四川省仁寿第一中学校南校区2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

仁寿一中南校区高2025级高二上学期10月月考 数学试卷 本试卷分为试题卷和答题卡两部分,其中试题卷共4页;答题卡共6页。满分150分, 考试时间120分钟。 注意事项: 1. 答题前,考生务必将自己的班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚,同时用2B 铅笔将考号准确填涂在“准考证号”栏目内。 2. 选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上,如需改动,用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案;非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。 3. 考试结束后将答题卡收回。 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一顼是符合题目要求的。 1.已知直线经过,两点,则直线的斜率为( ) A.3 B. C.1 D. 2.已知,若不能构成空间的一个基底,则( ) A.3 B.1 C.5 D.7 3.抛掷一枚质地均匀且各个面上分别标有数字的正方体玩具.设事件为“向上一面点数为偶数”,事件为“向上一面点数为6的约数”,则等于( ) A. B. C. D. 4.设,且,则( ) A. B.0 C.3 D. 5.已知事件、、两两互斥,若,则( ) A. B. C. D. 6.若甲、乙、丙三人排队,则甲排在第二位的概率为( ) A. B. C. D. 7.设,若直线与线段AB有交点,则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.若向量是空间中的一个基底,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组,使得:,我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标.设向量在基底下的斜坐标为,则向量在基底下的斜坐标为( ) A. B. C. D. 二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.下列命题正确的是( ) A.设A,B是两个随机事件,“A与是互斥事件”是“与互为对立事件”的充分不必要条件 B.若,则事件A,B相互独立与A,B互斥一定不能同时成立 C.若三个事件A,B,C两两独立,则满足 D.若事件A,B相互独立,,则 10.关于空间向量,以下说法正确的是( ) A.若两个不同平面,的法向量分别是,,且,则 B.若直线l的方向向量为,平面的法向量为,则直线 C.若对空间中任意一点O,有,则P,A,B,C四点共面 D.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则这两个向量共线 11.如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,,,点P,E分别为AB,AA1的中点,点M为直线CD1上的动点,点N为直线C1D1上的动点,则( ) A. 对任意的点N,一定存在点M,使得 B. 向量,,共面 C. 异面直线PM和AA1所成角的最小值为 D. 存在点M,使得直线PM与平面所成角为 三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分。将答案填写在答题卡的横线上。 12.求经过直线和的交点,且平行于直线的直线为 . 13.已知复数,其中,,则复数是纯虚数的概率为 . 14.棱长为1的正方体中,点在棱上运动,点在侧面上运动,满足平面,则线段的最小值为. 四、解答题:共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)校羽毛队有3名男队员、2名女队员,现采用不放回简单随机抽样从中抽取2人. (1)列举出所有等可能的基本事件,并求抽取到的2人全是男队员的概率; (2)若选出的两名选手分别为甲、乙,进行定点发球比拼,甲发球成功的概率为0.7,乙发球成功的概率为0.8,两人发球互不影响.求:甲、乙至少有一人发球成功的概率. 16.(15分)在中国共产主义青年团成立100周年之际,某校举办了 “强国有我,挑战答题” 的知识竞赛活动,已知甲、乙两队参加,每队3人,每人回答且仅回答一个问题,答对者为本队赢得1分,答错得0分. 假设甲队中3人答对的概率分别为,,,乙队中每人答对的概率均为,且各人回答问题正确与否互不影响. (1) 分别求甲队总得分为1分和2分的概率; (2) 求活动结束后,甲、乙两队共得4分的概率. 17.(15分)如图,在三棱锥中,平面,,,,分别是棱,,的中点,,. (1)证明:平面; (2)求直线与平面所成角的正弦值; (3)求点到平面的距离. 18.(17分)如图,直三棱柱中,是边长为2的正三角形,为的中点. (1)证明:平面; (2)若直线与平面所成的角的正切值为,求平面与平面夹角的余弦值. 19. (17分)如图,四棱锥的底面为平行四边形,为正三角形,平面,,,点 满足( ). (1)若时,求三棱锥的体积; (2)若平面过直线,且平面,平面与侧棱,分别交于点,.是否存在点 ,使得平面与平面的夹角为?若存在,请说明点 的位置,并求此时的面积;若不存在,请说明理由. 仁寿一中南校区高2025级高二上月考 数学试卷 命题人:郭磊 廖建忠 陈正斌 本试卷分为试题卷和答题卡两部分,其中试题卷共4页;答题卡共6页。满分150分, 考试时间120分钟。 注意事项: 1. 答题前,考生务必将自己的班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚,同时用2B 铅笔将考号准确填涂在“准考证号”栏目内。 2. 选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上,如需改动,用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案;非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。 3. 考试结束后将答题卡收回。 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一顼是符合题目要求的。 1.已知直线经过,两点,则直线的斜率为( D ) A.3 B. C.1 D. 2.已知,若不能构成空间的一个基底,则( B ) A.3 B.1 C.5 D.7 3.抛掷一枚质地均匀且各个面上分别标有数字的正方体玩具.设事件为“向上一面点数为偶数”,事件为“向上一面点数为6的约数”,则等于( D ) A. B. C. D. 4.设,且,则( D ) A. B.0 C.3 D. 5.已知事件、、两两互斥,若,则( B ) A. B. C. D. 6.若甲、乙、丙三人排队,则甲排在第二位的概率为( B ) A. B. C. D. 7.若直线的倾斜角为,方向向量为,则实数的值是( B ) A. B. C. D. 8.若向量是空间中的一个基底,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组,使得:,我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标.设向量在基底下的斜坐标为,则向量在基底下的斜坐标为( D ) A. B. C. D. 二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.下列命题正确的是( BD ) A.设A,B是两个随机事件,“A与是互斥事件”是“与互为对立事件”的充分不必要条件 B.若,则事件A,B相互独立与A,B互斥一定不能同时成立 C.若三个事件A,B,C两两独立,则满足 D.若事件A,B相互独立,,则 10.关于空间向量,以下说法正确的是( ACD ) A.若两个不同平面,的法向量分别是,,且,则 B.若直线l的方向向量为,平面的法向量为,则直线 C.若对空间中任意一点O,有,则P,A,B,C四点共面 D.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则这两个向量共线 11.如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,,,点P,E分别为AB,AA1的中点,点M为直线CD1上的动点,点N为直线C1D1上的动点,则( BCD ) A. 对任意的点N,一定存在点M,使得 B. 向量,,共面 C. 异面直线PM和AA1所成角的最小值为 D. 存在点M,使得直线PM与平面所成角为 三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分。将答案填写在答题卡的横线上。 12.求经过直线和的交点,且平行于直线的直线为 . 13.已知复数,其中,,则复数是纯虚数的概率为 . 14.已知平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中,AB=4,AD=3,AA′=5,∠BAD=90 ,∠BAA′=∠DAA′=60 ,则与的夹角的余弦值为 . 四、解答题:共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)校羽毛队有3名男队员、2名女队员,现采用不放回简单随机抽样从中抽取2人. (1)列举出所有等可能的基本事件,并求抽取到的2人全是男队员的概率; (2)若选出的两名选手分别为甲、乙,进行定点发球比拼,甲发球成功的概率为0.7,乙发球成功的概率为0.8,两人发球互不影响.求:甲、乙至少有一人发球成功的概率. 解:(1)设3名男队员为,2名女队员为,采用不放回简单随机抽样抽取2人, 所有可能的基本事件为: ,共个, 其中抽取到的2人全是男队员,包含的基本事件为:,共3个, 故抽取到的2人全是男队员的概率为:. (2)设 “甲发球成功” 为事件M,“乙发球成功” 为事件N, 由题意知M与N相互独立,且. 甲、乙至少有一人发球成功的对立事件是“两人发球失败”, 两人都失败的概率:, 故至少一人发球成功的概率为:. 16.(15分)在中国共产主义青年团成立100周年之际,某校举办了 “强国有我,挑战答题” 的知识竞赛活动,已知甲、乙两队参加,每队3人,每人回答且仅回答一个问题,答对者为本队赢得1分,答错得0分. 假设甲队中3人答对的概率分别为,,,乙队中每人答对的概率均为,且各人回答问题正确与否互不影响. (1) 分别求甲队总得分为1分和2分的概率; (2) 求活动结束后,甲、乙两队共得4分的概率. 解:(1)设甲队总得分为1分为事件,甲队总得分为2分为事件, 则. . 所以甲队总得分为1分的概率为,2分的概率为. (2)依题意甲队总得分为0分,即3道题全部错误的概率为 . 得1分的概率为,得2分的概率为,得3分的概率为; 乙队总得分为0分的概率为,得1分的概率为, 得2分的概率为,得3分的概率为. 则活动结束后,甲、乙两队共得4分的概率:. 17.(15分)如图,在三棱锥中,平面,,,,分别是棱,,的中点,,. (1)证明:平面; (2)求直线与平面所成角的正弦值; (3)求点到平面的距离. 解:(1)略. (2)因为平面,平面,所以,. 因为,所以,,两两垂直. 以点为坐标原点,,,所在的直线分别为,,轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 因为,,,,分别是棱,,的中点, 所以,,,,,,, 所以,,. 设平面的法向量为, 则令,则,,所以. 设直线与平面所成的角为,则, 故直线与平面所成角的正弦值为. (3)由(2)得,平面的一个法向量为, 所以点到平面的距离. 18.(17分)如图,直三棱柱中,是边长为2的正三角形,为的中点. (1)证明:平面; (2)若直线与平面所成的角的正切值为,求平面与平面夹角的余弦值. 解:(1)是正三角形,为的中点,.又是直三棱柱,平面ABC,.又,平面. (2)连接,由(1)知平面, ∴直线与平面所成的角为,. 是边长为2的正三角形,则,. 直角中,,,. 建立如图所示坐标系,则,,,,. ,,设平面的法向量为,则,即,解得平面的法向量为. ,,设平面的法向量为,则,即,解得平面的法向量为. 设平面与平面夹角为,则 .平面与平面夹角的余弦值为. 20. (17分)如图,四棱锥的底面为平行四边形,为正三角形,平面,,,点 满足( ). (1)若时,求三棱锥的体积; (2)若平面过直线,且平面,平面与侧棱,分别交于点,.是否存在点 ,使得平面与平面的夹角为?若存在,请说明点 的位置,并求此时的面积;若不存在,请说明理由. 解:(1) (2)连接,, 由平面过直线,且,平面,则平面是平面, 因为平面,平面平面,所以, 结合(1)的空间直角坐标系, 不妨设,则,, 又,,,, 则,所以, ,所以, 所以,, 设平面的法向量为,则, 令,则,,所以, 显然是平面的一条法向量, 又平面与平面的夹角为, 则, 整理得,解得,或(舍去), 即点,分别为侧棱,的中点,且平面的法向量为, 又点 满足( ), 结合(1)有, 则, 又平面,则, 所以,解得, 所以存在点(为的三等分点,且靠近处),使得平面与平面的夹角为. 结合(1),在中有,则, 在正三角形中,有,则, 又平面,,则平面, 又平面,则, 所以此时的面积为. 1 学科网(北京)股份有限公司 $