第三章一次方程与方程组（期中知识清单）七年级数学上学期新教材沪科版

第3章 一次方程与方程组　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 方程与等式的基本性质 1.1 方程的定义 有些问题用算术方法解决并不容易。我们可以用 ，， 这样的字母来表示未知数，然后根据问题中的等量关系，写出含有未知数的等式。像 ，， 这样，含有未知数的等式叫作方程。 示例：， 都含有未知数，都是方程； 不含未知数，不是方程。 1.2 方程的解与解方程 使方程两边相等的未知数的值叫作方程的解。比如 就是方程 的解。 求方程的解的过程叫作解方程。 示例：把 代入 ，左边 ，右边 ，左边 右边，所以 不是这个方程的解。 1.3 等式的基本性质1 等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式，即如果 ，那么 ，。 示例：由 ，两边都加上 ，得 ，即 。 1.4 等式的基本性质2 等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为 ），所得结果仍是等式，即如果 ，那么 ，（）。 示例：由 ，两边同除以 ，得 。 注意：性质2中”除数不能为 “是必须满足的条件，两边同除以含字母的式子时，要先保证这个式子不为 。 示例：由 两边同除以 得 ，前提是 。 1.5 等式的基本性质3（对称性） 如果 ，那么 。 示例：由 ，得 。 1.6 等式的基本性质4（传递性） 如果 ，，那么 。 示例：如果 ，，那么 。 1.7 等量代换 根据等式这一性质，将一个量用与它相等的量代替，称为等量代换。 示例：由 与 ，把 用 代替，得 。 2. 一元一次方程及其解法 2.1 整式方程 方程的两边都是整式，这样的方程称为整式方程。 示例：， 的两边都是整式，都是整式方程； 的左边不是整式，不是整式方程。 2.2 一元一次方程 像这样，只含有一个未知数（元），未知数的次数是 ，且等式两边都是整式的方程叫作一元一次方程。 示例： 只含一个未知数 ， 的次数是 ，两边都是整式，是一元一次方程； 的次数是 ， 含两个未知数，都不是一元一次方程。 2.3 一元方程的根 一元方程的解也叫作根。 示例： 是方程 的解，也叫作这个方程的根。 2.4 移项 根据等式的基本性质1对方程进行变形，相当于把方程中某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫作移项。 示例：由 得 ，就是把右边的 、左边的 改变符号后各移到另一边。 2.5 解一元一次方程的目标形式 通过上面的例子可以看出，解一元一次方程就是根据等式的性质将方程变形为 （）的形式，从而最终得到 。 示例：解方程 ，两边同除以 ，得 ，方程已化成 的形式。 3. 一元一次方程的应用 3.1 列方程解应用题的一般步骤 （1）弄清题意和题中的数量关系，用字母（如 ，）表示问题涉及的未知数； （2）分析题意，找出等量关系（可借助示意图、表格等）； （3）根据等量关系，列出需要的代数式，并列出方程； （4）解这个方程，求出未知数的值； （5）检查所得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案（包括单位）。 示例：如求时间的问题解出时间为负数，说明设元或等量关系有误，应回到原题重新检查，不能直接作答。 4. 二元一次方程组及其解法 4.1 二元一次方程 像 和 这样，含有两个未知数的一次方程叫作二元一次方程。 示例： 含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是 ，是二元一次方程； 不是二元一次方程。 4.2 方程组与二元一次方程组 几个方程联立在一起，称为方程组。由两个一次方程组成，且含两个未知数的方程组叫作二元一次方程组。 示例： 由两个一次方程组成，且含两个未知数，是二元一次方程组。 4.3 二元一次方程组的解 使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫作二元一次方程组的解。 示例：把 ， 分别代入 与 ，两个方程都成立，所以 是这个方程组的解。 4.4 消元思想 上面解二元一次方程组的基本思想是”消元“，也就是要消去其中一个未知数，把解二元一次方程组转化成解一元一次方程。 4.5 代入消元法 从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把它”代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫作代入消元法，简称代入法。 示例：解 ，由第一个方程得 ，代入第二个方程得 ，解得 ，再代回得 。 4.6 加减消元法 像这种把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法叫作加减消元法，简称加减法。 加减消元法通过”把两个方程相加减”实现消元，加减的条件是”两个二元一次方程中同一未知数的系数相等或互为相反数”。 示例：解 ，第二个方程两边分别减去第一个方程的两边，得 ，即 。 5. 三元一次方程组及其解法（选学） 5.1 三元一次方程组 这种由三个一次方程组成，且含三个未知数的方程组，叫作三元一次方程组。 示例： 由三个一次方程组成，含 ，， 三个未知数，是三元一次方程组。 5.2 解三元一次方程组的思路 解三元一次方程组的思路是通过消元，把方程组化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程。 示例：解 时，先用加减法消去 ，得到 与 ，再解这个二元一次方程组。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 一元一次方程解的三种情况 把方程整理成 的形式后： 时有唯一解 ； 且 时，任何数都是它的解； 且 时，方程无解。 【使用提醒】判断前必须先把方程化到 的最简形式，含字母系数时要对系数是否为 分类讨论。 1.2 二元一次方程解的个数 一个二元一次方程有无数个解，每一个解是一对数，写成 的形式；若限定 ， 为正整数，解只有有限个。求正整数解时，先把方程变形为 ，再让 从小到大取使 为正整数的值，逐一列举。 【使用提醒】列举前先由 （，， 为正数）确定 的取值范围，避免漏解或重解。 1.3 二元一次方程组解的三种情况 对 （系数均不为 ）： 时有唯一解； 时无解； 时有无穷多组解。 【使用提醒】比值判据要求两个方程的系数都不为 ，遇到缺项（如 ）时不能直接套用，须单独讨论。 1.4 整体代入求值 若 是 的解，则 ；求含 的代数式的值时，不必分别求出 、，把整个 换成 即可。如 时，。 1.5 三式两两相加的整体技巧 形如 ，， 的方程组，三式相加得 ，两边除以 得 ，再分别减去原来的三个方程，即得每个未知数。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 解一元一次方程的一般步骤 步骤 操作要点 去分母 两边同乘各分母的最小公倍数，不含分母的项也要乘 去括号 括号外的因数乘括号内每一项，括号前是负号时括号内各项都变号 移项 移到另一边的项改变符号，不移的项不变 合并同类项 把方程化成 的形式 系数化为 两边同除以未知数的系数（连负号一起除） 2.2 二元一次方程组解法的选择 某个未知数的系数为 或 ，或两个方程中同一未知数的系数成倍数关系时，用代入法最省力；同一未知数的系数相等或互为相反数时，直接用加减法；两者都不满足时，先给某个（或两个）方程两边乘适当的数，使某一未知数的系数相等或互为相反数，再用加减法。 2.3 系数含小数或分数时的化简 先用等式性质2把系数化成整数再消元：含小数的方程两边同乘 或 ，含分数的方程两边同乘各分母的最小公倍数。如 两边乘 得 。 【使用提醒】两边同乘时每一项都要乘，右边的常数项最容易漏乘。 2.4 已知解求参数 把方程（组）的解代入原方程（组），就把问题变成了以待求字母为未知数的方程（组），解出即可。如 的解为 ，代入得 与 ，解得 ，。 【使用提醒】代入后 ， 是已知数、字母是未知数，不要把角色弄反。 2.5 用整体思想解方程组 方程组中反复出现同一个含未知数的式子（如 、）时，把它看成一个字母先求出它的值，再回代求各未知数，可以少做一次消元。如解 ，设 ，，先得 ，，再解得 ，。 2.6 设未知数的技巧 所求量明确时直接设所求量为未知数；所求量不便直接表示（如”每份是多少”“原价是多少”）时，改设每份、中间量等间接未知数；两个未知量互相制约、一个等量关系不够用时，设两个未知数并列方程组。如三支服务队收割面积之比为 、总面积为 时，设每份为 ，由 求解。 3. 运算小技巧 技巧 要点 示例 去分母防漏乘 每一项都乘最小公倍数，整式项、常数项同样要乘 两边乘 ，得 分数线带括号 分子是多项式时，去分母后分子要整体加括号 两边乘 ，得 去括号防漏乘 括号外的因数乘遍括号内每一项 负号全变 括号前是负号，括号内各项都变号 移项必变号 从一边移到另一边才变号，原来的位置不留项 得 系数化为1 两边同除以未知数的系数，负号一起除 得 先化简后消元 带括号、小数、分数的方程先整理成 化简得 解完就检验 把解代回原方程（组），两边相等才可作答 把 代回 ，左边 ，右边 ，相等 4. 常见考试模型 4.1 行程问题 公式：路程 速度 时间；相向相遇 ；同向追及 ；环形跑道同向而行，快者比慢者多跑一圈即相遇；顺流速度 静水速度 水流速度，逆流速度 静水速度 水流速度。 限定： 是同时出发后到相遇（追上）所用的时间；追及问题中快者速度必须大于慢者，流水问题中水速小于静水速度。 示例：如甲、乙相距 千米，同向而行甲 小时追上乙，相向而行 小时相遇，设两人速度为 ，，则 ，，解得 ，。 4.2 销售与利润问题 公式：利润 售价 进价；利润率 ；售价 标价 折扣（打 折即乘 ）；标价 进价 提高的百分率。 限定：盈利取正、亏损取负；提高的百分率以进价为基准，折扣以标价为基准，两个基准不能混用。 示例：如书包按进价提高 标价、再打 折出售，每个盈利 元，则 ，得 。 4.3 利息问题 公式：利息 本金 利率 期数；本息和 本金 利息 本金 利率 期数。 限定：”不计复利”按期数单利计算，存 年要乘 ；按年计息时，期数取年数，不能把月数直接代入。 示例：如存 年、年利率 ，到期本息和 元，则 ，得 。 4.4 工程（工作）问题 公式：工作总量 工作效率 工作时间；总量未知时常设为 ，效率为 ；合作效率等于各人效率之和。 限定：中途休息、停工的时间不计入工作时间；各部分工作量之和等于工作总量。 示例：如一项工作甲单独做 天完成，乙单独做 天完成，两人合作 天完成，则 ，得 。 4.5 浓度（含量）与混合问题 公式：某成分的质量 原料（溶液）质量 质量分数；混合前后该成分的总质量不变，总质量等于各部分质量之和。 限定：百分率对应的是质量（含量），不是体积；混合后的总量按各部分相加计算。 示例：如石英砂含二氧化硅 、长石粉含 ，配 吨原料要求含 ，则 ，，得 ，。 4.6 配套与人员（资金）分配问题 公式：按配套比列方程：一种”产品”的数量与另一种”产品”的数量之比等于配套比（数量 面积或人数 单位产量）；总量约束为各部分面积（人数、资金）之和等于总量。 限定：配套比要按”一件成品需要几个部件”确定，比的顺序要与所列量的顺序一致。 示例：如种蔬菜每公顷需 人、 万元，种荞麦每公顷需 人、 万元， 人、 万元正好够用，设蔬菜 公顷、荞麦 公顷，则 ，，得 ，。 4.7 数位与数字问题 公式：两位数 （ 是十位数字， 是个位数字），对调后为 。 限定： 取 的整数， 取 的整数，最高位不能为 。 示例：如个位数字是十位数字的 倍，对调后所得两位数比原数大 ，设十位数字为 ，则 ，得 ，原数为 。 4.8 比赛计分问题 公式：总分 胜场数 胜一场得分 平场数 平一场得分 负场数 负一场得分；胜、平、负场数之和等于总场数。 限定：先用”没有输过”“负 场”等条件确定某类场数，再与总分一起列方程组。 示例：如胜一场 分、平一场 分、负一场 分，比赛 场没有输过、共得 分，则 ，，得 ，。 4.9 百分比增减问题 公式：变化后的量 原量 百分率；两部分按不同百分率变化时，分别算出变化后的量再求和，等于变化后的总量。 限定：”增加”取加号、“减少”取减号；各部分的变化率不同，不能先合并成一个总变化率。 示例：如今年春播面积比秋播多 ，明年春播增加 、秋播减少 ，总面积比今年增加 ，设今年春播 、秋播 ，则 ，，得 ，。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：把”只含一个未知数”当成一元一次方程的全部条件 典例：下列方程中，是一元一次方程的是________（填序号）。①；②；③；④。 错解：选①或③。认为①中只含一个未知数 ，符合”一元”；认为③两边同乘 就是 ，能化成一元一次方程，所以也算。 正解：逐条核对”一个未知数、次数是 、两边都是整式”三个条件：①中 的最高次数是 ；②含 ， 两个未知数；③中 不是整式，方程两边不都是整式；④只含一个未知数 ， 的次数是 ，两边都是整式，符合定义。故填④。 原因：学生把”一元一次方程”简化记忆成”只有一个字母的方程”，丢掉了”未知数的次数是 “和”等式两边都是整式”两个硬条件；又把”能化成”与”本身是”混为一谈，用变形后的结果去判断原方程的身份。纠正要点：判断时把三个条件写成三行逐条打勾，任一条不满足即否定，不要凭”像不像”下结论。 易错点 2：去分母时漏乘不含分母的项 典例：解方程 。 错解：两边同乘 ，得 ，右边的常数项 没有乘 ，继续解得 。 正解：两边同乘 （每一项都乘），得 ；去括号得 ；合并得 ，移项得 ，所以 。 原因：去分母的依据是等式的基本性质2——“两边都乘以同一个数”，既然是”两边”的”每一项”，不含分母的整式项和常数项也必须乘。学生在视觉上只盯着有分母的那几项，把去分母当成”给分数去分母”的局部操作，于是整式项被漏掉。纠正要点：去分母时先在方程两边每项下面点一个记号”×最小公倍数”，写完再回数一遍项数是否与原来相同。 易错点 3：括号前是负号时，只变括号内第一项的符号 典例：解方程 。 错解：去括号得 ，合并得 ，解得 。 正解：去括号，得 ；合并同类项，得 ；移项，得 ，即 ，所以 。 原因： 有两层运算：一是 要乘括号内的每一项，二是括号前的负号要使括号内各项都变号。学生只处理了” 乘 “这一次，第二项 既没乘 也没变号，直接抄成 。这种错误来自”分配律只用一次”的思维惯性，也来自对”“号的双重身份（既是减号又是负号）分辨不清。纠正要点：去括号时先在括号外标出因数，再逐项写乘积，每写一项回头检查符号，最后清点项数与括号内项数是否一致。 易错点 4：移项时不变号 典例：解方程 。 错解：移项得 ，合并得 ，所以 。 正解：移项，得 ；合并同类项，得 ；两边同除以 ，得 。 原因：学生把”移项”理解成”把项从等号一边搬到另一边”，只看到位置变了，忽略了移项的本质是等式两边同加（减）同一个数，因此搬到另一边的项必须改变符号；而 从左边移到右边时，学生常把” 移过去”顺手照抄成”“，因为原式里本来写的就是加号。纠正要点：移项只在”跨越等号”时变号，没跨等号的不变；写完移项这一步，把每一项的符号与上一步对照，凡是移动过的项都必须换号。 易错点 5：用加减消元时，方程两边同乘一个数却漏乘常数项 典例：用加减法解方程组：①；②。 错解：为消去 ，把①两边乘 ，得 （右边的 没有乘 ）；②③，得 ；把 代入①，得 。 正解：①，得 ；②③，得 ；把 代入①，得 ，。所以 。 原因：为了配系数，学生把注意力全放在含未知数的项上，误以为”同乘”只是把系数放大，忘了等式的基本性质2要求两边都乘，右边的常数项同样要乘 。这类错误在系数配错后还会连锁出现：解出的 是整数但明显不符合原方程，学生却不再检验。纠正要点：方程两边同乘时，把右边的数也用括号括起来写一步（如 ）再算出结果；解完代回两个方程各验一次。 易错点 6：应用题中时间单位不统一就直接代入 典例：某县举办越野赛，选手从起点出发，先沿着山区公路跑步到达补给站，再登山到达比赛终点。张老师参加比赛的相关数据如下：总距离 千米，跑步平均速度 千米/时，登山平均速度 千米/时。已知张老师在补给站休息了 分钟，用时 小时完成了比赛，求补给站与起点的距离。 错解：设补给站离起点 千米，根据题意得 ，解得 ，于是认为题目条件有误。 正解：休息时间 分钟 小时 小时。设补给站离起点 千米，则跑步用时 小时，登山用时 小时，得 。两边乘 ，得 ，解得 。答：补给站与起点的距离为 千米。 原因：题目中距离用千米、速度用千米/时，时间却给成分钟，学生看到数字就代入，没有先统一单位；同时”休息时间”在”总时间”里是”用掉的”，应从 小时中减去而不是加上，方向也容易搞反。纠正要点：列方程前先做两件事——把所有时间、长度、质量统一到同一单位，并在草稿上写明各部分时间之和与总时间的关系；解出结果后必做实际检验，出现负数、超总量等明显不合理的值，应回头检查单位与等量关系。 学科网（北京）股份有限公司 $