2026--2027学年华东师大版九年级数学上册期中备考练习卷

2026—2027学年度九年级上学期数学期中备考练习卷 （华东师大版·第20章至第22章） 本卷共5页，三大题，24小题，满分120分，建议用时120分钟 测试范围：第20章 二次根式　第21章 一元二次方程　第22章 图形的相似 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若二次根式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞5　　B．　　C．x＜5　　D． 2．估计的值在（　　） A．1和2之间　　B．2和3之间　　C．3和4之间　　D．4和5之间 3．用配方法解方程，下列配方正确的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 4．已知，相似比为，若△ABC的周长为16，则△DEF的周长为（　　） A．24　　B．32　　C．36　　D．20 5．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 6．关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．a＜2　　D． 7．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中，不能判定的是（　　） A．DE∥BC　　B．　　C．　　D． 8．对于一元二次方程（），给出下列四个结论： ①若，则方程必有一个根为1； ②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程必有一个根为0； ④若，，则方程有两个不相等的实数根． 其中正确的结论是（　　） A．①②③　　B．①②④　　C．①③④　　D．①②③④ 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9．计算：=　　　　． 10．方程的解为　　　　． 11．化简：=　　　　． 12．若两个相似三角形的面积之比为，其中较小三角形的周长为12，则较大三角形的周长为　　　　． 13．某种药品原价每盒100元，经过连续两次降价后每盒售价为81元，若平均每次降价的百分率相同，则平均每次降价的百分率为　　　　． 14．在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（1，2）、B（3，4），以原点O为位似中心，把线段AB放大为原来的2倍得到线段A′B′，则点A′的坐标为　　　　． 三、解答题（共10小题，共78分） 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（6分）计算： （1）； （2）． 16．（6分）解方程： （1）（用配方法）； （2）． 17．（6分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m是满足条件的正整数中最小的一个，求此时方程的根． 18．（7分）如图，在阳光下，直立于地面的小明 m，其影子 m；同一时刻测得旗杆AB的影子 m． （1）求旗杆AB的高； （2）求旗杆顶端A到其影子顶端C的距离AC． 第18题图 19．（7分）如图，在Rt△ABC中，，于点D． （1）求证：； （2）若，，仿照（1）的方法求CD的长． 第19题图 20．（8分）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，点O也是格点． （1）以点O为位似中心，在网格中画出△A′B′C′，使它与△ABC位似，相似比为2（点A′、B′、C′分别在射线OA、OB、OC上），保留作图痕迹，不写作法； （2）求△A′B′C′与△ABC的面积之比； （3）若△ABC的面积为3，求△A′B′C′的面积． 第20题图 21．（8分）如图，有一块长30 m、宽20 m的矩形空地，计划在中央建一个矩形花坛，并在花坛四周留出宽度相同的甬道，其余部分铺设地砖．已知花坛的面积为336 m²． （1）求甬道的宽度； （2）若用边长为1 m的正方形地砖铺设甬道，需要这种地砖多少块？ 第21题图 22．（8分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，，． （1）求的值； （2）若四边形DBCE的面积为21，求△ADE的面积． 第22题图 23．（10分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，，连接BE、CD，BE与CD交于点O． （1）求证：； （2）若，求的值； （3）若，求和． 第23题图 24．（12分）如图，在Rt△ABC中，， cm， cm，点P从点A出发沿AC边向点C运动，速度为1 cm/s；同时点Q从点C出发沿CB边向点B运动，速度也为1 cm/s，运动时间为t s（），连接PQ． （1）是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （2）是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值； （3）△PCQ的面积能否达到5 cm²？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由． 第24题图 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案与解析 一、选择题（每小题3分，共24分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A A D B D D 二、填空题（每小题3分，共18分） 9． 10．， 11． 12． 13． 14．（2，4）或（-2，-4） 三、解答题（共78分） 15．【分析】先把各根式化为最简二次根式再合并；第（2）小题分别用平方差公式和二次根式的除法． 【详解】（1）． （2）原式． 【答案】（1）；（2） 【易错提醒】二次根式加减的关键是"先化简再合并"，只有化简后被开方数相同的二次根式才能合并；要化成，不能分子分母分别开方后再相减． 16．【分析】（1）移项后两边同加一次项系数一半的平方；（2）移项后提取公因式，不能直接约去含未知数的因式． 【详解】（1）移项得， ，即． 所以，即，． （2）移项得，提取公因式得． 所以或，即，． 【答案】（1），；（2）， 【易错提醒】配方时注意是"加上一次项系数一半的平方"，即，不是加4²；解（2）时千万不能把直接约去，那样会丢掉这个根． 17．【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根，则判别式大于0，由此列出关于m的不等式；再取最小正整数代回求解． 【详解】（1）由题意， ． 因为方程有两个不相等的实数根，所以，解得． （2）满足的正整数中最小的为． 此时方程为，即， 所以，． 【答案】（1）；（2）， 【易错提醒】判别式要整体代入，注意，平方后符号消失；"两个不相等"对应，"两个实数根"对应，二者不能混用． 18．【分析】同一时刻太阳光线互相平行，人和旗杆都垂直于地面，构成两个相似的直角三角形，用对应边成比例求解；（2）用勾股定理． 【详解】（1）由题意得， 所以，即， 解得（m），即旗杆高10.5 m． （2）在Rt△ABC中，由勾股定理得 （m）． 【答案】（1）10.5 m；（2）17.5 m 【易错提醒】建立比例式时要找准对应关系："物高与物高比，影长与影长比"，不要交叉写出；第（2）问要认清AC是Rt△ABC的斜边． 19．【分析】在两个直角三角形中，利用公共角和直角判定相似，由对应边成比例即得；第（2）问同理构造另一组相似． 【详解】（1）因为，所以， 又，所以． 在△ACD与△ABC中，，， 所以，故，即． （2）同理可证，所以， 即，所以． 【答案】（1）见详解；（2） 【易错提醒】写相似三角形时顶点要对应（而不是）；第（2）问中是"斜边高"类题的常用结论． 20．【分析】位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方． 【详解】（1）连接OA、OB、OC并延长，分别在射线OA、OB、OC上取，，，顺次连接A′B′、B′C′、C′A′，即得所求的△A′B′C′（作图痕迹略）． （2）因为相似比为2，所以面积之比为． （3）． 【答案】（1）见详解；（2）；（3） 【易错提醒】画图时必须在"射线"上取点，若取在反向延长线上则得到的是另一个位似图形；面积比是相似比的平方，不是相似比本身． 21．【分析】设甬道宽为x，用含x的式子表示花坛的长和宽，由面积列一元二次方程，注意根的取舍． 【详解】（1）设甬道的宽度为 m， 则花坛的长为 m，宽为 m． 由题意得， 整理得，解得，． 因为时，不合题意，舍去，所以． （2）甬道面积（m²）， 所以需要地砖（块）． 【答案】（1）3 m；（2）264块 【易错提醒】四周都有甬道时，花坛的长和宽都要减去两个宽（和），只减一个是常见错误；求出的根一定要结合实际情况检验． 22．【分析】由平行得三角形相似，相似比由线段比确定；面积比等于相似比的平方，进而把面积按份数分配． 【详解】（1）因为，所以． 又，所以， 故． （2）由（1）得． 设，则， 所以，解得． 因此． 【答案】（1）；（2） 【易错提醒】相似比要用而不是；面积比是相似比的平方，切勿把直接当作面积比． 23．【分析】由平行得到相似，再利用对顶角相等判定第二组相似；两问都转化为相似比的计算，面积比是相似比的平方． 【详解】（1）因为，所以，． 又（对顶角相等），所以． （2）因为，所以， 由得． 由（1）知，所以． （3）由（1）得， 又，所以． 因为△BOE与△BOC有公共顶点B，且OE、OC在同一直线上， 所以， 故． 【答案】（1）见详解；（2）；（3）， 【易错提醒】第（3）问求△BOE的面积时要用"等高三角形面积比等于底边长之比"，不要再套一次相似；两个三角形相似时，注意对应顶点顺序必须与结论中的比例一致． 24．【分析】用含t的式子表示PC、CQ，再根据相似三角形中直角所在的对应关系分类列方程；（3）把面积写成关于t的二次式后配方求最大值． 【详解】由题意得，， 所以（cm），其中． （1）若，因为是公共角， 所以，即， 解得，且，符合题意． （2）若，则， 即，解得． （3）设△PCQ的面积为S cm²，则 ． 因为，所以当时，S取得最大值， 而，所以△PCQ的面积不能达到5 cm²． 【答案】（1）存在， s；（2）存在， s；（3）不能，最大面积为 cm² 【易错提醒】由于没有指明对应关系，相似必须分两类讨论（PC对应AC或对应BC），漏掉一类是本题最大的失分点；第（3）问用配方法求最值时注意各项符号，且要检验t是否在范围内． 学科网（北京）股份有限公司 $