第05讲 2.2.3 直线的一般式方程（知识清单+8类热点题型讲练+分层强化训练）讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“直线的一般式方程”核心知识点，系统梳理其定义（二元一次方程Ax+By+C=0，A、B不同时为0）、与其他形式方程的互化及平行、垂直直线系方程，构建从概念到应用的完整学习支架，开篇配有思维导图辅助知识框架搭建。 资料特色在于通过即学即练与题型精讲结合高考真题，如直线过定点问题培养数学思维，方程互化题型提升数学语言表达能力。课中助力教师分层教学，课后A夯实基础、B能力提升练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用与解题能力。

第05讲 直线的一般式方程 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：直线的一般式方程 定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中 ,不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式. 说明： 1．、不全为零才能表示一条直线，若、全为零则不能表示一条直线. 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2．在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程. 3.解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式. 【即学即练1】（25-26高二下·上海青浦·期末）直线的斜率为________． 知识点02：直线的一般式方程与其它形式方程的互化 【即学即练2】（25-26高二·全国·暑假作业）求下列直线的方程，并把它化为一般式． (1)过点，斜率为； (2)在轴、轴上的截距分别为和4． 知识点03：直线系方程 1．平行直线系方程 把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为 (其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值. 2．垂直直线系方程 一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为(其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值. 【即学即练3】求满足下列条件的直线方程； (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)过点，且与直线垂直的直线方程. 第三部分 题型精讲 题型01直线的一般式方程及其辨析 【典例1】（24-25高二上·上海·课后作业）直线过第一、二、四象限的充要条件是（    ） A．， B． C．， D．， 【典例2】（多选）（25-26高二上·山东临沂·期中）已知直线，下列说法正确的是（    ） A．当时，l过坐标原点 B．当时，l的倾斜角为 C．当时，l与两条坐标轴都相交 D．当，时，l经过第一、二、四象限 【变式1】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·期中）如果，且，那么直线不通过（    ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【变式2】（多选）（25-26高二上·广东汕头·期中）下列说法正确的有（   ） A．直线在轴上的截距为2 B．过点且与直线平行的直线方程是 C．经过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 D．若，，则直线不经过第二象限 【变式3】（多选）（25-26高二上·山西晋中·阶段检测）如果，那么直线通过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型02直线的一般式方程与其他形式的相互转化 【典例1】（25-26高二上·天津东丽·阶段检测）过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是__________⋅ 【典例2】（25-26高二上·江西景德镇·期末）根据下列条件分别写出直线和的方程，并化为一般式方程． (1)的斜率是，且经过点，的斜率为，在轴上的截距为； (2)经过两点、，在轴、轴上的截距分别是、． 【变式1】求适合下列条件的直线的方程： (1)在轴上的截距为，倾斜角的正弦值是； (2)经过点，且在两坐标轴上的截距相等； 【变式2】（25-26高二上·贵州遵义·期中）已知的顶点坐标为． (1)求过点且与直线平行的直线的方程（写成一般式）； (2)求边上的中垂线所在直线的方程（写成一般式）． 【变式3】（25-26高二上·天津南开·阶段检测）根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式： (1)斜率是，经过点； (2)在轴和轴上的截距分别是，； (3)经过两点、. 题型03根据直线平行求参数 【典例1】（25-26高二上·江苏苏州·期末）若直线和直线平行，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 【典例2】（多选）（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知直线：与直线：平行，则的值可能是（   ） A． B． C．2 D．3 【变式1】（25-26高二上·安徽·期末）已知直线与平行，则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 或3 【变式2】（25-26高二上·四川南充·期末）已知直线，则的充要条件是（    ） A． B． C． D．或2 【变式3】（25-26高二上·上海虹口·期中）若与平行，则为__________． 题型04根据直线垂直求参数 【典例1】（25-26高二上·江苏南通·期末）已知直线垂直于直线，则实数（   ） A． B．2 C． D． 【典例2】已知直线，，若，则实数______． 【变式1】（25-26高二上·广东韶关·期末）若直线与直线垂直，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·广西崇左·期末）若直线与互相垂直，则（    ） A． B． C．4 D． 【变式3】（25-26高二上·福建南平·期中）若直线与直线垂直，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型05由两条直线平行求方程 【典例1】（25-26高二下·河南信阳·阶段检测）经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）直线l过点且与直线平行，则l的方程为____________ 【变式1】（25-26高二下·辽宁·开学考试）经过点，且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·山西朔州·期末）过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·云南昆明·期末）经过点且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． 题型06由两条直线垂直求方程 【典例1】（25-26高二上·河南洛阳·期末）过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·北京·期末）过点且与直线垂直的直线方程为___________． 【变式1】（25-26高二上·江苏南京·期末）过点且垂直于直线的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·广东·期末）过点且与垂直的直线方程是（ ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·山西太原·阶段检测）过点且与直线垂直的直线方程是________. 题型07直线过定点问题 【典例1】（25-26高二上·广东梅州·期末）无论取何值，直线总经过点（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·上海松江·阶段检测）直线所过定点为______ 【变式1】（25-26高二上·广西玉林·期末）直线一定经过点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·湖南邵阳·期末）直线过定点________. 【变式3】（25-26高二上·天津·期末）已知直线：总是经过定点，则定点坐标为_______. 题型08直线综合 【典例1】（25-26高二上·湖南永州·期中）已知点.求： (1)过点P且在y轴上截距的直线的方程； (2)已知直线，直线经过两点，若，求实数m的值. 【典例2】（25-26高三上·河南·期末）已知平面内三点，，. (1)若直线经过点且与线段有交点，求直线的斜率的取值范围； (2)若直线经过点，且与，轴的正半轴分别交于， 两点，求的最小值及此时的方程. 【变式1】（25-26高二上·四川南充·期末）已知的三个顶点． (1)求边上的高所在直线的方程： (2)若点是线段的中点，直线经过点且平行于直线，求直线的方程． 【变式2】（2025高二上·江苏南京·专题练习）已知直线． (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【变式3】（25-26高二上·甘肃兰州·期中）设直线的方程为. (1)若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； (2)若不经过第二象限，求实数的取值范围； (3)若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，O为坐标原点，记的面积为S，求S的最小值及S最小时直线的方程. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知直线与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2026高二上·陕西咸阳·竞赛）已知直线，，若，则实数（    ） A． B． C．或 D． 3．（2026·重庆万州·三模）若直线与直线垂直，则m=（   ） A． B．15 C． D． 4．（25-26高二下·江西赣州·期中）已知直线与直线，若，则（   ） A．1或 B．或5 C．1 D． 5．（25-26高二上·安徽合肥·期末）若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D．或 6．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知函数（且）的图象恒过定点，且点在直线（，）上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）下列结论正确的有（    ） A．倾斜角为的直线l的一个方向向量是 B．直线恒过定点 C．不论m为何实数，直线与直线互相垂直 D．在x，y轴上的截距为a，b的直线可表示为 8．（25-26高二上·江苏泰州·期中）以下四个命题表述正确的是（   ） A．直线恒过定点 B．若直线：与：互相垂直，则实数 C．已知直线：与：平行，则或0 D．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为0，则该直线方程为 三、填空题 9．（24-25高二上·辽宁·阶段检测）已知直线过点，则当取得最小值时，直线的方程为______． 10．（23-24高二上·河北石家庄·阶段检测）直线，若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A、B两点，求三角形AOB面积的最小时的直线的方程______. B能力提升 1．（25-26高三上·辽宁抚顺·阶段检测）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点为，则的欧拉线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）已知直线的方程为（），点，设到的距离为，则（   ） A．的最小值为0，最大值为 B．无最小值，最大值为 C．的最小值为0，无最大值 D．无最小值，也无最大值 3．（多选）（24-25高二上·湖北襄阳·阶段检测）下列说法不正确的是（   ） A．若直线的斜率不存在且过点，则直线方程为 B．直线过定点 C．是直线与直线垂直的充要条件 D．是直线与直线平行的充要条件 4．（24-25高二上·北京·阶段检测）动直线与一点.当点到直线的距离最大时，直线的方程为__________（填一般式）. 5．（25-26高二上·江苏·阶段检测）已知直线：（）. (1)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (2)已知，若点到直线的距离为，求最大时直线的一般式方程. (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时的方程. 6．（25-26高二上·上海·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线轴正半轴于点． (1)当直线的截距相等且不等于零时，求直线的方程； (2)已知点在线段（包括端点）上运动，求的取值范围； (3)求面积的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 直线的一般式方程 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：直线的一般式方程 定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中 ,不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式. 说明： 1．、不全为零才能表示一条直线，若、全为零则不能表示一条直线. 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2．在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程. 3.解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式. 【即学即练1】（25-26高二下·上海青浦·期末）直线的斜率为________． 【答案】 【分析】利用直线一般式方程的斜率公式直接计算即可得到结果. 【详解】已知直线的一般式方程为，当时，直线的斜率公式为. 本题中直线方程为，对应参数，，代入斜率公式可得： . 知识点02：直线的一般式方程与其它形式方程的互化 【即学即练2】（25-26高二·全国·暑假作业）求下列直线的方程，并把它化为一般式． (1)过点，斜率为； (2)在轴、轴上的截距分别为和4． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据点斜式求得直线方程，并化为一般式. （2）根据截距式直线方程，并化为一般式. 【详解】（1）由点斜式可得直线方程为． 化为一般式为． （2）由截距式可得直线方程为． 化为一般式为． 知识点03：直线系方程 1．平行直线系方程 把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为 (其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值. 2．垂直直线系方程 一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为(其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值. 【即学即练3】求满足下列条件的直线方程； (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)过点，且与直线垂直的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行直线的斜率相等即可求解； （2）根据互相垂直的直线的斜率乘积为，从而求解直线方程. 【详解】（1）设与直线平行的直线方程为， 由于过点，代入， 解得，可得， 所以所求的直线方程为； （2）设与直线垂直的直线方程为， 由于过点，代入，解得， 可得， 所以所求的直线方程为. 第三部分 题型精讲 题型01直线的一般式方程及其辨析 【典例1】（24-25高二上·上海·课后作业）直线过第一、二、四象限的充要条件是（    ） A．， B． C．， D．， 【答案】A 【分析】由直线过第一、二、四象限的充要条件是直线斜率小于0且在y轴上的截距大于0，列不等式求解，即得答案. 【详解】由题意直线过第一、二、四象限的充要条件是直线斜率小于0且在y轴上的截距大于0， 即，即，， 故选：A 【典例2】（多选）（25-26高二上·山东临沂·期中）已知直线，下列说法正确的是（    ） A．当时，l过坐标原点 B．当时，l的倾斜角为 C．当时，l与两条坐标轴都相交 D．当，时，l经过第一、二、四象限 【答案】ABD 【分析】原点坐标适合直线方程判断A；方程变形为可判断BC；选项D，化简直线方程为，结合且，判断D. 【详解】选项A，当时，是方程的解，即l过坐标原点，故A正确； 选项B，当时，由不全为0得， 直线的方程可化为垂直x轴，所以l的倾斜角为，故B正确； 选项C，当，时，直线垂直x轴，与y轴平行，不与y轴相交，故C错误； 选项D，由直线，可得， 因为，，所以，则直线斜率，且， 所以直线经过第一、二、四象限，故D正确. 故选：ABD. 【变式1】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·期中）如果，且，那么直线不通过（    ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】D 【分析】通过确定斜率和截距的正负，即可判断. 【详解】因为，且，所以A、B同号， 直线方程化成斜截式得：; 即直线斜率小于0，截距小于0，直线过二三四象限. 故选：D 【变式2】（多选）（25-26高二上·广东汕头·期中）下列说法正确的有（   ） A．直线在轴上的截距为2 B．过点且与直线平行的直线方程是 C．经过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 D．若，，则直线不经过第二象限 【答案】BD 【分析】求出纵截距判断A；利用平行关系求出直线方程判断B；借助截距式方程判断C；确定直线位置判断D. 【详解】对于A，直线在轴上的截距为，A错误； 对于B，设与直线平行的直线方程为， 则，解得，所求直线方程为，B正确； 对于C，当过点且在两坐标轴上截距相等的直线过原点时，方程为，C错误； 对于D，由，得，则直线的横、纵截距分别为，因此直线不经过第二象限，D正确. 故选：BD 【变式3】（多选）（25-26高二上·山西晋中·阶段检测）如果，那么直线通过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ABC 【分析】根据直线的斜率以及轴截距判断即可. 【详解】因为，所以， 由，得直线斜率， 令， 所以直线经过第一、二、三象限. 故选：ABC. 题型02直线的一般式方程与其他形式的相互转化 【典例1】（25-26高二上·天津东丽·阶段检测）过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是__________⋅ 【答案】或 【分析】分截距为0以及截距不为0两种情况分别求解即可. 【详解】当截距为0时,满足在两坐标轴上的截距相等，此时设直线方程为， 则,故，化简得. 当截距不为0时,设直线方程为，则. 故，化简可得. 故答案为：或. 【典例2】（25-26高二上·江西景德镇·期末）根据下列条件分别写出直线和的方程，并化为一般式方程． (1)的斜率是，且经过点，的斜率为，在轴上的截距为； (2)经过两点、，在轴、轴上的截距分别是、． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用点斜式方程写出直线和的方程，然后转化为一般式方程； （2）利用两点式方程可得出直线的方程，利用截距式方程可得出直线的方程，再将这两直线的方程化为一般式方程即可. 【详解】（1）由题意可知直线的方程为，即， 直线的方程为，即. （2）直线的方程为，即， 直线的方程为，即. 【变式1】求适合下列条件的直线的方程： (1)在轴上的截距为，倾斜角的正弦值是； (2)经过点，且在两坐标轴上的截距相等； 【答案】(1)或 (2)或． 【分析】（1）利用同角三角函数关系求得倾斜角的正切值，得到斜率，然后利用直线方程的斜截式得到； （2）分截距为0和不为0两种情况利用截距式求解. 【详解】（1）设直线的倾斜角为，则，则，直线的斜率． 又直线在轴上的截距是，由斜截式得直线方程为，即或． （2）设直线在，轴上的截距均为，若，即过点和． 则的方程为，即． 若，设的方程为．过点，．，的方程为． 综上可知，直线的方程为或． 【变式2】（25-26高二上·贵州遵义·期中）已知的顶点坐标为． (1)求过点且与直线平行的直线的方程（写成一般式）； (2)求边上的中垂线所在直线的方程（写成一般式）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线的斜率，再利用点斜式方程得到所求直线方程，再化为一般式即可； （2）先求出直线的斜率，再根据垂直求出中垂线的斜率，再求出线段的中点，再利用点斜式方程得到所求直线方程，再化为一般式即可. 【详解】（1）设过点且与直线平行的直线为，其斜率为， 则，设， 整理得：. （2）边上的中垂线所在直线为，其斜率为 ，直线，，解得， 又因为的中点坐标为，即， 故可设， 整理得：. 【变式3】（25-26高二上·天津南开·阶段检测）根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式： (1)斜率是，经过点； (2)在轴和轴上的截距分别是，； (3)经过两点、. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）应用点斜式、截距式、两点式依次写出直线方程，并化为一般式即可. 【详解】（1）由点斜式有，整理得； （2）由截距式知，整理得； （3）由两点式知，整理得. 题型03根据直线平行求参数 【典例1】（25-26高二上·江苏苏州·期末）若直线和直线平行，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】B 【分析】由两直线平行，根据平行的判定求的值即可. 【详解】直线和直线平行， ，解得或，经检验时两条直线重合舍去， 所以． 【典例2】（多选）（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知直线：与直线：平行，则的值可能是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】BD 【分析】根据两直线平行时，直线方程一般式系数关系联立方程求. 【详解】因为直线平行于直线，所以由题意可得，解得或， 故选：BD. 【变式1】（25-26高二上·安徽·期末）已知直线与平行，则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 或3 【答案】D 【分析】根据两直线平行的性质进行求解即可. 【详解】∵直线与平行， 解得或， 经检验均满足直线不重合的条件. 故选：D 【变式2】（25-26高二上·四川南充·期末）已知直线，则的充要条件是（    ） A． B． C． D．或2 【答案】B 【分析】根据两直线平行的充要条件列出满足题意的方程或不等式解出即可. 【详解】由， 则， 由， ，解得：. 故选：B 【变式3】（25-26高二上·上海虹口·期中）若与平行，则为__________． 【答案】 0 【详解】因为与平行， 所以，即， 解得或， 当时，两直线方程分别为与，符合条件； 当时，两直线方程分别为与，两直线重合，不符合条件； 所以. 题型04根据直线垂直求参数 【典例1】（25-26高二上·江苏南通·期末）已知直线垂直于直线，则实数（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用两直线垂直可得出，解该方程即可. 【详解】因为直线垂直于直线， 所以，解得. 故选：A. 【典例2】已知直线，，若，则实数______． 【答案】或 【分析】由直线的一般式方程及两条直线垂直的条件可列出方程，解方程得到的值. 【详解】因为直线，所以，解得或． 故答案为：或 【变式1】（25-26高二上·广东韶关·期末）若直线与直线垂直，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的一般式方程判断两直线垂直的条件列式，求解可得答案. 【详解】若直线与直线垂直， 则，解得． 故选：C． 【变式2】（25-26高二上·广西崇左·期末）若直线与互相垂直，则（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】利用两直线垂直的条件建立方程，求解参数即可. 【详解】因为直线与互相垂直， 所以，解得，故D正确. 故选：D 【变式3】（25-26高二上·福建南平·期中）若直线与直线垂直，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据一般式方程下直线垂直的关系列式求解即可. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得. 故选：D 题型05由两条直线平行求方程 【典例1】（25-26高二下·河南信阳·阶段检测）经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线 的斜率为 。 因为所求直线与已知直线平行，故设所求直线方程为 。 将点 代入方程得： ， 因此，所求直线方程为：。 【典例2】（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）直线l过点且与直线平行，则l的方程为____________ 【答案】 【详解】设直线， 依题意得直线l过点， 则， 得， 故l的方程为． 【变式1】（25-26高二下·辽宁·开学考试）经过点，且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设与直线平行的直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以所求直线方程为． 【变式2】（25-26高二上·山西朔州·期末）过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意设与平行的直线方程为，代入点后即可求得，进而得到直线方程. 【详解】设与直线平行的直线方程为， 代入，可得，解得， 故所求直线方程为. 故选：A. 【变式3】（25-26高二上·云南昆明·期末）经过点且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与直线平行的直线方程为，代入点的坐标，即可求解. 【详解】设经过点且与直线平行的直线方程为， 所以，解得，所以直线方程为. 故选：B. 题型06由两条直线垂直求方程 【典例1】（25-26高二上·河南洛阳·期末）过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设所求直线的方程为，将点的坐标代入所求直线的方程，求出的值，即可得出答案. 【详解】因为所求直线与直线垂直，设所求直线的方程为， 将的坐标代入所求直线的方程，得，解得， 故过点且与直线垂直的直线方程为. 故选：A. 【典例2】（25-26高二上·北京·期末）过点且与直线垂直的直线方程为___________． 【答案】 【分析】根据垂直直线的斜率关系设出直线方程，代入点坐标，求解即可. 【详解】与直线垂直的直线方程可设为， 将点代入，得：，解得：， 所以直线方程为：，即. 故答案为：. 【变式1】（25-26高二上·江苏南京·期末）过点且垂直于直线的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线垂直的条件求解即可. 【详解】设垂直于直线的直线方程为， 因为直线过，所以，解得， 所以垂直于直线的直线方程为. 故选：Ａ. 【变式2】（25-26高二上·广东·期末）过点且与垂直的直线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设所求直线方程为，把点代入得的值即可. 【详解】设与垂直的直线方程为， 把点代入得，解得， 故所求直线方程为. 故选：C. 【变式3】（25-26高二上·山西太原·阶段检测）过点且与直线垂直的直线方程是________. 【答案】 【分析】设出直线，利用待定系数法进行求解. 【详解】设与直线垂直的直线方程是， 代入点，得，解得， 所以所求的直线方程是. 故答案为： 题型07直线过定点问题 【典例1】（25-26高二上·广东梅州·期末）无论取何值，直线总经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线化为即可求解． 【详解】由， 当，即时，，解得， 所以无论取何值，直线总经过点． 故选：C． 【典例2】（25-26高二上·上海松江·阶段检测）直线所过定点为______ 【答案】 【分析】对等式进行变形，通过解方程组进行求解即可. 【详解】， 因为直线恒过定点， 所以有， 因此该直线恒过点. 故答案为： 【变式1】（25-26高二上·广西玉林·期末）直线一定经过点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的直线方程，直接求出所过定点坐标即可. 【详解】直线，即，对任意实数，当时，恒成立， 所以点的坐标. 故选：A 【变式2】（25-26高二上·湖南邵阳·期末）直线过定点________. 【答案】 【分析】将直线方程整理成关于的方程，根据题意列方程组求解即得定点. 【详解】由整理得：， 因，则，解得，即直线经过定点. 故答案为：. 【变式3】（25-26高二上·天津·期末）已知直线：总是经过定点，则定点坐标为_______. 【答案】 【分析】将方程变形为，即可求解. 【详解】由可得， 令，解得， 故定点为， 故答案为： 题型08直线综合 【典例1】（25-26高二上·湖南永州·期中）已知点.求： (1)过点P且在y轴上截距的直线的方程； (2)已知直线，直线经过两点，若，求实数m的值. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）设该直线的方程为，将点代入，求得，即可求解； （2）求得的方程，根据，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：因为直线在y轴上截距，设该直线的方程为， 将点代入直线方程，可得，解得， 所以的方程为. （2）解：易知存在，由，可得， 又由直线，且，可得， 即，解得， 所以实数的值为或. 【典例2】（25-26高三上·河南·期末）已知平面内三点，，. (1)若直线经过点且与线段有交点，求直线的斜率的取值范围； (2)若直线经过点，且与，轴的正半轴分别交于， 两点，求的最小值及此时的方程. 【答案】(1) (2)12， 【分析】（1）求出直线，AC的斜率，然后利用数形结合求解直线的斜率范围； （2）由题意直线的方程为，求出， 两点坐标，则，然后利用基本不等式求解最小值及直线的方程. 【详解】（1）因为，，， 所以直线，AC的斜率分别为，. 因为直线经过点A且与线段BC有交点，所以其斜率k满足， 即，即直线的斜率的取值范围是. （2）由题意，得直线的斜率存在，设为，则. 因为直线过点，所以直线的方程为. 令，解得；令，解得，则，. 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为12. 此时直线的方程为. 【变式1】（25-26高二上·四川南充·期末）已知的三个顶点． (1)求边上的高所在直线的方程： (2)若点是线段的中点，直线经过点且平行于直线，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出BC的斜率，从而可求BC边的高的斜率，由此利用点斜式方程能求出BC边的高所在直线的方程． （2）利用中点坐标公式求出，，由此能求出过点M且平行于边的直线方程． 【详解】（1）因为，所以， 所以边上的高所在直线的斜率为，又， 所以边上的高所在直线的方程为， 即； （2）因为，且点是线段的中点， 所以，即， 又，所以， 又因为直线经过点且平行于直线，所以， 所以直线的方程为，即． 【变式2】（2025高二上·江苏南京·专题练习）已知直线． (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2)． (3), ． 【分析】（1）根据直线的点斜式方程判断定点即可； （2）根据斜截式方程的意义得即可求得答案； （3）根据题意，进而求得直线在坐标轴上的截距，最后计算面积，并结合基本不等式求最值即可. 【详解】（1）解：直线的方程可化为， 根据直线的点斜式方程，可知无论取何值，直线总过定点． （2）解：由题意，直线，即， 因为直线不经过第四象限，所以，解得． 所以的取值范围为 （3）解：由题意知，，当时，，即点， 当时，，即点， 所以，， 所以的面积 因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 所以，此时，直线． 【变式3】（25-26高二上·甘肃兰州·期中）设直线的方程为. (1)若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； (2)若不经过第二象限，求实数的取值范围； (3)若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，O为坐标原点，记的面积为S，求S的最小值及S最小时直线的方程. 【答案】(1)或. (2) (3)最小值是6， 【分析】（1）根据截距的定义分类讨论计算即可； （2）利用直线的性质列出参数a的范围计算即可； （3）直接计算A、B的坐标，含参表示三角形面积，根据基本不等式计算最值即可. 【详解】（1）当直线l过原点时满足条件，此时，即，则直线l的方程为； 当直线l不过原点时，由直线l在两坐标轴上的截距相等可知其斜率为， 故，即，可得直线l的方程为. 综上所述，直线l的方程为或； （2）∵l不经过第二象限，∴. 解得. ∴实数a的取值范围是. （3）对于方程， 令，解得，由题知，解得； 令，解得，由题知，解得或. 综上可得. ∴ ， 当且仅当，即时取等号, ∴的面积S的最小值是6，此时直线l的方程为. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知直线与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，与垂直，可得： ，解得. 2．（2026高二上·陕西咸阳·竞赛）已知直线，，若，则实数（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】因为，所以，所以. 3．（2026·重庆万州·三模）若直线与直线垂直，则m=（   ） A． B．15 C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线垂直的充要条件求解即可. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得. 4．（25-26高二下·江西赣州·期中）已知直线与直线，若，则（   ） A．1或 B．或5 C．1 D． 【答案】D 【分析】根据直线的平行可得出关于的方程，求得的值，检验后即得答案. 【详解】因为， 所以，解得或， 当时，，，此时两直线重合，不符题意； 当时，，，两直线平行， 所以. 5．（25-26高二上·安徽合肥·期末）若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】讨论直线是否经过原点，经过原点时，设为，不经过原点时设为，代入求解. 【详解】当直线经过原点时，在两个轴上的截距都为， 设直线方程为，代入点，，此时直线的斜率为； 当直线不经过原点时，设直线的截距式方程为， 代入点解得，此时直线的斜率为. 故选：D. 6．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知函数（且）的图象恒过定点，且点在直线（，）上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数（且）的图象恒过定点可知函数恒过定点，代入直线可得，由于，，再利用均值不等式求出的最小值. 【详解】因为函数（且）的图象恒过定点，所以函数恒过定点，因为点在直线上，所以， 因为，， 所以，， 当且仅当即时取等号. 二、多选题 7．（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）下列结论正确的有（    ） A．倾斜角为的直线l的一个方向向量是 B．直线恒过定点 C．不论m为何实数，直线与直线互相垂直 D．在x，y轴上的截距为a，b的直线可表示为 【答案】AC 【分析】对于A，根据直线方向向量的概念求解即可；对于B，根据直线定点的求解方式求出直线定点即可；对于C，根据直线位置的判定判断即可；对于D，根据截距式不能表示截距为0的直线判断即可． 【详解】对于A，直线l的倾斜角为，斜率为，一个方向向量是，A正确； 对于B，直线，即，恒过定点，B错误； 对于C，当时，显然，当时，，所以，C正确； 对于D，截距式不能表示截距为0的直线，D错误． 8．（25-26高二上·江苏泰州·期中）以下四个命题表述正确的是（   ） A．直线恒过定点 B．若直线：与：互相垂直，则实数 C．已知直线：与：平行，则或0 D．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为0，则该直线方程为 【答案】ABC 【分析】由直线恒过定点可判断A，由直线垂直和平行的条件可判断B和C，由直线的截距式方程可判断D. 【详解】对于A，变形为. 因为该方程对任意恒成立， 所以必有，解得. 所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，若，则，解得，故B正确； 对于C，若，则，解得或0， 当时，：，：，所以符合题意， 当时，：，：，所以符合题意，故C正确； 对于D，当直线过原点时，方程为， 当直线不过原点时，设直线方程为，又因为直线过点， 所以，解得，所以直线方程为，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 9．（24-25高二上·辽宁·阶段检测）已知直线过点，则当取得最小值时，直线的方程为______． 【答案】 【分析】由已知得，根据基本不等式“1”的代换可得的最小值，且可得取最小值时与的值，进而得解直线的方程． 【详解】因为直线过点， 所以， 则， 当且仅当，即时，取到最小值， 故此时直线的方程为，即. 故答案为：. 10．（23-24高二上·河北石家庄·阶段检测）直线，若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A、B两点，求三角形AOB面积的最小时的直线的方程______. 【答案】 【分析】由题可得直线所过定点为，则设直线为，其中，则问题转化为已知，，求的最小值，利用基本不等式可得答案. 【详解】 ，即直线所过定点为. 由题设直线方程为：，其中，则,. 由基本不等式，，面积的最小值为4， 当且仅当，即时取等号. 则三角形AOB面积最小时直线方程为 故答案为： B能力提升 1．（25-26高三上·辽宁抚顺·阶段检测）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点为，则的欧拉线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形的重心坐标公式求重心坐标，判断是直角三角形，确定其外心坐标，再根据两点求三角形的欧拉线方程. 【详解】设的外心、重心、垂心分别为， 因为，，所以的重心为， 又，所以. 所以是直角三角形，，所以的外心就是斜边的中点，即 则，所以的欧拉线方程为，即． 故选：A 2．（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）已知直线的方程为（），点，设到的距离为，则（   ） A．的最小值为0，最大值为 B．无最小值，最大值为 C．的最小值为0，无最大值 D．无最小值，也无最大值 【答案】C 【分析】先求得直线所过定点，然后分析直线与垂直，直线过点两种情况，即可得解. 【详解】直线， 即，由，解得， 所以直线过定点， 因为, 若时，则 可取最大值，最大值为， 若，则其斜率应为1， 当时，直线的斜率为，令可得，此方程无解，矛盾， 当时，直线为，斜率不存在，不满足垂直条件，矛盾， 故不存在使得， 所以，无最大值. 当直线过点时，即时，到的距离最小. 故选：C 3．（多选）（24-25高二上·湖北襄阳·阶段检测）下列说法不正确的是（   ） A．若直线的斜率不存在且过点，则直线方程为 B．直线过定点 C．是直线与直线垂直的充要条件 D．是直线与直线平行的充要条件 【答案】ACD 【分析】由直线与轴垂直，又过点可得A错误；将直线方程变形为的方程可得直线所过定点，进而得到B正确；由两直线垂直的关系可得C错误；由两直线平行的关系可得D错误； 【详解】对于A，当直线的斜率不存在时，直线与轴垂直，又过点，所以直线方程为，故A错误； 对于B，直线方程变形为， 令，即过定点，故B正确； 对于C，对于直线和， 若两直线垂直，则. 对于直线与直线， 由垂直条件可得，即，解得或. 所以是两直线垂直的充分不必要条件，故C错误； 对于D，若两直线平行，则. 对于直线与直线， 由平行条件可得. 由得，即，解得. 当时，，，， 不满足，所以两直线不平行. 所以不是两直线平行的充要条件，故D错误. 故选：ACD. 4．（24-25高二上·北京·阶段检测）动直线与一点.当点到直线的距离最大时，直线的方程为__________（填一般式）. 【答案】 【分析】将直线方程转化为交点直线系方程，联立直线方程即可求得定点坐标；当定点与点点构成的直线与垂直时，则点到直线的距离最大时，则问题得解. 【详解】因为， 即， 故直线恒过定点为直线与直线的交点， 联立方程解得直线恒过定点； 当点与定点构成的直线与垂直时，点到直线的距离最大， 此时必有，即，解得. 则，解得， 故直线的方程为：. 故答案为：. 5．（25-26高二上·江苏·阶段检测）已知直线：（）. (1)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (2)已知，若点到直线的距离为，求最大时直线的一般式方程. (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时的方程. 【答案】(1)； (2)； (3)最小值是4，方程为. 【分析】（1）由直线过定点可得斜率的范围； （2）根据（1）的结论，结合互相垂直两直线斜率的性质进行求解即可； （3）求出，两点坐标，求出面积，由基本不等式求得最值. 【详解】（1）直线方程为：：，它过定点，在第二象限， 因此直线不过第四象限，则 ∴的取值范围是； （2）由（1）知直线l恒过定点， 当且仅当时，d取得最大值，此时直线的斜率， 因此直线的斜率，直线的方程为， 所以直线的一般式方程为. （3）易知，令得，令，得， 即，， ∴， 当且仅当，即时取等号， ∴最小值是4，此时方程为，即. 6．（25-26高二上·上海·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线轴正半轴于点． (1)当直线的截距相等且不等于零时，求直线的方程； (2)已知点在线段（包括端点）上运动，求的取值范围； (3)求面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3)16 【分析】（1）依题意设出直线的截距式方程，代入点求出的值，即得直线方程； （2）由直线的方程得，代入消元可得关于的二次函数，进而求其范围； （3）根据直线斜率是否存在分类讨论，求得，的坐标，进一步用坐标表示三角形的面积，利用换元法和二次函数的性质可得最值. 【详解】（1）依题意，设直线的方程为，因直线经过点，代入解得，故直线的方程为. （2）由、，得线段的方程为：， 因为点在线段（包括端点）上运动，所以，则， 因此， 因为二次函数的开口向上，对称轴方程为， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因此，当时，有最小值，最小值， 当时，有最大值，最大值， 故的取值范围是. （3）当过点的直线斜率不存在时，、， 此时． 当过点的直线斜率存在时， 设直线AB的方程为，即． 直线AB与相交，可得， 直线AB与x轴正半轴相交于B，可得． 由，解得或． 则． 令，则（或）， 可得， 由或，可得或， 根据二次函数的单调性可知，当，有最大值，最大值为， 此时面积有最小值，且，此时，、符合题意． 综上所述，面积的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $