解三角形专项训练（原题精析与变式训练）-2027届高三数学一轮复习

解三角形 · 原题精析与变式训练 高三数学一轮复习 · 分层训练卷 第一部分　原题精析 一、用正弦定理、余弦定理求基本量 分析 1．已知在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，，，． （1）求 的面积； （2）求 的周长． 思路　已知两边及其夹角，三角形的形状与大小唯一确定，剩下的量都可以照公式一件件取出来：面积有”两边及夹角”的现成公式，第三边由余弦定理给出．这是解三角形里最基础的”顺序题”，先算能算的，再用算出来的量接着算． （1）由三角形面积公式 ， ． （2）由余弦定理 ，且 ， ， 所以 ． （3）于是 的周长 ． 回验　把 代回余弦定理反求角：，得 ，与已知一致；面积 也自洽． 提醒　 是负值，这里最容易写成 ，那样会得到 、，后面全错；而 仍为正——钝角的余弦变号，正弦不变号． 答案　（1）；（2）． 分析 2．在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，且 ，， 的面积为 ． （1）求 ； （2）求 的周长． 思路　三边一个都不知道，但两个角已知，所以三边之比是确定的：用正弦定理把 、 都写成 的倍数，面积式里就只剩 一个未知量，由面积条件把它定死，三边随之全部落地． 不是特殊角，要靠和角公式现算． （1）由内角和，． 把 拆成 ，由和角公式 ． （2）由正弦定理 ，得 ． （3）代入面积公式： ． 由 ，得 ，即 ． 于是 ． 同法 ． （4）所以周长 ． 回验　用另一组两边及夹角反算面积：，与已知面积吻合． 提醒　 要拆成两个特殊角之和才有公式可用， 是唯一合适的拆法；另外 这一步不要急着约分，先看清 是整体因子． 答案　（1）；（2）． 二、边角关系的相互转化 分析 3．记 的内角 ，， 的对边分别为 ，，，已知 ，且 ． （1）求角 的大小； （2）若 的面积为 ，求 的周长． 思路　第一问的关键是看出 正好是余弦定理里 的分子，题给等式直接把 送到手上，一步定角．第二问把”正弦关系”经正弦定理翻译成”边的比值” ，再与面积、余弦定理联立；三者联立后配方会出现完全平方，从而把 、 的比例逼出来． （1）由余弦定理， ． 又 ，所以 ． （2）由 及正弦定理 ，得 ． 由 ，得 ． 再由余弦定理 ，代入 、，得 ， 即 ，配方得 ，故 ． 联立 与 ，得 ，即 ，所以 ． 于是 ，． 所以 的周长 ． 回验　把三边代回检验：，得 ；，两处都与已知吻合． 提醒　配方时要逐项核对交叉项：，所以 ；若误写成 ，交叉项会变成 ，后面全错． 答案　（1）；（2）． 分析 4．在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，且 ． （1）求 ； （2）若 ，，求 的面积． 思路　分子分母都是正弦的二次式与二次式，用正弦定理整体换成边后，左端化为 ，右端只含边．去分母整理，正好出现 与 的关系，一套余弦定理就定出 ．第二问出现 与 两种组合，把 改写为 ，可绕开解二次方程． （1）由正弦定理 ，，，代入左端得 ． 于是 ，两边同乘 得 ，移项得 ． 所以 ，又 ，故 ． （2）由余弦定理 ，得 ． 把 写成 ，并注意 ，得 ，所以 ． 于是 ． 回验　由 与 可解出 ，，两边均为正且 成立；再算 ，与 吻合． 提醒　整体换元时分子分母要同乘 ，若只乘 ，次数对不上就会出错；第二问用 比解方程组快得多，关键是看见已知给出的是 而不是 ． 答案　（1）；（2）． 三、外接圆半径与内切圆半径 分析 5．在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，且满足 ． （1）求 的值； （2）若 ， 的面积为 ，求 外接圆的半径和内切圆的半径． 思路　边角混合式先用正弦定理统一成角，右端 凑成 ，正是 的展开式，于是两边都出现 ，可约．第二问由 与 直接得外接圆半径，再由面积条件配出 、由余弦定理配出 ，最后用 换出内切圆半径． （1）由 及正弦定理 等，两边同除以 得 ． 因为 ，所以 ，于是 ． 又 ，，约去得 ，故 ． （2）设外接圆半径为 ，内切圆半径为 ．由 ，得 ，所以 ． 由 ，得 ． 由余弦定理 ，得 ，即 ． 于是 ，得 ，周长 ． 由 ，得 ，所以 ． 回验　由 与 可解出 ，此时三边为 ，是正三角形．正三角形边长为 时外接圆半径 、内切圆半径 、面积 ，三项结果同时吻合． 提醒　约去 前必须交代 ；内切圆半径公式中 是周长（），若改用 则 是半周长，两者别混用． 答案　（1）；（2）外接圆半径 ，内切圆半径 ． 四、角平分线与中线 分析 6．已知在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，，，． （1）求 的面积； （2）求角 的角平分线 的长． 思路　第一问是”两边及其夹角”的标准面积公式，一步到位．第二问求角平分线长，有两条路：一是套用角平分线长公式 ，二是把大三角形沿 切成 与 ，用”两小块面积之和等于整体面积”列方程．这里选第二条路——它不仅不必额外记忆公式，而且中间量 由平分条件直接读出，方程里只剩 一个未知量． （1）由三角形面积公式，． （2）因为 平分 ，且 ，所以 ． 又 ，．由 ，得 ． 解得 ． 回验　用角平分线长公式独立复核：，与面积法完全一致．从量级看 ，小于两条邻边 与 ，符合角平分线落在三角形内部的直觉．另外三边为 、、，其中 ，，满足 ，三角形确实存在． 提醒　面积拆分时，两个小三角形在 处的夹角是半角 ，不是原来的 ；把 代进小三角形面积是本题最常见的失分点．另外务必分清 、，把 、 与两条边的对应关系写反，系数 虽然不变（本题恰好对称），换一组数据就会出错． 答案　（1）；（2）． 五、边角范围与最值 分析 7．在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，已知 ． （1）求角 的大小； （2）若 ，求 面积的最大值． 思路　左端 是射影定理的标准形状，它恰好等于 ；认出这一点，已知式一步就化为 ．即便没有认出，用正弦定理把三边换成 ，左端也会自动合成 ，而 ，同样抵达 ．第二问是”已知一角及其对边求面积最大值”的定型题：余弦定理给出 ，配 就把 锁在上界 ，面积随之封顶． （1）由正弦定理 ，，，代入 并约去 ，得 ． 左端由两角和的正弦公式等于 ；又 ，故 ，于是 ． 因为 ，，约去得 ，所以 ． （2）由余弦定理 ，得 ． 由基本不等式 ，得 ，即 ，当且仅当 时取等号，此时由 得 ． 所以 ． 回验　取等时 ， 为边长 的正三角形，面积 ，与所得上界相等，说明最大值可以取到；此时 ，也与 吻合．反向代入原条件：，而 ，两边相符． 提醒　由 约去 之前，必须写明 从而 ，否则属于跳步．第二问最危险的是不等号方向：由 与 得 ，即 ，得到的是上界；若推理时把不等号朝向写反，就会得出”面积有最小值 “的相反结论，而这个最小值其实并不存在（三角形可退化趋近于面积 ）． 答案　（1）；（2） 面积的最大值为 ． 分析 8．在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，且满足 ． （Ⅰ）求角 的大小； （Ⅱ）若 为锐角三角形，且 ，求 周长 的取值范围． 思路　第一问：等式两边同时出现 、 与 ，先用正弦定理把 、 换成 、， 便整体约去；剩下 ，用二倍角把 打开为 ，再约去 ，就得到 ．第二问：用正弦定理把 、 都写成角 的函数（公比是 ），周长就变成关于 的单个三角函数；再用和差化积把 合成 ，剩下唯一的难点是把”锐角三角形”翻译成 的取值区间． （Ⅰ）由正弦定理 ，，代入已知式并约去 ，得 ． 因为 ，，约去得 ． 由 ，得 ． 因为 ，，，约去得 ，即 ． 又 ，所以 ，故 ． （Ⅱ）由正弦定理，，于是 ，． 因为 为锐角三角形，有 且 ． 又 ，即 ；由 得 ，取交集得 ． 于是 ． 由和差化积，． 而 ，故 ． 代入得 ． 由 得 ，所以 （当 时取到 ）． 于是 ，即 的取值范围是 ． 回验　当 时 ，三角形为正三角形，，周长 ，右端确能取到（故右闭）．当 时 ，，，，与左端一致；此时 为直角、不是锐角，故左端开． 提醒　两处”约去”都要交代被约的量非零：（因 ）、（因 ）．第二问的区间端点最容易出错： 的上界 来自 为锐角，下界 来自 为锐角（即 ）；两端都取不到，而 在内部分可达，因此结果是左开右闭，写成闭区间或全开都会失分． 答案　（Ⅰ）；（Ⅱ）． 六、结构不良与综合推理 分析 9．在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，，，．从下面两个条件中任选一个作为已知条件，判断 是否为钝角三角形，并说明理由． ①；②． 思路　判断三角形是否为钝角，无需把三个角都算出来——钝角只可能对最大边，所以补出第三边之后，只要检查最大边所对角的余弦符号就够了．选择①时第三边 由余弦定理直接开方得到；选择②时 藏在二次方程里，解出后要舍去负根．两个选项都只用余弦定理，属于同一套工具的两种用法． 选择① ： 由余弦定理，，所以 ． 此时三边为 ，，，最大边是 ，故最大角为 ，只需计算 ： ， 所以 为钝角， 是钝角三角形． 选择② ： 由余弦定理 ，即 ， 化简得 ，即 ，解得 或 （舍去），所以 ． 此时三边为 ，，，最大边仍是 ，而已知 ，故最大角为锐角． 其余两边都比 短，由”大边对大角”知其所对角都小于 ，也是锐角，所以 不是钝角三角形． （也可逐项验证：，，三个余弦全为正．） 回验　选择①时三边为 、、，满足 ，三角形存在； 说明 为钝角，此时 为锐角和，与 （ 很小）相容．选择②时三边为 、、，最大边平方 ，由余弦定理推论知 为锐角，结论成立． 提醒　选择②解出 时有两个根 与 ，边长必须为正，所以 要写明”舍去”，漏写会被扣分．判断钝角时优先”只看最大边所对角”，省时且不易错；若坚持逐个算余弦，则三个都要算完，只算两个就下结论是不可靠的． 答案　选择①： 是钝角三角形；选择②： 不是钝角三角形． 分析 10．在 中，角 ，， 的对边分别为 ，，，已知 ，． （1）求角 的大小； （2）若 的面积为 ，设 是 的中点，求 的值． 思路　第一问把边统一成角：，再把 写成 展开，左端的 会与展开式中的同名项对消，剩下 ，一次约去即定出 ——“先展开、后对消”是这类边角混合式的通用套路．第二问先用面积求出 ，再由余弦定理求出 ；至于两个角的正弦之比，不要真的去求角，而是对 与 各用一次正弦定理，两式相除时 与 （两角互补）双双约去，比值直接化为 ． （1）由 及正弦定理 、、，约去 得 ． 又 ，代入得 ，即 ． 因为 ，，约去得 ，又 ，所以 ． （2）由 ，得 ． 由余弦定理，，所以 ． 因为 是 的中点，所以 ． 在 中，由正弦定理 ，得 ； 在 中，由正弦定理 ，得 ． 两式相除，利用 ，以及 与 互补从而 ，得 ，即 ． 回验　把结果代回检验：、、 给出 ，；面积 ，与条件一致；再由 ，代入原条件得 ，而 ，两边相符．比值 与 在 上的具体位置无关，正是”中点”条件发挥作用的地方． 提醒　第一问的题眼是”展开后对消”：若把 换成 却不再展开，就看不到 的抵消，算不下去．第二问中 与 是互补而非相等，用的是 ，不要把两角当成同一个角．最后比值是 ，分子对应 式中的 ，方向写反就成了 ． 答案　（1）；（2）． 第二部分　变式训练 一、用正弦定理、余弦定理求基本量 分析 11．在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，，，． （1）求边 与 的面积； （2）求 边上的高 的长． 思路　与原题 1 同构：第三边由余弦定理给出，面积由两边夹角公式给出．求高时不新开一条线去解直角三角��，而是用”同一个三角形面积的两种算法”列等式 ——这里的底是 ，也就是刚求出的 ． （1）由余弦定理， ， 所以 ． 由面积公式，． （2）由 ，得 ， 所以 ． 回验　回代：，正好复原面积；又 ，小于两邻边 与 ，与”高不超过邻边”的直觉一致． 提醒　” 边上的高”对应的底是 ，别误用 或 当底；等面积法里等号左边是带正弦的面积式，右边是 底高，别在右边再乘一个正弦． 答案　（1），；（2）． 分析 12．在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，，，，点 为边 的中点． （1）求边 与 的面积； （2）求中线 的长． 思路　前两问与原题 1 同法：余弦定理补第三边、面积公式求面积．求中线长不必套中线长公式，用向量更稳： 是中点就意味着 是 与 的平均，两边一平方，模长就由数量积给出． （1）由余弦定理， ， 所以 ． 由面积公式，． （2）因为 是 的中点，所以 ． 两边平方，注意 ，，且两向量共起点于 ，夹角就是 ： ． 所以 ． 回验　用中线长公式交叉验证：，与向量法结果一致． 提醒　 与 共起点于 ，夹角取 本身；若误取补角 ，交叉项会变号，结果是 ，得到 ，错． 答案　（1），；（2）． 分析 13．在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，，，． （1）求边 的长； （2）求边 与 的面积． 思路　已知两角一对边，三角形唯一确定，标准动作是连续用正弦定理：由 与 先求 ，再由内角和求 与 ．面积用 ——注意所选的两边必须夹住已知的那个角，这里 、 夹的正是 ． （1）由正弦定理 ，得 ． （2）由内角和，． ，故 ． 由正弦定理，． （3）． 回验　换一组边角再算一次面积作交叉验证：，与上面结果相同． 提醒　 不是特殊角，必须拆成两个特殊角之和，这里拆 最省事（拆 就没用）；用面积公式时”夹角”要与所选两边相配，别拿 、 去配 ． 答案　（1）；（2），． 分析 14．在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，，， 的面积为 ． （1）求 ， 的值； （2）求 与 的周长． 思路　题给的是”两边之比”而不是具体的边，把它整体代入面积公式，面积式里就只剩 一个未知量，一步定出 与 ；剩下第三边用余弦定理，周长自然得出．这类题的要领是：先看清哪个量能”直接进入”面积公式，就用它当突破口． （1）由 ，代入 、，得 ， 所以 ，即 ，从而 ． （2）由余弦定理， ， 所以 ． （3）于是 的周长 ． 回验　回代面积：，与已知一致；且 ，符合题给条件． 提醒　 表示 是 的两倍，别反写成 ；代入时必须把式子里所有的 都替换掉，只替换一处会让系数出错． 答案　（1），；（2），． 二、边角关系的相互转化 分析 15．在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，已知 ，且 ． （1）求角 的大小； （2）若 的面积为 ，求 的周长． 思路　与原题 3 完全同一条路：先由”边的二次式”套出 ，再把正弦关系翻译成边的比值．换这组数据后，第二问的配方会直接给出 ，三角形变成等腰，运算比原题更短——这也是判断自己有没有算错的一个信号． （1）由余弦定理， ． 又 ，所以 ． （2）由 及正弦定理，得 ． 由余弦定理 ，代入 与 ，得 ， 即 ，配方得 ，故 ． （3）代入面积公式：， 得 ．于是 ，． （4）所以周长 ． 回验　代回检验：，与 吻合；，与已知面积一致． 提醒　由 可反过来得到 ，于是 ， 是斜边，应当满足 ；这条勾股关系能在一秒内查出边长有没有算错． 答案　（1）；（2）． 分析 16．在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，已知 ． （1）求角 的大小； （2）若 ，且 的面积为 ，求 的周长． 思路　等式各项都是正弦的二次式，次数整齐，用 之类整体换成边，就能把角的关系原封不动地搬到边上，化为 ，恰好是余弦定理的分子．第二问由面积得 、由余弦定理得 ，两者相加配出 ，周长里的 就有了． （1）由正弦定理 ，，，代入已知式并同乘 ，得 ． 所以 ，又 ，故 ． （2）由 ，得 ． 由余弦定理 ，得 ，即 ． 于是 ，得 ． 所以 的周长 ． 回验　由 、 知 、 是方程 的两根，即 ；代回检验 ，与 一致，且 保证三角形存在． 提醒　正弦的二次式换边时乘的是 而不是 ；由 开方要取正根 ，负根无意义． 答案　（1）；（2）． 分析 17．在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，已知 ． （1）求角 的大小； （2）若 ，求 面积的最大值． 思路　第一问仍是”边的二次式套余弦定理分子”，一次除法即得角．第二问中 与 都已知，由余弦定理可得 ，再对 用基本不等式，就能把 锁在 以内，面积随之有最大值． （1）由余弦定理， ． 又 ，所以 ． （2）由余弦定理 ，得 ． 由基本不等式 ，得 ，即 ， 当且仅当 时取等号，此时由 得 ． 所以 ． 回验　取等时 ，是正三角形，面积 ，与上式右端一致；此时三角形确实存在，说明上界可以取到． 提醒　用基本不等式求最值时，“等号能否取到”必须验证：本题等号条件是 ，代入后得正三角形，成立．若只写 而不验证取等条件，最值就是空的． 答案　（1）；（2）最大值为 ． 三、外接圆半径与内切圆半径 分析 18．在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，已知 ． （1）求 的大小； （2）若 外接圆的半径为 ，且 ，求 的周长． 思路　等式左端 是射影定理给出的 ，认出它，已知式一步就退化为 ；即使没认出，用正弦定理展开成 也会走到同一处．定出 后，由外接圆半径先求 ，再把 代入余弦定理解出 ． （1）由正弦定理 ，，于是 ． 又 ，故 ，所以左端 ． 代入已知式得 ．因为 ，得 ；又 ，故 ． （2）由 ，得 ． （3）由余弦定理 ，且 ，得 ，所以 ，． （4）于是 的周长 ． 回验　把结果代回：，与 吻合；又 ，与已知外接圆半径一致． 提醒　由 约去 时必须写明 ；射影定理若直接引用，要在解答里补一句正弦定理展开作为依据，否则会被视为跳步． 答案　（1）；（2）． 分析 19．在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，已知 ． （1）求 的大小； （2）若 外接圆的半径为 ，求 面积的最大值． 思路　第一问只有一个动作：把 用 换成 ，等式就退化为 与 的倍数关系， 随之确定。这里有个容易漏掉的细节——左端 恒为正，所以右端的 也必为正， 被限定为锐角， 才唯一对应 。第二问给的是外接圆半径而不是边，先用 把 算出来，题目就转化成”已知一角及其对边，求面积最大值”的熟面孔，交给余弦定理配基本不等式收口。 （1）因为 ，所以 ，由诱导公式 ，已知式化为 ． 由于 ，有 ，故 ，即 ，于是 ，． 两边同除以 得 ，又 ，所以 ． （2）设外接圆半径为 ．由正弦定理 ，得 ． 由余弦定理 ，得 ． 由基本不等式 ，得 ，即 ，当且仅当 时取等号，此时由 得 ． 所以 ． 回验　取等时 ， 是边长为 的正三角形，其面积 ，与求得的上界相等；该三角形的外接圆半径 ，与题设吻合，说明这个上界确实能够取到，而不只是理论估计． 提醒　由 直接写 是不够严谨的：必须先由 说明 ，把 锁定在 内，否则”“在 上的解并不唯一确定．第二问的另一个坑是等号： 的等号条件是 ，要把它代回 验算出确有对应的三角形，只写不等式不验取等，最大值是悬空的． 答案　（1）；（2） 面积的最大值为 ． 四、角平分线与中线 分析 20．在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，，，， 平分 交 于点 ． （1）求边 与 的面积； （2）求 的长． 思路　骨架与原题 5 相同，只是夹角由 换成 ．第一问先用余弦定理从”两边夹角”补出第三边 ，再用面积公式求面积；第二问仍走面积拆分求角平分线长，但半角变成 ，，系数比原题干净得多． （1）由余弦定理，，所以 ． ． （2）因为 平分 ，且 ，所以 ． 由 ，且 ，，得 ． 所以 ． 回验　用角平分线长公式复核：，一致．三角形存在性方面，，有 ，成立；角平分线长 小于两条邻边 与 中的较大者，量级合理． 提醒　本题的半角是 ，其正弦为 ，千万不要习惯性地写成 ——那是 （原题 5 的半角）的正弦值，两题数据只差一个角，最容易互相串味．此外 已是最简二次根式，不要再试图化简或近似成小数写进答案． 答案　（1），；（2）． 分析 21．在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，，，，点 为边 的中点． （1）求边 与 的面积； （2）求中线 的长． 思路　第一问与前两个变式同法：余弦定理补边、面积公式求面积．第二问换成了中线，此时面积拆分不好用了（ 与 都未知），改走向量法：因为 是 的中点，，两边平方后把 、 与 代进去，模长就自然浮现．这条路线与中线长公式 完全等价，但不需要额外记忆． （1）由余弦定理，，所以 ． ． （2）因为 为 的中点，所以 ．两边平方得 ． 代入 ，，，得 ． 所以 ． 回验　用中线长公式独立复核：，与向量法一致．量级上 ，介于 与 之间（中线长必落在这一区间内），可作为快速自检． 提醒　向量平方后的交叉项是 ，夹角用的是 本身；若误取 ，符号会反，得到 ，答案就错了．若改用中线长公式，注意系数是”“（两条邻边各取两倍、减去对边平方），并且公式外面还有一个 （或写成 ），漏掉它就是差 倍． 答案　（1），；（2）． 五、边角范围与最值 分析 22．在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，已知 ． （1）求角 的大小； （2）若 ，求 面积的最大值，并指出此时三角形的形状． 思路　左端是两个因式的乘积，而 与 恰好构成一个”和”与一个”差”，用平方差公式合并成 ，展开后与右端 一比， 的系数立刻对上，得到 ——这正是余弦定理分子的形状，一次除法定角．第二问与原题 6 同型，交给余弦定理配基本不等式． （1）， 移项整理得 ． 于是 ．又 ，所以 ． （2）由余弦定理 ，得 ． 由 ，得 ，即 ，当且仅当 时取等号． 取等时 ，得 ，与 相等，故此时 为正三角形． 所以 ． 回验　取等时三边同为 ，面积 ，与求得的上界相等；再把这组边代回原条件检验：，而 ，两边一致，说明取等情形确实满足题设． 提醒　平方差展开时认清”和与差”是关键：，，乘积为 ，不要误写成 ，也不要把 之外的项搞混导致 系数算错（正确系数是 ：）．第二问还要回答”此时三角形的形状”，因此等号条件 必须代回算出具体边长，只写”当 时”而不给出边长，是不完整的． 答案　（1）；（2）最大值为 ，此时 为正三角形． 分析 23．在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，已知 ，． （1）求 面积的最大值； （2）若 的面积为 ，求 的周长． 思路　两问共用同一条余弦定理关系 ，区别只在用法：第一问把它往”上界”方向用—— 给出 ，面积随之封顶；第二问反过来，面积已知就把 定死为 ，回代入关系式得到 ，再用 凑出 ．两问全程只跟 与 这两个对称式打交道，不需要分别解出 、，这是”整体代换”的典型用法． （1）由余弦定理 ，得 ． 由基本不等式 ，得 ，即 ，当且仅当 时取等号，此时 ，即 ． 所以 ，即面积的最大值为 ． （2）由 ，得 ． 代入 ，得 ． 于是 ．因为 ，所以 ． 故 的周长 ． 回验　第二问中由 、 可反解出 ．代入检验：， 与 吻合，面积 与条件一致；三边 、、 满足 ，三角形确实存在．第一问取等时三边同为 构成正三角形，面积 ，与上界相等． 提醒　由 开方时只能取 （边长之和为正），漏掉这一步会多出一个负根而被扣分．第一问若把 、 误读成”已知两边及其夹角”，就会对着 无从下手——本题 、 都是变量，必须先由一个约束（余弦定理）把它们的关系定下来，再用不等式取值域． 答案　（1）最大值为 ；（2） 的周长为 ． 分析 24．在锐角 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，已知 ，． （1）求 面积的取值范围； （2）求 周长 的取值范围． 思路　两问共用一套”边化角”的操作：由 得 、，而 使两个角只剩一个自由度 ．周长走和差化积， 合成 ；面积则先写成 ，再用积化和差把 变成 ．两问共用的前提是：把”锐角三角形”翻译成 ． 由 且 ，得 ，即 ． 因为 为锐角三角形，有 ，且 ，后者给出 ． 两者取交集，得 ． 由正弦定理，，所以 ，． （2）． 由和差化积，， 故 ． 由 得 ，所以 ， 于是 ． （1）． 由积化和差，． 由 及 ，得 ，所以 ． 于是 ，从而 ． 回验　当 时三角形为正三角形，，面积 、周长 ，两问同时取到右端（故右端闭）．当 时 ，，，面积 、周长 ，与两个左端一致；此时 为直角、不属于锐角三角形，故左端开． 提醒　面积这一问必须先把 写成 再积化和差；若改用 之类，会把已知边 卷进来，反而多出一个变量，越算越乱．区间端点也要盯紧： 对应 、 对应 ，都是直角情形，不属于锐角三角形，所以两个范围的左端都开；而 （正三角形）在内部可达，右端闭． 答案　（1）；（2）． 六、结构不良与综合推理 分析 25．在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，，，．从下面两个条件中任选一个作为已知条件，判断 是否为钝角三角形，并说明理由． ①；②． 思路　与原题 17 同法：先用余弦定理补出第三边 ，再看最大边所对角的余弦符号．选择①是”已知两边及其夹角余弦求对边”，直接代入即可；选择②是”已知两边与其中一边的对角余弦”， 满足一个二次方程，解出后舍去负根．两种情形下最大边都要重新比较一次，不能想当然沿用原来的最大边． 选择① ： 由余弦定理，，所以 ． 此时三边为 ，，，最大边是 ，而 ，故 为锐角． 其余两边均短于 ，由”大边对大角”知 与 都小于 ，同为锐角，所以 不是钝角三角形． （逐项验证：，．） 选择② ： 由余弦定理 ，即 ， 化简得 ，即 ，解得 或 （舍去），所以 ． 此时三边为 ，，，最大边是 ，其所对角 满足 ， 所以 为钝角， 是钝角三角形． 回验　选择①时三边为 、、，最大边平方 ，由余弦定理推论 为锐角，结论可靠．选择②时三边为 、、，先验证三角形不等式 成立（三角形确实存在）；再比较 ，知 为钝角，与 （即 ）一致． 提醒　选择②中最容易出错的是符号： 里 为负，于是这一项变成 ；若误写为 ，方程就成了 ，解得 ，两个选项的结论正好被颠倒．此外，解出三边后顺手核一遍三角形不等式是好习惯，能避免”算出来的三角形其实并不存在”这类硬伤． 答案　选择①： 不是钝角三角形；选择②： 是钝角三角形． 分析 26．在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，已知 ，． （1）求角 的大小； （2）若 的面积为 ，设 为 的中点，求 的值． 思路　本题与原题 21 完全对称，只是把 与 、 与 的角色互换，所以第一问得到的是 ．推导时同样是把 展开成 ，让 与展开式中的同名项对消．第二问的”两次正弦定理相除”技巧照搬，但要重新确认两件事：中点落在 上，故相等的是 ；互补的一对角变成 与 ．最终比值化为 ，与原题的 并不相同． （1）由 及正弦定理，约去 得 ． 又 ，代入得 ，即 ． 因为 ，，约去得 ，又 ，所以 ． （2）由 ，得 ． 由余弦定理，，所以 ． 因为 为 的中点，所以 ． 在 中，由正弦定理 ，得 ； 在 中，由正弦定理 ，得 ． 两式相除，利用 ，以及 与 互补从而正弦相等，得 ，即 ． 回验　把结果代回检验：、、 给出 ，；面积 ，与条件一致；又 ，代入原条件得 ，而 ，两边相符．三边 、、 满足三角形不等式，构型确实存在． 提醒　本题的比值是 而不是原题的 ——因为中点落在 上，参与相除的两条边是 与 ．做这类”对称变式”时最忌机械照抄上一题的结论，必须重新确认三件事：中点在哪条边上、相除的两个三角形是哪两个、互补的是哪一对角．另外第一问的展开式要写成 ，不要漏掉任何一项，否则对消不成． 答案　（1）；（2）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 解三角形 · 原题精析与变式训练 高三数学一轮复习 · 分层训练卷 第一部分　原题精析 一、用正弦定理、余弦定理求基本量 1．已知在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，，，． （1）求 的面积； （2）求 的周长． 2．在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，且 ，， 的面积为 ． （1）求 ； （2）求 的周长． 二、边角关系的相互转化 3．记 的内角 ，， 的对边分别为 ，，，已知 ，且 ． （1）求角 的大小； （2）若 的面积为 ，求 的周长． 4．在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，且 ． （1）求 ； （2）若 ，，求 的面积． 三、外接圆半径与内切圆半径 5．在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，且满足 ． （1）求 的值； （2）若 ， 的面积为 ，求 外接圆的半径和内切圆的半径． 四、角平分线与中线 6．已知在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，，，． （1）求 的面积； （2）求角 的角平分线 的长． 五、边角范围与最值 7．在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，已知 ． （1）求角 的大小； （2）若 ，求 面积的最大值． 8．在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，且满足 ． （Ⅰ）求角 的大小； （Ⅱ）若 为锐角三角形，且 ，求 周长 的取值范围． 六、结构不良与综合推理 9．在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，，，．从下面两个条件中任选一个作为已知条件，判断 是否为钝角三角形，并说明理由． ①；②． 10．在 中，角 ，， 的对边分别为 ，，，已知 ，． （1）求角 的大小； （2）若 的面积为 ，设 是 的中点，求 的值． 第二部分　变式训练 一、用正弦定理、余弦定理求基本量 11．在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，，，． （1）求边 与 的面积； （2）求 边上的高 的长． 12．在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，，，，点 为边 的中点． （1）求边 与 的面积； （2）求中线 的长． 13．在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，，，． （1）求边 的长； （2）求边 与 的面积． 14．在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，，， 的面积为 ． （1）求 ， 的值； （2）求 与 的周长． 二、边角关系的相互转化 15．在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，已知 ，且 ． （1）求角 的大小； （2）若 的面积为 ，求 的周长． 16．在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，已知 ． （1）求角 的大小； （2）若 ，且 的面积为 ，求 的周长． 17．在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，已知 ． （1）求角 的大小； （2）若 ，求 面积的最大值． 三、外接圆半径与内切圆半径 18．在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，已知 ． （1）求 的大小； （2）若 外接圆的半径为 ，且 ，求 的周长． 19．在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，已知 ． （1）求 的大小； （2）若 外接圆的半径为 ，求 面积的最大值． 四、角平分线与中线 20．在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，，，， 平分 交 于点 ． （1）求边 与 的面积； （2）求 的长． 21．在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，，，，点 为边 的中点． （1）求边 与 的面积； （2）求中线 的长． 五、边角范围与最值 22．在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，已知 ． （1）求角 的大小； （2）若 ，求 面积的最大值，并指出此时三角形的形状． 23．在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，已知 ，． （1）求 面积的最大值； （2）若 的面积为 ，求 的周长． 24．在锐角 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，已知 ，． （1）求 面积的取值范围； （2）求 周长 的取值范围． 六、结构不良与综合推理 25．在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，，，．从下面两个条件中任选一个作为已知条件，判断 是否为钝角三角形，并说明理由． ①；②． 26．在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，已知 ，． （1）求角 的大小； （2）若 的面积为 ，设 为 的中点，求 的值． 学科网（北京）股份有限公司 $