4.1-4.2 指数与指数函数 专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本专项以“概念-运算-性质-应用”为主线，系统整合根式、指数幂、指数函数知识，提炼运算规则与函数性质应用方法，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点归纳|5模块（根式到指数函数）|指数幂运算四原则、比较大小三类型法、方程不等式分类解法|从根式概念（基础）→分数指数幂（推广）→实数指数幂运算（规则）→指数函数图象性质（应用）递进| |典型例题|3例+2变式|定义辨析法、图象参数分析法、单调性应用技巧|典例覆盖概念辨析（例2）、运算化简（例1）、图象性质（例3）核心考法| |练习|13题（选择/填空/解答）|复合函数单调性判断、含参问题分类讨论|通过多题型训练巩固运算能力与函数应用，体现数学思维的逻辑性|

4.1 指数与指数函数 【知识点归纳】 一、 根式的概念与性质 1. 次方根的概念: 一般地，给定大于 1 的正整数 和实数 ，如果存在实数 ，使得 , 则 称为 的 次方根。 2. 次方根的表示;根据方程 解的情况： （1）0 的任意正整数次方根均为 0，记为 . （2）正数 的偶数次方根有两个，它们互为相反数，其中正的方根称为 的 次算术根，记为 ，负的方根记为 ; 负数的偶数次方根在实数范围内不存在，即当 且 为偶数时， 在实数范围内没有意义。 （3）任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为 ，而且正数的奇数次方根是一个正数，负数的奇数次方根是一个负数。 3. 根式及相关概念 当 有意义的时候， 称为根式， 称为根指数， 称为被开方数。 4. 根式的性质 (1) , (2) 二、 分数指数幂有关概念 1.正数的正分数与负分数指数幂的意义 （1）正分数指数幂： 规定： （2）负分数指数幂： 规定： （3）性质：0 的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 注意： （1）分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂 不可理解为 个 相乘，它是根式的一种新的写法。 （2）在保证相应的根式有意义的前提下， 负数也存在分数指数幂， 如 有意义，但 就没有意义。 2. 无理数指数幂:一般地，当 且 是无理数时， 都是一个确定的实数。 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。 注意：对于无理数指数幂，我们只需了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果。 三、实数指数幂的运算性质 指数幂运算的一般原则 （1） 有括号的先算括号里的， 无括号的先算指数运算； （2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数； （3） 底数是分数， 先确定符号； 底数是小数， 先化为分数； 底数是带分数， 先化为假分数。 （4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答。 四、指数运算 1．（1）的次方根定义： 如果，那么叫做的次方根，其中，且 （2）的次方根的表示 的奇偶性 的次方根的表示符号 的取值范围 为奇数 为偶数 [0，＋∞） （3）根式式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数． 2．（1）（，且）；（2）（，且）； （3）（n为大于1的奇数）；（4）（n为大于1的偶数）． 五、指数函数的图象 1.指数函数y=ax（a>0，且a≠1）的图象和性质： 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数 ⑤时，；时， 时，；时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 2. 与都是增函数，都过点（0，1） 3. 同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小： （1）在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过令x=1时，y=a去理解， （2）指数函数y=ax与（a＞0且a≠1）的图象关于y轴对称． 4.利用指数函数的单调性比较大小 若x1＜x2，则与 （a＞0且a≠1）大小关系如何？ 比较幂大小：（1）同底数不同指数的两个幂的大小，用指数函数的单调性判断； （2）底数不同指数相同的两个幂的大小，用指数函数的图象的变化规律判断； （3）底数不同指数也不同的两个幂的大小，通过中间值判断． 5.利用指数函数解方程、不等式 （1）．指数方程的类型可分为： ①形如af(x)＝ag(x)(a>0，且a≠1)的方程化为f(x)＝g(x)求解；　 ②形如a2x＋b·ax＋c＝0(a>0，且a≠1)的方程，用换元法求解． （2）指数不等式的类型为af(x)>ag(x)(a>0，且a≠1)的 ①当a>1时，f(x)>g(x)； ②当0<a<1时，f(x)<g(x)． （3）形如的不等式，将b化为以a为底数的指数幂的形式，借的单调性求解；（3）形如ax＞bx的不等式，可借助两函数y=ax，y=bx的图象求解． 6.指数型函数的单调性 定义域与定义域是什么关系？的单调性与的单调性有什么关系？形如（，且）函数的性质 （1）函数与函数有相同的定义域． （2）当时，函数与具有相同的单调性；当时，函数与函数的单调性相反． （3）求复合函数的单调区间，求出函数的定义域，把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性． 【典型例题】 例1.若，化简 【变式1】下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 例2.若是指数函数，则=？ 【变式2】下列函数：①y = 2；②；③y =；④，其中，指数函数的个数是（ ） · A． B． C． D． 例3.已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1). (1)若f(x)的图象如图①所示,求a,b的值; (2)若f(x)的图象如图②所示,求a,b的取值范围; (3)在(1)中,若|f(x)|=m有且仅有一个实数解,求出m的取值范围. 【练 习】 1.下列各式正确的是（   ） A． B． C．（，） D．（，） 2. 用分数指数幂可表示为（   ） A． B． C． D． 3.已知，则（   ） A．14 B．16 C．2 D．8 4.若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 5．函数的单调递增区间是(      ) A. B. C. D. 6．设,,,则a,b,c的大小关系为(      ) A. B. C. D. 7.若函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在区间[-1,2]上的值域为[3m,9],则m的值为(　　) A.-4或-1 B.0或-2 C.-2或-1 D.-4或-2 8.(多选题)已知实数满足，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 9.(多选题)已知函数是定义在[-4,0)∪(0,4]上的奇函数,当x∈(0,4]时,的图象如图所示,那么满足不等式≥3x-1的x的可能取值是(　　) A.-3 B.-1 C.1 D.3 10.（填空题）若1<a<2,则+的化简结果是________ 11.（填空题）已知a>0,且a≠1,函数y=a3-x+1的图象恒过一个定点,此定点的坐标为　　　　　.  12.（解答题）（1）计算； （2）已知方程的两根为，求的值. 13.（解答题）求下列函数的定义域和值域. (1)y=-1;(2)y=;(3)y=. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1 指数与指数函数 【知识点归纳】 一、 根式的概念与性质 1. 次方根的概念: 一般地，给定大于 1 的正整数 和实数 ，如果存在实数 ，使得 , 则 称为 的 次方根。 2. 次方根的表示;根据方程 解的情况： （1）0 的任意正整数次方根均为 0，记为 . （2）正数 的偶数次方根有两个，它们互为相反数，其中正的方根称为 的 次算术根，记为 ，负的方根记为 ; 负数的偶数次方根在实数范围内不存在，即当 且 为偶数时， 在实数范围内没有意义。 （3）任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为 ，而且正数的奇数次方根是一个正数，负数的奇数次方根是一个负数。 3. 根式及相关概念 当 有意义的时候， 称为根式， 称为根指数， 称为被开方数。 4. 根式的性质 (1) , (2) 二、 分数指数幂有关概念 1.正数的正分数与负分数指数幂的意义 （1）正分数指数幂： 规定： （2）负分数指数幂： 规定： （3）性质：0 的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 注意： （1）分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂 不可理解为 个 相乘，它是根式的一种新的写法。 （2）在保证相应的根式有意义的前提下， 负数也存在分数指数幂， 如 有意义，但 就没有意义。 2. 无理数指数幂:一般地，当 且 是无理数时， 都是一个确定的实数。 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。 注意：对于无理数指数幂，我们只需了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果。 三、实数指数幂的运算性质 指数幂运算的一般原则 （1） 有括号的先算括号里的， 无括号的先算指数运算； （2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数； （3） 底数是分数， 先确定符号； 底数是小数， 先化为分数； 底数是带分数， 先化为假分数。 （4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答。 四、指数运算 1．（1）的次方根定义： 如果，那么叫做的次方根，其中，且 （2）的次方根的表示 的奇偶性 的次方根的表示符号 的取值范围 为奇数 为偶数 [0，＋∞） （3）根式式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数． 2．（1）（，且）；（2）（，且）； （3）（n为大于1的奇数）；（4）（n为大于1的偶数）． 五、指数函数的图象 1.指数函数y=ax（a>0，且a≠1）的图象和性质： 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数 ⑤时，；时， 时，；时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 2. 与都是增函数，都过点（0，1） 3. 同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小： （1）在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过令x=1时，y=a去理解， （2）指数函数y=ax与（a＞0且a≠1）的图象关于y轴对称． 4.利用指数函数的单调性比较大小 若x1＜x2，则与 （a＞0且a≠1）大小关系如何？ 比较幂大小：（1）同底数不同指数的两个幂的大小，用指数函数的单调性判断； （2）底数不同指数相同的两个幂的大小，用指数函数的图象的变化规律判断； （3）底数不同指数也不同的两个幂的大小，通过中间值判断． 5.利用指数函数解方程、不等式 （1）．指数方程的类型可分为： ①形如af(x)＝ag(x)(a>0，且a≠1)的方程化为f(x)＝g(x)求解；　 ②形如a2x＋b·ax＋c＝0(a>0，且a≠1)的方程，用换元法求解． （2）指数不等式的类型为af(x)>ag(x)(a>0，且a≠1)的 ①当a>1时，f(x)>g(x)； ②当0<a<1时，f(x)<g(x)． （3）形如的不等式，将b化为以a为底数的指数幂的形式，借的单调性求解；（3）形如ax＞bx的不等式，可借助两函数y=ax，y=bx的图象求解． 6.指数型函数的单调性 定义域与定义域是什么关系？的单调性与的单调性有什么关系？形如（，且）函数的性质 （1）函数与函数有相同的定义域． （2）当时，函数与具有相同的单调性；当时，函数与函数的单调性相反． （3）求复合函数的单调区间，求出函数的定义域，把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性． 【典型例题】 例1.若，化简 【答案】B 【分析】利用二次根式的性质求解. 【解析】，，， . 【变式1】下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式的运算性质逐一判断即可. 【解析】A选项：左边的定义域为，右边的定义域为， 定义域不同，故不恒等，A错误； B选项：，因，故，B错误； C选项：仅在为偶数时成立；当为奇数时，，C错误； D选项：由根式性质，当有意义时，总有，故D正确. 故选： D 例2.若是指数函数，则=？ 【答案】 【解析】根据指数函数定义，系数为且底数。 得，解得或。因，故. 【变式2】下列函数：①y = 2；②；③y =；④，其中，指数函数的个数是（ ） · A． B． C． D． 【答案】B 【解析】指数函数需满足 “系数为、底数为正且不为、指数是自变量”。①系数为21，②指数是不是，③是指数函数，④是幂函数，故个数为。 例3.已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1). (1)若f(x)的图象如图①所示,求a,b的值; (2)若f(x)的图象如图②所示,求a,b的取值范围; (3)在(1)中,若|f(x)|=m有且仅有一个实数解,求出m的取值范围. 【解析】(1)因为函数f(x)的图象过点(2,0),(0,-2), 所以解得a=,b=-3. (2)由f(x)为减函数可知a的取值范围为(0,1), 因为f(0)=1+b<0,所以b<-1, 所以b的取值范围为(-∞,-1). (3)由题图①可知y=|f(x)|的图象如图所示. 由图可知使|f(x)|=m有且仅有一个实数解的m的取值范围为{m|m=0,或m≥3}. 【练 习】 1.下列各式正确的是（   ） A． B． C．（，） D．（，） 【答案】D 【分析】根据根式的运算性质逐一判断即可. 【解析】对于A，，，所以A错误； 对于B，，所以B错误； 对于C，当为奇数时，（，），所以C错误； 对于D，（，），所以D正确. 故选：D. 2. 用分数指数幂可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用指数幂的运算性质，准确计算化简，即可求解. 【解析】根据指数幂的运算性质，可得. 故选：D. 3.已知，则（   ） A．14 B．16 C．2 D．8 【答案】A 【分析】利用指数运算法则直接计算即可. 【解析】由可得. 故选：A. 4.若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用指数运算求解即可. 【解析】由，得. 故选：C 5．函数的单调递增区间是(      ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】令，则， 因为在上单调递增，在上单调递减， 在定义域内为减函数， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故选：C 6．设,,,则a,b,c的大小关系为(      ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】依题意,,而, 所以. 故选：A. 7.若函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在区间[-1,2]上的值域为[3m,9],则m的值为(　　) A.-4或-1 B.0或-2 C.-2或-1 D.-4或-2 【答案】A 【解析】∵函数y=ax在区间[-1,2]上的值域为[3m,9],当0<a<1时,y=ax在区间[-1,2]上单调递减,则a-1=9,解得a=,则3m=a2=,得m=-4;当a>1时,y=ax在区间[-1,2]上单调递增,则a2=9,解得a=3或a=-3(舍去),则3m=a-1=,得m=-1. 综上,m=-4或m=-1.故选A. 8.(多选题)已知实数满足，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据给定值，利用指数运算逐项计算判断得解. 【解析】由，得， 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，则，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 9.(多选题)已知函数是定义在[-4,0)∪(0,4]上的奇函数,当x∈(0,4]时,的图象如图所示,那么满足不等式≥3x-1的x的可能取值是(　　) A.-3 B.-1 C.1 D.3 【答案】AC 【解析】　因为函数是定义在[-4,0)∪(0,4]上的奇函数,由题意,画出函数f(x)在[-4,0)∪(0,4]的图象如图所示,在同一坐标系内画出y=3x-1的图象,因为f(2)=,所以f(-2)=-f(2)=-=3-2-1,又f(1)=2=31-1,即与y=3x-1交于(-2,-)和(1,2)两点. 由图象可得≥3x-1的解满足x≤-2或0<x≤1. 又定义域为[-4,0)∪(0,4],所以x∈[-4,-2]∪(0,1]. 故选AC. 10. 若1<a<2,则+的化简结果是________ 【答案】3-2a 【解析】因为1<a<2,所以2-a>0,故+=1-a+2-a=3-2a. 11.已知a>0,且a≠1,函数y=a3-x+1的图象恒过一个定点,此定点的坐标为　　　　　.  【答案】(3,2) 【解析】　当x=3时,y=a0+1=2, ∴y=a3-x+1的图象一定经过定点(3,2). 12.（1）计算； （2）已知方程的两根为，求的值. 【答案】（1）0；（2） 【分析】（1）利用指数幂的运算法则，化简求值，即可得答案. （2）根据韦达定理，可得，将所求化简整理，代入求解，即可得答案. 【解析】（1）原式 ． （2）已知方程的两根为， 所以， 所以. 13.求下列函数的定义域和值域. (1)y=-1;(2)y=;(3)y=. 【解析】 (1)∵4-2x≥0,∴4≥2x,∴x≤2, ∴函数的定义域为(-∞,2]. ∵2x>0,∴0≤4-2x<4, ∴0≤<2,∴-1≤y<1, ∴函数的值域为[-1,1). (2)函数的定义域为R. ∵y==1-, 又3x>0,∴1+3x>1,∴0<<1, ∴-1<-<0,∴0<1-<1, ∴函数的值域为(0,1). (3)函数的定义域是R,又-x2-2x+3=-(x+1)2+4≤4,∴函数的值域为(0,16]. 学科网（北京）股份有限公司 $