专题07 旋转与几何变换综合（高效培优期中专项训练）数学新教材人教版九年级上学期

专题07 旋转与几何变换综合 考点01 旋转的性质与坐标系中的旋转 考点02 旋转中的全等模型 考点03 旋转中的最值问题与综合探究 考点01 旋转的性质与坐标系中的旋转 1．如图所示，边长为2的等边三角形的边在轴上，将绕原点逆时针旋转得到等边三角形，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设与x轴相交于C，根据旋转及等边三角形的性质得到，，根据含角的直角三角形的性质与勾股定理求出，，即可解答． 【详解】解：如图，设与x轴相交于C， ∵是等边三角形，将绕原点逆时针旋转得到等边三角形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴在中，， ， ∵，即轴，且在第四象限， ∴点的坐标为． 2．如图，已知等边的顶点 ，将该三角形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则旋转2025次后，顶点B的坐标为_______． 【答案】 【详解】解：过点作轴于点，如图： ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， 在中，，则， ∴， ， ∴点， 每次旋转，则旋转一周要：（次）， ， ∴旋转次相当于旋转周后又旋转了次，即又旋转了， ∴点绕原点顺时针旋转后，横，纵坐标都变为原来的相反数， ∴旋转次后，顶点的坐标为． 3．如图．点中，点是轴上一动点，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转90°，得到线段，连接，则线段的最小值为_____． 【答案】/ 【分析】本题主要考查旋转的性质，勾股定理及二次函数的最值问题，掌握配方法求最值是解题的关键． 设，则，根据勾股定理得，结合配方法求最值即可求解． 【详解】设，则， 由题知，， ， ， 时，取得最小值． 故答案为：． 4．如图，已知的顶点，，O是坐标原点，将绕点O按顺时针旋转，得到． (1)写出，两点的坐标； (2)求过，，三点的抛物线的解析式，并求此抛物线顶点的坐标； 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先根据、坐标得出、长度，利用旋转前后三角形全等得、长度，直接写出、坐标即可； （2）已知抛物线与轴两个交点、，设交点式抛物线方程，代入点坐标求出参数，展开化为一般式，再配方成顶点式，直接写出顶点坐标即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵将绕点按顺时针旋转，得到， ∴， ∴，， ∴，； （2）解：∵抛物线过点，， ∴可设抛物线的解析式为， ∵在抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为； 5．如图所示，点A，B，C的坐标分别为，，，将绕点B按逆时针方向旋转得到，其中点A和点C的对应点分别是和． (1)在网格内画出． (2)写出点的坐标_________；写出点的坐标_________． (3)写出线段在旋转过程中扫过的面积为_________． 【答案】(1) 如图，即为所求． (2)； (3) 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可． （2）由图可得答案． （3）利用勾股定理求出的长，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：由图可得，，． （3）解：由勾股定理得，， ∴线段在旋转过程中扫过的面积为． 考点02 旋转中的全等模型 6．如图，矩形的顶点、分别在轴、轴上，，，，将矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的对应点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作轴于点，利用勾股定理可计算出，容易证明，则，从而得到点的坐标为．根据题意可知，旋转次等同于旋转，即关于点对称，因此点的对应点的坐标为． 【详解】解：如图，作轴于点， 在中，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 根据题意，每次绕点旋转， ∴每旋转4次为一个循环， ∵， ∴旋转次等同于旋转，即关于点对称， ∴点的对应点的坐标为． 7．小赵在学习完相似三角形后，把两个相似但不全等的三角形纸片作为操作对象进行相关问题的研究，下面是他在操作纸片过程中研究的问题． 请你解决这些问题： (1)把两个三角形按如图1方式摆放，若，则_____； (2)如图2，把绕点旋转一定的角度，连接线段、．请写出与的关系并说明理由； (3)如图3，延长交的延长线于点，交于点，若，求的度数． 【答案】(1) (2)， 理由如下， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； (3)． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理． （1）利用相似三角形的性质即可求解； （2）由相似三角形的性质求得，，推出，利用“两角对应相等的两个三角形相似”即可得到； （3）由相似三角形的性质求得，利用邻补角的性质求得，利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：由（2）得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 8．已知点E为线段上一点，和是等腰三角形，，，且． (1)如图，若，，可以看作是经过旋转得到，请说明得到的过程； (2)将绕点E逆时针旋转到图2的位置，此时点B，E，D在同一条直线上． ①求证：点A，E，C三点共线； ②若点G在边上，，且平分，求证：． 【答案】(1)绕点E顺时针旋转得到 (2) ①证明：，， ，． ， ． 点B，E，D在同一条直线上， ． ． 点A，E，C三点共线； ②证明：由①得， ， ． 平分， ∵ ， ， 即． 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先证明，是等边三角形，则，，故，结合则得到的过程：绕点E顺时针旋转得到； （2）①运用等边对等角，三角形内角和性质，得，再结合点B，E，D在同一条直线上，得，即，故点A，E，C三点共线； ②由①得，因为，平分，得，结合，则，故，即可作答． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， ∵ 则得到的过程：绕点E顺时针旋转得到； （2）解：①略； ②略． 9．某数学学习小组在学习旋转相关知识后，对特殊的四边形进行探究，有如下探究过程： 【问题解决】 （1）如图①，在矩形中，点E为边上一点，将绕点E顺时针旋转后得，若点F恰好落在边上，求证：； 【问题探究】 （2）如图②，在正方形中，点E为的中点，将绕点E顺时针旋转后得，连接．若，求点F到的距离； 【拓展延伸】 （3）如图③，在菱形中，点E为边上任意一点，点F在上，，交于点O．若，，当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 【答案】 （1）证明：由旋转可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2） （3）或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，熟记相关定理内容是解题关键． （1）由旋转可知：，推出，即可； （2）作，证，得；根据四边形是矩形，得，即可求解； （3）若，则点与点重合，点与点重合，此时；若，证，得，即可求解 【详解】（1）略 （2）解：作，如图所示： 由旋转可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∴； ∵点E为的中点，， ∴； ∴； ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 即点F到的距离为； （3）解：若，则点与点重合，点与点重合，此时； 若， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴ 10．（1）如图①．在中，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论； （2）如图②，在与中，，，将绕点旋转，使点落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论． 【答案】 解：（1），理由如下： 连接， 由题意得： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， （2），理由如下： 连接， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴， 在中，，又， ∴ ∴； 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理以及旋转变换的性质等，掌握全等三角形的判定定理和性质定理及勾股定理是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的性质解答； （2）连接，根据全等三角形的性质得到，得到，根据勾股定理计算即可． 考点03 旋转中的最值问题与综合探究 11．如图，在中，，，，M是边上一动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转到线段，连接，当线段最短时，线段的长度为_________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质可得，，，即点N在过点H且与成的直线上运动，则当时，有最小值，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，将绕点A逆时针旋转得到， ∵，，， ∴， ∴， ∵旋转， ∴，，， ∴点N在过点H且与成的直线上运动，， ∴当时，有最小值， 此时：， ∴， ∴， 故答案为：． 12．一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O、；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得；交x轴于点；…若是其中某段抛物线上一点，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据平移规律得出的解析式是解题的关键． 求出抛物线与轴的交点坐标，然后得到，，，，求出，，，的解析式，然后找到规律，求出的解析式，然后把点P的横坐标代入计算即可得解． 【详解】解：∵一段抛物线：， ∴图象与x轴交点坐标为：，， ∵将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得，交x轴于点； ∴，，， ∴的解析式为，的解析式为，的解析式为，的解析式为， ∵ ∴的解析式为， ∴当时，． 故答案为：． 13．如图，线段，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，在的上方作，使，． （1）若点是中点，_____； （2）若点为的中点，连接，当最小时，的面积为_____． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，二次函数最值，等腰三角形的性质，建立二次函数关系式是解题的关键 （）作于，利用旋转的性质以及即可求得，，然后解直角三角形即可求解； （）连接，证明为直角三角形，根据勾股定理列出，设，则，建立关于的二次函数关系式，求出时最小，再求出顶角是的的面积即可． 【详解】解：如图，作于， ∵，， ∴，， ∴， ∵，是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； （）如图，连接， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形. 设，则，，， 由勾股定理得： 当时，有最小值， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，的三个顶点都在格点上，坐标分别为． (1)画出绕着点顺时针旋转得到的； (2)在轴上存在一点，当的周长最短时，求点坐标． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2) 【分析】（1）将的三个顶点分别绕着点顺时针旋转得到，连接三个顶点即可得到； （2）先求出长，再由，的周长最短，就是最短，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，如图所示，由得到当三点共线时，有最小值，此时，直线与轴的交点就是使的周长最短时的点，利用待定系数法求出直线，求出点坐标即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解： ， ， ， 则当的周长最短时，就是最短， 作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，如图所示： ， 当三点共线时，有最小值，即的周长最短， 设直线， 将代入得， ， 解得， 直线， 当时，，解得， 则点的坐标为． 【点睛】本题考查旋转作图、求点的坐标，涉及旋转性质、两点之间距离公式、点的对称性求最值，动点最值问题-将军饮马模型、待定系数法求直线解析式、求直线与坐标轴交点等知识，熟练掌握旋转作图、动点最值问题-将军饮马模型解题方法是解决问题的关键． 15．问题情境：在等腰直角中，，，为直线上任意一点，将线段绕点按顺时针方向旋转得线段，连接． 尝试发现： （1）如图1，当点在线段上时，求线段与的数量关系； 类比探究： （2）如图2，当点在线段的延长线上时，线段与是否存在（1）中的数量关系？如果存在，写出与的数量关系并说明理由，如果不存在，请说明理由； 拓展探究： （3）若，，请直接写出的值． 【答案】（1）； （2）存在， 理由如下：如图，过点作交于点， 由旋转得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）或 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，三角形全等的判定与性质，掌握一线三垂直全等模型是解题的关键． （1）过点作延长线于点，利用一线三垂直全等模型证明，再证明即可； （2）过点作交于点，同（1）中方法证明，再证明即可； （3）分两种情况讨论：过点作延长线于点，求出，即可． 【详解】解：（1）如图，过点作，交的延长线于点， 由旋转得，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （2）略 （3）如图，当在的延长线上（点在点的右侧）时，过点作于点，连接， 由（2）得，， ， ； 当在的延长线上（点在点的左侧）时，过点作于点，如图，连接， 同理可得：， ，， ， ； 综上：或． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 旋转与几何变换综合 考点01 旋转的性质与坐标系中的旋转 考点02 旋转中的全等模型 考点03 旋转中的最值问题与综合探究 考点01 旋转的性质与坐标系中的旋转 1．如图所示，边长为2的等边三角形的边在轴上，将绕原点逆时针旋转得到等边三角形，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．如图，已知等边的顶点 ，将该三角形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则旋转2025次后，顶点B的坐标为_______． 3．如图．点中，点是轴上一动点，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转90°，得到线段，连接，则线段的最小值为_____． 4．如图，已知的顶点，，O是坐标原点，将绕点O按顺时针旋转，得到． (1)写出，两点的坐标； (2)求过，，三点的抛物线的解析式，并求此抛物线顶点的坐标； 5．如图所示，点A，B，C的坐标分别为，，，将绕点B按逆时针方向旋转得到，其中点A和点C的对应点分别是和． (1)在网格内画出． (2)写出点的坐标_________；写出点的坐标_________． (3)写出线段在旋转过程中扫过的面积为_________． 考点02 旋转中的全等模型 6．如图，矩形的顶点、分别在轴、轴上，，，，将矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的对应点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 7．小赵在学习完相似三角形后，把两个相似但不全等的三角形纸片作为操作对象进行相关问题的研究，下面是他在操作纸片过程中研究的问题． 请你解决这些问题： (1)把两个三角形按如图1方式摆放，若，则_____； (2)如图2，把绕点旋转一定的角度，连接线段、．请写出与的关系并说明理由； (3)如图3，延长交的延长线于点，交于点，若，求的度数． 8．已知点E为线段上一点，和是等腰三角形，，，且． (1)如图，若，，可以看作是经过旋转得到，请说明得到的过程； (2)将绕点E逆时针旋转到图2的位置，此时点B，E，D在同一条直线上． ①求证：点A，E，C三点共线； ②若点G在边上，，且平分，求证：． 9．某数学学习小组在学习旋转相关知识后，对特殊的四边形进行探究，有如下探究过程： 【问题解决】 （1）如图①，在矩形中，点E为边上一点，将绕点E顺时针旋转后得，若点F恰好落在边上，求证：； 【问题探究】 （2）如图②，在正方形中，点E为的中点，将绕点E顺时针旋转后得，连接．若，求点F到的距离； 【拓展延伸】 （3）如图③，在菱形中，点E为边上任意一点，点F在上，，交于点O．若，，当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 10．（1）如图①．在中，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论； （2）如图②，在与中，，，将绕点旋转，使点落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论． 考点03 旋转中的最值问题与综合探究 11．如图，在中，，，，M是边上一动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转到线段，连接，当线段最短时，线段的长度为_________． 12．一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O、；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得；交x轴于点；…若是其中某段抛物线上一点，则__________． 13．如图，线段，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，在的上方作，使，． （1）若点是中点，_____； （2）若点为的中点，连接，当最小时，的面积为_____． 14．如图，的三个顶点都在格点上，坐标分别为． (1)画出绕着点顺时针旋转得到的； (2)在轴上存在一点，当的周长最短时，求点坐标． 15．问题情境：在等腰直角中，，，为直线上任意一点，将线段绕点按顺时针方向旋转得线段，连接． 尝试发现： （1）如图1，当点在线段上时，求线段与的数量关系； 类比探究： （2）如图2，当点在线段的延长线上时，线段与是否存在（1）中的数量关系？如果存在，写出与的数量关系并说明理由，如果不存在，请说明理由； 拓展探究： （3）若，，请直接写出的值． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $