第22讲 第2课时 解三角形及其应用举例专项训练-2027届高考数学一轮复习

第22讲 第2课时 解三角形及其应用举例-2027届高考数学一轮复习

题型突破　思维拓展

 

 周长、面积的最值问题

例1　(2026·邯郸期初改)在锐角三角形ABC中，内角A，B，C满足2sin(A＋C)－cos 2B＝0，AC＝2．

(1) 求角B的大小；

(2) 求2BC－AB的取值范围；

(3) 求△ABC面积的取值范围．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

解三角形中最值(范围)问题的解题策略

先利用正、余弦定理以及面积公式化简整理，构造关于某一个角或某一条边的函数或不等式，再利用函数的单调性或基本不等式等求最值(范围)．

变式1　(2025·苏州期初)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(2a－c)cos B＝bcos C．

(1) 求角B的大小；

(2) 若c＝，a＋b＝2，求△ABC的面积；

(3) 若a＝2，且△ABC为锐角三角形，求△ABC的周长的取值范围．

 

 

 多三角形问题

例 2－1　(2026·临沂期中改)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a(sinB＋cosB)＝b＋c．

(1)求角A的大小．

(2)设D为边BC上一点．

①若D为BC中点，a＝2，△ABC的面积为2，求AD的长；

②若AD为△ABC的角平分线，AD＝，求4b＋c的最小值；

③若AD为锐角三角形ABC的角平分线，a＝4，求BD长的取值范围．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例 2－2　(2025·焦作三模)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AO＝OC＝，BD＝2，∠AOB＝，且DO＞BO，记∠ABO＝α，∠CDO＝β．

(1) 求证：AB＝CD；

(2) 求证：sinα＝sinβ；

(3) 记∠OCD＝θ，若5sin2α＝13－8sinθ，求sinθ的值．

 

 

 

 解三角形的实际应用

例3　(2025·太原一模)如图，某中学数学兴趣小组为测量学校附近正在建造中的某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条直线上的A，B，C三点，其中AC＝40 m，B为AC的中点，兴趣小组的组长在A，B，C三点上方5 m处的A1，B1，C1观察，该建筑物最高点E的仰角分别为α，β，γ，其中tan α＝1，tan β＝2，tan γ＝3，D为点E在地面上的正投影，D1为线段DE上与A1，B1，C1位于同一高度的点．

(1) 求该建筑物的高度DE；

(2) 求的值．

 

 

 

 

变式3　(2026·聊城期中)某市有一座重兴塔，它从北宋走来，历经宋、元、明、清，依旧屹立不倒．如今，它是全国重点文物保护单位，也是研究北方古建筑与佛教遗迹的实物标本，如图(1)，测量重兴塔高度AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C，D，且在C，D两点测得塔顶A的仰角分别为45°，30°．在水平面上测得cos∠BCD＝－，C，D两地相距36 m．

图(1)

(1) 求重兴塔高AB；