第二章 特殊三角形（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 八年级上册数学第二章“特殊三角形”单元卷，融合中考真题与各地期末题，覆盖等腰/等边/直角三角形性质与判定、轴对称、勾股定理等，注重基础巩固与能力提升，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称图形识别、等腰三角形顶角计算|结合地域期末题，基础概念辨析| |填空题|6/18|直角三角形斜边中线、赵爽弦图（文化传承）|融入数学文化，考查性质应用| |解答题|8/72|等腰三角形证明、“K字模型”应用（模型思想）|综合性强，注重推理能力与创新意识，贴合中考命题趋势|

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第二章特殊三角形·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.A 2.D 3.D 4.B 5.D 6.C 7.D 8.A 9.C 10.D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.5 12.51° 13.15°/15度 14 15.5 16./1g 三、解答题（共8小题，共72分） 17.(8分) 【答案】 点E即为所求。 1/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 8分 18.(8分) 【答案】(I)证明：，∠ABC=∠DBE, .∠ABC+∠ABE=∠DBE+∠ABE, 即∠ABD=∠CBE, 在△ABD和△CBE中， BA=BC ∠ABD=∠CBE BD=BE ∴.△ABD≌△CBE SAS, .AD=CE, 4分 (2)解：，∠ABC=30°，∠AFC=45°， .∠BCF=45°-30°=15°， .△ABD≌△CBE, .∠EAB=∠BCF=15°. 8分 19.(8分) 【答案】(1) 证明：，'AB=AC,AD是BC边上的中线， .∴.∠BAD=∠CAD, 又DE‖AB ∴.∠ADE=∠BAD, ∴.∠ADE=∠CAD, .∴.DE=AE 4分 (2)解：.∠EDA=24, 2/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠CAD=∠EDA=24 .AB=AC,AD是BC边上的中线， ∴.∠ADC=90° .∴.∠C=90°-∠CAD=66. 8分 20.(8分) 【答案】(1)证明：，∠CDE=120°，DF平分∠CDE, ∠FDC=∠FDE=60°， :FD‖AB ∴.∠ABC=∠FDC=60°， .AB=BC, △ABC是等边三角形： 4分 (2)12cm 详解：，BD=2cm,CD=6cm, ∴.BC=CD-BD=4cm, ,△ABC是等边三角形， .△ABC的周长为3×4=12(cm). 8分 21.(10分) 【答案】(I)证明：，'△ABC和△DCE均为等边三角形， ∴.AC=BC,EC=DC,∠ACB=∠DCE=60°. ∴.∠ACE=∠BCD=120° 在△ACE和△BCD中， AC=BC ∠ACE=∠BCD EC=DC ∴.△ACE≌△BCD SAS, .∴.∠CAE=∠CBD: 4分 3/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)①证明：由(1)可知∠CAE=∠CBD,∠ACD=∠BCA=∠DCE=60°， 又.AC=BC. .∴.△ACH≌△BCF ASA, ∴.CH=CF 7分 ②猜想：FHBE,理由： ,∠ACD=60°，CH=CF, ∴.△CHF是等边三角形， ∴.∠CFH=60, ∴.∠BCF=∠CFH=60, ∴.FH‖BE 10分 22.(10分) 【详解】(1)解：如图1所示： .AD ∠BAC B DE C 图1 平分 ·∠CAD= ∠BAC, .AE⊥BC, ∴.∠CAE=90°-∠C, .∠DAE=∠CAD-∠CAE -号nmc-0-C -号180-2B-2c-90-2c 4/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠B=35°，∠C=65°， ·2DAE=2650-351=15 4分 K2)结论之g1 |∠C-∠B 理由如下：过A作AG⊥BC于G,如图2所示： B DFG 图2 .EF⊥BC, ∴.AG‖EF, ∴.∠DAG=∠gC, 由(1)可得∠DAG= ∠C-B, ∠g=∠C-∠B: 7分 (3)解：结论仍成立 过A作AG⊥BC于G,如图3所示： F B DG C.EF⊥BC 图3 .AG‖EF ∴.∠DAG=∠gC, 由I)可得∠DAG=号∠C-∠B, ∠g=C-∠B1 10分 5/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23.(10分) 【详解】(1)解：，△ABC≌△DAE, ∴.AC=DE,BC=AE; 2分 (2)解：过点E作EP⊥AC于点P,过点B作BG⊥AC于点G,过点D作DH⊥AC于点H, ,AE⊥AB, ∠EAB=90, .∠EAP+∠BAG=90°， .BG⊥AC, .∠AGB=90°， ∴.∠ABG+∠BAG=90°， .∠EAP=∠ABG, .EP⊥AC, .∠EPA=90°， ∴∠EPA=∠AGB=90°， 又，AE=AB △EPA≌△AGBAAS, .'EP=AG=6,PA=GB=3, 同理，△BGC≌△CHD, ∴.GB=HC=3,GC=HD=4, .PH=PA+AG+GC+HC=3+6+4+3=16, 5a=P×PA=号×6x3=9. 1 5:号AG×BG=x6×3=9, 2 Sc-号8cxCG=×3x4=6, 5:am3CH×DH-x3x4=6, S6Ea=DH+EP)x PH=×4+6×16=80. ∴.S=S#DEPH-SAEPA-S△ABG-S△BGC-S△CHD=80-9-9-6-6=50, 6/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 答：图中实线所围成的图形的面积为50： 6分 (3)证明：过点D作DM⊥AG于点M,过点E作EN⊥AG于点N, 由(1)可知，当∠BAD=90°，AB=AD,BC⊥AF,DM⊥AG时， △BFA≌△AMD, .FA=MD 同理，△CFA≌△ANE, .'FA=NE, ∴.MD=NE .DM⊥AG,EN⊥AG, ∴.∠DMG=∠ENG=90°， 又，∠DGM=∠EGN, ∴.△DMG≌△ENG AAS, ∴.DG=EG,即点G是DE的中点. 图3 10分 24.(10分) 【详解】(1)解：，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,AC=6,BC=8, AB-YACTBC-10.AC-BC-ABCD. .6×8=10CD .CD=4.8 3分 (2)证明：，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,AE平分∠CAB, .∠CAE+∠CEF=90°，∠DAE+∠AFD=90°，∠CAE=∠DAE, .∠CEF=∠AFD, ,∠AFD=∠CFE, 7/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com ◆ 上好每一堂课 ·∠CEF=∠CFE 7分 (3)解：，AE平分∠CAB交CD于F,∠ACB=90°， .点E到AC,AB的距离相等，均为CE的长， :S△ABC=SAAEC+S△AEB, ACBG-ACCE+AB-CE, .6×8=6+10CE, …CE=3 10分 8/8 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第二章 特殊三角形·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（26-27八年级上·浙江金华·开学考试）在线段、角、等腰三角形、长方形、圆五个图形中，是轴对称图形的有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【详解】解：线段、角、等腰三角形、长方形、圆均为轴对称图形，共有5个． 2．已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，三角形内角和定理，需分两种情况讨论，即已知的内角为顶角或底角，结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为的性质求解顶角的度数． 【详解】解：∵等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和为， ①当的角为等腰三角形的顶角时， ∴该等腰三角形的顶角为， ②当的角为等腰三角形的底角时， ∴顶角 ， 综上，这个等腰三角形的顶角为或， 故选：D． 3．如图，是等边的一条中线，且，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等边三角形“三线合一”的性质求出的度数，再利用等腰三角形及三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵是的中线， ∴平分， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的度数为． 4．（2026·四川凉山·中考真题）如图，，，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直定义得出，由平行线的性质得出，从而可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． 5．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，已知与都是等边三角形，点在同一条直线上，与相交于点与相交于点与相交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的为（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．先利用证明，得到，证明，得到，进而证明是等边三角形即可． 【详解】解：∵与都是等边三角形，点、、在同一条直线上， ∴， ∴，， ∴；故①正确； ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，故③正确； ∴，故④正确； ∵，， ∴是等边三角形，故②正确； 故选D． 6．下列命题中，其逆命题是假命题的是（   ） A．等腰三角形的两个底角相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．全等三角形的对应角相等 D．等边三角形的每个内角都是 【答案】C 【分析】本题考查命题的真假判断及逆命题的概念，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质，先写出各选项命题的逆命题，再结合三角形相关性质判断逆命题真假，找出逆命题为假的选项． 【详解】解：A选项：原命题的逆命题为“有两个角相等的三角形是等腰三角形” ∵根据等角对等边的性质 ∴该逆命题为真命题； B选项：原命题的逆命题为“两个锐角互余的三角形是直角三角形” ∵三角形内角和为，若两锐角互余即和为 ∴第三个角为，该三角形是直角三角形，逆命题为真命题； C选项：原命题的逆命题为“对应角相等的三角形是全等三角形” ∵仅对应角相等只能说明三角形相似，不能保证三边相等（如大小不同的等边三角形） ∴该逆命题为假命题； D选项：原命题的逆命题为“每个内角都是的三角形是等边三角形” ∵三角形三个角均为，根据等角对等边，三边相等 ∴该三角形是等边三角形，逆命题为真命题； 故选：C． 7．如图，在中，是斜边上的中线，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质得到，再根据等腰三角形的性质得到，即可求解． 【详解】解：在中，是斜边上的中线， ， ， ． 8．一个三角形的三条边长分别为，，，这个三角形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，再计算面积即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴该三角形是直角三角形，斜边长为，两条直角边长分别为，， ∴面积为． 9．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，，点在上，点在的延长线上，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（2026·浙江台州·二模）数学课上，老师要求将一个含角的直角三角形，用尺规作图将其分割成两个等腰三角形．甲，乙两人的作法分别如下图所示，则（    ） A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．两人都错 D．两人都对 【答案】D 【分析】根据两人作图结合等角对等边及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半判断即可． 【详解】解：甲：如图甲， 由作图可知， ∵， ∴， ∴是等腰三角形； ∵，， ∴， ∴是等腰三角形； 可知甲作图正确； 乙：如图乙， 由作图可知为中点， ∵， ∴， 即、是等腰三角形， 可知乙作图正确． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（2026·四川乐山·中考真题）如图，在 中，， ， ，点为斜边的中点，则_________． 【答案】5 【分析】根据勾股定理得到，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可； 【详解】解：根据题意，得， 由点为斜边的中点， ． 12．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，若，则____． 【答案】 【分析】题目主要考查了等边对等角及三角形内角和定理，结合图形，找出各角之间的关系是解题关键．先根据，得，则，结合三角形内角和性质以及，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，等腰，，，则________． 【答案】/15度 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．证明为等边三角形，可得，可得的度数，再由等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵等腰，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 14．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在等腰中，，是的中点．若，则的长为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，是解题的关键．先根据等腰三角形的性质，求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求解即可． 【详解】解：∵在等腰中，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴． 故答案为：． 15．（25-26八年级上·浙江台州·阶段检测）如图，在四边形中，，，M，N分别是对角线的中点，，则________． 【答案】5 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质．连接，由直角三角形斜边中线的性质推出，得到，因此，由直角三角形斜边中线的性质得到． 【详解】解：如图，连接， ，M是对角线的中点， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 是对角线的中点，， ， 故答案为：5． 16．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明图解．该图由四个全等的直角三角形围绕一个正方形拼成一个大正方形（如图）．若图中直角三角形的面积为4，中间小正方形的面积为3，则直角三角形的斜边长为______． 【答案】 【分析】本题考查了赵爽弦图，运用完全平方公式及勾股定理是解题的关键．设大正方形为，小正方形为，先由直角三角形的面积为4，中间小正方形的面积为3，得到，，再运用完全平方公式展开并求得，最后根据勾股定理求出大正方形的边长． 【详解】解：如图，设大正方形为，小正方形为， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）如图，小河边有两个村庄，，现要在河边建一个自来水厂为村与村供水，自来水厂建在什么地方到村、村的距离和最小？请在下图中找出点的位置，并标出点．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 点即为所求． 8分 【分析】利用轴对称求最短路线的方法得出点关于直线的对称点，对于直线上任一点，有，则，当、、共线时取最小值，则连接交CD于点即可得出答案． 【详解】解：如图所示，作点关于直线的对称点，再连接交于点； 18．（8分）（2026·江苏南通·三模）如图，在等腰中，，点在边上，延长交于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【分析】（1）证明即可； （2）根据三角形外角的性质可得，利用全等三角形的性质即可得到． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； 4分 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 8分 19．（8分）（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，是边上的中线，是上一点且． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【分析】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，进而得到，从而得出结论； （2）根据等腰三角形的性质得到，再利用进行求解即可． 【答案】(1) 证明：，是边上的中线， ， 又， ， ， ； 4分 （2）解：， ，是边上的中线， ． 8分 20．（8分）（25-26八年级上·广东阳江·期中）如图，在中，，点F在上，点D在的延长线上，，，且平分． (1)求证：是等边三角形． (2)若，，求的周长． 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定与性质． （1）根据角平分线定义结合平行线的性质得到，再由等边三角形的判定即可证明； （2）先求出，即可求出的周长． 【答案】(1)证明：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； 4分 (2) 详解：∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴的周长为． 8分 21．（10分）（25-26八年级下·安徽宿州·阶段检测）如图1，三点共线，和均为等边三角形． (1)求证：； (2)如图2，与交于点，与交于点，连接． ①求证：； ②猜想与的位置关系，并说明理由． 【分析】（）由等边三角形性质可得，，，得到，然后证明，再由全等三角形性质即可得证； （）证明，再由全等三角形性质即可得证；先证明是等边三角形，所以，则，然后通过平行线的判定方法即可求解． 【答案】(1)证明：和均为等边三角形， ． ． 在和中， ， ， ； 4分 (2)①证明：由（1）可知，， 又． ， ； 7分 ②猜想：，理由： ，， 是等边三角形， ， ， ． 10分 22．（10分）（25-26八年级上·浙江台州·阶段检测）在三角形中，是角平分线，． (1)如图（1），是高，，求的度数； (2)如图（2），点E在上，于F，试探究与的大小关系，并说明理由； (3)如图（3），点E在的延长线上，于F，则与的大小关系是_________（直接写出结论，不需说明理由）． 【答案】(1) (2)见详细解析 (3) 【分析】（1）依据角平分线的定义以及垂线的定义，即可得到，，进而得出，由此即可解决问题； （2）过作于，依据平行线的性质可得，依据（1）中结论即可得到； （3）过作于，依据平行线的性质可得，依据（1）中结论即可得到不变． 【详解】（1）解：如图1所示： 平分， ， ， ， ， ，， ； 4分 （2）结论． 理由如下：过作于，如图2所示： ， ， ， 由（1）可得， ； 7分 （3）解：结论仍成立． 过作于，如图3所示： ， ， ， 由（1）可得， ． 10分 23．（10分）（26-27八年级上·浙江宁波·开学考试）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)【模型呈现】如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)[模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． (3)[深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点． 【答案】(1)， (2) (3)见详解 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到对应边相等； （2）根据全等三角形的判定得到、，从而得到对应边相等，进而根据三角形面积公式和梯形面积公式得到、、、、，最后根据面积之间的和差关系求出图中实线所围成的图形的面积； （3）过点D作于点M，过点E作于点N，由（1）得到、，根据全等三角形的性质得到，再根据全等三角形的判定得到，最后利用全等三角形的性质得到，从而得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，； 2分 （2）解：过点E作于点P，过点B作于点G，过点D作于点H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 同理，， ∴，， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴， 答：图中实线所围成的图形的面积为； 6分 （3）证明：过点D作于点M，过点E作于点N， 由（1）可知，当，，，时， ， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即点G是的中点． 10分 24．（10分）（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，，于D， 平分交于F，交于E． (1)若，求的长； (2)求证：； (3)在（1）的条件下，求的长． 【答案】(1) (2)见后面详解 (3) 【分析】（1）勾股定理求出的长，等积法求出的长即可； （2）根据对顶角相等，等角的余角相等，等量代换，即可得出结论； （3）根据角平分线的性质和等积法进行求解即可. 【详解】（1）解：∵，于D，， ∴，， ∴， ∴； 3分 (2)证明：∵，于D， 平分， ∴， ∴， ∵， ∴. 7分 （3）解：∵ 平分交于F，， ∴点到的距离相等，均为的长， ∵， ∴， ∴， ∴. 10分 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第二章 特殊三角形·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（26-27八年级上·浙江金华·开学考试）在线段、角、等腰三角形、长方形、圆五个图形中，是轴对称图形的有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为（   ） A． B． C．或 D．或 3．如图，是等边的一条中线，且，则的度数为（） A． B． C． D． 4．（2026·四川凉山·中考真题）如图，，，若，则（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，已知与都是等边三角形，点在同一条直线上，与相交于点与相交于点与相交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的为（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 6．下列命题中，其逆命题是假命题的是（   ） A．等腰三角形的两个底角相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．全等三角形的对应角相等 D．等边三角形的每个内角都是 7．如图，在中，是斜边上的中线，，则（ ） A． B． C． D． 8．一个三角形的三条边长分别为，，，这个三角形的面积为（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，，点在上，点在的延长线上，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 10．（2026·浙江台州·二模）数学课上，老师要求将一个含角的直角三角形，用尺规作图将其分割成两个等腰三角形．甲，乙两人的作法分别如下图所示，则（    ） A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．两人都错 D．两人都对 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（2026·四川乐山·中考真题）如图，在 中，， ， ，点为斜边的中点，则_________． 12．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，若，则____． 13．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，等腰，，，则________． 14．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在等腰中，，是的中点．若，则的长为_________． 15．（25-26八年级上·浙江台州·阶段检测）如图，在四边形中，，，M，N分别是对角线的中点，，则________． 16．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明图解．该图由四个全等的直角三角形围绕一个正方形拼成一个大正方形（如图）．若图中直角三角形的面积为4，中间小正方形的面积为3，则直角三角形的斜边长为______． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）如图，小河边有两个村庄，，现要在河边建一个自来水厂为村与村供水，自来水厂建在什么地方到村、村的距离和最小？请在下图中找出点的位置，并标出点．（保留作图痕迹，不写作法） 18．（8分）（2026·江苏南通·三模）如图，在等腰中，，点在边上，延长交于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 19．（8分）（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，是边上的中线，是上一点且． (1)求证：． (2)若，求的度数． 20．（8分）（25-26八年级上·广东阳江·期中）如图，在中，，点F在上，点D在的延长线上，，，且平分． (1)求证：是等边三角形． (2)若，，求的周长． 21．（10分）（25-26八年级下·安徽宿州·阶段检测）如图1，三点共线，和均为等边三角形． (1)求证：； (2)如图2，与交于点，与交于点，连接． ①求证：； ②猜想与的位置关系，并说明理由． 22．（10分）（25-26八年级上·浙江台州·阶段检测）在三角形中，是角平分线，． (1)如图（1），是高，，求的度数； (2)如图（2），点E在上，于F，试探究与的大小关系，并说明理由； (3)如图（3），点E在的延长线上，于F，则与的大小关系是_________（直接写出结论，不需说明理由）． 23．（10分）（26-27八年级上·浙江宁波·开学考试）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)【模型呈现】如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)[模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． (3)[深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点． 24．（10分）（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，，于D， 平分交于F，交于E． (1)若，求的长； (2)求证：； (3)在（1）的条件下，求的长． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第二章 特殊三角形·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（26-27八年级上·浙江金华·开学考试）在线段、角、等腰三角形、长方形、圆五个图形中，是轴对称图形的有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为（   ） A． B． C．或 D．或 3．如图，是等边的一条中线，且，则的度数为（） A． B． C． D． 4．（2026·四川凉山·中考真题）如图，，，若，则（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，已知与都是等边三角形，点在同一条直线上，与相交于点与相交于点与相交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的为（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 6．下列命题中，其逆命题是假命题的是（   ） A．等腰三角形的两个底角相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．全等三角形的对应角相等 D．等边三角形的每个内角都是 7．如图，在中，是斜边上的中线，，则（ ） A． B． C． D． 8．一个三角形的三条边长分别为，，，这个三角形的面积为（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，，点在上，点在的延长线上，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 10．（2026·浙江台州·二模）数学课上，老师要求将一个含角的直角三角形，用尺规作图将其分割成两个等腰三角形．甲，乙两人的作法分别如下图所示，则（    ） A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．两人都错 D．两人都对 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（2026·四川乐山·中考真题）如图，在 中，， ， ，点为斜边的中点，则_________． 12．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，若，则____． 13．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，等腰，，，则________． 14．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在等腰中，，是的中点．若，则的长为_________． 15．（25-26八年级上·浙江台州·阶段检测）如图，在四边形中，，，M，N分别是对角线的中点，，则________． 16．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明图解．该图由四个全等的直角三角形围绕一个正方形拼成一个大正方形（如图）．若图中直角三角形的面积为4，中间小正方形的面积为3，则直角三角形的斜边长为______． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（8分）如图，小河边有两个村庄，，现要在河边建一个自来水厂为村与村供水，自来水厂建在什么地方到村、村的距离和最小？请在下图中找出点的位置，并标出点．（保留作图痕迹，不写作法） 18．（8分）（2026·江苏南通·三模）如图，在等腰中，，点在边上，延长交于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 19．（8分）（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，是边上的中线，是上一点且． (1)求证：． (2)若，求的度数． 20．（8分）（25-26八年级上·广东阳江·期中）如图，在中，，点F在上，点D在的延长线上，，，且平分． (1)求证：是等边三角形． (2)若，，求的周长． 21．（10分）（25-26八年级下·安徽宿州·阶段检测）如图1，三点共线，和均为等边三角形． (1)求证：； (2)如图2，与交于点，与交于点，连接． ①求证：； ②猜想与的位置关系，并说明理由． 22．（10分）（25-26八年级上·浙江台州·阶段检测）在三角形中，是角平分线，． (1)如图（1），是高，，求的度数； (2)如图（2），点E在上，于F，试探究与的大小关系，并说明理由； (3)如图（3），点E在的延长线上，于F，则与的大小关系是_________（直接写出结论，不需说明理由）． 23．（10分）（26-27八年级上·浙江宁波·开学考试）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)【模型呈现】如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)[模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． (3)[深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点． 24．（10分）（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，，于D， 平分交于F，交于E． (1)若，求的长； (2)求证：； (3)在（1）的条件下，求的长． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $