2.5.1 直线与圆的位置关系（第1课时：会判断直线和圆的位置关系、根据其位置关系求参） 同步练- 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.5.1 直线与圆的位置关系 （第1课时：会判断直线和圆的位置关系、根据其位置关系求参） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】求实数m的取值范围，使直线与圆分别满足： (1)相交； (2)相切； (3)相离． 【例2】已知圆，直线，若圆上恰有两点到直线的距离为1，求的取值范围． 【例3】已知实数满足．求： (1)的最大值； (2)的最小值； (3)的最值． 【例4】已知圆的半径为2，圆心在轴正半轴上，直线与圆相切． (1)求圆的方程； (2)若过点的直线与圆交于不同的两点，，且，为坐标原点，求直线的方程． 【基础夯实】 一、单选题 1．直线和圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定. 2．已知圆上到直线的距离为的点有且仅有个，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知直线与圆相切，则（     ） A． B． C．或 D． 或 4．直线交圆于、两点，则（   ） A． B． C．1 D．2 5．已知直线与圆相交于、两点，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D． 6．一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 二、多选题 7．已知直线：与圆：，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当时，直线与圆相切 C．当时，直线与圆相交 D．当时，直线与圆相离 8．过点的直线与圆有公共点，则直线l的斜率可以是（    ） A． B．2 C． D． 9．已知实数、满足方程，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 三、填空题 10．已知直线与圆：相交，则实数的取值范围为_________． 11．圆上的点到直线的最小距离是______. 12．在平面直角坐标系中，过点的直线与圆交于，两点，其中点在第一象限，且，则直线的倾斜角为______. 四、解答题 13．已知圆，直线. (1)若，求直线被圆所截得的弦长； (2)若直线与圆相交，求实数的取值范围； (3)若直线斜率为，且与圆相切，求直线的方程. 14．已知直线与圆交于两点． (1)当最大时，求直线的方程； (2)若，证明：为定值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.1 直线与圆的位置关系 （第1课时：会判断直线和圆的位置关系、根据其位置关系求参） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】求实数m的取值范围，使直线与圆分别满足： (1)相交； (2)相切； (3)相离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出圆心到直线的距离、圆的半径，若相交，则可得答案； （2）若相切，则可得答案； （3）若相离，则肯定答案. 【详解】（1）圆的方程化为标准式为， 故圆心到直线的距离，圆的半径， 若相交，则，即，所以； （2）若相切，则，即，所以； （3）若相离，则，即，所以. 【例2】已知圆，直线，若圆上恰有两点到直线的距离为1，求的取值范围． 【答案】的取值范围 【分析】求得圆心到直线的距离，进而可得，求解即可. 【详解】由，可得圆的圆心， 则到直线的距离， 当圆上到直线的距离为1的点的个数为2时，可得， 解得. 所以的取值范围． . 【例3】已知实数满足．求： (1)的最大值； (2)的最小值； (3)的最值． 【答案】(1) (2) (3)最小值为，最大值为． 【分析】（1）设，利用直线与圆相切时，取得最大值或最小值即可求解； （2）设，利用直线与圆相切时，取得最大值或最小值即可求解； （3）解法一：通过的几何意义即可求解；解法二：令，，，通过三角函数求解的最值即可. 【详解】（1）已知原式可化为，它表示以为圆心，以为半径的圆，    设，则，直线与圆相切时，取得最大值或最小值， 此时，解得或（舍去）， 所以的最大值为． （2）设，即直线，为直线在轴上的截距， 由图可知，当直线与圆切于点时，有最小值，此时圆心到直线的距离为半径， 即，解得或（舍去）， 故的最小值为． （3）解法一：记，则，其中为圆上任一动点．易求， 由图可知，当点位于点时，最大；当点位于点时，最小． 因此所求的最大值为，最小值为， 即的最大值为，最小值为. 解法二：设为圆上任一动点，令，，， 则，其中， 由于，所以，所以， 即的最大值为，最小值为. 【例4】已知圆的半径为2，圆心在轴正半轴上，直线与圆相切． (1)求圆的方程； (2)若过点的直线与圆交于不同的两点，，且，为坐标原点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出圆心坐标，根据圆心到直线距离等于半径得到方程，求出，得到圆的方程； （2）设出直线，联立圆的方程，得到两根之和，两根之积，由得到，根据得到方程，求出，得到答案. 【详解】（1）设圆心坐标为，，所以，解得或（舍去）， 所以圆的方程为． （2）设，，直线， 联立得，， ，解得， 所以，， ， 因为， 所以，解得或（舍去）， 所以直线． 【基础夯实】 一、单选题 1．直线和圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定. 【答案】C 【详解】圆化为标准方程， 故圆心坐标为，半径， 则圆心到直线的距离 ， 故直线与圆相切. 2．已知圆上到直线的距离为的点有且仅有个，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】将圆上距离已知直线距离为的点有且仅有个，转换为圆与平行于已知直线且距离为的两条直线的交点数总和为. 【详解】与直线平行的直线可表示为， 两平行直线相距为时，，解得或， 所以与已知直线平行且相距为的直线是和. 要使圆上到直线的距离为的点有且仅有个， 即圆与和的交点数总和为， 圆的圆心到直线的距离，所以直线与圆必相交，交点有个， 因此圆与直线只能有一个交点，即圆心到直线的距离为， 所以，解得. 3．已知直线与圆相切，则（     ） A． B． C．或 D． 或 【答案】B 【分析】由直线与圆的位置关系列出方程求解即可. 【详解】因为圆的圆心，半径， 由题意可得， 整理得， 解得. 4．直线交圆于、两点，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】直线与圆方程联立，求出点坐标，再根据平面向量数量积的坐标运算，可求. 【详解】联立解得：，， 所以. 故选：D 5．已知直线与圆相交于、两点，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】由直线的方程可确定直线过定点，则当点到直线的距离的最大值为时，取最小值. 【详解】直线，可化为，则直线过定点， 圆配方得，可得圆心，半径， 所以，即点在圆内， 则当点到直线的距离的最大值为时，， 故选：C． 6．一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】建立合适的直角坐标系，利用待定系数法求出圆的方程，当水面下降1米后，设水面所在直线与圆的交点为，将点的坐标代入圆的方程，求出的值，即可得到答案． 【详解】如图建立平面直角坐标系，则圆心在y轴上，设圆的半径为r， 则圆的方程为， ∵拱顶离水面3米，水面宽12米，∴圆过点， ∴，∴， ∴圆的方程为， 当水面下降1米后，可设水面的端点坐标为，则，∴， ∴当水面下降1米后，水面宽度为． 故选：C． 二、多选题 7．已知直线：与圆：，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当时，直线与圆相切 C．当时，直线与圆相交 D．当时，直线与圆相离 【答案】AC 【分析】根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，与圆的半径进行比较，即可判断直线与圆的位置关系. 【详解】圆：，配方得，圆心坐标，半径. 选项A：令，则，与无关，所以直线恒过定点，A正确. 选项B：当时，直线方程为. 圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，B错误. 选项C：当时，直线方程为. 圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，C正确. 选项D：当时，直线方程为. 圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，D错误. 故选：AC. 8．过点的直线与圆有公共点，则直线l的斜率可以是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】AD 【分析】法一：设直线l的斜率为k，可得直线l的方程，与圆联立，可得关于x的一元二次方程，由题意，判别式，计算化简，即可得答案；法二：设直线方程为，根据圆心到直线的距离小于等于半径即可得到不等式，解出即可. 【详解】法一：由题意，直线l的斜率存在，且设为k，则直线l的方程为， 因为直线与圆有公共点， 所以联立，得， 判别式，解得. 法二：设直线l的方程为，即， 因为直线与圆有公共点， 则，解得. 故选：AD 9．已知实数、满足方程，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】设，可得，利用直线与圆有公共点，求出的取值范围，可判断AB选项；利用距离的几何意义求出的最大值，可判断C选项；设，利用直线与圆有公共点，求出的取值范围，可判断D选项. 【详解】将方程化为标准方程可得， 圆的圆心为，半径为， 对于A选项，设，可得， 则直线与圆有公共点， 所以，，整理可得，解得，AB都对； 对于C选项，代数式的几何意义为圆上的点到原点的距离的平方，如下图所示： 由图可知，当点为射线与圆的交点时，取最大值，即， 故的最大值为，C错； 对于D选项，设，则直线与圆有公共点， 所以，，解得， 所以，的最大值为，D对. 故选：ABD. 三、填空题 10．已知直线与圆：相交，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【分析】根据直线与圆相交时圆心到直线的距离小于半径，列绝对值不等式求解即可 【详解】由题意得圆C的标准方程为 ， 可得圆心坐标为，圆的半径 而直线与圆相交，可得圆心到直线的距离小于圆的半径，即 ， 由题意得 ，得到， 整理得，解得 ， 因此实数的取值范围为. 11．圆上的点到直线的最小距离是______. 【答案】1 【详解】圆的圆心为，半径为2， 因为圆心到直线的距离， 所以圆上的点到直线的最小距离是. 12．在平面直角坐标系中，过点的直线与圆交于，两点，其中点在第一象限，且，则直线的倾斜角为______. 【答案】/ 【分析】由题意，设直线与圆联立，利用韦达定理，结合向量知识，即可得出结论． 【详解】由题意，设直线与圆联立，可得， 设，，因为，即， 则，，，，所以， 联立解得，直线的方程为，则直线的斜率为，所以倾斜角为. 故答案为：． 四、解答题 13．已知圆，直线. (1)若，求直线被圆所截得的弦长； (2)若直线与圆相交，求实数的取值范围； (3)若直线斜率为，且与圆相切，求直线的方程. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用圆心到直线距离与半径联立勾股定理求弦长即可； （2）利用直线与圆的位置关系中的相交情况解决问题； （3）利用直线与圆的位置关系中的相切情况解决问题. 【详解】（1）由题得，圆心，半径， 圆心到直线的距离，则有弦长为. 故直线被圆所截得的弦长为. （2）由题得圆心到直线的距离，且直线， 则有，解得， 故实数的取值范围是. （3）由题设直线，即，若与圆相切，则圆心到直线的距离， 则有，解得或， 故直线的方程为或. 14．已知直线与圆交于两点． (1)当最大时，求直线的方程； (2)若，证明：为定值． 【答案】(1) (2) 设，，由题意知k存在， 由，得 所以 ， ，且， 因为 ， ，， 所以 ，即为定值. 【分析】（1）当最大时，直线过圆心，代入圆心坐标可求直线的方程； （2）直线与圆联立方程组，利用韦达定理证明为定值． 【详解】（1）当最大时，为直径，即直线过圆心， 把圆心代入直线的方程，有，解得，直线的方程为. （2）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $