河南郑州市第十六高级中学2026-2027学年上学期第一次月考高二数学试卷

2026—2027学年上学期第一次月考 高二年级数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．点关于轴对称的点的坐标为（ ） A． B． C． D． 2．已知，，，若不能构成空间的一个基底，则（ ） A．3 B．1 C．5 D．7 3．经过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程是（ ） A． B．或 C． D．或 4．已知点，，，是的垂心，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 5．若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．已知两条直线：，：，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．以下四个命题中正确的是（ ） A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示 B．若为空间向量的一组基底，则构成空间向量的另一组基底 C．对空间任意一点和不共线的三点、、，若，则、、、四点不共面 D．若两直线，的倾斜角分别为，，斜率分别是，，当时， 8．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离的最小值，则在单位正方体中，直线与之间的距离是（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有（ ） A．直线的倾斜角的取值范围是 B．过，两点的直线方程为 C．若，则异面直线与所成角的余弦值为 D．已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 10．下列说法正确的是（ ） A．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．当点到直线的距离最大时，的值为 D．已知直线过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 11．已知平面的一个法向量为，，，则（ ） A．若与共线，则 B．向量在向量上的投影向量为 C．点到平面的距离为 D．直线与平面所成角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．正四面体的所有棱长都是2，，分别是，的中点，则__________． 13．在空间直角坐标系中，经过点且方向向量为（）的直线方程为，已知空间中一条直线方程为，则点到直线的距离为__________． 14．已知，则的最小值为__________． 四、解答题：共5小题，77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知的三个顶点是，，． （1）求边上的高所在直线的方程； （2）求边上的中线所在直线的方程； （3）求一点的坐标，使得四边形为平行四边形． 16．（15分）如图，，分别是三棱锥的棱，的中点，是线段上一点且，记，，． （1）用，，表示，，； （2）若，，，，求． 17．（15分）已知的顶点，边的中线所在直线方程为，边的高所在直线方程为． （1）求点的坐标； （2）若入射光线经过点，被直线反射，反射光线过点，求反射光线所在的直线方程． 18．（17分）如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角； （3）棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 19．（17分）如图，在三棱柱中，其所有棱长都为2，是棱的中点，． （1）求证：平面平面． （2）若，点满足． ①求直线与平面所成角的正切值； ②求二面角的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $2026一2027学年上学期第一次月考 高二数学 时间：120分钟满分：150分 一、单选题（每小题5分，共40分) 1.B2.A3.B4.D5.D6.A7.B8.B 二、多选题（每小题6分，共18分） 9.AC 10.ACD 11.ABC 三、填空题（每小题5分，共15分） 1 12.213.514.25 四、解答题（共77分） 4-0 =2 15.【答案】解：1)直线AB的斜率为1-(-) 1 边AB上的高所在直线的斜率为2， 为-2=- 边AB上的高所在直线的方程为' ,即x+2y-9=0. (2)记AB的中点为M,M的坐标为(0,2)， 直线CM的斜率为0， 边AB上的中线所在直线的方程为y=2 (3)设点D的坐标为(m,n)】 因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB=DC, 「-2=5-m 所以(-2，-4)=(5-m,2-m）,即-4=2-n, 所以m=7,n=6, 故当D为(7,6)时，四边形ABCD为平行四边形. 16.【答案】(1)如图，连接ON，结合空间向量线性运算及空间向量基本定理，可得 c-0c-0i-8.瓜-m-0m-o800-0+号-宁， 00-om+观-oi--+a++5)0+g5+g (2由1)得C,00,可求得4C,四以及C.00,屑结合空间向量夹角公式，代入求位即 可. a.B-1xlxcos-0 B.-1x2xcos-0 a.@-1x2xcos-1 由题意，得 2 2 3 所以C=a+=-a+c可=后-2ac+c=5 网-6+g5:5+6+可-g0r产+++6a+6i+25t- 所以 c00-(a+)g+5+d)--+e-a6+2ae45-, 3 cos(c.o0)- AC.00 8 15 4o@5x510 所以 17.【答案】解：(1)设点B(2a-2,a)】 a+1 a, 由A(2,),得AB的中点，2J在直线x-y+1=0上， a+1+1=0 a- 可得2 解得a=-1, 所以点B的坐标为B(4,-): (2)设4(2,1)关于直线x-y+1=0的对称点为4(m,m）, n-1 m-2 m+2n+1 m=0 +1=0 则(22 ,解得n=3,即4(0,3)， y-2_x-4 所以反射光线所在的直线方程为3-20-4，可得x+4y-12=0」 18.【答案】解：(1)证明：取AD中点O,连接PO,OC △PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，PO⊥AD,PO=1,OD=OA=1. BCIIAD,BC=1,CD⊥AD,四边形OBCD是矩形，OC=VOD+CD2=V2 PC=V3.P02+0C2=1+2=3=PC2,P0⊥OC. OC∩AD=O,OC、ADc底面ABCD,故PO⊥底面ABCD 以O为原点，OB为x轴，OD为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系. B o0a0,cL0,aL0.4@-0.sLao,Ppa,F为P0r.o 亚=（12.Pi=0-l-）.PB=L0- 设平面PAB法向量元=（化，，2），则 元·PA=-y-z=0 i·PB=x-z=0 令y=1,则z=-1,代入得x+1=0→x=-1,元=（-1，山-) E风=e0x(0-(1+分(-)-1=0 :CE⊥元，又CEt平面PAB,故CEW平面PAB. 2)PB=(1,0-).Bc=(0,-1,0） 设平面PBC法向量元=(x,少2)，则 n2·PB=x-z=0 BC=-y=0,y=0,取x=1,z=1,元=(（，0,1)， PC=(l,-1).CD=(-1,0,0), 设平面PCD法向量元=(x,少2)， 元，·PC=x+y-z=0 元.CD=-x=0 ，x=0,取y=1,z=1,元=(0,1) cos0= m2元01+1.0+111 网，，+0+10+1+i√222 平面PBC与平面PCD的夹角为60°， (3)PD=(0,1-),设P0=元PD,元∈[0，则.Q(0,,1-2) 平面PAB法向量元=(1，山-），取平面内点P(00,),向量P=(0,元，-2) 点Q到平面PAB距离： 4-P®-列_0++入2烈22 21_4v15 1+1+135,令545， 解得=15∈0,1 415 所以存在点，使得点Q到平面PAB的距离是45· 0,1 此时点坐标为 pm-+(可-5.0=am-25-2 15 19.【答案】(1)证明：取AB的中点O,连接EO,AB,OC A 因为E为AA的中点，O为AB的中点，所以EOAB. 在三棱柱ABC-AB,C中，AB=A4=2, 所以四边形ABB,A是菱形，所以AB LAB,所以AB1EO 因为AB LCE,EO∩CE=E,E0,CEC平面E0C,所以AB1平面EOC. 又因为OCc平面EOC,所以OC⊥AB. 因为△ABC是等边三角形，O为AB的中点，所以OC⊥AB 因为AB∩AB,=A,AB,ABC平面ABBA,所以OC⊥平面ABBA. 又因为OCC平面ABC,所以平面ABB,A1平面ABC. √2I 5 (2)①7；②5. 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①连接40，AB.因为 A4B=背.B=4,所以△418是等边角6. 又因为O为AB的中点，所以AO1AB 因为平面ABB,A上平面ABC,平面ABB,A∩平面ABC=AB,A0C平面ABB,4, 所以AOL平面ABC. 又因为CO,OBc平面ABC,所以4O1OC,AO⊥OB 又由(1)知OC1OB,所以4,0，OC,OB两两互相垂直. 以点O为坐标原点，OC,OB,OA所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐 标系， ZA B 则00.0，o).C(5,00),B01,0),4(00,5).B(0,2) C(cy).因%CC=E,即r-5-01),所c(5.1 月-a不-u0,-a-c- 易得平面1BB,4的一个法向量为i=(1,0,0)。 23 cos(，- CP.n 1+*0+V6x0 3 √30 同 10 所以 食直线0P与干台4R4质的布为0，则血0=b如sQ@=、 √30 sin V21 cos0=v1-sin20=1- V30 V70 tan0= =10 cosθ V70 > 10 10 ,所以 10 √21 所以直线CP与平面ABBA所成角的正切值为7. e因为4A〔0，-l,0),4(0,0).C50,0）.所u4-(01,v5.4c=(5,1o A4·m=0 y+32=0 设平面44C的法向量为m=(,少2），则4C-m=0,即V3x+y=0】 令x=1,则y=5,2=1,所以m=(-5, 设二面角C-A4-B的平面角为B, cos B=cos()- m列_ lx1+(5)k0+1x0-5 列 由图可知，， 为锐角，则 VP+(5+1Px1 √5 所以二面角C-A4-B的余弦值为5，