精品解析：四川省达州中学2026-2027学年 八年级上学期10月学情自测数学试题

四川省达州中学八年级上学期10月大练习数学试题 A卷（100分） 一．单选题（每题4分） 1. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 已知中，，，的对边分别为、、，若，则（ ）． A. B. C. D. 3. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的自变量x的取值范围是（ ）． A. B. C. 且 D. 且 5. 已知点和点，若直线轴，则线段的长为( ) A. 2 B. 5 C. 7 D. 14 6. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为的高，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记，，．若，．则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. D. 8. 如图所示，在平面直角坐标系中，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用，，，，，表示，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每题4分） 9. 的算术平方根是______． 10. 在平面直角坐标系中，点位于第___________象限． 11. 已知，则的值为___________． 12. 如图，在中，，斜边的垂直平分线l交于点D，连接．若，则的周长为__________． 13. 如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为_______m（容器厚度忽略不计）． 三．解答题． 14. 求下列各式中的值： （1）； （2）． 15. 计算： （1）； （2）； （3） 16. 在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴． 请你观察小明的解答过程后，解决如下问题： （1）化简：； （2）若，求的值． 17. 在平面直角坐标系中，有，，三点． （1）当点在轴上时，则的值为________； （2）当轴时，求，两点间的距离； （3）在（1）、（2）的条件下，若点是轴上一点，当，求点坐标． 18. 如图，将长方形沿折叠，使落在的位置，且与相交于点F． （1）求证：； （2）若，，求． B卷（50分） 四．填空题（每题4分） 19. 如图，已知正方形地毯，建立如图所示平面直角坐标系．若点的坐标为，则顶点的坐标为________． 20. 计算的结果是_______ ． 21. 如图，在中，，，，点为边上一点，把沿折叠，使落在直线上，则重叠部分（阴影部分）的面积是______． 22. 已知，，则_________． 23. 如图，点为等边内一点，若，，，则的度数是__________． 五．解答题． 24. 像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： （1）化简：； （2）化简：； （3）计算：． 25. 【阅读思考】请阅读下列材料，并完成相应的任务，如图，点，点，以为斜边作与坐标轴平行的线构成，则，所以，反之，可将代数式的值看作点到点的距离． 【解决问题】 ①已知，，则线段___________； ②已知点，在轴上找一点，使得的值最小，请直接写出这个最小值是___________． 【延伸应用】 ①代数式的最小值___________ ②已知，，，判断的形状，并说明理由． 【迁移拓展】已知点，在轴上找一点，使得的值最大，请直接写出这个最大值是___________． 26. 综合与实践 在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，过点E作于点F，连接． （1）【尝试发现】如图1，当点D在线段上时，请探究线段与的数量关系；以下是小明同学的探究思路梳理：由已知条件的基本图形“一线三垂直”，易得，于是可得，．欲探究线段与的数量关系，由直观先猜想，要进一步证明，可尝试证明，由已知，得，于是可得：（_________①），所以，可得_______②，因此猜想成立． 请填空：以上思路梳理中，空白①处的理由是______，空白②处的线段是______； （2）【类比探究】如图2，当点D在线段的延长线上时， ①探究线段与的数量关系并证明； ②若，求线段的长； （3）【拓展应用】若，，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州中学八年级上学期10月大练习数学试题 A卷（100分） 一．单选题（每题4分） 1. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和勾股数，根据勾股数的定义和勾股定理逆定理进行判断即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能构成直角三角形，且边是整数，是勾股数，故此选项符合题意； 、∵， ∴能构成直角三角形，但边不是整数，所以不是勾股数，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：． 2. 已知中，，，的对边分别为、、，若，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理即可得． 【详解】由题意，画出图形如下： 由勾股定理得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理，依据题意，正确画出图形是解题关键． 3. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数不能含有分母，被开方数不能含有能开得尽方的因数或因式，进行解答即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，是最简二次根式，符合题意． 4. 函数的自变量x的取值范围是（ ）． A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键． 根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：且， 即且． 故答案为：D． 5. 已知点和点，若直线轴，则线段的长为( ) A. 2 B. 5 C. 7 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中平行于y轴的直线上点的坐标特征及两点间距离的计算，解题的关键是利用"平行于y轴的直线上点的横坐标相等"求出m的值，再通过纵坐标差的绝对值计算线段长度． 【详解】由直线轴，知平行于y轴的直线上所有点横坐标相等，因此P与Q的横坐标相等． 点Q横坐标为2，点P横坐标为，故，解得． 代入得P的纵坐标：，即． 线段的长为两点纵坐标差的绝对值：， 故选：C． 6. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为的高，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意利用割补法求得的面积，利用勾股定理算出的长，再利用等面积法即可求得的长． 【详解】由题可得： ， ， ∴， 解得：， 故选：D． 7. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记，，．若，．则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由勾股定理可知,即可求解． 本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题关键． 【详解】由勾股定理可知, , , 由图形可知，阴影部分的面积为． 故选:． 8. 如图所示，在平面直角坐标系中，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用，，，，，表示，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用“每个点为一个循环”的规律，通过求余确定点的位置和象限，再结合第个正方形第二象限顶点为，得出​的坐标． 【详解】解：正方形有个顶点， 每个点为一个正方形循环， ， 为第个正方形位于第二象限的点， 根据题意可知，第个正方形位于第二象限的点为， 故为． 二．填空题（每题4分） 9. 的算术平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，根据正的平方根是算术平方根，进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根为． 故答案为：． 10. 在平面直角坐标系中，点位于第___________象限． 【答案】 四 【解析】 【分析】先判断点P横纵坐标的正负，再根据各象限内点的坐标特征确定点所在象限． 【详解】解：∵， ∴，即点的横坐标为正数， ∵点的纵坐标为，即纵坐标为负数， ∵第四象限内点的坐标特征为横坐标正、纵坐标负， ∴点位于第四象限． 11. 已知，则的值为___________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，解二元一次方程组，根据非负性得到，由此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：9 ． 12. 如图，在中，，斜边的垂直平分线l交于点D，连接．若，则的周长为__________． 【答案】17 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 先利用勾股定理求出，再利用线段垂直平分线的性质得到，由此即可利用三角形周长公式求出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵斜边的垂直平分线l交于点D， ∴， ∴的周长， 故答案为：17． 13. 如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为_______m（容器厚度忽略不计）． 【答案】1.3． 【解析】 【详解】因为壁虎与蚊子在相对的位置，则壁虎在圆柱展开图矩形两边中点的连线上，如图所示 要求壁虎捉蚊子的最短距离，实际上是求在EF上找一点P，使PA+PB最短，过A作EF的对称点，连接，则与EF的交点就是所求的点P． 过B作于点M， 在中，，， ∴． ∵，∴壁虎捉蚊子的最短距离为1.3m． 三．解答题． 14. 求下列各式中的值： （1）； （2）． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用平方根的定义和立方根的定义解方程，熟练掌握平方根的定义和立方根的定义是解题的关键． （1）利用平方根的定义求解； （2）利用立方根的定义求解． 【小问1详解】 解：， 所以或． 所以或． 【小问2详解】 解：． 所以． 所以． 所以． 15. 计算： （1）； （2）； （3） 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据求一个数的绝对值、负整数指数幂、二次根式的混合运算法则进行运算即可； （2）结合乘法运算律、二次根式的混合运算法则进行运算即可； （3）结合乘法运算律、二次根式的混合运算法则进行运算即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是求一个数的绝对值、负整数指数幂、二次根式的混合运算法则、乘法运算律，解题关键是熟练掌握相关运算法则． 16. 在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴． 请你观察小明的解答过程后，解决如下问题： （1）化简：； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，平方差公式、完全平方公式，解题的关键是理解题意，理清分母有理化的过程． （1）把分子分母同乘，然后利用平方差公式计算； （2）先分母有理化得到，再移项平方得到，接着把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 17. 在平面直角坐标系中，有，，三点． （1）当点在轴上时，则的值为________； （2）当轴时，求，两点间的距离； （3）在（1）、（2）的条件下，若点是轴上一点，当，求点坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据轴上的点的横坐标等于0求解即可； （2）先得出点的纵坐标相等，求出的值，进而求出点的坐标，由此即可得； （3）先求出的面积，再设点的坐标为，求出的面积，根据题意建立方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：∵点在轴上， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：∵轴，且，， ∴点的纵坐标相等，即， 解得， ∴， ∴，， ∴两点间的距离为． 【小问3详解】 解：由题意，画出图形如下： ∵， ∴， ∴， ∵轴，轴轴， ∴轴， ∵，， ∴，的边上的高为， ∴， 设点的坐标为，则， 又∵轴，， ∴的边上的高为， ∴， ∵， ∴， 即或， 解得或， ∴点的坐标为或． 18. 如图，将长方形沿折叠，使落在的位置，且与相交于点F． （1）求证：； （2）若，，求． 【答案】（1） 证明：长方形沿对角线对折，使落在的位置， ，， 又四边形为长方形， ， ， 而， 在与中： ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质得到，，易证，即可得到结论； （2）根据（1）易得，设，则，，在中利用勾股定理得到关于的方程，解方程求出，即可作答． 本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等，也考查了长方形的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理；利用长方形的性质、三角形全等的性质以及勾股定理进行正确计算是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为长方形， ，， ， ， 设， 则，， 在中，， 即， 解得． B卷（50分） 四．填空题（每题4分） 19. 如图，已知正方形地毯，建立如图所示平面直角坐标系．若点的坐标为，则顶点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点、分别向轴作垂线，构造一线三垂直模型，再利用正方形邻边相等、夹角为，证明，结合的线段长度，根据在第二象限，得到的坐标． 【详解】如图，过点作轴于点，过点作轴于点． 在正方形中，， ， ， ． ， ， ． ， ， ． 20. 计算的结果是_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，二次根式有意义的条件，结合已知条件确定x的取值范围是解题的关键． 由式子可得，则，那么，然后利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：已知算式为， 则， 解得：， 那么， 原式， 故答案为：． 21. 如图，在中，，，，点为边上一点，把沿折叠，使落在直线上，则重叠部分（阴影部分）的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，勾股定理与折叠，先由，得出为直角三角形，且，设，由折叠的性质，可得，，然后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， 设，由折叠的性质，可得，， ∴， ∴， 解得， ∴重叠部分（阴影部分）的面积为， 故答案为：． 22. 已知，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．熟练掌握二次根式的性质是解决问题的关键． 先利用有理数的性质得到，，则利用二次根式的性质化简得到原式，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， ． 故答案为：． 23. 如图，点为等边内一点，若，，，则的度数是__________． 【答案】##150度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理逆定理，等边三角形的判定与性质等知识，利用旋转作辅助线构造出直角三角形和等边三角形是解题的关键． 将绕点逆时针旋转得到，连接，根据旋转的性质可得，判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，利用勾股定理逆定理判断出是直角三角形，，然后求出，即可得解． 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质得，， ∴是等边三角形， ∴， ， ， 是直角三角形，， ， ， 故答案为：． 五．解答题． 24. 像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： （1）化简：； （2）化简：； （3）计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，利用二次根式的性质进行化简，熟练掌握完全平方公式，利用二次根式的性质是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）根据题意找出规律进行求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ∵， ， ， ∴对第于n项，形式可表示为， ∴可化简为 式中最后一项为， ∵， ∴， ∴最后一项化简为： ． 25. 【阅读思考】请阅读下列材料，并完成相应的任务，如图，点，点，以为斜边作与坐标轴平行的线构成，则，所以，反之，可将代数式的值看作点到点的距离． 【解决问题】 ①已知，，则线段___________； ②已知点，在轴上找一点，使得的值最小，请直接写出这个最小值是___________． 【延伸应用】 ①代数式的最小值___________ ②已知，，，判断的形状，并说明理由． 【迁移拓展】已知点，在轴上找一点，使得的值最大，请直接写出这个最大值是___________． 【答案】解决问题：①5；② 延伸应用：①； ②是等腰直角三角形，理由如下； ∵，，， ∴， ， ， ∵，， ∴，， ∴是等腰直角三角形； 迁移拓展： 【解析】 【分析】本题考查几何变换综合应用，涉及三角形三边的关系，勾股定理等知识，解题的关键是读懂题意，利用数形结合思想解决问题． 解决问题：①利用两点之间的距离公式求解即可；②点关于轴的对称点为，连接，的长即为的最小值，再利用两点之间的距离公式求解即可； 延伸应用：①求得点关于轴的对称点为，再利用两点之间的距离公式求解即可；②利用两点之间的距离公式求得各边的长即可判断； 迁移拓展：当点和点在同一直线上时，的值最大，最大值为的长，利用两点之间的距离公式求解即可． 【详解】解：解决问题 ①已知，，则线段； ②点关于轴的对称点为，连接，此时的值最小，最小值为的长， ∴； 延伸应用 ①表示到点的距离， 表示到点的距离， 点关于轴的对称点为， ∴的最小值； ②略 迁移拓展 根据题意当点和点在同一直线上时，的值最大， 最大值为的长， ． 26. 综合与实践 在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，过点E作于点F，连接． （1）【尝试发现】如图1，当点D在线段上时，请探究线段与的数量关系；以下是小明同学的探究思路梳理：由已知条件的基本图形“一线三垂直”，易得，于是可得，．欲探究线段与的数量关系，由直观先猜想，要进一步证明，可尝试证明，由已知，得，于是可得：（_________①），所以，可得_______②，因此猜想成立． 请填空：以上思路梳理中，空白①处的理由是______，空白②处的线段是______； （2）【类比探究】如图2，当点D在线段的延长线上时， ①探究线段与的数量关系并证明； ②若，求线段的长； （3）【拓展应用】若，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）等式性质1， （2）①， 证明：∵在中，， ∴ ， 由旋转知， ∴， ∴， ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ②当时， （3） 【解析】 【分析】（1）根据，得，理由是等式性质1，可得； （2）①根据证明，得，由得，进而得，从而可得； ②由①得，根据勾股定理求出的长即可； （3）由（2）得，根据勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：由①得， ， 在中，； 【小问3详解】 解：当，时， 由（1）（2）知，， ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $