2.5.1 直线与圆的位置关系（二）同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.5.1 直线与圆的位置关系（二） 课时作业 【基本技能训练】 1.已知圆C：x2+y2-4x=0与直线l切于点P(1，)，则直线l的方程为(　　) A.x-y+2=0 B.x-y+4=0 C.x+y+4=0 D.x+y-2=0 2.直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(-2，3)，则直线l的方程为　　　　　　. 3．若直线与圆有两个公共点，则点与圆的位置关系是（   ） A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆内 D．以上都有可能 4．一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为25 nmile的圆形区域内.现有一艘货船在小岛中心的正东方向40 nmile处，沿北偏西60°的方向直线航行，则该货船在暗礁区内航行的路程为（   ） A．0 nmile B．15 nmile C．30 nmile D．40 nmile 5．中国拱桥一般分为圆弧线型、抛物线型和悬链线型．如图在一个圆弧线型拱桥中，圆拱跨度米，拱高米，现有一船，宽8米，露出水面的高度为米，则下列数据中能安全过桥的最高值为（   ）米（参考数据：） A．3.0 B．3.1 C．3.2 D．3.3 6．圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为，求该圆的方程. 【能力提升】 7．已知直线与圆相交于两点，若为等腰直角三角形，则的值为（   ） A．1 B．7 C．1或7 D．1或 8.(多选)已知直线l：mx-y+2+m=0和圆C：(x-1)2+(y-2)2=9相交于M，N两点，则下列说法正确的是(　　) A.若直线不过第四象限，则m>0 B.|MN|>2 C.·的最小值为-9 D.若圆C上到直线l的距离为的点恰好有三个，则m= 9．如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于160m.经测量，点位于点正北方向120m处，点位于点正东方向340m处（OC为河岸），. (1)求新桥BC的长; (2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大? 【滚动练习】 10． 已知向量，，，若共面，则在上的投影向量的模为______． *(选做)11.已知点A(-2，0)，B(0，-2)，点P在圆C：(x-2)2+y2=2上运动，∠PAB的最大值为α，最小值为β，则sin α+sin β=　　　　　. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.1 直线与圆的位置关系（二） 课时作业答案 1.答案　A 解析　圆C：x2+y2-4x=0可化为(x-2)2+y2=4，即圆心为(2，0)，因为P(1，)，所以点P与圆心的连线所在直线的斜率为=-，则直线l的斜率为，所以直线l的方程为y-=(x-1)，即x-y+2=0. 2.答案　x-y+5=0 解析　由圆的方程可得，圆心为P(-1，2)， 所以kPC==-1，故直线l的斜率k=1， 所以直线方程为y-3=x+2，即x-y+5=0. 3．B 【详解】因为直线与圆有两个公共点， 所以圆心到直线的距离小于半径1，即， 所以，所以，所以点在圆外， 4．C 【详解】以小岛中心为原点，建立如图所示直角坐标系， 则，， 所以直线的斜率为，方程为， 即，则到的距离为， 所以，即该货船在暗礁区内航行的路程为30 nmile. 5．B 【详解】如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为轴，过桥的最高点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置， 则，，， 设圆拱桥所在圆的方程为， 由已知得：；， 解得，. 故圆的方程为， 令，解得（负根舍去），， 可得题目数据中能安全过桥的最高值为3.1（米）. 6．【详解】圆C的圆心坐标为，设半径为，圆C与轴相切，则有， 又因为圆心C在直线上，所以，则 设圆心C到直线的距离为，， 因为圆C被直线截得弦长为， 所以有，于是有，即， 所以圆心为（1，3）或（-1，-3），半径 7．D 【详解】解：由题意得，圆的圆心为，半径为2， 由于直线与圆相交于，两点，且为等腰直角三角形， 可知，， 所以， ∴圆心到直线的距离等于， 再利用点到直线的距离公式可得： 圆心到直线的距离， 解得：或，所以实数的值为1或. 8.答案　BC 解析　对于A，l：m(x+1)-y+2=0可化为y-2=m(x+1)， 直线恒过定点A(-1，2)，若直线不过第四象限，则m≥0，故A错误； 对于B，由题意可知，当l⊥AC时，圆心到直线l的距离最大，此时|MN|最小， 圆C：(x-1)2+(y-2)2=9，圆心C(1，2)，半径r=3， 其中|AC|==2， 此时|MN|=2×=2，又因为lMN：x+1=0，而直线l：mx-y+2+m=0不可能表示x+1=0，所以|MN|>2，故B正确； 对于C，·=||·||cos∠MCN=9cos∠MCN， 因为cos∠MCN的最小值为-1， 如图，当M，C，N三点共线时，·取到最小值，为-9，故C正确； 对于D，圆C：(x-1)2+(y-2)2=9，因为圆C上到直线l的距离为的点恰好有三个， 所以圆心到直线l的距离d=， 即=，解得m=±，故D错误. 9.【详解】（1）如下图，以为轴建立直角坐标系，则， 由题设，则， 而，则，故， 联立，可得，即， 所以m. （2）设，而，则圆的半径， 由且，则，故， 所以，解得，故时m，此时圆的面积最大. 所以，圆的面积最大. 10． 【详解】因为四点共面，所以存在实数使， 所以， 可得，解得， 所以，，， 所以在上的投影向量为， 所以投影向量的模长为 11.答案　 解析　如图，过点A向圆引两条切线，切点分别为P1，P2，连接CP1，CP2，则CP1⊥AP1， 易得∠P1AB与∠P2AB分别为∠PAB的最大角、最小角， 设∠P1AC=θ，由对称性知∠P2AC=∠P1AC=θ，θ∈， 由圆C：(x-2)2+y2=2知，圆心为C(2，0)，半径r=. 由|AC|=4，|CP1|=，得sin θ==，则cos θ==. 由A(-2，0)，B(0，-2)，C(2，0)，知∠BAC=45°，则α=45°+θ，β=45°-θ， 故sin α+sin β=sin(45°+θ)+sin(45°-θ) =(cos θ+sin θ)+(cos θ-sin θ)=cos θ=×= 学科网（北京）股份有限公司 $