精品解析：四川省成都市第四十九中学校2026-2027学年八年级上学期数学第一、二章综合练习A卷（10月）

2026年八年级上期数学第一、二章综合练习 A卷（100分） 一、选择题（32分） 1. 下列实数中，属于有理数的是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，6，8 C. 5，7，9 D. 6，8，10 3. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列二次根式中，最简二次根式为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 要使二次根式有意义，则的值可以是（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 0 7. 如图，所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面积依次为2，4，3，则正方形D的面积为(　　) A. 9 B. 8 C. 27 D. 45 8. 中国数学会第十四届全国数学文化论坛于2025年7月1日在河南省郑州市举行．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则“数学风车”的周长为（ ） A. 40 B. 42 C. 48 D. 56 二、填空题（20分） 9. （1）的平方根是________， （2）的立方根是________． 10. 比较大小：________，________．（选填“>”、“<”或“=”） 11. 直角三角形的两边长分别为3和2，则第三边长为 _____． 12. 的绝对值是______，倒数是______． 13. 如图，在中，，，，若于D，则CD的长______． 三、解答题（48分） 14. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 15. 求下列各式中的： ①； ②． 16. 已知，，求： （1）代数式与的值； （2）求代数式的值． 17. 为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形进行改建，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板，已知运动型塑胶地板每平方米200元．经测量． （1）求、两点之间的距离． （2）求购买运动型塑胶地板的费用． 18. 如图是盼盼家新装修的房子，其中三个房间甲、乙、丙．他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作. （1）当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角处，若米，米，则甲房间的宽______米； （2）当盼盼在乙房间时，测得米，米，且，求乙房间的宽； （3）当盼盼在丙房间时，测得米，且，. ①求的度数； ②求丙房间的宽. B卷（50分） 一、填空题（20分） 19. 如果，那么________． 20. 如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为________． 21. 的整数部分为m．小数部分为n．则的值为________． 22. 实数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，化简 23. 已知，，，是的三条边长，记，其中为整数． （1）若三角形为等边三角形，则______； （2）下列结论正确的是______（写出所有正确的结论） ①若，，则为直角三角形 ②若，，，则 ③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为7 二、解答题 24. 已知、、满足． （1）求 、、 的值； （2）判断： 以 、、为三角形的三边长能否构成三角形?若能，判断这个三角形的形状；若不能，请说 明理由． 25. 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为），也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ （3）在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值． 26. （1）在中，，，过点A作直线的垂线，垂足为D． ①图1，若，求线段的长； ②若，求线段的长， （2）如图2，在中，，，过点A作直线的垂线，交线段于点D．将沿直线翻折后得到对应的，连接，若，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年八年级上期数学第一、二章综合练习 A卷（100分） 一、选择题（32分） 1. 下列实数中，属于有理数的是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：0是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，是无理数； ，是开方开不尽的数，是无理数． 2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，6，8 C. 5，7，9 D. 6，8，10 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，计算两个较小边长的平方和是否等于最大边长的平方，若相等则能构成直角三角形，反之则不能． 【详解】解：A、，，，不能构成直角三角形； B、，，，不能构成直角三角形； C、，，，不能构成直角三角形； D、，，，能构成直角三角形． 3. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了算术平方根、立方根等知识，熟练掌握算术平方根、立方根的求法是解题的关键． 利用算术平方根、立方根进行求解后即可判断． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项错误，不符合题意； C．，故选项错误，不符合题意； D．，故选项正确，符合题意． 故选：D． 4. 下列二次根式中，最简二次根式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念：被开方数中不含有分母且被开方数中所有因式的幂的指数都小于，逐个排除即可． 【详解】解： ，被开方数含能开得尽方的因数， B不是最简二次根式． 、的被开方数均含分母，C、D不是最简二次根式． 的被开方数是整数，且不含能开得尽方的因数，A是最简二次根式． 5. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：，A错误． 与不是同类二次根式，不能合并，B错误． ，，计算正确，C正确． 与不是同类二次根式，不能合并，D错误． 6. 要使二次根式有意义，则的值可以是（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，涉及知识点：二次根式的被开方数非负．解题方法是根据被开方数列不等式，求解后判断选项；解题关键是牢记被开方数的非负性，易错点是忽略符号方向．解题思路：由被开方数列不等式，确定的取值范围，再匹配选项． 【详解】∵有意义， ∴， 解得． 选项中只有，满足条件． ∴的值可以是0． 故选D． 7. 如图，所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面积依次为2，4，3，则正方形D的面积为(　　) A. 9 B. 8 C. 27 D. 45 【答案】A 【解析】 【分析】设正方形D的面积为x，根据图形得出方程2+4=x-3，求出即可． 【详解】∵正方形A、B、C的面积依次为2、4、3， ∴根据图形得：2+4=x−3． 解得：x=9． 故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理，根据图形推出四个正方形的关系是解决问题的关键． 8. 中国数学会第十四届全国数学文化论坛于2025年7月1日在河南省郑州市举行．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则“数学风车”的周长为（ ） A. 40 B. 42 C. 48 D. 56 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了以弦图为背景的计算题，用勾股定理解三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先得出，，再利用勾股定理求得，从而可求得“数学风车”的周长． 【详解】解：如图， ∵小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的，， ∴，，“数学风车”的周长为， ∵，， ∴， ∴“数学风车”的周长为， 故选：D． 二、填空题（20分） 9. （1）的平方根是________， （2）的立方根是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据平方根和立方根的定义计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴的平方根是； （2）∵， ∴的立方根是． 10. 比较大小：________，________．（选填“>”、“<”或“=”） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】比较含无理数的数的大小，正数可通过平方后比较大小，负数比较大小先比较绝对值，再根据两个负数绝对值大的反而小判断． 【详解】解：比较与的大小： 分别对两个数平方，得 ，， ∵ ， ∴ 两个正数中平方大的数更大，可得， 比较与的大小： 分别取两个数的绝对值，得，， 对绝对值平方，得，， ∵ ， ∴ ，即， ∵ 两个负数比较大小，绝对值小的数更大， ∴ 11. 直角三角形的两边长分别为3和2，则第三边长为 _____． 【答案】或 【解析】 【分析】分3是直角边和斜边两种情况讨论求解． 【详解】解：当3是直角边时，第三边长为：， 当3是斜边时，第三边长为：， 所以，第三边长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了勾股定理，是基础题，注意要分情况讨论． 12. 的绝对值是______，倒数是______． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】本题主要考查绝对值的意义及分母有理化，熟练掌握绝对值的意义及分母有理化是解题的关键；因此此题可根据绝对值的意义及分母有理化进行求解即可． 【详解】解：的绝对值是，倒数是； 故答案为，． 13. 如图，在中，，，，若于D，则CD的长______． 【答案】##7.2 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形面积公式求解，通过计算三边的平方关系判断三角形是否为直角三角形，再利用三角形面积的两种不同表示方法建立等式求解的长即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（48分） 14. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用分配律，二次根式的乘法，减法计算即可； （2）利用平方差公式，解答即可； （3）根据二次根式的性质，先化简，再去括号，计算即可； （4）利用二次根式的乘除混合运算法则解答即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 【小问3详解】 解：原式 ． 【小问4详解】 解：原式 ． 15. 求下列各式中的： ①； ②． 【答案】①，；② 【解析】 【分析】本题考查利用平方根及立方根的定义解方程，熟练掌握其定义是解题的关键． ①利用平方根的定义解方程即可； ②利用立方根的定义解方程即可． 【详解】解：① ， ， ② ， 16. 已知，，求： （1）代数式与的值； （2）求代数式的值． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据分母有理化首先求出，，从而得出，； （2）根据完全平方公式把原式变形，再代入即可． 【小问1详解】 解：由 ， ， ∴，； 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∴ 即的值为． 17. 为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形进行改建，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板，已知运动型塑胶地板每平方米200元．经测量． （1）求、两点之间的距离． （2）求购买运动型塑胶地板的费用． 【答案】（1） （2）22800元 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题关键． （1）连接，直接利用勾股定理求解即可得； （2）连接，先根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，再根据四边形的面积等于求出四边形的面积，由此即可得． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， 答：、两点之间的距离． 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（1）已得：， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形的面积为 ， ∵运动型塑胶地板每平方米200元， ∴购买运动型塑胶地板的费用为（元）， 答：购买运动型塑胶地板的费用为22800元． 18. 如图是盼盼家新装修的房子，其中三个房间甲、乙、丙．他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作. （1）当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角处，若米，米，则甲房间的宽______米； （2）当盼盼在乙房间时，测得米，米，且，求乙房间的宽； （3）当盼盼在丙房间时，测得米，且，. ①求的度数； ②求丙房间的宽. 【答案】（1）3.2；（2）3.1米；（3）①60°；②2.8米． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出MP，即可求出AB； （2）根据勾股定理求出AP，根据等角替换证明，即可求出乙房间的宽； （3））①根据平角的定义即可求出∠MPN=60°； ②根据PM=PN以及∠MPN的度数可得到△PMN为等边三角形．利用三角形全等即可求出丙房间的宽． 【详解】（1）∵，，∴， ∴BP=MP ∴米. （2）∵，，∴. ∵， ∴， ∵， ∴. 在与中， ， ∴， ∴，， ∴米. （3）①； ②过点作的垂线，垂足为点，连接. ∵梯子的倾斜角，， ∴为等腰直角三角形， ∵，， ∴为等边三角形，. ∵， ∴. ， ∴， ∴米． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，解直角三角形的应用，根据PM=PN以及∠MPN的度数得到△PMN为等边三角形是解题的关键． B卷（50分） 一、填空题（20分） 19. 如果，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数，可求出的值，再代入求出，最后计算即可． 【详解】解：二次根式有意义要求被开方数为非负数， ∵ ，且 ， ∴ 且 ， ∴ ， 把代入原式得 ， ∴ ． 20. 如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．先由等腰三角形的性质即勾股定理得出，，再在中由勾股定理得出，最后根据阴影部分面积为进行求解即可． 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， 在中，， ∴阴影部分面积为： ， 故答案为：． 21. 的整数部分为m．小数部分为n．则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】先估算的大小范围，得到整数部分，再根据小数部分等于原数减去整数部分得到，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∴的整数部分 ∴ 代入计算得： ． 22. 实数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，化简 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值与数轴,正确化简各式是解题关键﹒直接利用数轴得出各式的符号，进而化简得出答案. 【详解】解：由数轴可知：， ， ， ，， 23. 已知，，，是的三条边长，记，其中为整数． （1）若三角形为等边三角形，则______； （2）下列结论正确的是______（写出所有正确的结论） ①若，，则为直角三角形 ②若，，，则 ③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为7 【答案】 ①. 2 ②. ①②##②① 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解一元一次不等式组，三角形三边的关系，等边三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得，据此求解即可； （2）当，时，可证明，由勾股定理的逆定理可判断①；当，，时，可得；当时，可得，当时，可得，则可求出，据此求出t的取值范围即可判断②；当时，则，则可得到；根据题意不妨设，则剩下两个数分别为（n为正整数），则可得，解不等式组求出整数n即可判断③． 【详解】解：（1）∵，，是的三条边长，且是等边三角形， ∴， ∴ ， 故答案为；2； （2）①当，时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形，故①正确； ②当，，时， ∵， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴t随b的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴，故②正确； ③当时，则， ∵， ∴， ∴； ∵a、b、c是三个相邻的正整数，， ∴不妨设，则剩下两个数分别为（n为正整数）， ∵， ∴， 解得， ∴符合题意的n的值有2、3、4、5、6、7，共6个， ∴符合题意的a、b、c的取值一共有6组， ∴满足条件的的个数为6，故③错误； 故答案为：①②． 二、解答题 24. 已知、、满足． （1）求 、、 的值； （2）判断： 以 、、为三角形的三边长能否构成三角形?若能，判断这个三角形的形状；若不能，请说 明理由． 【答案】（1），， （2）以 、、为三角形的三边长能构成三角形，这个三角形是直角三角形 【解析】 【分析】（1）根据非负数之和等于零，则每个非负数等于零，分别建立方程求解即可； （2）用较小两边之和与最大边比较即可判断能够构成三角形；然后根据勾股定理的逆定理求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ，，， 解得：，，； 【小问2详解】 ，，，且， ， 以 、、为三角形的三边长能构成三角形； ， 这个三角形是直角三角形． 【点睛】本题考查了非负数的性质，二次根式有意义的条件和构成三角形的条件，勾股定理的逆定理，解题的关键是灵活运用相关知识． 25. 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为），也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ （3）在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值． 【答案】（1） 证明：梯形的面积为， 也可以表示为， ∴， 即； （2）少0.05千米 （3） 【解析】 【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设，则，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， 在中，， 即， 解得， 即， （千米）， 答：新路比原路少0.05千米； 【小问3详解】 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 即， 解得：． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的证明与应用，一元一次方程，熟练掌握相关定理是解答此题的关键． 26. （1）在中，，，过点A作直线的垂线，垂足为D． ①图1，若，求线段的长； ②若，求线段的长， （2）如图2，在中，，，过点A作直线的垂线，交线段于点D．将沿直线翻折后得到对应的，连接，若，求线段的长． 【答案】（1）①；②的长为4或14；（2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，折叠的性质，等积法的应用，由勾股定理列方程求解是解题关键． （1）①设，则，根据勾股定理可列出关于x的方程，求出x的值，即可解答； ②分类讨论：当为锐角时和当为钝角时，根据勾股定理求出和的长，即可解答； （2）连接，交于点N，过点作，交延长线于点H．根据勾股定理求出和的长，再根据折叠的性质和等积法可求出和的长，设，根据勾股定理可列出关于y的方程，求出y的值，即可解答． 【详解】解：（1）①设，则． ∵， ∴，， ∴，即， 解得：， ∴； ②分类讨论：当为锐角时，如图， ∵， ∴，， ∴； 当为钝角时，如图， ∵， ∴，， ∴． 综上可知的长为4或14； （2）如图，连接，交于点N，过点作，交延长线于点H． ∵， ∴，． 由折叠可知，垂直平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 设，则，， 在中，；在中，， ∴，即， 解得：， ∴，， ∴在中，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $