专题02 整式及其加减（4知识&8题型&4易错&4方法清单）（期中知识清单）七年级数学上学期新教材沪科版

品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02整式及其加减(4知识&8题型&4易错&4方法清单) 知识图谱 代数式的定义 代数式的书写规则 代数式 代数式的值 单项式 多项式 整式的相关概念 整式 整式及其加减 同类项 合并同类项 去括号法则 整式的加减 添括号法则 整式的加减运算法则 探寻数列规律 图形与数字的变化规律 利用方程解决问题 知识清单 【清单01】代数式 1.代数式的定义：是由数字、字母通过有限次加、减、乘、除和乘方等代数运算得到的数学表达式。它可 以表示为一个或多个项的和，每个项由系数、字母和字母的指数组成。 2.代数式的书写规则：乘号可以省略或用“·”表示，除法运算用分数线表示。 数字和字母相乘时，数字应写在字母的前面。 带分数应写成假分数的形式。 3.代数式的值：当代数式中的字母取某些特定值时，代数式所表示的数。求代数式的值的方法有直接代入 法、整体代入法、间接求值法等。 【清单O2】整式的相关概念 1.单项式：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式 1/14 扇学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 要点诠释：(1)单项式的系数是指单项式中的数字因数。 (2)单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和. 2.多项式：几个单项式的和叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫做多项式的项. 要点诠释：(1)在多项式中，不含字母的项叫做常数项。 (2)多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数 (3)多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式： (4)多项式的降幂与升幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个 多项式按这个字母降幂排列.另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把 这个多项式按这个字母升幂排列， 3.整式：单项式和多项式统称为整式. 【清单O3】整式的加减 1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.所有的常数项都是同类项， 要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无关”： (1)“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； (2)“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关. 2.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项. 要点诠释：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变 3.去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号 前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变 4.添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是 “-”,括号内各项的符号都要改变。 5.整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去 括号，合并同类项。 【清单04】图形与数字的变化规律 探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在己有知识 的基础上去探究，观察思考发现规律， (1)探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量 关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式 (2)利用方程解决问题.当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x,再利用它们之间的关系，设 出其他未知数，然后列方程 2/14 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 期中常考题型清单 【题型一】代数式书写方法 【例1】(25-26七年级上全国·期中)下列式子中，符合代数式书写规范的是() A.a÷3 B.2ab C.a×3 D.b 【变式1-1】(25-26七年级上全国期中)下列代数式书写正确的有() ①2xb;②m+3;③50%r;④25ab;⑤90-c. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式1-2】(25-26七年级上全国期中)下列代数式符合书写要求的是() A.m2×5 B.3÷n D.c(1+x) 【题型二】单项式、多项式、整式的判断 【例2】(25-26七年级上江苏·期中)下列哪个是单项式？() A.2x+1 B.3xy2 C.x+y D. 【使武212425七年级上江苏盐装期下列成了写，“生”，子2+34中，多项流有() 3 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式22】2526七年级上全国期中)在代数式：，2abx+5 ,4,,h-a,3中，整式有() 3x 3 A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 【题型三】单项式、多项式的系数和次数 【例3】(25-26七年级上·天津河东·期中)下列结论中正确的是() A.单项式少的系数是}， 4 次数是4B.单项式m的次数是1，没有系数 C.多项式2x2+y2+3是三次多项式 D.在，2x+y,-b,,0中，整式有3个 【变式3-1】(24-25七年级上·云南玉溪·期中)下列结论中正确的是() A.单项武y的系数是：，次数是4 4 B.多项式x+x2y2+3y是二次三项式 C.单项式m的次数是1，无系数 3/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D.y-1是多项式 3 【变式3-2】(24-25七年级上广东广州期中)下列判断中，正确的是() A.mn不是整式 B.3x2-y+5y2是二次三项式 5 C.多项式x2+4x-3的常数项是3 D.-2y是多项式 3 【题型四】同类项、合并同类项 【例4】(25-26七年级上·全国期中)下列各组代数式中，不是同类项的是() A.2m2n与4m2B.-和5m C.2与π D.-a2与2a2 【变式4-1】(25-26七年级上·湖南衡阳·期中)下列计算正确的是() A.3a+2b=5abB.5y-3y=2 C.-p2-p2=-2p2D.7m+m=7m2 【变式4-2】(25-26七年级上全国期中)下列计算正确的是() A.4a2-3a2=1 B.3a+2b=5ab C.-2ab+4ab=2ab D.3a2b2-2ab=ab 【题型五】写出满足某些特征的单项式 【例5】(25-26七年级上·全国期中)写出一个只含一个字母，且系数为2，次数为3的单项式是 【变式5-1】(24-25七年级上山东聊城期中)请写出一个单项式，使它满足系数为负数，次数为4，且含 有字母a,b,这个单项式可以为」 【变式5-2】(24-25七年级上广东湛江·期中)若一个单项式含有字母x和y,系数是2，次数是3，则这 个单项式可以是」 (写出一种情况即可)· 【题型六】整式的加减运算 【例6】(23-24七年级上湖南益阳·期中)化简. (1)4a2b-3ab2）+-a2b+2ab2）: (2)3(a2-2ab)-[3a2-2b+2(ab+b)]. 【变式6-1】(25-26七年级上全国期中)化简： 4/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (①)3x2-[7x-(4x-3)-2x2]: (2)5a2b-3ab2）-2(a2b-7ab2） 【变式6-2】(24-25七年级上全国期中)计算： (1)4m+5n-7n-3m氵 (2(3a2-b2）-2a2+2b2） (3)3a2-2ab-（-5ab+3a2-1 ④3r-5x-26-3j+2r] 【题型七】整式的加减中的化简求值 【例7】(24-25七年级上·甘肃武威期中)化简求值： 02m-侵-小34-，共中m=-5. 3 (2)3a-4a2+1+2a3）--a+5a2+3a3）,其中a=-1. 【变式7-1】(25-26七年级上全国期中)先化简，再求值. (1)已知多项式A=4x2-4xy+y2,B=x2+y-5y2,求-2A-3B的值，其中x=-2,y=2. (2)若有理数a、b满足(a+22+b-3=0,求多项式-4a2b+5ab2-2(3ab2-2a2b-1. 【变式7-2】(25-26七年级上江苏期中)(1)先化简，再求值：4y-[(x2+5xy-y）-(x2+3xy-2y)] ,其中x是最大的负整数，y=2: (2)已知多项式A=3a2-6ab+b2,B=-2a2+3ab-5b2,当a=1,b=-1时，求A+2B的值. 【题型八】整式的加减运算与应用 【例8】(24-25七年级上·安徽合肥期中)如图，一个边长为a的正方形，挖去四个半径为r的半圆剩下来 的部分（单位：cm). 5/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a ()用代数式表示剩下部分的周长： (2)当a=8cm,r=2cm时，剩下部分的周长是多少（π取3.14）. 【变式8-1】(24-25七年级上·北京期中)如图1.在一块长方形区域中布置了图中阴影部分所示的展区， 其中的展台有三种不同的形状，其规格如图2所示. 半径=1 图1 图2 ()该长方形区域的长可以用式子表示为； (2)根据图中信息，用等式表示a,b,c满足的数量关系为 【变式8-2】(24-25七年级上湖南郴州期中)某超市在国庆期间对顾客实行优惠，规定如表所示： 次性购物金额 优惠办法 少于300元 不予优惠 等于或大于300元但低于600元 九折优惠 等于或大于600元 其中600元部分给予九折优惠，超过600元部分给予七折优惠 (1)如果王叔叔一次性购物700元.那么他实际付款多少元？ (2)若顾客在该超市一次性购物x元， ①当x小于600但不小于300时，他实际付款_元， ②当x大于或等于600时，他实际付款_元（用含x的代数式表示）； (3)如果王叔叔两次购物货款合计940元，第一次购物的货款为a元0<a<300),用含a的式子表示两次购 物王叔叔实际付款多少元？ 6/14 学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 高频易错归因清单 【题型一】多项式系数、指数中字母求值 【例1】(24-25七年级上陕西咸阳期中)已知关于x的多项式3x4-(m+7)x3+(n-1)x2-5x+3不含x2项 和x2项，求m+2n的值. 【变式1-1】(24-25七年级上甘肃庆阳期中)对于多项式-m-3列x+k-1. ()若此多项式是关于x的三次三项式，求m的值： (②)若此关于x的多项式不含常数项，求k的值. 【变式1-2】(2425七年级上河南南阳期中)已知多项式2y+xy-2xy2+0+1x+3是关于x,y的 6 六次四项式， (1)求m-n的值： ②将多项式y+ry-2ry2+a+1x+3按x的升幂排列. 6 【题型二】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【例2】（24-25七年级上重庆酉阳期中)先化简，再求值：已知3x2y与-2x“y6-是同类项，求 5ab2-「6a2b-3ab2+2a2b)]的值. 【变式2-1】(23-24七年级上江西宜春·期中)已知mx3y与-2nx3y2a-是关于x、y的单项式，且它们是同 类项。 (1)求a的值； (2)若mx3y-2nxy2a-1=0,且xy≠0，求(m-2n-1)2023+a的值. 【变式2-2】(24-25七年级上安徽合肥期中)己知代数式A=2m2+3mn+2n,B=m2-mn+m. (I)求A-2B; (2)若单项式7x”y3与单项式-9x2y"是同类项，求A-2B的值； (3)当m取何值时，A-2B的值与n的取值无关. 7/14 扇学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【题型三】已知式子的值，求代数式的值 【例3】(25-26七年级上全国期中)“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与 求值中应用较为广泛.如图所示是老师安排的作业题. 代数式x2+x+3的值为7，求代数式2x2+2x-3的值 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为x2+x+3=7,所以x2+x=4,所以 2x2+2x-3=2x2+x-3=2×4-3=5,所以代数式2x2+2x-3的值为5. 【方法运用】 (1)若代数式x2+x+3的值为15，求代数式3-2x2-2x的值； (2)当x=8时，代数式ax3+bx+4的值为11，求当x=-8时，代数式ax3+bx+4的值； 【拓展应用】 (3)若3m+n=-5,mn=2,求6m+n)-(4n-mn)的值. 【变式3-1】(24-25七年级上广东惠州期中)历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号f(x)的 形式来表示，例如当x=-1时，多项式fx)=x2+3x-5的值记为(-1)，则f(-1=(-1)2+3x(-1)-5=-7 已知f(x)=ax3+bx3+3x+c,且f(0)=-1.请解决以下问题： (1)c=】 (2)若f(1=2,求a+b的值： (3)若f(2)=9,求f(-2)的值. 【变式3-2】(2425七年级上·甘肃兰州期中)【教材呈现】下题是某版七年级上册数学教材的一道练习题 目内容 C组17.代数式：x2+x+3的值为9.则代数式2x2+2x-3的值为_ 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下： 由题意得x2+x+3=9,则有x2+x=6. 2x2+2x-3=2x2+x-3=2×6-3=9. 所以代数式2x2+2x-3的值为9. 【方法运用】 (1)若-x2=x+2,则x2+x+3=- 8/14 品学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 (2)若代数式x2+x+1的值为15，求代数式-2x2-2x+3的值. 【题型四】整式加减中的无关型问题 【例4】(25-26七年级上湖南衡阳·期中)已知多项式A=4x2-3xy+y,B=x2+2xy-3y. (1)求2A-3B; (2)若2A-3B的值与y无关，求x的值， 【变式4-1】(24-25七年级上浙江金华·期中)己知：A=a2-ab-3b2,B=2a2+ab-6b2. (I)计算2A-B的表达式： (2)若代数式(x2+ax+2)-bx2-2x-3y)的值与字母x的取值无关，求代数式2A-B的值. 【变式4-2】(24-25七年级上辽宁鞍山期中)阅读理解： 己知A=a-4)x-1;若A值与字母x的取值无关，解得a=4, :当a=4时，A值与字母x的取值无关， 知识应用： 己知A=mx-x,，B=mx-3x+5m, ①用含m,x的式子表示3A-2B; ②若3A-2B的值与字母m的取值无关，求x的值： 知识拓展： 春节快到了，某超市计划购进甲、乙两种羽绒服共30件进行销售，甲种羽绒服每件进价700元，每件售价 1020元，购进羽绒服后，返还顾客现金Q元，乙种羽绒服每件进价500元，每件售价800元.设购进甲种羽 绒服x件，当销售完这30件羽绒服的利润与x的值无关时，求a的值， 方法技巧速通清单 【题型一】与单项式有关的规律探究问题 方法技巧总结： 1.系数规律探究：重点分析系数的符号、绝对值变化。符号常呈交替规律，如第n项为(1)或 (1)^{n+1}；绝对值多为自然数、奇数或倍数关系，例如1,3,5，…对应2n-1,2,4,6,…对应2n。 2.次数规律探究：观察字母指数的变化。单个字母的指数多为连续自然数，如第n项指数为；多个字母时， 可能是各指数之和为固定值或呈递增规律。 9/14 品学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 3.综合表达式探究：结合系数与次数规律，归纳第n个单项式的通用式。例如单项式-x,3x2,-5x3,·,可 总结为第n项为(l)^n(2n-l)x^n,代入n值即可求特定项。 【例1】(24-25七年级上广东茂名期中)有一列单项式：x,-2x2,3x3,-4x4，.,-10x10，… (1)请直接写出第2024个单项式； (2)请直接写出第n个单项式： (3)写出第1个单项式至第100个单项式的和，并求出当x=-1时此整式的值， 【变式1-1】(24-25七年级上黑龙江齐齐哈尔期中)观察下列单项式的规律：x,-2x2,4x3,-8x4, 16x,,解答下列问题； (1)归纳猜想：（每空只能填写一个式子）第10个单项式为 ,第n个单项式为 (2)实践应用：第2024个单项式为，第2025个单项式为 【变式1-2】(24-25七年级上·辽宁葫芦岛期中)观察下列三行单项式： -2x,4x2,-8x3,16x4,-32x3,64x6,.;① -x,5x2,-7x3,17x,-31x3,65x5,.;② -4x2,8x3,-16x4,32x5,-64x6,128x7,.·③ 根据你发现的规律，解答下列问题： (1)第①行的第8个单项式为 (2)第②行的第9个单项式为 (3)第③行的第n个单项式为 (用含有n的式子表示) (④取每一行的第8个单项式，令这三个单项式的和为山，当x=时，求M的值。 【题型二】与图形有关的规律探究问题 方法技巧总结： 1.图形数量规律：观察图形的个数变化，如用同样规格的黑白两种颜色的正方形拼图，图①用了5块白色正 方形，图②用了8块，图③用了11块，可发现第n个图形要用(3n+2)块白色正方形。 2.图形周长规律：例如由完全相同的小梯形组成的图形，第1个图形的周长为5，第2个图形的周长为8， 第3个图形的周长为11，经分析可得第n个图形的周长为3n+2)。 3.图形组成规律：如一些图案由基础图形组成，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图 形组成，第3个图案由10个基础图形组成，由此可推出第n个图案是由(3n+1)个基础图形组成。 【例2】(24-25七年级上山东菏泽·期中)观察图形，先填空，然后回答问题. 10/14 专题02 整式及其加减（4知识&8题型&4易错&4方法清单） 【清单01】代数式 1.代数式的定义：是由数字、字母通过有限次加、减、乘、除和乘方等代数运算得到的数学表达式。它可以表示为一个或多个项的和，每个项由系数、字母和字母的指数组成。 2.代数式的书写规则：乘号可以省略或用“·”表示，除法运算用分数线表示。 数字和字母相乘时，数字应写在字母的前面。 带分数应写成假分数的形式。 3.代数式的值：当代数式中的字母取某些特定值时，代数式所表示的数。求代数式的值的方法有直接代入法、整体代入法、间接求值法等。 【清单02】整式的相关概念 1．单项式：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数． （2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和． 2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项． 要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项． （2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数． （3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式． （4）多项式的降幂与升幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列． 3．整式：单项式和多项式统称为整式． 【清单03】整式的加减 1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项． 要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无关”： （1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； （2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关． 2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 要点诠释：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变． 3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变． 5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项． 【清单04】图形与数字的变化规律 探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律． （1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． （2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程． 【题型一】代数式书写方法 【例1】（25-26七年级上·全国·期中）下列式子中，符合代数式书写规范的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的书写要求．解题的关键是掌握代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式． 根据代数式的书写要求判断各项． 【详解】解：A、应写成，该选项错误，不符合题意； B、应写成，该选项错误，不符合题意； C、应写成，该选项错误，不符合题意； D.、该选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式1-1】（25-26七年级上·全国·期中）下列代数式书写正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查代数式的写法，根据在含有字母的式子中数字与字母相乘时，数字写在字母前；如果出现乘号“×”，通常将乘号写作“⋅”或省略不写；在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写；带分数要写成假分数的形式；代数式为和差形式且带有单位时，应加上括号，逐一判断即可，解题的关键是正确理解代数式的书写要求． 【详解】解：①应写成； ②书写正确； ③书写正确； ④应写成； ⑤，书写正确． 正确的有②③⑤，共3个， 故选：C． 【变式1-2】（25-26七年级上·全国·期中）下列代数式符合书写要求的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．根据代数式的书写要求判断各项即可． 【详解】解： 代数式中不能出现乘、除号，且数字在前，因此、书写错误，故A、B错误； 带分数要写成假分数的形式，因此书写错误，故C错误． 符合书写要求，故D正确； 故选：D． 【题型二】单项式、多项式、整式的判断 【例2】（25-26七年级上·江苏·期中）下列哪个是单项式？（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式的定义，掌握单项式的定义“单项式是数与字母的乘积（不含加减法或分母含字母）”是解题的关键．根据单项式的定义判定即可． 【详解】单项式是数与字母的乘积（不含加减法或分母含字母）．A和C是多项式，D分母中含有未知数，只有B符合单项式定义． 故选：B． 【变式2-1】（24-25七年级上·江苏盐城·期中）下列式子，，，中，多项式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式，根据定义解答即可． 【详解】解：是单项式； ，是多项式； 的分母含字母，既不是单项式，也不是多项式． 故选B． 【变式2-2】（25-26七年级上·全国·期中）在代数式：中，整式有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】D 【分析】本题考查整式的判断．整式包括单项式和多项式，用数或字母的乘积表示的式子叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式．几个单项式的和叫做多项式．根据定义判断即可． 【详解】解：所给代数式中： 是单项式，属于整式； 是多项式，属于整式； 分母中含未知数，不是整式； 综上可知，整式有7个， 故选D． 【题型三】单项式、多项式的系数和次数 【例3】（25-26七年级上·天津河东·期中）下列结论中正确的是（　　） A．单项式的系数是，次数是 B．单项式的次数是，没有系数 C．多项式是三次多项式 D．在，，，，中，整式有个 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式和单项式，解题的关键是熟练掌握单项式和多项式的有关概念．A、选项均根据单项式的次数和系数的定义，进行判断即可；C．根据多项式的有关概念进行判断即可；D．根据整式、多项式和单项式的有关定义进行判断即可． 【详解】解：单项式的系数是，次数是， 此选项的结论错误，故此选项不符合题意； B．单项式的次数是，系数是， 此选项的结论错误，故此选项不符合题意； C．多项式是三次三项式， 此选项的结论正确，故此选项符合题意； D．在中，整式有，，，，共个， 此选项的结论错误，故此选项不符合题意； 故选：． 【变式3-1】（24-25七年级上·云南玉溪·期中）下列结论中正确的是（   ） A．单项式的系数是，次数是4 B．多项式是二次三项式 C．单项式的次数是1，无系数 D．是多项式 【答案】D 【分析】本题考查了单项式和多项式的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据单项式的系数和次数的定义、多项式的次数和项数的定义逐项判断即可求解 【详解】解：A、单项式的系数是，次数是3，该选项不符合题意； B、多项式是四次三项式，该选项不符合题意； C、单项式的次数是1，系数是1，该选项不符合题意； D、是多项式，该选项符合题意； 【变式3-2】（24-25七年级上·广东广州·期中）下列判断中，正确的是（ 　） A．不是整式 B．是二次三项式 C．多项式的常数项是3 D．是多项式 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式次数和系数的定义，多项式项和次数的定义，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数，根据相关定义逐一判断即可． 【详解】解：A、是单项式，属于整式，原说法错误，不符合题意； B、多项式是三次三项式，原说法错误，不符合题意； C、多项式的常数项是，原说法错误，不符合题意； D、是多项式，原说法正确，符合题意． 故选：D． 【题型四】同类项、合并同类项 【例4】（25-26七年级上·全国·期中）下列各组代数式中，不是同类项的是（    ） A．与 B．和 C．2与 D．与 【答案】A 【分析】本题考查了同类项的定义．所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项． 根据同类项的定义逐一判断即可． 【详解】A、与所含字母相同，相同字母的指数不同，不是同类项； B、和所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，是同类项； C、2与均为常数项，是同类项； D、与所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，是同类项； 故选：A． 【变式4-1】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）下列计算正确的是（ 　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项，根据合并同类项的运算法则逐项分析即可得解，熟练掌握合并同类项的法则是解此题的关键． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算正确，符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 【变式4-2】（25-26七年级上·全国·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查同类项的概念以及合并同类项的法则．同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，合并同类项就是把同类项的系数相加，字母和指数不变；接下来依次分析每个选项． 【详解】解：A、，故A选项不符合题意； B、因为与所含字母不同，不是同类项，所以，故B选项不符合题意； C、，故C选项符合题意； D、因为与所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，所以不能合并，，故D选项不符合题意． 故选：C． 【题型五】写出满足某些特征的单项式 【例5】（25-26七年级上·全国·期中）写出一个只含一个字母，且系数为2，次数为3的单项式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是单项式的定义，根据单项式系数、次数的定义写出结论即可． 【详解】解：只含一个字母，且系数为2，次数为3的单项式是， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式5-1】（24-25七年级上·山东聊城·期中）请写出一个单项式，使它满足系数为负数，次数为4，且含有字母，，这个单项式可以为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了单项式次数与系数，直接利用单项式次数、系数与所含字母得出答案． 【详解】解：由题意得，这个单项式可以为（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式5-2】（24-25七年级上·广东湛江·期中）若一个单项式含有字母和，系数是2，次数是3，则这个单项式可以是 （写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查单项式，利用单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，进而得出符合题意一个答案． 【详解】解：由题意得：这个单项式可以是， 故答案为：． 【题型六】整式的加减运算 【例6】（23-24七年级上·湖南益阳·期中）化简． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式加减的运算，熟练掌握合并同类项和去括号法则是解题的关键． （1）去括号，合并同类项即可化简； （2）去括号，合并同类项即可化简． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式6-1】（25-26七年级上·全国·期中）化简： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）先去括号，然后合并同类项，即可求解； （）先去括号，然后合并同类项，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式6-2】（24-25七年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)． (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握去括号，合并同类项的法则，是解题的关键： （1）合并同类项即可； （2）去括号，合并同类项即可； （3）去括号，合并同类项即可； （4）去括号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【题型七】整式的加减中的化简求值 【例7】（24-25七年级上·甘肃武威·期中）化简求值： (1)，其中． (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可化简，最后代入计算即可得解； （2）先去括号，再合并同类项即可化简，最后代入计算即可得解． 【详解】（1）解：； 当时，原式； （2）解：； 当时，原式． 【变式7-1】（25-26七年级上·全国·期中）先化简，再求值． (1)已知多项式，，求的值，其中． (2)若有理数a、b满足求多项式． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，整式的化简求值： （1）根据整式的加减计算法则求解即可； （2）先求出字母的值，再去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】（1）解： 当时， 原式 （2）∵ ∴ ∴ 【变式7-2】（25-26七年级上·江苏·期中）（1）先化简，再求值：，其中x是最大的负整数，； （2）已知多项式，当，时，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解答的关键． （1）先根据整式的加减运算法则化简原式，再求得x的值，然后代值求解即可； （2）先根据整式的加减运算法则得到，再代值求解即可． 【详解】解：（1）原式 ， 由题意，得，且， 所以将，代入， 得原式； （2）由题意，得 ， 当，时， 原式 ． 【题型八】整式的加减运算与应用 【例8】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图，一个边长为的正方形，挖去四个半径为的半圆剩下来的部分（单位：cm）． (1)用代数式表示剩下部分的周长； (2)当，时，剩下部分的周长是多少（取3.14）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式和代数式求值，正确列式是解题的关键； （1）根据剩下部分的周长4个半圆的周长求解即可； （2）把，代入（1）的式子计算即可． 【详解】（1）解：， 答：剩下部分的周长是； （2）解：当，时， 答：剩下部分的周长为． 【变式8-1】（24-25七年级上·北京·期中）如图1．在一块长方形区域中布置了图中阴影部分所示的展区，其中的展台有三种不同的形状，其规格如图2所示． (1)该长方形区域的长可以用式子表示为____； (2)根据图中信息，用等式表示a，b，c满足的数量关系为____． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查列代数式的知识，熟练掌握图中的数量关系是解题的关键． （1）根据图中关系列出代数式即可； （2）根据宽相等得出等量关系式即可． 【详解】（1）解：由图知：该长方形区域的长为， 故答案为：； （2）解：由图知长方形区域的宽为或， ， ， 故答案为：． 【变式8-2】（24-25七年级上·湖南郴州·期中）某超市在国庆期间对顾客实行优惠，规定如表所示： 一次性购物金额 优惠办法 少于300元 不予优惠 等于或大于300元但低于600元 九折优惠 等于或大于600元 其中600元部分给予九折优惠，超过600元部分给予七折优惠 (1)如果王叔叔一次性购物700元．那么他实际付款多少元？ (2)若顾客在该超市一次性购物元， ①当小于600但不小于300时，他实际付款 元， ②当大于或等于600时，他实际付款 元（用含的代数式表示）； (3)如果王叔叔两次购物货款合计940元，第一次购物的货款为元，用含的式子表示两次购物王叔叔实际付款多少元？ 【答案】(1)他实际付款610元 (2)①② (3) 【分析】本题考查列代数式，整式加减的应用，读懂题意，正确的列出代数式是解题的关键： （1）根据优惠方案，列出算式进行计算即可； （2）根据优惠方案列出代数式即可； （3）根据优惠方案，列出代数式进行计算即可． 【详解】（1）解：（元）； 答：他实际付款610元； （2）①当小于600但不小于300时，他实际付款元； ②当大于或等于600时，他实际付款（元）； （3）第一次购物的货款为元，则：第二次购物的货款为元， ∵， ∴， ∴两次购物王叔叔实际付款：（元）． 【题型一】多项式系数、指数中字母求值 【例1】（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）已知关于x的多项式不含项和项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式中不含某项，熟练掌握不含某项就让这项的系数等于0是解题的关键．根据题意可知，，从而求得、的值，再代入计算即可． 【详解】解：x的多项式不含项和项， ，， ，， ． 【变式1-1】（24-25七年级上·甘肃庆阳·期中）对于多项式． (1)若此多项式是关于x的三次三项式，求m的值； (2)若此关于x的多项式不含常数项，求k的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了多项式的相关概念，熟练掌握多项式的次数、项数、项是解题的关键． （1）此多项式是三次三项式，可得，，，即可求出m的值； （2）此多项式不含常数项，可得，即可求出k的值． 【详解】（1）解：多项式是关于x的三次三项式， ，，， ，， m的值为． （2）解：关于x的多项式不含常数项， ， ． k的值为1． 【变式1-2】（24-25七年级上·河南南阳·期中）已知多项式是关于，的六次四项式． (1)求的值； (2)将多项式按的升幂排列． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了多项式． （1）根据题意得出，，求出m、n的值即可； （2）由（1）得出原多项式为：，按的升幂重新排列即可得到答案． 【详解】（1）解：∵多项式是关于，的六次四项式， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴， 将多项式按的升幂排列为： ． 【题型二】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【例2】（24-25七年级上·重庆酉阳·期中）先化简，再求值：已知与是同类项，求的值． 【答案】， 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，熟知同类项的定义是解答的关键．先根据整式的加运算法则化简原式，再根据同类项的定义求得a、b值，然后代值求解即可． 【详解】解： ， ∵与是同类项， ∴， 解得，， 原式． 【变式2-1】（23-24七年级上·江西宜春·期中）已知与是关于x、y的单项式，且它们是同类项． (1)求a的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了同类项的定义，解题关键是明确同类项所含字母相同，相同的字母的指数也相同； （1）根据同类项相同的字母的指数相同列出方程即可求解； （2）根据同类项合并为0，得出系数和为0，求出字母的值，再代入求解即可． 【详解】（1）解：∵与是关于x、y的单项式，且它们是同类项， ∴ 解得． （2）解：∵， ∴， ∴． 【变式2-2】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知代数式，． (1)求； (2)若单项式与单项式是同类项，求的值； (3)当m取何值时，的值与n的取值无关． 【答案】(1)； (2)28； (3)时，的值与n的取值无关． 【分析】本题考查了整式的加减运算，涉及到同类项概念的应用，熟练掌握整式加减运算法则是解题的关键． （1）把A，B的代数式代入中，去括号，合并同类项后，即可得到结果； （2）根据同类项的概念，得到m，n的值，代入中，得到结果； （3）根据题意，对变形，得到，得到m的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， 即； （2）解：∵单项式与单项式是同类项， ∴，， ∴ ； （3）解：， ∵的值与n的取值无关， ∴， ∴， 即时，的值与n的取值无关． 【题型三】已知式子的值，求代数式的值 【例3】（25-26七年级上·全国·期中）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．如图所示是老师安排的作业题． 代数式的值为7，求代数式的值． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为，所以，所以，所以代数式的值为5． 【方法运用】 （1）若代数式的值为15，求代数式的值； （2）当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值； 【拓展应用】 （3）若，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了用整体代换法求整式的值，能熟练利用整体思想求解是解题的关键． （1）将化为，整体代入，即可求解； （2）把代入得，化为，即可求解； （3）将化为，整体代入，即可求解． 【详解】解：（1）， ， ； （2）把代入得： ， ， ∴把代入得： ； （3），， ． 【变式3-1】（24-25七年级上·广东惠州·期中）历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号的形式来表示，例如当时，多项式的值记为，则． 已知，且．请解决以下问题： (1)________； (2)若，求的值： (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】此题考查了代数式求值的能力，关键是能根据题意准确变形、计算． （1）将代入可求得此题结果； （2）根据，将可求得结果； （3）由题意得，则可得，最后进行代入求解即可． 【详解】（1）∵， ∴ ， 故答案为：； （2）∵ ∴ ∴， 即的值是0； （3）， ∴ ∴ ∴， ， 的值是． 【变式3-2】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）【教材呈现】下题是某版七年级上册数学教材的一道练习题目内容． C组17．代数式：的值为9．则代数式的值为 ． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下∶ 由题意得，则有． ． 所以代数式的值为9． 【方法运用】 (1)若，则= ． (2)若代数式的值为15，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查代数式求值，利用整体代入的思想是解题关键． （1）由原等式可得出，整体代入中求值即可； （2）由原等式可得出，将所求式子变形为，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解：由得：， 则； （2）解：由得：， 则； 【题型四】整式加减中的无关型问题 【例4】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）已知多项式，． (1)求； (2)若的值与无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减，代数式的值与某个字母无关，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将的代数式代入，去括号合并同类项即可； （2）将化简后的的代数式变形为，代数式的值与y无关，即，即可解得题目所求． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ∵代数式的值与无关， ∴， ． 【变式4-1】（24-25七年级上·浙江金华·期中）已知：，． (1)计算的表达式； (2)若代数式的值与字母的取值无关，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式加减运算，熟练掌握去括号，合并同类项法则，是解题的关键． （1）根据去括号，合并同类项法则进行计算即可； （2）先根据去括号，合并同类项得出，然后根据代数式的值与字母的取值无关，得出，，最后代入求出结果即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 代数式的值与字母的取值无关， ∴，， 解得：，， ∴． 【变式4-2】（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）阅读理解： 已知；若值与字母的取值无关，解得， 当时，值与字母的取值无关， 知识应用： 已知，， 用含，的式子表示； 若的值与字母的取值无关，求的值； 知识拓展： 春节快到了，某超市计划购进甲、乙两种羽绒服共件进行销售，甲种羽绒服每件进价元，每件售价元，购进羽绒服后，返还顾客现金元，乙种羽绒服每件进价元，每件售价元．设购进甲种羽绒服件，当销售完这件羽绒服的利润与的值无关时，求的值． 【答案】知识应用：   知识拓展： 【分析】本题考查了列代数式、整式的加减-化简求值，掌握整式的加减-化简求值的方法是关键． 知识应用：把与代入中，去括号、合并同类项即可得到结果； 把的化简结果变形后，根据的值与字母的取值无关，确定出的值即可； 知识拓展：根据题意列出代数式并求解，结合获得的利润与的取值无关，即可获得答案． 【详解】解：知识应用：， ， ； 的值与字母的取值无关，， ， ； 知识拓展： 设购进甲种羽绒服件，则购进乙种羽绒服件， 则甲种羽绒服利润为：元， 乙种羽绒服利润为：元， 总利润为：， 销售完这件羽绒服的利润与的取值无关， ， 解得：． 【题型一】与单项式有关的规律探究问题 方法技巧总结： 1. 系数规律探究：重点分析系数的符号、绝对值变化。符号常呈交替规律，如第n项为(-1)^n或(-1)^{n+1}；绝对值多为自然数、奇数或倍数关系，例如1,3,5,…对应2n-1，2,4,6,…对应2n 。 2. 次数规律探究：观察字母指数的变化。单个字母的指数多为连续自然数，如第n项指数为n；多个字母时，可能是各指数之和为固定值或呈递增规律 。 3. 综合表达式探究：结合系数与次数规律，归纳第n个单项式的通用式。例如单项式-x, 3x^2, -5x^3,…，可总结为第n项为(-1)^n(2n-1)x^n，代入n值即可求特定项 。 【例1】（24-25七年级上·广东茂名·期中）有一列单项式：，…，，…． (1)请直接写出第2024个单项式； (2)请直接写出第n个单项式； (3)写出第1个单项式至第100个单项式的和，并求出当时此整式的值． 【答案】(1)； (2)或； (3)；． 【分析】本题考查了单项式的知识，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键． （1）根据题目中的单项式，可以发现单项式的变化特点，即可求出； （2）根据题目中的单项式，可以发现单项式的变化特点，即可求出； （3）根据题意，可以写出所求式子，然后将代入计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，第2024个单项式为：； （2）解：根据题意，第n个单项式为：或； （3）解： 第1个单项式至第100个单项式的和为 ． 当时， 原式． 【变式1-1】（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）观察下列单项式的规律：x，，，，，…，解答下列问题； (1)归纳猜想：（每空只能填写一个式子）第10个单项式为______，第n个单项式为______． (2)实践应用：第2024个单项式为______，第2025个单项式为______． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及单项式，能根据所给单项式发现其系数及次数的变化规律是解题的关键． （1）观察所给单项式的系数及次数，发现规律即可解决问题； （2）根据(1)中发现的规律即可解决问题． 【详解】（1）解∶观察所给单项式可知， 单项式的系数依次为∶1，，4，，16，…， 所以第n个单项式的系数为∶ ， 单项式的次数依次为∶1，2，3，4，5，……， 所以第n个单项式的次数为∶n， 所以第n个单项式可表示为∶ ， 当时， 第10个单项式为， 故答案为∶，； （2）解∶由(1)知， 当时， 第2024个单项式为∶； 当时， 第2025个单项式为∶ 故答案为∶，． 【变式1-2】（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）观察下列三行单项式： ，，，，，，…；① ，，，，，，…；② ，，，，，，…．③ 根据你发现的规律，解答下列问题： (1)第①行的第8个单项式为________； (2)第②行的第9个单项式为_________； (3)第③行的第n个单项式为_________；（用含有n的式子表示） (4)取每一行的第8个单项式，令这三个单项式的和为M．当时，求M的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)， 【分析】本题考查单项式规律的探索，对每个单项式的系数和字母部分分别找到规律是解题的关键． （1）根据第①行的数字的规律，从第一个单项式开始，后面的单项式系数每次乘以，指数每次加1，可得第8个单项式； （2）比较第①行和第②行，可发现从第一个单项式开始，系数是第①行对应的单项式的系数加上1，字母部分和第①行相同，即可得到第9个单项式； （3）比较第①行和第③行，可发现从第一个单项式开始，系数是第①行对应的单项式的系数的2倍，字母部分的指数是第①行对应的单项式的字母指数加上1，即可得到第n个单项式； （4）取每行的第8个单项式，则可得，把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，，，，，，…； ∴第8个单项式为； 故答案为：； （2）解：∵第①行的第9个单项式为， ∴比较第①行和第②行可得，第②行的第9个单项式为； 故答案为：； （3）解：∵第①行的第n个单项式为， ∴比较第①行和第③行可得，第③行的第n个单项式为； 故答案为：； （4）解：每行的第8个分别为，，， ∴， 当时，． 【题型二】与图形有关的规律探究问题 方法技巧总结： 1.图形数量规律：观察图形的个数变化，如用同样规格的黑白两种颜色的正方形拼图，图①用了5块白色正方形，图②用了8块，图③用了11块，可发现第n个图形要用(3n + 2)块白色正方形。 2.图形周长规律：例如由完全相同的小梯形组成的图形，第1个图形的周长为5，第2个图形的周长为8，第3个图形的周长为11，经分析可得第n个图形的周长为(3n + 2)。 3.图形组成规律：如一些图案由基础图形组成，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第3个图案由10个基础图形组成，由此可推出第n个图案是由(3n + 1)个基础图形组成。 【例2】（24-25七年级上·山东菏泽·期中）观察图形，先填空，然后回答问题． (1)由上而下第6行，白球有______个，黑球有______个； (2)第n行白球与黑球的总数用含n的代数式表示为______； (3)请你求出第2024行白球和黑球的总数． 【答案】(1)6，11 (2)个 (3)6071个 【分析】本题主要考查了图形变化的规律及列代数式． （1）根据所给图形，依次求出由上而下的白球和黑球的个数，发现规律即可解决问题； （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题； （3）根据（2）中发现的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知， 由上而下第1行白球的个数为：1，黑球的个数为：； 由上而下第2行白球的个数为：2，黑球的个数为：； 由上而下第3行白球的个数为：3，黑球的个数为：； …， 所以由上而下第n行白球的个数为：n，黑球的个数为：． 当时，（个）， 即由上而下第6行白球的个数为6个，黑球的个数为11个， 故答案为：6，11； （2）解：由（1）知， 第n行白球与黑球的总数用含n的代数式表示为：个， 故答案为：个； （3）解：当时，（个）， 即第2024行白球和黑球的总数为6071个． 【变式2-1】（24-25七年级上·广东珠海·期中）综合与实践． 在一个创新教育中心，学生们正在参与一个名为“火柴棍工程”的综合实践活动．这个活动旨在通过动手实践来培养学生的空间想象力、逻辑思维和数学计算能力．如图所示，学生们需要使用火柴棍来构建一系列由三角形组成的图形，并探索这些图形的数学规律． (1)实践操作：如果图形中含有4个三角形，那么拼成这个图形需要 根火柴棍． (2)数学探究：如果图形中含有n个三角形，那么拼成这个图形需要 根火柴棍． (3)应用数学：若图形中含有2024个三角形，并且每根火柴棍的长度为，则图形中所有火柴棍的长度和为多少？ 【答案】(1)9 (2) (3) 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据题意数出图形中含有4个三角形时需要的火柴棒数量即可； （2）观察图形可知，每多一个三角形，则要多两根火柴棒，据此规律求解即可； （3）根据（2）所求求出所需要的火柴棒数量即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，如果图形中含有4个三角形，那么拼成这个图形需要9根火柴棒； （2）解：图形中含有1个三角形，需要3根火柴棒， 图形中含有2个三角形，需要根火柴棒， 图形中含有3个三角形，需要根火柴棒， 图形中含有4个三角形，需要根火柴棒， ……， 以此类推，可知，图形中含有n个三角形，需要根火柴棒， （3）解：当图形中含有2024个三角形时，火柴棍的根数为（根）， ∴图形中所有火柴棍的长度和为． 【变式2-2】（24-25七年级上·江苏扬州·期中）如图：用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案．                      (1)第3个图案中，三角形有________个，六边形有________个； (2)第5个图案中，三角形有________个，六边形有________个； (3)第（为正整数）个图案中，三角形有________个，六边形有________个； (4)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形和50个六边形？如果存在，指出是第几个图案；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)8，3 (2)12，5 (3)，n (4)不存在，见解析 【分析】（1）第1个图案中，三角形有个，六边形有1个；第2个图案中，三角形有个，六边形有2个；第3个图案中，三角形有个，六边形有3个解答即可． （2）第5个图案中，三角形有个，六边形有5个解答即可． （3）第n个图案中，三角形有个，六边形有n个解答即可． （4）当时，，比较解答即可． 本题考查了整式中的图形中的数字规律，正确发现规律是解题的关键． 【详解】（1）解：第1个图案中，三角形有个，六边形有1个；第2个图案中，三角形有个，六边形有2个； 第3个图案中，三角形有个，六边形有3个． 故答案为：8，3． （2）解：第5个图案中，三角形有个，六边形有5个， 故答案为：12，5． （3）解：第n个图案中，三角形有个，六边形有n个， 故答案为：，n． （4）解：不存在，理由如下： 当时，． 故不存在． 【题型三】与数字有关的规律探究问题 方法技巧总结： 1.数列规律：这是最常见的类型。比如探究像 2, 5, 8, 11... 这样的等差数列，或者 1, 4, 9, 16... 这样的平方数列。解题关键是找出相邻数字间的差值或比值，从而归纳出通项公式。 2.数阵规律：数字会排列成特定的形状，如三角形、正方形或十字形。解题时需要观察数字在行和列上的变化规律。找出边缘数字和内部数字的生成方式是解题的突破口。 3.循环规律：这类问题的数字或符号会周期性重复。例如一串彩灯按红、黄、蓝、绿的顺序循环。解题时需要先找出循环周期，再用除法计算余数来确定指定位置的元素。 【例3】（25-26七年级上·全国·期中）观察下面三行数： ，9，，81，…；………………………第①行 1，，9，，…；………………………第②行 ，10，，82，…．……………………第③行 (1)第①行数按什么规律排列？ (2)第②③行数与第①行数分别有什么关系？ (3)设x，y，z分别为第①②③行的第2025个数，求的值． 【答案】(1)第①行数按（n为正整数）规律排列 (2)见解析 (3)1 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式． （1）观察可看出第一行的数分别是的1次方，二次方，三次方，四次方…且偶数项是正数，奇数项是负数，用式子表示规律为：； （2）观察②，③两行的数与第①行的联系，即可得出答案； （3）分别表示出第①②③行的2025个数，再将x，y，z代入所求式子计算即可． 【详解】（1）解：∵，9，，81，，729…； ∴第①行数是：，，，，…， 即第①行数按（n为正整数）规律排列； （2）解：第②行数是第①行数相应位置的数乘，即； 第③行数比第①行数相应位置的数大1，即； （3）解：∵，，， ∴ ． 【变式3-1】（24-25七年级上·广东中山·期中）【阅读中思考】 设a是不为0和1的有理数，我们把1与a的倒数的差，即称为a的倒数差，如：2的倒数差是，的倒数差是． 【探索中理解】 若，是a的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推． (1)①直接写出结果________，________，________； ②写出计算的算式，并求值； (2)根据以上的计算结果，猜想________；（直接写出答案） (3)求的值，并写出计算过程． 【答案】(1)①，，3；② (2) (3) 【分析】本题考查了数字类变化规律，理解题意，找出规律是解答本题的关键． （1）根据倒数差的定义进行计算，求出，，，的值； （2）根据（1）的计算结果，得到规律，每3个为一个周期，由此得到答案． （3）根据（1）的计算结果，得到规律，每3个为一个周期，每个周期3个数的积为，中，有2025个数，即675个周期，由此计算出答案． 【详解】（1）解：①；；； 故答案为：，，3； ②； （2）解：根据（1）中规律可得以，，3循环， ∵， ∴． （3）解：，， ∴ ． 【变式3-2】（24-25七年级上·广西桂林·期中）观察下列等式，并解答问题． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ．．．．．． (1)按以上规律填空： ①第5个等式：___________； ②第50个等式：___________； (2)计算：． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查数字的变化规律，有理数加减混合运算，通过观察已知的式子，探索出式子的一般规律，并运用规律进行计算即可． （1）通过观察已知式子即可求第5个及第50个等式； （2）原式，再运算即可． 【详解】（1）解：由前4个等式观察可得： ①第5个等式为：， ②第50个等式为：， 故答案为：；； （2）解：原式 ． 【题型四】整式中的新定义型问题 方法技巧总结： 1. 新运算定义问题：如定义一种新运算a\oplus b=a - 2b，要求根据此定义进行式子的化简求值，像计算(x - 2y)\oplus(x + 2y)，就需要将a=x - 2y，b=x + 2y代入新运算式子中进行计算。 2.新数定义问题：例如定义“樱花数”，若一个两位数a的个位数字与十位数字都不是零且互不相同，则称这个两位数为“樱花数”，并定义新运算\omega a为将这个两位数的个位数字与十位数字对调后，新的两位数与原来两位数的和与11的商，然后据此进行相关计算。 3.几何图形新定义问题：如定义如果一条线段上有一点，使得其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称这个点是该线段的“巧点”，然后围绕此定义进行点的位置或相关线段长度的计算。 【例4】（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）定义一种新运算“◎”：，比如． (1)求的值； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算，整式的加减，理解新定义运算是解题的关键． （1）根据新定义运算求解即可； （2）根据新定义运算列出算式，去括号合并同类项即可 【详解】（1）解：， ； （2） ． 【变式4-1】（24-25八年级上·北京海淀·期中）将四个有理数a，b，c，d写成的形式，称它为由有理数a，b，c，d组成的二阶矩阵，a，b，c，d为构成这个矩阵的元素，定义矩阵的运算为：，两个矩阵相加我们定义为：，下面是两个二阶矩阵的加法运算过程： ． (1)计算的值； (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，整式的加减运算，弄清题中的运算法则是解本题的关键． （1）根据阅读材料中的方法计算即可； （2）根据阅读材料中的方法计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式4-2】（24-25七年级上·四川成都·期中）用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定． 如：． (1)求的值； (2)若关于的多项式，且中不含一次项，求的值； (3)若，（其中为有理数），试比较，的大小． 【答案】(1)3 (2)； (3) 【分析】本题考查了整式的加减运算，新定义，多项式的项，有理数的混合运算，读懂题目信息，理解新定义，掌握整式的加减运算法则，有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可； （2）把相应的值代入，利用新定义的运算求解，再结合条件即可求解； （3）把相应的值代入，利用新定义的运算分别求出，，再比较大小即可． 【详解】（1）解： 3☆ ； （2）（2） ， 中不含一次项， ， ； （3）∵，，（其中为有理数） ，， ， ． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $