病（慢阻肺），哮喘，间质性肺病、肺纤维化，肺炎、支气管炎患者等呼吸系统疾病患者对氧气需求增加，尤其需要制氧机辅助，近年来，我国制氧机产业迅速发展，下表是某地区某品牌制氧机的年销售量与年份的统计表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 销量（万台） 2 3.5 2.5 8 9 （1）求这种品牌制氧机的销量关于年份代码的线性回归方程，并预测2027年这种品牌制氧机的销量；（2）为了研究不同性别的学生对制氧机知识的了解情况，某校组织了一次有关制氧机知识的竞赛活动，随机抽取了男生和女生各100名，得到如下列联表： 学生 制氧机知识 合计 了解 不了解 男生 20 女生 40 合计 （ⅰ）根据已知条件，填写列联表；（ⅱ）根据小概率值的独立性检验，判断该校学生对制氧机知识的了解情况与性别是否有关联；（3）从（2）的样本中按对制氧机知识了解和不了解的学生人数进行分层抽取10人，再从这10人中随机抽取4人做某项调查，记这4人中对制氧机知识不了解的人数为，试求的分布列和数学期望。附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【切入点】三道小问分别回归、独立性检验、分层抽样后的分布列 ——典型的「统计综合题」，每一问各用各的方法。 【关键】（1），。，，所以 ，，即 。 年对应的年份代码为 ，（万台）。（2）（ⅰ）由男生 人中了解的占多数、结合「女生了解 人」可补全：男生了解 人、不了解 人；女生了解 人、不了解 人；合计了解 人、不了解 人，总计 人。（ⅱ）。因为 ，所以在 下做独立性检验，该校学生了解制氧机知识的情况与性别存在关联。（3）按了解与不了解的比例从 人中抽 人：了解 人，不了解 人。从 人中抽 人， 为不了解的人数，由超几何分布得 的取值为 ：，，，，，五者之和为 。。 【易错】一是第一问的年份代码从 开始编号（应当是 到 ）。二是补表时把「男生了解 人」算错。三是第三问的分层比例用错了总数 ——是从 人里按「了解 / 不了解」的比例抽 人。 【答案】（1）， 万台；（2）（ⅰ）见解析（ⅱ）有关联；（3）分布列见解析， 变式6-3（解答·★★★★☆） 某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查100人购买情况，得到如下列联表： 新能源汽车款 新能源汽车款 总计 男性 50 10 女性 25 15 40 总计 25 100 （1）求；（2）根据小概率值的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？（3）假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立。若从购买者中随机抽取3人，设被抽取的3人中购买了B款车的人数为，求的数学期望。附：，。 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【切入点】表里有两个未知数，但都只靠「合计」就能倒推出来；第三问把「抽一人买到 款」看成一次试验，是标准的二项分布。 【关键】（1）由「男性」这一行合计：；由「 款」这一列合计：。（2）补全后可读得四格频数为 、、、，四个边际合计为 、、、，。。因为 ，所以在 下做独立性检验，可以认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联，这一判断的失误率不超过 。（3）用频率估计概率，一人购买 款车的概率为 。随机抽 人，各人选购情况相互独立，所以买到 款车的人数 服从二项分布 ，。 【易错】一是只由「女性合计 」推出 ，忘了还可以用「总计 」。二是 的边际合计取错（ 款列合计是 ， 款列是 ）。三是第三问去算分布列再求期望 —— 认准是二项分布，直接 最快。 【答案】（1），；（2）有关联；（3） 学科网（北京）股份有限公司 $ 成对数据的统计分析 相关关系、回归分析与独立性检验 相关关系与回归分析 提高档的回归题，解答题的骨架几乎是固定的：给一张数据表，先算相关系数判断相关强弱，再求经验回归方程，最后拿方程去预测。多出来的那一问通常是概率（条件概率、分布列、二项期望），统计这一半做对了，那一半就是本线前面几讲的复习。 真正要算的其实只有三个中间量：、、。前两个之比就是斜率 ；第一个与后两个乘积的开方之比就是相关系数 。所以只要把这三个量算准，剩下全是代公式。 这三个量不必一项一项硬算，常用两个化简式：，。当 的数值很大（比如年份 2016、2017……）时，先把 换成 1、2、3……这样的「年份代号」再算：斜率与截距的写法会变，但预测值不变，计算量却小得多。 用方程预测时，把 代进去就行；题目问「误差」，就是用预测值减去实际值再取绝对值。这里最容易错的一处是：代进方程的到底是「编号」还是「原始年份」，要看方程是用哪个建起来的 ——方程里带的是编号，就只能代编号。 除了相关系数，还有一个量常用来衡量拟合效果，叫决定系数 。 越接近 ，说明回归直线解释掉的波动越多、拟合得越好；越接近 ，说明拟合得越差。它与相关系数的关系是 ——所以两者是「同一个东西的两个说法」，只是一个管方向、一个只有大小。 最后是判断强弱的标准。有些题会给出判断尺度（比如 算强相关），照题目的标准答；没给标准时，一般说「 接近 （或接近 ），线性相关程度强」。另外，相关系数只衡量线性关系，用它下结论之前，要先确认散点图确实呈直线趋势 —— 否则算出来的数再大也没有意义。 例1（解答·★★★★☆） 某家超市连续5天的广告支出（万元）与销售额（万元）的数据如下： 第天 1 2 3 4 5 广告支出 2 4 5 6 8 销售额 20 30 60 60 80 （1）从这5天中随机抽取3天，记销售额不少于60万元的天数为，求的分布列及均值；（2）已知与线性相关，求出关于的经验回归方程，并预测广告支出为10万元时的销售额。附：经验回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， 变式1-1（解答·★★★★☆） 2016-2024年我国的国内生产总值（GDP）的数据（摘自《中国统计年鉴-2025》）如下： 年份（x） 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 GDP/万亿元（y） 74.64 83.20 91.93 98.65 101.36 114.92 120.47 129.43 134.91 由以上数据，得到x与y的9对样本数据为，，…，，有关计算结果如下：，，。（1）证明：；（2）请根据最小二乘法，求出一元线性回归方程，并计算出2025年的GDP预测值与实际值的误差。（注：从《中国统计年鉴-2025》中查得2025年的GDP为140.19万亿元。）附：一元线性回归方程，其中。 例2（解答·★★★★☆） 为研究昼夜温差（单位：）与某植物种子当日的百粒发芽数（单位：粒）之间的关系，实验室记录了6天的每日昼夜温差与种子当日的百粒发芽数，如下表所示： 日期编号 1 2 3 4 5 6 温差 9 13 11 15 10 14 百粒发芽数 23 28 26 31 25 29 （1）根据表中的数据，计算样本相关系数（精确到0.01）；（2）求百粒发芽数关于温差的经验回归方程，并估计昼夜温差为时，这种植物种子当日的百粒发芽数。参考公式：相关系数，，，参考数据：，，，。 变式2-1（解答·★★★★☆） 某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示： 特征量 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 2 5 8 9 11 12 10 8 8 7 （1）根据表中的数据，计算相关系数；（2）求特征量关于的线性回归方程，并预测当特征量为12时特征量的值。参考公式：相关系数，。参考数据：，，。 变式2-2（解答·★★★★☆） 为深入贯彻“五育融合”的教育理念，某地在中小学全面推广劳动教育实践课程，定期统计学生参与劳动实践的情况，下表是课程开设后前5个月的数据，其中表示月份编号，表示该月份日平均参与劳动实践的学生人数（单位：万）。 月份编号 1 2 3 4 5 日平均参与人数 0.5 0.7 1 1.3 1.5 根据表格数据得到如图所示的散点图。 （1）根据散点图推断与是否线性相关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度；（2）由（1）所得结论，建立关于的回归方程，并预测第6个月的日平均参与人数；（3）假设第6个月（按30天计）的日参与人数（单位：万）服从正态分布，并视（2）的结果为的值，预测该月份日参与人数超过1.75万的天数是否不少于25天。附：①样本相关系数；②回归直线的斜率的最小二乘估计为；③；④若，则。 变式2-3（解答·★★★★☆） 近些年汽车市场发生了翻天覆地的变化，新能源汽车发展迅速，下表统计了2021年到2024年某地新能源汽车销量（单位：千辆） 年份 2021 2022 2023 2024 年份代号 1 2 3 4 销量 33 69 93 129 附：相关系数；回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，．（1）试根据样本相关系数的值判断该地汽车销量与年份代号的线性相关性强弱（，则认为与的线性相关性较强，，则认为与的线性相关性较弱）；（精确到0.001）（2）建立关于的线性回归方程，并预测该地2025年的新能源汽车销量。 例3（解答·★★★★☆） 为了解学生初中升学的数学成绩对高一数学学习的影响，在高一年级随机抽取6名学生，对其入学的数学成绩（分）和高一第一学期期末考试数学成绩（分）进行了统计，如下表： 中考数学成绩 50 60 70 80 90 100 高一第一学期期末数学成绩 65 80 95 105 120 130 （1）规定高一期末数学成绩不低于90分为及格，不低于120分为优秀，从所抽取的6人中随机选取1人，记为“学生的高一第一学期期末数学成绩及格”，为“学生的高一第一学期期末数学成绩优秀”，求；（2）由散点图可知与之间具有线性相关关系，求关于的经验回归方程并估计某中考数学成绩为110分的学生高一第一学期期末考试的数学成绩（成绩保留整数，采用四舍五入法）。附：经验回归模型中，；参考数据：。 变式3-1（解答·★★★★☆） 某科技公司统计了过去10年每年的研发投入（单位：亿元）和营业额（单位：亿元）的数据，如下表： /亿元 12.1 12.5 11.3 12.4 13.1 11.5 11.0 11.3 12.6 12.2 /亿元 650 680 620 660 695 640 600 630 665 660 （1）估计该公司平均每年的研发投入和平均每年的营业额；（2）求样本的相关系数（精确到0.01）；（3）已知与的关系可以用线性回归模型进行拟合，若该公司今年投入13.5亿元用于研发，利用该模型预测该公司今年的营业额。参考数据：，，。参考公式：相关系数。 独立性检验 提高档的独立性检验题，解答题的骨架是：给一张（或残缺的）列联表，按某个小概率值 做独立性检验，后面再接一问概率。要说清三件事 —— 零假设是什么、 算出来是多少、跟哪个临界值比。 写结论有固定的措辞。拒绝零假设时写：「依据 下做独立性检验，推断 不成立，即认为两个变量有关联，这一判断的失误率不超过 」；反过来则写「没有充分证据推断 不成立」。不要把「没有证据说有关」直接说成「一定无关」——这一处措辞的差别是评分点。 残缺的列联表怎么补？两条路。一是用合计倒推：某一行缺的数，等于该行合计减去已知的那个；二是用题目给的总体频率：比如「任选一人抗病虫害的概率为 」，就相当于某一列的合计占总数的 ，据此立方程。补完之后立刻验一遍：每一行、每一列的合计都要对得上。 算 时有几处最容易错。分母是四个边际合计相乘，不是四个格里的数；分子上的 是总样本量，很多同学会漏乘； 要整体平方，所以谁减谁不影响结果。算出来的数通常不整齐，题目一般只要求精确到小数点后三位或写约等号，这时不要因为「除不尽」就怀疑自己算错了。 最后一问的概率常见三类：在这一类的条件下问另一类（条件概率）、分层抽样后从中抽几个（超几何分布）、独立重复若干次（二项分布）。判断属于哪一类，只看三件事 —— 有没有放回、抽几次、问的是什么。 例4（解答·★★★★☆） 近年来，儿童近视问题日益严重，已成为影响儿童健康的重要问题之一，教育部提出了一系列措施，旨在通过学校、家庭和社会的共同努力，减少儿童近视的发生率。多项研究表明，每天增加户外活动时间可以显著降低儿童近视的发生率。为研究近视是否与户外活动时长有关，某学校数学兴趣小组采用简单随机抽样的方法调查了六年级的100名学生，其中有55名同学的户外活动时间超过2小时；100名同学中近视的学生有60人，这60人中每天户外活动时间不足2小时的有35人。（1）根据所给数据，得到成对样本数据的分类统计结果，完成以下列联表，依据小概率值的独立性检验，分析学生患近视与户外活动时间长短是否有关。 近视人数 未近视人数 合计 户外活动时间不足2小时 35 户外活动时间超过2小时 55 合计 60 （2）用频率估计概率，从已经近视的学生中采用随机抽样的方式选出1名学生，利用“物理十药物”治疗方案对该学生进行治疗。已知“物理+药物”治疗方案的治愈数据如下：在已近视的学生中，对每天户外活动时间超过2小时的学生的治愈率为，对每天户外活动时间不足2小时治愈率为，求近视学生被治愈的概率。参考公式与数据：，其中。 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 变式4-1（解答·★★★★☆） 2025年我国多地推广“碳普惠”体系，鼓励市民参与绿色出行获取低碳积分。某社区随机抽取100名居民调查绿色出行情况，得到如下列联表（绿色出行定义为“日常通勤采用公交、骑行、步行”）： 参与绿色出行 不参与绿色出行 总计 青年群体（不大于岁） 35 15 50 中老年群体（大于岁） 20 30 50 总计 55 45 100 （1）依据小概率值的独立性检验，分析参与绿色出行是否与年龄群体有关？（2）若市民甲前一天参与了绿色出行，则后一天参与绿色出行的概率为；若前一天没有参与绿色出行，则后一天参与绿色出行的概率为。如果市民甲第一天参与了绿色出行的概率为，分别求出他在第二天、第三天参与了绿色出行的概率。附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 例5（解答·★★★★☆） 某电商研究中心为剖析国潮消费趋势，随机调查了该平台50名男性用户和50名女性用户，统计其对“国潮服饰类产品”的购买意愿（经常购买/不常购买），得到如下列联表： 经常购买 不常购买 男性用户 40 10 女性用户 30 20 （1）依据＝0.05的独立性检验，能否认为该平台男、女用户对国潮服饰类产品的购买意愿有差异？（2）从该平台的用户中任选一人，A表示事件“选到的人不常购买国潮服饰类产品”，B表示事件“选到的人为女性用户”，利用该调查数据，给出的估计值。附：。 0.050 0.010 0.005 k 3.841 6.635 7.879 变式5-1（解答·★★★★☆） 为研究某校高三年级学生的身高是否与性别有关，现从学生群体中，随机测量了50名学生的身高，然后按“身高低于170cm”与“身高不低于170cm”分成两组，统计整理各组人数如下列联表（单位：人）。 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 男 8 24 32 女 12 6 18 合计 20 30 50 （1）依据的独立性检验，能否认为该学校高三年级学生的身高与性别有关联？（2）若从男生样本和女生样本中各选取一人，求两名学生身高不在同一组的概率。附：，其中。 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 例6（解答·★★★★☆） 某高校为制定针对性的阅读推广方案，从全校随机抽取400名大学生开展“纸质书阅读偏好”专项调查，收集到的性别与专业交叉数据如下表（单位：人）： 专业类型 阅读偏好 合计 喜欢阅读纸质书 不喜欢阅读纸质书 文科 150 120 270 理工科 50 80 130 合计 200 200 400 （1）依据的独立性检验，能否认为该校大学生“是否喜欢阅读纸质书”与“专业类型”有关？（2）从样本中“喜欢阅读纸质书”的大学生里，按专业类型用分层抽样抽取8人组建“纸质书推广志愿队”，再从这8人中随机抽取3人负责校园书展策划，记最后抽取的3人中，选中的文科学生人数为，求的分布列与数学期望。参考公式：，其中。参考数据： 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 变式6-1（解答·★★★★☆） 某校调查高中生“是否喜欢羽毛球”与性别的关系，随机抽取100名学生，得到列联表如下： 喜欢 不喜欢 合计 男生 30 20 50 女生 25 25 50 合计 55 45 100 （1）通过分析列联表数据，能否有95%的把握认为“喜欢羽毛球”与性别有关？请说明理由；（2）从“喜欢羽毛球”的55人中按性别分层抽样抽取11人，再从这11人中随机抽取3人，记抽到男生人数为，求的分布列与数学期望。附：，，。 变式6-2（解答·★★★★☆） 冬季气温骤降、空气干燥且气压变化大，慢性阻塞性肺疾病（慢阻肺），哮喘，间质性肺病、肺纤维化，肺炎、支气管炎患者等呼吸系统疾病患者对氧气需求增加，尤其需要制氧机辅助，近年来，我国制氧机产业迅速发展，下表是某地区某品牌制氧机的年销售量与年份的统计表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 销量（万台） 2 3.5 2.5 8 9 （1）求这种品牌制氧机的销量关于年份代码的线性回归方程，并预测2027年这种品牌制氧机的销量；（2）为了研究不同性别的学生对制氧机知识的了解情况，某校组织了一次有关制氧机知识的竞赛活动，随机抽取了男生和女生各100名，得到如下列联表： 学生 制氧机知识 合计 了解 不了解 男生 20 女生 40 合计 （ⅰ）根据已知条件，填写列联表；（ⅱ）根据小概率值的独立性检验，判断该校学生对制氧机知识的了解情况与性别是否有关联；（3）从（2）的样本中按对制氧机知识了解和不了解的学生人数进行分层抽取10人，再从这10人中随机抽取4人做某项调查，记这4人中对制氧机知识不了解的人数为，试求的分布列和数学期望。附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 变式6-3（解答·★★★★☆） 某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查100人购买情况，得到如下列联表： 新能源汽车款 新能源汽车款 总计 男性 50 10 女性 25 15 40 总计 25 100 （1）求；（2）根据小概率值的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？（3）假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立。若从购买者中随机抽取3人，设被抽取的3人中购买了B款车的人数为，求的数学期望。附：，。 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 学科网（北京）股份有限公司 $