2.2.3 直线的一般式方程 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.2.3直线的一般式方程 知识梳理 1. 直线的一般式：（不同时为）。 1. 当时，可化为斜截式：，斜率，纵截距； 当，时，方程为，即，直线垂直轴，斜率不存在。 1. 两直线一般式： 平行：，且（避免重合） 垂直： 易错提醒： 利用一般式判断平行时，一定要检验是否重合；垂直的条件无需讨论斜率是否存在，是一般式最大优势。 题型归纳 题型1：直线的一般式方程及辨析 核心：判断方程是否为直线一般式，辨析参数限制条件，识别特殊直线。 【例题】 下列方程中，属于直线的一般式方程的是（ ） A. B. C. D. 举一反三 1. 方程表示直线的充分必要条件是（ ） A. B. C. 不同时为0 D. 不全为0 1. 若方程表示直线，求实数的取值范围 。 1. 直线的一般式方程为 。 1. 已知直线是一般式，且直线平行于轴，求的值 。 题型2：直线一般式方程与其他形式之间的互化 核心：一般式、斜截式、截距式互相转化，由一般式求斜率、横截距、纵截距。 【例题】 将直线化为斜截式，并求斜率、横截距、纵截距。 举一反三 1. 把直线化为一般式方程。 1. 直线化为截距式，写出横、纵截距。 1. 直线的斜率为，求的值。 1. 直线斜率不存在，求的值并写出直线方程。 题型3：由一般式方程判断直线的平行 核心：利用，并且检验不重合，判断两直线平行。 【例题】 判断直线与的位置关系。 举一反三 1. 判断与位置关系。 1. 已知直线与平行，求的值。 1. 直线与平行，求。 1. 若直线与平行，求的值。 题型4：由一般式方程判断直线的垂直 核心：利用判定垂直，不需要讨论斜率存在与否。 【例题】 判断直线与是否垂直。 举一反三 1. 判断直线，是否垂直。 1. 已知直线与互相垂直，求的值。 1. 直线，垂直，求。 1. 直线与垂直，求的值。 题型5：由两条直线平行求方程 核心：平行直线系数成比例，设方程，代入点求参数，注意排除重合。 【例题】 已知直线，求过点且与平行的直线的一般式方程。 举一反三 1. 求过点，与直线平行的直线一般式。 1. 直线过点且平行于，求直线方程。 1. 已知直线，直线平行，且在轴截距为，求一般式。 1. 直线平行于，过点，且斜率为，求一般式。 题型6：由两条直线垂直求方程 核心：利用垂直条件，设垂线方程，代入点求解。 【例题】 已知直线，求过点且与垂直的直线一般式方程。 举一反三 1. 求过点，与直线垂直的直线一般式。 1. 直线过点，垂直于，求直线方程。 1. 直线与垂直，且纵截距为，求一般式。 1. 直线过点，且垂直于直线（），求方程。 题型7：直线过定点问题 核心：整理含参数直线方程，分离参数，联立方程组求定点。 【例题】 求证：直线（）恒过定点，并求出定点坐标。 举一反三 1. 直线恒过定点，求定点坐标。 1. 直线恒过定点，求定点。 1. 直线，，求恒过定点。 1. 若直线恒过定点，求定点坐标。 课后综合练习 一、选择题 1.直线的斜截式为（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 2.直线，，两直线位置关系（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 重合 D. 相交不垂直 3.直线与重合，则实数（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 4.直线恒过定点（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 二、填空题 5.直线的横截距为 ，纵截距为 。 6.直线与平行，则 。 7.直线与垂直，则 。 8.过点且平行直线的直线一般式方程为 。 3、 解答题 9.将直线化为一般式与截距式，求横截距、纵截距。 10.已知直线，，讨论取何值时，两直线平行；取何值时，两直线垂直。 11.已知直线过点，且分别满足：①与平行；②与垂直，分别写出直线的一般式方程。 12.求证：直线，恒过定点，并求出该定点坐标。 参考答案与详细解析 题型1 例题+举一反三解析 例题 答案： 解析：直线一般式的标准形式是，其中不同时为。 选项A是斜截式，选项B是截距式，选项D是特殊直线方程，只有选项C符合一般式结构。 举一反三 1. 答案： · 解析：方程表示直线的充要条件是不同时为。 若同时为，方程可能变为矛盾式或恒等式，不能表示直线。 1. 答案： · 解析：方程表示直线的条件是的系数不同时为。 若，则且，方程变为，不成立，不能表示直线。 若，则与不同时为，方程表示直线。 1. 答案： · 解析：由移项得，这是直线一般式的特殊形式，其中。 1. 答案： · 解析：直线平行于轴，说明其斜率为，且的系数不为。 由得，代入原方程得，符合平行于轴的条件。 题型2 例题+举一反三解析 例题 答案：斜截式；斜率；横截距；纵截距。 解析：将移项得，所以。 由此可知斜率，纵截距。 令，得，，所以横截距为。 举一反三 1. 答案： · 解析：由，两边乘得，移项得。 1. 答案：截距式；横截距；纵截距。 · 解析：由得，两边除以，得。 所以横截距为，纵截距为。 1. 答案： · 解析：将化为斜截式，得。 由斜率为，得，所以。 1. 答案：；直线方程。 · 解析：直线斜率不存在时，直线垂直于轴，其方程可表示为。 此时的系数必须为，即，原方程变为，所以。 题型3 例题+举一反三解析 例题 答案：两直线平行，且不重合。 解析：对于和，有 所以两直线可能平行或重合。 再检验是否重合： 因此两直线平行但不重合。 举一反三 1. 答案：两直线重合。 · 解析：，。 因为，且对应常数项比例也一致，所以两直线重合。 1. 答案：或。 · 解析：由两直线平行，得 · 即，解得或。 检验： 当时，，，平行且不重合； 当时，，，也平行且不重合。 1. 答案：。 · 解析：由，得 · 即，所以。 检验：此时，，两直线平行且不重合。 1. 答案：或。 · 解析：由两直线平行，得 · 即，解得或。 检验： 当时，，，平行； 当时，，，也平行。 题型4 例题+举一反三解析 例题 答案：两直线垂直。 解析：对于和，有 所以两直线垂直。 举一反三 1. 答案：两直线垂直。 · 解析：因为，所以两直线垂直。 1. 答案：。 · 解析：由，得 · 即，所以。 1. 答案：。 · 解析：由，得，所以。 1. 答案：。 · 解析：由两直线垂直，得 · 即，，所以。 题型5 例题+举一反三解析 例题 答案：。 解析：与直线平行的直线可设为。 因为直线过点，代入得 即，所以。 故所求直线方程为。 举一反三 1. 答案：。 · 解析：设所求直线为，代入点，得 · 所以，方程为。 1. 答案：。 · 解析：设所求直线为，代入点，得 · 所以，方程为。 1. 答案：。 · 解析：设所求直线为。 因为直线在轴截距为，所以直线过点，代入得 · 所以，方程为。 1. 答案：。 · 解析：因为，所以的斜率与相同。 由题意，的斜率为，故可设直线方程为。 代入点，得，所以。 因此所求直线一般式为。 题型6 例题+举一反三解析 例题 答案：。 解析：直线的一个法向量为，所以与其垂直的直线方向向量可取，因此可设所求直线为。 代入点，得 即，所以。 故所求直线方程为。 举一反三 1. 答案：。 · 解析：与垂直的直线可设为。 代入点，得，所以。 因此所求直线方程为。 1. 答案：。 · 解析：与垂直的直线可设为。 代入点，得，所以。 因此所求直线方程为。 1. 答案：。 · 解析：与垂直的直线可设为。 因为纵截距为，所以直线过点，代入得 · 所以。 因此所求直线方程为。 1. 答案：。 · 解析：当时，已知直线为。 与其垂直的直线可设为。 代入点，得，所以。 因此所求直线方程为。 题型7 例题+举一反三解析 例题 答案：定点为。 解析：将原方程整理为 若对任意等式成立，则必须有 解得，。 所以直线恒过定点。 举一反三 1. 答案：。 · 解析：原方程可写成 · 对任意成立，所以 · 解得，。 1. 答案：。 · 解析：将方程整理为 · 令 · 解得，。 1. 答案：。 · 解析：原方程可写成 · 令 · 解得，。 1. 答案：。 · 解析：将方程整理为 · 令 · 得，代入得。 所以定点为。 课后练习 答案与详细解析 一、选择题 1. 答案：。 解析：由，得，所以。 2. 答案：。 解析：因为，所以两直线垂直。 3. 答案：。 解析：两直线重合，则对应系数成比例： 所以，解得。 4. 答案：。 解析：将方程整理为 令 解得，。 所以直线恒过定点。 选项中无此答案，建议原题参数或选项核对；若按现有选项，题目存在误差。 三、填空题 5. 答案：横截距；纵截距。 解析：令，得，； 令，得，。 6. 答案：。 解析：由两直线平行，得，所以。 7. 答案：。 解析：由两直线垂直，得，即，所以。 8. 答案：。 解析：设所求直线为，代入点，得 所以。 因此所求直线方程为。 三、解答题 9. 解： 由，移项得一般式： 两边除以，得截距式： 所以横截距为，纵截距为。 10. 解： 平行：若，则 即，无实数解。 所以没有实数使两直线平行。 垂直：若，则 对任意实数都成立。 所以对任意，两直线都垂直。 11. 解： ① 与平行，设所求直线为。 代入点，得 所以。 因此平行直线为。 ② 与垂直，设所求直线为。 代入点，得 所以。 因此垂直直线为。 12. 解： 将原方程整理为 若对任意成立，则 由第二个方程得，代入第一个方程： 即，所以，。 因此直线恒过定点。 · 学科网（北京）股份有限公司 $