4.1 指数与指数函数 专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题4.1指数与指数函数（纠错档案） 1. 化简：. 2. 若函数且在区间上单调递增，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 3.求函数的定义域和值域. 4. 函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围为 ． 5.已知，，，则（ ） A．    B．    C．    D． 类型一：指数运算错误 【错因解读】指数运算忽略底数的范围，不会进行指数与指数幂的运算与化简，从而出现错误. 【典例引导】化简：. 【错误解法】原式 【正确解法】原式. 【补救措施】题目中含有与，在解答过程中很多同学不能深入理解，没有考虑这个前提条件，即，导致出现了 总结：对于根式的计算，需要判断根号下与0的大小关系，避免因不会化简根式致错. 对于，当为奇数，为偶数时，应考虑＂＂这个隐含条件． 另外，指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意： （1）必须同底数幂相乘，指数才能相加； （2）运算的先后顺序． （3）当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． （4）运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 【再练一个】（2027届全国高一上期周测） 1．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 类型二：忽视对底数的讨论 【错因解读】指数函数中底数的讨论不全面或未进行底数讨论，单调性判断有误，误用指数函数的性质致错. 【典例引导】若函数且在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【错误解法】选D 在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数的单调性可知，在上单调递增，在上单调递减， 因为函数在上单调递增， 所以，解得． 所以的取值范围为． 【正确解法】选C 根据复合函数的单调性可知， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 因为函数在上单调递增，所以，无解； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 因为函数在上单调递增，所以，解得：． 所以的取值范围为． 【补救措施】本例题中忽视了对底数的分类讨论． 总结：在底数未知的指数函数中，在求解前要重视对底数的分类讨论． 【再练一个】 2．已知函数（且）在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 类型三：忽视函数定义域、值域等隐含条件 【错因解读】在解决函数、方程等问题中忽视了指数函数的值域，定义域等隐含条件，造成条件不全，不等式漏解等问题. 【典例引导】求函数的定义域和值域． 【错误解法】要使函数有意义，则．即的定义域为． 因为，所以．所以函数的值域为． 【正确解法】要使函数有意义，则．即的定义域为． 因为，即，所以． 又，所以函数的值域为，且． 【补救措施】在解题过程中忽视了指数函数的值域这个隐含条件，而只是根据题目条件得出是不全面的． 总结：指数函数，且的值域只能是的子集，解题时一定要结合具体情况加以分析讨论． 【再练一个】 3．求函数的值域． 类型四：不会利用指数函数图象解决问题 【错因解读】不会利用图象解决指数函数问题；画函数的图象时，没有注意到渐近线的限制，绘图不准确致错． 【典例引导】函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围为 ． 【错误解法】画出的图像， 由题意， 函数的图象不经过第一象限， ， 故答案为： 【正确解法】画出的图像（红线）， 同时向下平移一个单位得到（黑线） 结合图象可知：， 故答案为： 【补救措施】画函数的图象时，需要注意到渐近线的限制，同时注意运用函数平移的规律，数形结合解决问题. 总结：根据指数函数可知，存在渐近线为，在解答与其图象相关问题时，要特别注意渐近线起到的对图象的约束作用． 函数平移的规律：上加下减（y），左加右减（x）. 【再练一个】（2027届云南曲靖高一下期期中） 4．已知幂函数在区间上单调递减，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 类型五：把握不准比较指数幂的方法 【错因解读】在比较大小不会利用指数函数的单调性或不会运用中间值比较指数幂的大小. 【典例引导】已知，，，则（ ） A．    B．    C．    D． 【错误解法】因为是R上的增函数， 又， 所以，即， 因为函数在上单调递减，， 所以，即， 无法比较大小， 故无解. 【正确解法】因为是R上的减函数， 又， 所以，即， 因为函数在上单调递增，， 所以，即， . 故选：D. 【补救措施】本例题的错误在于，不会利用指数函数的单调性可判断，不会利用幂函数的单调性可判断.没有合理进行指数函数性质的运用. 总结：同底比单调性，不能化成同底数的，一般引入0、1等中间量比较大小，比较大小时可以数形结合. 【再练一个】 5．已知，则（    ） A． B． C． D． （易错点：指数运算错误）（2027届全国高一上周测） 6．若，，则下列式子值为的是（    ） A． B． C． D． （易错点：忽视对底数的讨论）（2027届浙江高一下期阶段测试） 7．已知函数在定义域上为增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． （易错点：忽视函数定义域、值域等隐含条件） 8．要使函数在时恒大于0，则实数a的取值范围是 . （易错点：把握不准比较指数幂的方法） 9．下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． （易错点：不会利用指数函数图象解决问题） 10．已知实数满足等式，则下列关系式成立的是（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《4.1 指数与指数函数【错题档案】（我的错题本）人教A必修一》参考答案： 1．A 【分析】借助指数幂的运算法则计算即可得. 【详解】对A：，，故A正确； 对B：，故B错误； 对C：，故C错误； 对D：，故D错误. 故选：A． 2．A 【分析】利用复合函数单调，结合分段讨论外函数单调性，再确定内函数二次函数的单调性即可求解. 【详解】当时，，所以外函数是单调递减的指数函数， 此时要使得函数在区间上单调递增， 则满足二次函数在区间上单调递减， 即满足对称轴，解得，结合，可得； 当时，，所以外函数是单调递增的指数函数， 此时要使得函数在区间上单调递增， 则满足二次函数在区间上单调递增， 即满足对称轴，解得，结合，可得； 综上可得a的取值范围是或， 故选：A. 3． 【分析】利用换元法结合二次函数的单调性得出值域. 【详解】令，，则． 因为函数在上单调递增， 所以，即函数的值域为． 4．A 【分析】由幂函数的性质求出，再由指数函数的性质可得. 【详解】因为幂函数在区间上单调递减， 则解得， 所以，，则，即函数的图象过定点. 故选：A. 5．C 【分析】由已知可得,然后结合指数函数单调性和分式不等式性质可以判定的正负，进而做出判定. 【详解】∵，∴，∴， 又∵，∴，∴； 又，且， ∴，∴， ∴. 故选：C 6．C 【分析】利用指数幂的运算性质化简可得结果. 【详解】因为，，所以，， 所以， 故选：C． 7．C 【分析】根据分段函数单调性的判定方法，结合指数函数与二次函数的图象与性质，列出满足条件的不等式组，即可求解. 【详解】由函数在定义域上为增函数， 则满足，解得，即实数的取值范围为. 故选：C. 8． 【分析】利用分离参数法得到在时恒成立，令，求出的值域，即可求出实数a的取值范围. 【详解】因为函数在时恒大于0， 所以在时恒成立. 令，则. 因为，所以. 令. 因为在上为减函数，所以，即 因为恒成立,所以. 故答案为： 9．B 【分析】将变形为，再利用指数函数在上的单调性即可得解. 【详解】，又在上单调递减，， ，即． 故选：B 10．ABD 【分析】根据指数函数图象，数形结合比较参数大小即可. 【详解】如图，观察知的关系为或或． 故选：ABD. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1  指数与指数函数（错题集训） 1．设，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数且的定义域和值域都是，则（    ） A． B． C． D．或 3．的图象如图所示，为常数，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，， ，则、、的大小关系为 5．已知定义在上的偶函数满足：当时，．求不等式的解集． 6．下列大小关系正确的是（    ） ①    ② ③    ④ A．①② B．③④ C．②③ D．①③ 7．已知函数是上的增函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知正实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 9．已知，则 ． 10．已知函数 （1）若，求的值域； （2）当时，求的最小值. 11．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 12．已知，下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 13．已知实数满足，则下列不等式可能成立的是（   ） A． B． C． D． 14．定义运算：设函数，则下列真命题的序号是 ． ①的值域为； ②的值域为； ③不等式的解集是； ④不等式的解集是． 15．函数为奇函数． (1)求a的值； (2)判断函数的单调性并证明； (3)解关于x的不等式： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《4.1 指数与指数函数【错题集训】（我的错题本）人教A必修一》参考答案： 1．D 【分析】根据是单调递减函数即求解. 【详解】因为是单调递减函数， 又 所以， 故选：D. 2．B 【分析】由函数解析式知，需对分类讨论，根据函数的单调性列出等式求解. 【详解】当时，单调递增，有，无解； 当时，单调递减，有， 解得； 所以； 故选：B. 3．D 【分析】根据指数函数图象性质即可判断得出结论. 【详解】由可得， 由图知函数单调递减，故，排除A，B项； 由图知，当时，， 因时，函数为减函数，故得. 故选：D. 4． 【分析】根据指数幂的运算，先比较的大小关系，然后再比较的大小关系，即可得到结果. 【详解】由题意可知， ，故； 又，， 因为，故， 综合可得. 故答案为: 5． 【分析】利用是偶函数，将转化为，再根据在上单调性，继续转化为，将其两边同时平方后转化为一元二次不等式求解即可． 【详解】设，则， 因为当时，，所以， 因为是定义在上的偶函数，所以， 所以． 因为是定义在上的偶函数，且， 所以． 又因为在上单调递增， 在上也单调递增， 所以在上单调递增， 所以，两边同时平方可得， 即，即，解得． 所以不等式的解集为． 6．C 【分析】利用指数函数、幂函数的单调性比较大小逐个判断即可. 【详解】对①，因为指数函数单调递减，所以，①错误； 对②，因为指数函数单调递减，所以， 又因为幂函数在单调递增，所以， 所以，②正确； 对③，因为幂函数在单调递增，所以，③正确； 对④，因为指数函数单调递减，所以， 又因为幂函数在单调递减，所以， 即，④错误； 故选：C. 7．D 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为函数是上的增函数，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D 8．A 【分析】根据方程，可分别看作两函数图象交点的横坐标，作出图象，数形结合得解. 【详解】由可把看作函数与函数在上交点的横坐标， 同理，可看作函数与在上交点的横坐标， 在同一平面直角坐标系中，作，，的图象，    由图象可知， 故选：A 9． 【详解】因为，所以．因为，则，所以，因此． 10．（1）（2） 【分析】（1）把代入中,得到是关于的二次函数, 根据定义域求值域即可. （2）令,将表示为关于的二次函数,分,, 三种情况讨论,即可得出最小值. 【详解】解：（1）当时, 则 因为,所以,. （2）令,因为,故, 函数可化为, 当时,； 当时,； 当时,； 综上, 【点睛】本题主要考查指数函数、函数的性质,考查了换元法、分类讨论思想、逻辑推理能力与计算能力. 11．ABC 【分析】根据作差法判断AC的真假，利用指数函数、幂函数的单调性判断B的真假；利用特例验证D的真假. 【详解】对A：因为，所以.故A正确； 对B：因为，且函数在上单调递减，所以， 又幂函数在上单调递增，所以，所以，故B正确； 对C：因为，所以，所以，故C正确. 对D：令，，则，，则，所以不一定成立，故D错误. 故选：ABC 12．ACD 【分析】根据题目条件，结合完全平方公式、立方和公式逐项判断可得答案. 【详解】A.，故A正确； B.，故B错误； C.由可知，故， 因为，所以，故C正确； D.因为， 又，所以原式，故D正确． 故选：ACD. 13．B 【分析】设指数函数，在同一坐标系中作出三个函数的图象，结合函数图象即可求解. 【详解】设函数， 作出函数图象如下， 设， 对A，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，A错误； 对C，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，C错误； 因为，所以， 设， 作出函数的图象如下， 对B，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，B正确； 对D，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，D错误； 故选:B. 14．①③ 【详解】由函数，得即作出函数的图象如图．根据函数图象知的值域为．由函数图象可知，当，即时，不等式成立，当即时也成立，所以不等式的解集是． 15．(1)1； (2)单调递增，证明见解析； (3)答案见解析. 【分析】（1）利用奇函数的定义求出值； （2）借助指数函数单调性判断单调性，再利用单调函数的定义推理得证. （3）由（2）脱去法则“f”，再解含参数的一元二次不等式. 【详解】（1）函数的定义域为R，由为奇函数，得， 即，则， 所以a的值为1. （2）由（1）知，，函数在R上单调递增， ，， 由，得，则， 因此，即， 所以函数在R上单调递增. （3）由（1）知，，不等式， 则， 当时，解得； 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式化为， 若，解得或； 若，解得； 若，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $