3.5 点与圆、直线与圆的位置关系（2）导学案 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“直线与圆的位置关系”，引导学生认识相交、相切、相离三种位置关系及圆心到直线距离d与半径r的数量关系。通过回顾点与圆位置关系，结合海平面与太阳图片观察、直尺移动操作，搭建从旧知到新知的学习支架。 资料注重数学眼光与思维培养，观察操作发展几何直观，典例中构造垂线段计算距离提升推理能力。知识结构图与反思问题促进模型意识，分层习题设计满足不同需求，助力学生形成数形结合思维，提升应用意识。

3.5 点与圆、直线与圆的位置关系（2） —直线与圆的位置关系 学业质量要求： 1. 经历操作观察，认识直线与圆相交、相切、相离三种位置关系，能根据公共点个数区分三类位置；掌握圆心到直线距离d与半径r对应的等价数量关系. 2. 能利用d与r的大小关系判定直线和圆的位置关系，会结合几何计算求解距离，发展数形结合推理能力. 3. 理解切线、切点定义，建立 “图形位置” 与 “数量大小” 双向转化的思维模型. 学习重点： 直线与圆三种位置关系；利用d,r数量关系判定直线与圆的位置关系. 学习难点： 构造圆心到直线的垂线段，通过计算距离完成位置判定；区分点与圆、直线与圆位置关系判定条件. 学习过程： 一、回顾旧知，铺垫新知 1. 点与圆有哪三种位置关系？对应的d与r满足什么关系？ 2. 思考：如果把点换成直线，直线和圆会存在哪些位置情形？如何量化判断？ 二、自主探究，新知建构 1. 认识直线与圆的位置关系 （1）观察：欣赏图片，将海平面抽象为直线、太阳抽象为圆，感受直线与圆的位置关系. （2）操作：先在纸上画一个圆，再将直尺在纸上平行移动.如果将直尺的边缘 看作一条直线，那么在直尺平行移动的过程中，直线与圆的位置关系怎样变化? （3）归纳：观察直线与圆公共点数量变化，分为三类： 当直线与圆有两个公共点时，我们称_________________； 当直线与圆有唯一公共点时，我们称__________，这条直线叫_________，这个公共点叫 ； 当直线与圆没有公共点时，我们称_____________. 2. 位置关系的数量判定 利用圆心与点的距离可以判断这个点与圆的位置关系，是否也可以利用圆心到直线的距离来判断这条直线与圆的位置关系? 设⊙O 半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，可得结论： 直线 l 与⊙O 相交⇔ ； 直线 l 与⊙O 相切⇔ ； 直线 l 与⊙O 相离⇔ . 解读：过圆心向直线作垂线，垂线段长度即为d；通过对比d与r大小，就能判定直线与圆位置关系. 3. 典例学习 例1 已知 ∠BAC=45°，点O在射线AC上，AO=4，以点O为圆心，r为半径画圆. 根 据下列r的值，判断AB所在直线与⊙O的位置关系： （1）r＝2；（2）r＝2；（3）r＝3．  思路分析:判定直线和圆位置关系，必须先求出圆心到直线的距离 d.过O作OD⊥AB，在Rt△AOD中利用45°直角三角形性质算出d＝2，再分别对比r与d的大小完成判断. 解： 例2 已知，如图，∠AOB＝30°，M为OB上一点，以M为圆心，5 cm长为半径作圆，若M在OB上运动，问： （1）当OM满足________时，⊙M与OA相离； （2）当OM满足________时，⊙M与OA相切； （3）当OM满足________时，⊙M与OA相交. 三、学以致用，当堂巩固 1. 填表 直线与圆的位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 圆心到直线的距离d与半径r的关系 2. 已知⊙Ｏ的直径为8 cm，点O到直线l的距离为d: （1）若直线l与⊙Ｏ相切，则d＝_________； （2）若d＝3 cm，则直线l与⊙Ｏ有______个公共点； （3）若d＝5 cm，则直线l与⊙Ｏ的位置关系是______. 3. 已知∠MAN＝30°，点 B，C 分别在射线 AM，AN 上，AB＝4.判断当 BC 的长满足什么条件时， (1) 用直尺和圆规可以作出两个△ABC； (2) 用直尺和圆规只能作出一个△ABC； (3) 满足条件的△ABC 不存在. 四、梳理归纳，素养提升 1.根据下面知识结构图,自主完善本节课知识框架： 2.课堂反思 ① 判断直线和圆位置关系，核心步骤是什么？为什么一定要作圆心到直线的垂线段？ ② 对比点与圆、直线与圆位置关系判定方法，两者有什么区别？ ③ “d＝r⇔直线与圆相切” 双向等价，解题中可以怎么灵活使用？ 五、分层落实，拓展延伸 1.直线与半径为的相交，且点到直线的距离为，则的值可以是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 2.已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（   ） A．直线l可能经过圆心O B．直线l可能与相交 C．直线l可能与相切 D．直线l可能与相离 3. 已知⊙O的直径为6 cm，如果直线l上的一点C到圆心O的距离为3 cm，则直线l与⊙O的位置关系是___________. 4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，以C为圆心，r=2.5 cm为半径的圆与AB的位置关系为 . 5．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，当斜边与半径为r的⊙C只有一个交点时，r的范围为 . 6.在平面直角坐标系中，O为原点，⊙O的半径为r. 已知点A(3,4 )在⊙O内.求半径r 的取值范围. 7. 如图，⊙O的半径为，AB，AC是⊙O的两条弦，AB=，AC =4.如果以点O为圆心作一个与AC相切的圆，那么这个圆的半径是多少?它与AB所在直线有怎样的位置关系? 分层落实，拓展延伸参考答案 1.【答案】D 【知识点】直线与圆的位置关系判定 【详解】解：∵直线 l 与半径为 r 的⊙O 相交， ∴圆心 O 到直线 l 的距离 d<r. ∵d=6， ∴r>6.选项中只有 8 符合，故选 D. 2.【答案】D 【知识点】直线与圆的位置关系 【详解】解：⊙O 半径为 3，PO=3，即直线 l 上存在点到圆心距离等于半径. 若直线 l 与⊙O 相离，则直线上所有点到圆心距离均大于 3，与 PO=3 矛盾，故 D 表述不正确.故选 D. 3.【答案】相交或相切 【知识点】直线与圆的位置关系 【详解】解：∵⊙O 直径为 6cm， ∴半径为 3cm. 直线 l 上存在一点 C 到圆心 O 距离为 3cm， ∴圆心 O 到直线 l 的距离 d≤3cm， ∴直线 l 与⊙O 相交或相切. 4.【答案】相交 【知识点】直线与圆位置关系、直角三角形斜边上的高 【详解】解：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm， ∴AB=5cm. 设点 C 到 AB 的距离为 h， ∵×AC×BC= ×AB×h， ∴h=2.4cm. ∵r=2.5cm，h<r， ∴以 C 为圆心，r=2.5cm 为半径的圆与 AB 相交. 5.【答案】r=2.4cm 或 3cm<r≤4cm 【知识点】直线与线段交点分类讨论 【详解】解：点 C 到斜边 AB 距离 h=2.4cm. ①当⊙C 与斜边 AB 相切时，r=2.4cm，仅有 1 个交点； ②当 3cm<r≤4cm 时，圆与线段 AB 仅有交点 B. 综上 r 的取值范围为 r=2.4cm 或 3cm<r≤4cm. 6.【知识点】点与圆的位置关系 【详解】解：∵点 A (3,4)， ∴OA=5. ∵点 A 在⊙O 内， ∴r>5. 7.【知识点】垂径定理、直线与圆位置关系 【详解】解：过 O 作 OM⊥AC 于 M，ON⊥AB 于 N，连接 OA. ∵OM⊥AC，AC=4， ∴AM=AC=2. ∵OA=2， ∴OM==2， ∴所作圆的半径为 2. ∵ON⊥AB，AB=2， ∴AN=AB=. ∴ON=. ∵>2， ∴该圆与 AB 所在直线相离. 学科网（北京）股份有限公司 $