专题03 一元一次方程（4知识&5题型&4易错&3方法清单）（期中知识清单）七年级数学上学期新教材沪科版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03一元一次方程(4知识&5题型&4易错&3方法清单) 知识图谱 1.方程 2.方程的解 一元一次方程的概念 3.一元一次方程定义 4.一元一次方程的解 等式的性质1 等式的基本性质 等式的性质2 一元一次方程 去分母、去括号、移项、合并」 系数化为1、检验 元一次方程的解法 1.一元一次方程应用题解题一般步骤 元一次方程的应用 2.用一元一次方程解决实际问题的常见类型 知识清单 【清单01】一元一次方程的概念 1.方程：含有未知数的等式叫作方程 2方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 3.一元一次方程定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程叫作一元一次 方程。 细节剖析：判断是否为一元一次方程，应看是否满足： ①只含有一个未知数，未知数的次数为1；②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数. 4.一元一次方程的解：能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根。 【清单02】等式的基本性质 等式的性质1等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得结果仍是等式。 字母表达式为：如果a=b,那么a±c=b±c. 等式的性质2等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为零），所得结果仍是等式。 1/11 品学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 字母表达式为：如果a=b,那么c=bc,或0-2c#0). 细节剖析： 等式的传递性如果a=b、b=c,那么a=c。 【清单03】一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数. (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号. (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边 (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为=b(a≠0)的形式. (⑤)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解x=b(a≠0). (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等， 则不是方程的解。 【清单04】一元一次方程的应用 1.一元一次方程应用题解题一般步骤： ①审：审题，分析题中己知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x) ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 2.用一元一次方程解决实际问题的常见类型 (1)探索规律型问题； (2)数字问题： (3)销售问题（利润=售价·进价，利润率=利润×100%）： 进价 (4)工程问题（①工作量=人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作 量的和=工作总量)； (5)行程问题（路程=速度×时间）；速度×时间=路程；相遇问题：S甲十S乙S总；追及问题：S快S 慢S相距； (6)等值变换问题； 2/11 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 (7)和，差，倍，分问题； (8)分配问题； (9)比赛积分问题： (10)水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度~水流速度）· 期中常考题型清单 【题型一】一元一次方程的定义 【例1】(24-25七年级上·吉林·期中)下列方程中是一元一次方程的是() A.2x=3y B.x-8=0 C.r+x-=0D.}2=x 【变式1-1】(2425七年级下四川乐山期中)以下方程：①x-2=1；②0.2x=1;③2x-1=0;④ 言=x-3:回90：回x-y=6:@r4-,其中一元一次方程有《） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【变式1-2】(2425七年级下甘肃天水期中)已知下列方程：①x-2=1②0.2x=1③=x-3④ 3 x2-4=3x⑤x=0⑥x-y=6.其中一元一次方程有() A.1个 B.2个 C.3个 D.5个 【题型二】等式的基本性质 【例2】(24-25七年级上·安徽合肥·期中)下列说法一定正确的是() A.若x=y,则x+c=y-c B.若x=y,则xC=yc C.若x=y,则x=上 D.若=’，则2x=3y 2c 3c 【变式2-1】(24-25七年级下·四川眉山期中)下列运用等式的性质变形错误的是() A.若8-，则a=b B.若a2=2a,则a=2 CC C若=，则。 D.若x=y,则xc=yC 【变式2-2】(24-25七年级下·黑龙江绥化期中)运用等式的性质进行变形，错误的是() A.如果a=b,那么=b B.如果8=b,郑么a=b C.如果a(x2+1)=b(x2+1),那么a=bD.如果a=b,那么5-2a=5-2b 3/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【题型三】解一元一次方程 【例3】(24-25七年级上·四川德阳·期中)解下列方程： (1)3(x-2)+1=x-(2x-1): @g-1 【变式3-1】(24-25七年级上湖北武汉·期中)解方程： (1)4-32-x)=5x-6; 2+43=-16 0.20.5 【变式3-2】(24-25七年级上·北京期中)解方程： (1)5x-2(x-1）=x-2 a21号 2 【题型四】解一元一次方程错解复原 例4】(2425七年级上古林松原期中)以下一名同学解方程，1的解答过程。一 解：去分母，得2(2x-1-5(x+1)=10① 去括号，得4x-2-5x+5=10② 移项，合并同类项，得-x=13③ 系数化为1，得x=-13④ 该同学的解答在第 步出现错误，请写出正确的解答过程， 【变式4-1】(24-25七年级上·福建莆田·期中)下面是小青同学错题本上的一道题，请仔细阅读并完成相应 的问题， 解方程： 岁12 3 解：3(x+1-6=2(2-3x).第一步 3x+3-6=4-6x.第二步 3x-6x=4-3+6.第三步 -3x=7.第四步 4/11 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 7 x=- 第五步 ()填空：①以上解题过程中，第一步是依据 进行变形的，第二步去括号时用到的运算律是 ②第 步开始出错，这一步错误的原因是； (2)请正确解该方程. 【变式4-2】(24-25七年级上·福建福州期中)在学习《求解一元一次方程》之后，老师在黑板上出了一道 解方程的题，下面是小乐同学的解 题过程，请仔细阅读并完成相应的任务. x+1_2x-1.5x+2-1解：3到x+1-42x-1)=25x+2-12.第一步 4 3 6 3x+3-8x+4=10x+4-12 第二步 3x-8x+10x=4-12+3+4.. 第三步 5x=-1… 第四步 X=- 第五步 5 填空： ()以上解题过程中，第一步的变形的依据是 ；第二步去括号时依据的运算律是 (2)以上解题过程中从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 (3)求该方程的正确解. 【题型五】一元一次方程的应用 【例5】(24-25七年级下·河南周口·期中)洛阳龙门石窟被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”. 某校七年级组织了一次研学活动，计划安排6名老师带领x名学生参观龙门石窟，己知每张门票的票价为 90元.现有A,B两种购票方案可供选择： 方案A:教师全价，学生半价 方案B:不分教师与学生，师生全部六折优惠. (I)请分别计算A,B两种方案的总费用（请用含x的代数式表示）· (②)当学生人数是多少时，A,B两种方案的总费用一样. 5/11 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)当x=30时，请通过计算来说明A,B两种购票方案中哪种更优惠. 【变式5-1】(24-25七年级下.四川眉山期中)某超市计划购进甲、乙两种商品共120件，这两种商品的进 价、售价如表： 进价（元/件) 售价（元/件) 甲 25 30 乙 45 60 (1)超市如何进货，进货款恰好为4600元， (②)为确保乙型节能灯顺利畅销，在(1)的条件下，商家决定对乙型节能灯进行打折出售，且全部售完后， 乙型节能灯的利润率为20%，请问乙型节能灯需打几折？ 【变式5-2】(24-25七年级下·河南洛阳·期中)为节约用水，政府决定对居民用水实行三级阶梯水价： 每户每月用水量 水费价格（单位：元/位方米） 不超过22立方米 2.3 超过22立方米且不超过30立方米的部分 超过30立方米的部分 4.6 (1)若小明家今年2月份用水量是26立方米，缴费62.6元，请求出上表中a值？ (2)在(2)的条件下，若小明家3月份用水量增大，共缴费97.6元，请求出他家3月份的用水量是多少立方 米？ 高频易错归因清单 【题型一】利用一元一次方程的定义求参数 【例1】(24-25七年级上江苏扬州期中)已知关于x的方程k-2)x=3是一元一次方程，则 k= 【变式1-1】(24-25七年级下·河南周口·期中)已知y-1x2+(y+1)x+4=0是关于x的一元一次方程， 则y= 【变式1-2】(24-25六年级下·山东烟台期中)已知关于x的方程(m-1)x00是一元一次方程，则m的 6/11 学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 值是 【题型二】已知方程的解求字母或代数式的值 【例2】(24-25七年级下.四川内江期中)如果2x+6=a的解与-2x+5=4-3x的解相同，则a的值是一 【变式2-1】（23-24七年级上·四川广元期中)若方程5x+4=4x-3的解比方程2(x+1-m=-2(m-2)的 解大1，则m的值为_ 【变式2-2】(24-25七年级下福建泉州期中)若x=3是关于x的方程3ar-bx=6的解，则40-6a+2b的 值是 【题型三】已知含参数一元一次方程的解为整数解求参数的值 【例3】(24-25七年级上·江苏南通·期中)关于x的方程kx-3=2x的解是负整数，则整数k的值是」 【变式3-1】(24-25七年级下.福建漳州期中)已知a为整数，若关于x的方程ax-1=2(x-3)的解为正整 数，则满足条件的所有a的值是 变式32】2324七年级下四川眉山期中)关于x的方程m-,=,x 3 的解是正整数，满足条件 的所有整数m的积是 【题型四】已知含参数一元一次方程的解求另一元一次方程的解 【例4】C2425七年级下相硅泉州期中)已知关于x的一元一次方程2025x43=2x+b的解为x=5,那 么关于y的一元一次方程052+小=4y-1+6的解为 【变式41】(2425七年级上江苏扬州期中)已知关于x的一元一次方程2025 -x-5=2x+b的解为x=2, 则关于y的一元一次方程，。 星2025”2025=2y+1+b的解为 2 【变式42】(23-24七年级上江苏扬州期末)关于x的一元一次方程，-1=m的解为x=3,则关于y的 2024 一元一次方程y-1=m的解y=」 2024 7/11 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 方法技巧速通清单 【题型一】一元一次方程中与运算有关的新定义型问题 方法技巧总结： 1.直译定义，转化等式：精准提取新运算符号的规则（如“a△b=2a-b”),将题干中的新运算表达式直接 转化为常规代数等式，明确未知量与已知量的关系。 2.锚定核心，解一元方程：转化后的等式若含一个未知数且次数为1，按一元一次方程解法（去分母、去括 号、移项、合并同类项、系数化1)求解，过程中严格遵循运算顺序。 3.验证结果，贴合定义：将求得的解代入原新运算表达式验证，确保结果符合题目对新运算的规则设定， 避免因转化失误导致错解。 【例1】(23-24七年级上湖南衡阳·期中)若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b=4ab,如 2*3=4×2×3=24. (1)求3*4的值： (2)若2*3x=12,求x的值. 【变式1-1】(25-26七年级上·全国·期中)定义新运算：对于任意有理数a,b,都有a田b=aa-b)+1, 等式右边是通常的加法、减法及乘法运算.比如：2⊕5=2×(2-5)+1=2×-3)+1=-6+1=-5. (1)求(-2)⊕3的值： (2)若3⊕x的值等于13，求x的值. 【变式1-2】(24-25七年级上·云南昆明期中)用“口”定义一种新运算：对于任意有理数a和b,规定 a☆b=a+6+h-0.例如：-3到☆2=3+2+上3--2 2 2 (1)计算：6☆(-10)； (2)若x☆(10+x=4,求x的值， 【题型二】解一元一次方程中的新定义型拓展问题 方法技巧总结： 1.精读定义，准确"翻译“这类问题会给出一个全新的规则或符号。解题第一步是彻底读懂它。把新定义的 运算规则，用我们熟悉的数学符号和代数式重新表达出来。这个过程就是“翻译”，确保翻译准确是解题的 关键。 8/11 品学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 2.分步求解，逆向思维翻译完成后，问题通常会变成一个常规的一元一次方程。我们只需按照解方程的五 个步骤求解即可。对于复杂问题，可以从问题的最终月标出发，逆向推导。逐步拆解，直到与己知条件建 立联系。 【例2】(24-25七年级上·黑龙江哈尔滨期中)定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两 个方程互为“成双方程” 例如：判断方程2x-1=2和2x-1=0,是否互为“成双方程”。 解：方程2x-1=2和2x-1=0是互为“成双方程”，理由如下： 解方程2x-1=2,解符x解方程2x-1=0,解得x号 :2+=2,:方程2x-1=2和2x-1=0互为成双方程， 2+2 (1)请判断方程4x-x+5=1与方程-2x-x=3是否互为“成双方程”，并说明理由： ②)若关于x的方程+m=0与方程3江-2=x+4互为成双方程，求m的值. 【变式2-1】(23-24七年级上·重庆巴南期中)定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两 个方程为“和谐方程”例如：方程3x=6和x+1=0为“和谐方程” ()若关于x的方程二x+a=0与方程3x-2=x+8是“和谐方程，求a的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为6，其中一个解为m,求m的值； ③若关于的一元一次方程2023+4=3+和 023x+1=0是“和谐方程，求关于y的一元一次方程 20230+1)+4=3y+k+3的解 【变式2-2】(24-25七年级上广东江门期中)对于m,n,定义，若m+n=2,则称m与n是关于1的“对 称数” (1)填空：7与 是关于1的“对称数”，2x+5与 是关于1的“对称数”. (2)若a=-3x2+2x-4,b=5x2-2x2+x-3),判断a与b是不是关于1的“对称数”，并说明理由. (3)已知A=x2-px+2,B=-x2-4x+9,其中p,9均为常数，且无论x取何值，A与B都是关于1的“对 称数”，求P,q的值. 【题型三】一元一次方程的应用之数轴上的行程问题 方法技巧总结： 1.用未知数表示位置：设运动时间为t,根据“路程=速度×时间"，表示出每个点在t时刻的位置。 9/11 品学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 向右运动用加法，向左运动用减法。例如：点A从表示-2的位置，以每秒3个单位向右运动，则t秒后 它的位置是-2+3t。 2.利用距离关系列方程：这是最关键的一步。题目会给出两点距离的条件，如"两点重合"、“距离为某个值 "等。根据第一步得出的位置表达式，列出关于t的方程。两点距离等于它们位置坐标差的绝对值，即 位置1-位置2=距离。 【例3】(25-26七年级上·湖南衡阳期中)在数轴上，点0为原点，点A表示的数为-12，点B表示的数为 18.动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单 位长度的速度沿数轴负方向运动.设运动时间为t秒(t≥0)· (1)分别用含t的代数式表示点P、点Q对应的数： (2)当t为何值时，P、Q两点到原点的距离相等？ (3)若点P运动到点B后立即以原速度沿数轴负方向运动，点Q运动到点A后停止运动. ①求点P到达点B及点Q到达点A的时间： ②当t>10时，是否存在某一时刻t,使得P、Q两点之间的距离为10个单位长度？若存在，求出t的值；若 不存在，说明理由， 【变式3-1】(24-25七年级上·福建南平期中)阅读并理解下列材料： 数轴是初中数学学习的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要 的规律.数轴上点A、B分别表示数a、b,则A、B两点之间的距离为AB=a-b,将数轴沿表 a+b的点 2 折叠，可使点A、B重合，例如点M表示的数是2，点N表示的数是6，则M、N两点之间的距离 W=2-6=4,将数轴沿表示十D的点折叠，可使点M、N重 AC B a c b 备用图 请你解决以下问题： 数轴上点A、B、C分别表示数a、b、c,其中a<c<b. (1)若a、b满足a+2+(b-6)=0,求A,B两点之间的距离； (②)点A、B、C在数轴上的位置如图所示，沿该数轴上某点折叠，使点A、点B重合，则与点C重合的点表 示的数为_（用含a、b、c的代数式表示）； (3)若a=-2,b=6,c=1,在数轴上点A以每秒x个单位长度的速度向左匀速运动，同时点B以每秒4个 10/11 专题03 一元一次方程（4知识&5题型&4易错&3方法清单） 【清单01】一元一次方程的概念 1.方程：含有未知数的等式叫作方程． 2.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 3.一元一次方程定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程叫作一元一次方程。 细节剖析：判断是否为一元一次方程，应看是否满足： ①只含有一个未知数，未知数的次数为1；②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数． 4.一元一次方程的解：能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根。 【清单02】等式的基本性质 等式的性质1 等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得结果仍是等式。 字母表达式为：． 等式的性质2 等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为零），所得结果仍是等式。 字母表达式为：． 细节剖析： 等式的传递性 【清单03】一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 【清单04】一元一次方程的应用 1.一元一次方程应用题解题一般步骤： ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 2.用一元一次方程解决实际问题的常见类型 （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）； （4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）；速度×时间=路程；相遇问题：S甲＋S乙=S总 ；追及问题：S快-S慢=S相距 ； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． 【题型一】一元一次方程的定义 【例1】（24-25七年级上·吉林·期中）下列方程中是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式．据此即可求解． 【详解】解：A．含有两个未知数，不符合题意； B．为一元一次方程，符合题意； C．未知数的最高次数为2，不符合题意； D．含有分式，不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】（24-25七年级下·四川乐山·期中）以下方程：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中一元一次方程有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】此题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，未知数的次数为1，且为整式方程）逐一判断各方程即可． 【详解】解：① ：含分式，不是整式方程，不是一元一次方程． ② ：仅含未知数，次数为1，是整式方程，是一元一次方程． ③ ：仅含，次数为1，整式方程，符合条件．是一元一次方程 ④ ：化简后为整式方程，且次数为1，符合条件．是一元一次方程 ⑤ ：仅含未知数，次数为1，整式方程，符合条件．是一元一次方程 ⑥ ：含两个未知数和，是二元一次方程，不是一元一次方程．． ⑦ ：含项，次数为2，是一元二次方程，不是一元一次方程．． 综上，符合条件的方程有②、③、④、⑤，共4个， 故选C． 【变式1-2】（24-25七年级下·甘肃天水·期中）已知下列方程：①  ②  ③  ④  ⑤ ⑥．其中一元一次方程有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟知含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程是解决问题的关键．根据一元一次方程的定义解答即可． 【详解】解：①分母中含有未知数，不是整式方程，故不是一元一次方程； ②符合含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的整式方程，故是一元一次方程； ③符合含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的整式方程，故是一元一次方程； ④未知数的最高次数为2，故不是一元一次方程； ⑤符合含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的整式方程，故是一元一次方程； ⑥符合含有两个未知数，故不是一元一次方程； 所以一元一次方程有：②③⑤ 故选：C． 【题型二】等式的基本性质 【例2】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列说法一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，根据对应性质逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、等式两边应同时加减同一数，但左边加，右边减，相当于两边加减不同数，等式不成立，选项错误； B、根据等式性质，两边同乘任意数（包括0），等式仍成立，选项正确； C、当时，分母为0无意义，等式不成立，选项错误； D、两边同乘得：，而非，推导错误，选项错误； 故选：B． 【变式2-1】（24-25七年级下·四川眉山·期中）下列运用等式的性质变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】本题考查了等式的基本性质2，解题关键是掌握等式的基本性质2． 根据等式性质2，逐一分析各选项，再作出判断． 【分析】解：∵， ∴， ∴两边同乘得，故A正确； ∵， ∴， ∴，解得或，故B错误。 ， ∵， ∴两边同除以，得， 故C正确； ， 两边同乘以，得， 故D正确， 故选：B． 【变式2-2】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）运用等式的性质进行变形，错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】A 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐一判断即可求解，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：、如果，当时，那么不成立，该选项变形错误，符合题意； 、如果，那么，该选项变形正确，不合题意； 、如果，因为，那么，该选项变形正确，不合题意； 、如果，则，那么，该选项变形正确，不合题意； 故选：． 【题型三】解一元一次方程 【例3】（24-25七年级上·四川德阳·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的步骤：移项，合并同类项，系数化为1进行解题即可； （2）根据解一元一次方程的步骤：先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行解题即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 未知数系数化1，得； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 未知数系数化1，得． 【变式3-1】（24-25七年级上·湖北武汉·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照解一元一次方程的一般步骤，先去括号，再通过移项、合并同类项、系数化为1来求解． （2）先将方程中的小数分母化为整数，再按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解． 【详解】（1）解： 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，； （2）解： 原方程可化为， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 【变式3-2】（24-25七年级上·北京·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元一次方程的求解，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）先去括号，再通过移项、合并同类项、系数化为1求解； （2）先去分母，再去括号、移项、合并同类项、系数化为1求解． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 【题型四】解一元一次方程错解复原 【例4】（24-25七年级上·吉林松原·期中）以下一名同学解方程的解答过程． 解：去分母，得① 去括号，得② 移项，合并同类项，得③ 系数化为1，得④ 该同学的解答在第______步出现错误，请写出正确的解答过程． 【答案】②，见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程，按照去分母，去括号，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解：该同学的解答在第②步出现错误， 正确解答如下： 去分母，得 去括号，得 移项，合并同类项，得 系数化为1，得 【变式4-1】（24-25七年级上·福建莆田·期中）下面是小青同学错题本上的一道题，请仔细阅读并完成相应的问题． 解方程：． 解：．第一步 ．第二步 ．第三步 ．第四步 ．第五步 (1)填空：①以上解题过程中，第一步是依据______进行变形的，第二步去括号时用到的运算律是______； ②第______步开始出错，这一步错误的原因是______； (2)请正确解该方程． 【答案】(1)①等式的性质2；乘法分配律；②三；移项时前面的符号没有变号； (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）①观察解题过程即可得到答案； ②观察解题过程可得移项时前面的符号没有变号，据此可得答案； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：①以上解题过程中，第一步是依据等式的性质2进行变形的，第二步去括号时用到的运算律是乘法分配律； ②第三步开始出错，这一步错误的原因是移项时前面的符号没有变号； （2）解：． ． ． ． ． 【变式4-2】（24-25七年级上·福建福州·期中）在学习《求解一元一次方程》之后，老师在黑板上出了一道解方程的题，下面是小乐同学的解 题过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 解：……………………第一步 ……………………第二步 ……………………第三步 ……………………第四步 ……………………第五步 填空： (1)以上解题过程中，第一步的变形的依据是__________；第二步去括号时依据的运算律是__________； (2)以上解题过程中从第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是__________； (3)求该方程的正确解． 【答案】(1)等式的基本性质，乘法分配律 (2)三，移项时没有变号 (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤以及注意事项是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的基本步骤逐步分析、判定即可解答； （2）检查步骤发现，移项时没有变号，据此可解答； （3）直接解方程即可． 【详解】（1）解：以上解题过程中，第一步的变形的依据是等式的基本性质；第二步去括号时依据的运算律是乘法分配律； 故答案为：等式的基本性质，乘法分配律； （2）解：以上解题过程中从第三步开始出现错误，这一步错误的原因是移项时没有变号； 故答案为：三，移项时没有变号； （3） ． 【题型五】一元一次方程的应用 【例5】（24-25七年级下·河南周口·期中）洛阳龙门石窟被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”．某校七年级组织了一次研学活动，计划安排6名老师带领名学生参观龙门石窟，已知每张门票的票价为90元．现有，两种购票方案可供选择： 方案：教师全价，学生半价． 方案：不分教师与学生，师生全部六折优惠． (1)请分别计算，两种方案的总费用（请用含的代数式表示）． (2)当学生人数是多少时，，两种方案的总费用一样． (3)当时，请通过计算来说明，两种购票方案中哪种更优惠． 【答案】(1)方案元；方案元 (2)当学生人数是24时，，两种方案的总费用一样 (3)方案更优惠 【分析】本题考查列代数式，求代数式的值，一元一次方程的应用： （1）根据优惠方式列代数式即可； （2）根据“两种方案价格一样”列一元一次方程，解方程即可； （3）计算出时，两种方案的费用，比较大小即可． 【详解】（1）解：方案元； 方案元． （2）解：由题意，得， 解得． 答：当学生人数是24时，，两种方案的总费用一样． （3）解：当时，方案需要付款（元）， 方案需要付款（元）． ， 方案更优惠． 【变式5-1】（24-25七年级下·四川眉山·期中）某超市计划购进甲、乙两种商品共120件，这两种商品的进价、售价如表： 进价（元/件） 售价（元/件） 甲 25 30 乙 45 60 (1)超市如何进货，进货款恰好为4600元． (2)为确保乙型节能灯顺利畅销，在（1）的条件下，商家决定对乙型节能灯进行打折出售，且全部售完后，乙型节能灯的利润率为，请问乙型节能灯需打几折？ 【答案】(1)应购进甲商品40件，购进乙商品80件 (2)乙商品需打9折 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程． （1）设商场购进甲型节能灯只，则购进乙型节能灯只，根据甲乙两种灯的总进价为4600元列出一元一次方程，解方程即可； （2）设乙型节能灯需打折，根据利润=售价-进价列出的一元一次方程，求出的值即可． 【详解】（1）解：设超市应购进甲种商品件，则购进乙种商品件， 由题意得：，   解得：， ∴， 答：应购进甲商品40件，购进乙商品80件； （2）解：设乙商品需打折，由题意得：， 解得：， 答：乙商品需打9折. 【变式5-2】（24-25七年级下·河南洛阳·期中）为节约用水，政府决定对居民用水实行三级阶梯水价： 每户每月用水量 水费价格（单位：元/立方米） 不超过22立方米 2.3 超过22立方米且不超过30立方米的部分 a 超过30立方米的部分 4.6 (1)若小明家今年2月份用水量是26立方米，缴费62.6元，请求出上表中a值？ (2)在（2）的条件下，若小明家3月份用水量增大，共缴费97.6元，请求出他家3月份的用水量是多少立方米？ 【答案】(1) (2)小明家3月份的用水量为35立方米 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，理解三级阶梯水价收费标准是重点，根据等量关系列方程求解是关键． （1）因为26立方米超过22立方米且不超过30立方米，所以，根据方程即可求出的值； （2）先根据第（2）问中得出的结果计算30立方米的费用，从而确定属于第几个阶梯，再列方程解决． 【详解】（1）解：由题意可知 解得； （2）解：设小明家3月份的用水量为x立方米，依题意得 解这个方程，得 经检验知，符合题意 答：小明家3月份的用水量为35立方米． 【题型一】利用一元一次方程的定义求参数 【例1】（24-25七年级上·江苏扬州·期中）已知关于x的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元一次方程指只含有一个未知数．未知数的最高次数为1且两边都为整式的方程，据此进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， ． 故答案为：． 【变式1-1】（24-25七年级下·河南周口·期中）已知是关于x的一元一次方程，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是掌握一元一次方程的定义，正确求出的值．根据一元一次方程的定义，令且，即可解答． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程 ∴且， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】（24-25六年级下·山东烟台·期中）已知关于的方程是一元一次方程，则的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的定义.根据一元一次方程的定义列方程组是求解即可. 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴， 解得， 故答案为：3. 【题型二】已知方程的解求字母或代数式的值 【例2】（24-25七年级下·四川内江·期中）如果的解与的解相同，则a的值是 ． 【答案】4 【分析】先求的解，得到方程的解，代入计算即可． 本题考查了解方程，根据方程的解求值，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：解方程， 解得， ∵的解与的解相同， ∴方程的解为， ∴， 故答案为：4． 【变式2-1】（23-24七年级上·四川广元·期中）若方程的解比方程的解大1，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用．注意计算的准确性． 先求解方程，根据题意可进一步得方程的解，将解代入方程即可求m的值． 【详解】解：解方程得：， 则方程的解为：， 将代入，得：， 解得：． 故答案为：18． 【变式2-2】（24-25七年级下·福建泉州·期中）若是关于的方程的解，则的值是 ． 【答案】36 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，求代数式的值，熟练掌握相关知识是解题的关键； 将代入方程，再根据整体思想求出值即可． 【详解】解：因为是方程的解， 所以， 即， 所以． 故答案为：36． 【题型三】已知含参数一元一次方程的解为整数解求参数的值 【例3】（24-25七年级上·江苏南通·期中）关于的方程的解是负整数，则整数的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．方程变形后表示出x，根据x为负整数，确定出整数k的值即可． 【详解】解：， 由为负整数，得到整数的值为，1． 故答案为：． 【变式3-1】（24-25七年级下·福建漳州·期中）已知为整数，若关于的方程的解为正整数，则满足条件的所有的值是 ． 【答案】或/1或 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解题的关键．将原方程化为关于的一元一次方程，然后根据“关于的方程的解为正整数”求出所有情况，即可得到答案． 【详解】解：， ， 关于的方程的解为正整数， 且要为的倍数， ∵为整数， 或． 故答案为：或． 【变式3-2】（23-24七年级下·四川眉山·期中）关于x的方程的解是正整数，满足条件的所有整数m的积是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的解，依据方程的解为整数求得m的值是解题的关键．先解关于x的方程，求得，然后由方程的解为整数可求得m的值． 【详解】解：， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1得：． ∵方程的解为正整数， ∴，， ∴或3， ∴满足条件的所有整数m的积为． 故答案是：6． 【题型四】已知含参数一元一次方程的解求另一元一次方程的解 【例4】（24-25七年级下·福建泉州·期中）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解一元一次方程，将关于的一元一次方程变形是解题的关键． 将方程变形为， 再根据方程的解为得到，即可求解． 【详解】解：将方程变形为， 方程的解为， 方程的解为， 解得． 故答案为：． 【变式4-1】（24-25七年级上·江苏扬州·期中）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，以及一元一次方程的解，掌握一元一次方程的解法是关键．根据关于的一元一次方程的解为得出，再代入关于的一元一次方程中，再求出即可． 【详解】解：关于的一元一次方程的解为， ， 解得：， 关于的一元一次方程为：， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式4-2】（23-24七年级上·江苏扬州·期末）关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解、解一元一次方程等知识点，理解方程的解的定义是解题的关键． 将代入方程求得m的值，再将m的值代入解关于y的方程即可． 【详解】解：将代入方程可得：，解得：， 将代入可得，解得：． 故答案为：． 【题型一】一元一次方程中与运算有关的新定义型问题 方法技巧总结： 1. 直译定义，转化等式：精准提取新运算符号的规则（如“a△b=2a-b”），将题干中的新运算表达式直接转化为常规代数等式，明确未知量与已知量的关系。 2. 锚定核心，解一元方程：转化后的等式若含一个未知数且次数为1，按一元一次方程解法（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1）求解，过程中严格遵循运算顺序。 3. 验证结果，贴合定义：将求得的解代入原新运算表达式验证，确保结果符合题目对新运算的规则设定，避免因转化失误导致错解。 【例1】（23-24七年级上·湖南衡阳·期中）若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)48； (2)． 【分析】本题考查了有理数的混合运算及一元一次方程的应用，理解定义的新运算是解题的关键． （1）按照定义的新运算进行计算，即可解答； （2）按照定义的新运算进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得： ； （2）解：由题意得： ． 【变式1-1】（25-26七年级上·全国·期中）定义新运算：对于任意有理数a，b，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．比如：． (1)求的值； (2)若的值等于13，求的值． 【答案】(1)11 (2) 【分析】本题考查新定义运算，解一元一次方程： （1）根据新定义计算即可； （2）先根据新定义得，再去括号，移项，合并同类项即可． 【详解】（1）解：根据定义， 原式 ； （2）解：由题意的得：， ， ， ， ． 【变式1-2】（24-25七年级上·云南昆明·期中）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．例如：． (1)计算：； (2)若，求的值． 【答案】(1)6； (2)的值为． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，有理数混合运算及新定义： （1）根据新定义可得，据此计算求解即可； （2）根据新定义可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， ∴ 解得：， 的值为． 【题型二】解一元一次方程中的新定义型拓展问题 方法技巧总结： 1. 精读定义，准确"翻译"这类问题会给出一个全新的规则或符号。解题第一步是彻底读懂它。把新定义的运算规则，用我们熟悉的数学符号和代数式重新表达出来。这个过程就是"翻译"，确保翻译准确是解题的关键。 2. 分步求解，逆向思维翻译完成后，问题通常会变成一个常规的一元一次方程。我们只需按照解方程的五个步骤求解即可。对于复杂问题，可以从问题的最终目标出发，逆向推导。逐步拆解，直到与已知条件建立联系。 【例2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程互为“成双方程”． 例如：判断方程和，是否互为“成双方程”． 解：方程和是互为“成双方程”，理由如下： 解方程，解得．解方程，解得． ，方程和互为“成双方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“成双方程”，并说明理由； (2)若关于的方程与方程互为“成双方程”，求的值． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，有理数加法运算等知识点，准确理解并运用题目新定义，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）分别解两个方程，然后根据“成双方程”的定义进行判断即可； （2）先求出两个方程的解分别为，，再根据关于的方程与方程互为“成双方程”得出，解关于的一元一次方程即可． 【详解】（1）解：不是，理由如下： 解方程， 解得：， 解方程， 解得：， ， 方程与方程不是“成双方程”； （2）解：解关于的方程， 解得：， 解方程， 解得：， 关于的方程与方程互为“成双方程”， ， 解得：． 【变式2-1】（23-24七年级上·重庆巴南·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和谐方程”.例如：方程和为“和谐方程”. (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为6，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“和谐方程”，求关于的一元一次方程的解. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用“和谐方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． （1）先解方程得，再根据“和谐方程”的定义得出的解为，把代入方程求解即可； （2）根据条件建立关于m的方程，再求解即可； （3）先解方程，得出，根据“和谐方程”的定义得出的解为：，将关于的一元一次方程，化简为，得出，求出y的值即可． 【详解】（1）解：根据题意，方程的解为， 方程与方程是和谐方程， 方程的解是：， 把代入方程得：， ； （2）解：“和谐方程”的两个解的和为1，其中一个方程的解为， 另一个方程的解为：， ， 即或者， 或． （3）解：， ， 关于的一元一次方程和是“和谐方程”， 关于的一元一次方程的解为：， 关于的一元一次方程， 变形可得：， ， ． 【变式2-2】（24-25七年级上·广东江门·期中）对于，，定义，若，则称与是关于1的“对称数”． (1)填空：7与_________是关于1的“对称数”，与_________是关于1的“对称数”． (2)若，，判断与是不是关于1的“对称数”，并说明理由． (3)已知，，其中，均为常数，且无论取何值，与都是关于1的“对称数”，求，的值． 【答案】(1)， (2)是，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了新定义的运算，解题的关键是熟练掌握整式的加减混合运算法则和运算顺序． （1）根据题中所给关于1的“对称数”的定义，即可进行解得； （2）将a和b相加，看结果是否为2，若为2，则与是关于1的“对称数”，否则不是； （3）根据无论取何值，A与都是关于1的“对称数”可得的结果等于2，且含有x的项系数为0，即可进行求解． 【详解】（1）解：设7与m是关于1的“对称数”， 则，解得， 设与n是关于1的“对称数”， 则，解得：， 故答案为：，． （2）是，理由如下： ， ∴与是关于1的“对称数”． （3） ∵无论取何值，A与都是关于1的“对称数”， ∴， ∴． 【题型三】一元一次方程的应用之数轴上的行程问题 方法技巧总结： 1. 用未知数表示位置：设运动时间为  t ，根据"路程 = 速度 × 时间"，表示出每个点在  t  时刻的位置。 向右运动用加法，向左运动用减法。例如：点A从表示-2的位置，以每秒3个单位向右运动，则  t  秒后它的位置是  -2 + 3t 。 2. 利用距离关系列方程：这是最关键的一步。题目会给出两点距离的条件，如"两点重合"、"距离为某个值"等。根据第一步得出的位置表达式，列出关于  t  的方程。两点距离等于它们位置坐标差的绝对值，即  |位置1 - 位置2| = 距离 。 【例3】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）在数轴上，点为原点，点表示的数为，点表示的数为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动．设运动时间为秒（）． (1)分别用含的代数式表示点、点对应的数； (2)当为何值时，、两点到原点的距离相等？ (3)若点运动到点后立即以原速度沿数轴负方向运动，点运动到点后停止运动． ①求点到达点及点到达点的时间； ②当时，是否存在某一时刻，使得、两点之间的距离为个单位长度？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)：，： (2) (3)①点到达点时间为秒，点到达点的时间为15秒②存在，或 【分析】本题考查数轴上动点问题，数轴上两点间的距离，解一元一次方程，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）数轴上动点所对应的数是：向右运动是起始点对应的数加上运动速度乘以运动时间，向左运动是起始点对应的数减去运动速度乘以运动时间，据此解答即可； （2）根据、两点到原点的距离相等列方程求解即可； （3）当时，点运动到点后立即以原速度沿数轴负方向运动，则P点对应的数是，分两种情况，Q到达A之前和Q到达A之后，以、两点之间的距离为个单位长度为等量关系列方程求解，检验求出的t值是否符合要求即可． 【详解】（1）解：：，：； （2）解：∵、两点到原点的距离相等 ∴， 或 解得或（舍去）， 故； （3）解：①点到的时间：秒；点到的时间：秒； ②当时，：，：， 则，即， 或 解得（舍去）或（舍去）； 当时，已停止在点，：， 则，即， 或 解得或，均符合条件． 综上，或． 【变式3-1】（24-25七年级上·福建南平·期中）阅读并理解下列材料： 数轴是初中数学学习的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律．数轴上点A、B分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离为，将数轴沿表示的点折叠，可使点A、B重合，例如点M表示的数是2，点N表示的数是6，则M、N两点之间的距离，将数轴沿表示的点折叠，可使点M、N重合． 请你解决以下问题： 数轴上点A、B、C分别表示数a、b、c，其中． (1)若a、b满足，求A，B两点之间的距离； (2)点A、B、C在数轴上的位置如图所示，沿该数轴上某点折叠，使点A、点B重合，则与点C重合的点表示的数为 （用含a、b、c的代数式表示）； (3)若，，，在数轴上点A以每秒x个单位长度的速度向左匀速运动，同时点B以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，运动t秒后， ， ，则若运动过程中，的值不变，求x的值． 【答案】(1)8 (2) (3)，， 【分析】（1）利用非负数的性质求得a、b的值，再利用两点之间的距离公式即可求解； （2）先求得折叠点的坐标为，设与点C重合的点表示的数为x，再列式计算即可求解； （3）设运动为t秒，得到点A表示的数为，点B表示的数为，再利用两点之间的距离公式，整理得到，根据题意得到求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 则A，B两点之间的距离是； 故答案为：8； （2）解：使点A、点B重合的折叠点为， 设与点C重合的点表示的数为x， ∴， 解得 则与点C重合的点表示的数为， 故答案为：； （3）解：设运动为t秒，由题意得点A表示的数为，点B表示的数为， ∴， ∴ ∵的值不变 ∴ ∴． 【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离，非负数的性质，用数轴上的点表示有理数，一元一次方程的应用，整式加减的应用．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 【变式3-2】（24-25七年级上·湖南长沙·期末）“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若C到A的距离刚好是3，则C点叫做A的“幸福 点”，若C到 A、B 的距离之和为6，则C叫做A、B的“幸福中心”． (1)如图1，点A表示的数为，则A的幸福点C所表示的数应该是 (2)如图2 ，M、N为数轴上两点，点 M所表示的数为4 ，点N所表示的数为，点C就是M、N的幸福中心，则C所表示的数可以是 （填一个即可）； (3)如图 3， A、B、P为数轴上三点，点A所表示的数为，点B所表示的数为4 ，点P所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2 个单位每秒的速度向左运动，当经过多少秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心？ 【答案】(1)2或 (2)1（答案不唯一） (3)或 【分析】本题考查数轴及一元一次方程的应用，新定义“幸福中心”等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“幸福点”定义，分点再点的左边和点再点的右边两种情况讨论即可求解； （2）根据“幸福中心”定义，可知在线段上，即可得出答案； （3）设运动秒，则运动后所表示的数是，分两种情况列方程并求解即可； 解题的关键是理解“幸福点”和“幸福中心”的含义，列出方程解决问题． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，点是的“幸福点”， ∴当点在点的左边时，点表示的数是：， 当点在点的右边时，点表示的数是：， ∴点所表示的数为：或， 故答案为：或； （2）解：∵点所表示的数为，点所表示的数为， 又∵，即、之间的距离为， ∴点所表示的数可以是到之间的任意一个数， ∴所表示的数可以是， 故答案为：（答案不唯一）； （3）解：设运动秒，则运动后所表示的数是， ∵点所表示的数为，点所表示的数为， ∴， ∴点不可能在线段上， 当在右侧时，， 解得：； 当在左侧时，， 解得：， ∴当经过秒或秒时，电子蚂蚁是和的幸福中心． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $