第10讲 对数与对数函数（讲义）-2027届高考数学一轮复习

第10讲 对数与对数函数 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 近三年高考对数运算与对数函数的考点分布与命题趋势研判 02 思维建模·脉络梳理 对数知识结构图、三组易混辨析与转化思想 03 知识精讲·靶向突破 5 个核心知识点 + 5 道自主检测，逐点拆解 04 题型破译·方法提炼 5 大题型、5 道典型例题、15 道变式训练 05 真题溯源·考向感知 近五年高考真题 6 题，感知真实考法 06 课本典例·高考素材 教材例题高考化改编 3 题，回归本源 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026 年 2025 年 2024 年 对数的运算与求值 新课标Ⅰ卷 T5（5 分） 全国甲卷 T4（5 分） 天津卷 T5（5 分） 对数函数的图象与性质 全国乙卷 T6（5 分） 新课标Ⅱ卷 T6（5 分） 北京卷 T4（5 分） 对数型复合函数的单调性 天津卷 T6（5 分） 浙江卷 T5（5 分） 新课标Ⅰ卷 T6（5 分） 对数方程与不等式 北京卷 T7（5 分） 上海卷 T6（5 分） 全国甲卷 T5（5 分） 指数与对数比较大小 新课标Ⅱ卷 T7（5 分） 天津卷 T5（5 分） 新课标Ⅱ卷 T7（5 分） 对数运算的失分点集中在三处：真数为正、底数范围、以及 的适用条件。 对数函数图象恒过 ，底数大于 1 与小于 1 的走势要能随手画出来，比记性质表快。 复合函数单调性用同增异减，前提是定义域已经确定，直接套口诀而不看定义域是典型错法。 比较大小是对数的常客：同底看单调，同真看底数，都不同就插中间量 0 或 1 过渡。 备考建议：运算先化同底，再拆、并、提；图象题先定定义域，再找定点，最后看底数；复合函数先写真数大于 ，再拆内外层；解对数不等式务必按底数分类，并把真数条件与不等式的解取交集。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 本讲可以浓缩为“一个定义、三条性质、两类图象、四种应用”。先看整体脉络： 图 1　对数与对数函数知识结构图 学习时抓住两条主线：互化（指数式与对数式互相转写）与分类（底数大于 还是小于 ）。三组易混点务必辨析清楚： 易混对象 正确认识 定义域与值域 的定义域是 ，值域是 ；解题先令真数为正，再谈单调性与最值 运算性质 要求 ，；，不是 复合单调性 底数 时外层递增， 时外层递减；用“同增异减”前必须先保证真数为正 ▶　知识解构　◀ ▶ 知识点1　对数的概念与基本性质 一、对数的定义 一般地，若 （，，），则称 是以 为底 的对数，记作 ，其中 叫做底数， 叫做真数。 指数式与对数式的互化：。对数的本质是“已知底数与幂，求指数”，所以对数运算与指数运算互为逆运算。 二、两类特殊对数 以 为底的对数叫做常用对数，记作 ，即 ；以无理数 （）为底的对数叫做自然对数，记作 ，即 。 三、基本恒等式 ，；对数恒等式 ；（，，，）。 注意： 1．底数必须满足 且 ，真数必须满足 ，二者缺一不可。 2．负数与零没有对数，、 均无意义。 3． 是一个整体记号，不是 与 的乘积。 4．含参数的对数式，先列底数与真数的条件，再化简求值。 【自主检测】计算 ． 【答案】 【分析】逐项化为指数式，再用基本恒等式求值。 【详解】，，， 　　　所以原式 ． ▶ 知识点2　对数的运算性质与换底公式 一、三条运算性质 设 ，，，，则 ；；（）。即积的对数等于对数的和，商的对数等于对数的差，幂的对数等于对数的倍数。 二、换底公式 ，其中 ，，，，。换底公式的作用是把不同底的对数统一成同一底数，常取 或 。 三、常用推论 ；（）；。 常用技巧：化同底、拆真数、提指数、凑 。 注意： 1．三条性质都要求 ，，真数为负时不能直接拆分。 2．，这是最常见的错误。 3．，只有当 时才等于 。 4．换底时新底 可以任意选取，但必须满足 且 。 【自主检测】计算 ． 【答案】 【分析】把 拆成 ，再提取公因式。 【详解】原式 　　　 　　　． ▶ 知识点3　对数函数的图象与性质 一、图象与性质 函数 （，）叫做对数函数，定义域为 ，值域为 ，图象恒过定点 ，以 轴为渐近线。 当 时， 在 上单调递增： 时 ， 时 ；当 时， 在 上单调递减： 时 ， 时 。 二、图象的对称关系 与 的图象关于 轴对称，因为 ； 与 的图象关于直线 对称，二者互为反函数。 三、底数对图象的影响 在 时，底数越大，函数值越小，图象越靠近 轴；在 时，底数越大，函数值越大，图象同样越靠近 轴。记忆口诀：“底大图低”只适用于 的部分。 注意： 1．定义域是 ，不是 ；值域才是 ，两者不要混淆。 2．定点是 ，不是 ；令真数为 即可求定点。 3．含字母底数时，必须按 与 分类讨论单调性。 4．图象与 轴只有一个交点 ，不会有两个交点。 【自主检测】函数 （，）的图象恒过定点________． 【答案】 【分析】令真数等于 ，此时对数值为 ，与底数无关。 【详解】令 ，得 ，此时 ， 　　　所以 ，定点为 ． ▶ 知识点4　对数型复合函数的单调性与值域 一、定义域优先 形如 的函数，定义域由 确定。单调区间、值域都必须在定义域内讨论，这是复合函数问题的第一步。 二、单调性：同增异减 设 ，则 。当 时，外层随 增大而增大；当 时，外层随 增大而减小。内外层单调性相同，复合函数递增；内外层单调性相反，复合函数递减。 例如 ，定义域为 或 。内层在 上递减、在 上递增，外层递增，所以复合函数在 上递减、在 上递增。 三、值域的求法 先求内层 在定义域上的取值范围（），再由外层 的单调性映射。若 ，则 时 ， 时 。 注意： 1．单调区间必须是定义域的子集，不能把内层的单调区间直接当作复合函数的单调区间。 2．“同增异减”只适用于内外层都有意义的区间，真数为负的区间要剔除。 3．求值域时，先看内层能否取到最小值或最大值，再结合外层单调性写出值域。 4．二次型内层要配方，注意开口方向与对称轴是否落在定义域内。 【自主检测】求函数 的值域． 【答案】 【分析】先配方求内层最小值，再由外层递增求值域。 【详解】， 　　　又 在 上递增， 　　　所以 ，值域为 ． ▶ 知识点5　对数方程、不等式与比较大小 一、对数方程 同底方程 ，解出后必须检验真数为正；换元方程令 ，把原方程化为一元二次方程，解出 后再回代求 。 二、对数不等式 当 时，；当 时，。含常数的不等式，先把常数写成 的形式，再化为同底不等式。 三、比较大小 同底不同真数直接用单调性；同真数不同底用图象位置或换底公式；底数、真数都不同时，插入 、 作中间量，或寻找中间值搭桥。 符号规律： 的符号由 决定，同号为正，异号为负。 注意： 1．解对数不等式先列真数大于 ，再把不等式的解与定义域取交集。 2．底数含参数时必须分 与 两种情况，不能默认底数大于 。 3．换元解方程后要回代，并检验所得解是否满足真数为正。 4．比较大小不能把“底大图低”直接套到不同真数的情形，需先化为同一真数或同一底数。 【自主检测】解不等式 ． 【答案】 【分析】把 写成 ，再用增函数脱去对数。 【详解】原不等式化为 ， 　　　因为 递增，所以 ， 　　　解得 ，即解集为 ． ▶　题型破译　◀ 下面按“运算—图象—复合—方程—比较”五条线索设置 5 个题型，每个题型配 1 道典型例题与 3 道变式训练，例题均标注来源，便于对照高考真实考法。 ▶ 题型1 对数的运算与求值 例1-1（2024·全国甲卷·T4 改编）计算 ． 【答案】 【分析】用换底公式连锁约分，或逐次合并为同底对数。 【详解】， 　　　所以原式 ． 【方法技巧】 1．不同底的对数相乘，优先用换底公式化为同底，再约分。 2．连锁换底 ，可连续使用。 3．真数能拆成幂的，先提指数，把系数移到对数前。 【易错分析】 1．把 与 当成相等，实际上二者互为倒数。 2．拆分积的对数时漏掉真数为正的条件。 3．换底后分子分母颠倒，导致结果取倒数。 【变式训练1-1】（2026·江苏南京·二模）计算 ． 【答案】 【分析】连锁换底，约去中间底数。 【详解】原式 ． 【变式训练1-2】（2026·山东济南·三模）已知 ，求 的值． 【答案】 【分析】先取对数表示 、，再用换底公式求倒数。 【详解】由 得 ，则 ； 　　　由 得 ，则 ， 　　　所以 ． 【变式训练1-3】（2025·浙江杭州·二模）计算 ． 【答案】 【分析】拆 、，再提取公因式。 【详解】原式 　　　 　　　． ▶ 题型2 对数函数的图象与性质 例2-1（2025·新课标Ⅱ卷·T6 改编）函数 （，）的图象恒过定点（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令真数等于 ，对数值为 ，与底数无关。 【详解】令 ，得 ，此时 ， 　　　所以 ，定点为 ．故选 A． 【方法技巧】 1．求定点：令真数为 ，解出 ，再算 。 2．讨论性质：先看定义域，再看底数大于 还是小于 。 3．图象题可用特殊点 、、 辅助定位。 【易错分析】 1．把定点写成 ，混淆了对数函数与指数函数的定点。 2．忽略真数大于 ，把定义域写成 。 3．含字母底数时没有分类，直接默认函数递增。 【变式训练2-1】（2026·河北石家庄·二模）函数 （，）的图象恒过定点________． 【答案】 【分析】令 ，求出 后再算 。 【详解】令 ，得 ，此时 ， 　　　所以 ，定点为 ． 【变式训练2-2】（2026·河南郑州·一模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．定义域为 B．值域为 C．在 上单调递增 D．图象过点 【答案】ABD 【分析】先看定义域，再由底数 判断单调性。 【详解】由 得定义域为 ，A 正确； 　　　对数函数的值域为 ，B 正确； 　　　底数 ，函数在 上递减，C 错误； 　　　当 时 ，D 正确．故选 ABD． 【变式训练2-3】（2025·安徽合肥·三模）若 ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两个对数都为负，说明底数都在 内，再用图象高低比较。 【详解】因为 ，，所以 ，； 　　　又 ，且 ，， 　　　由 得 ， 　　　所以 ，即 ．故选 A． ▶ 题型3 对数型复合函数的单调性与值域 例3-1（2026·天津卷·T6 改编）函数 的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】内层配方后恒正，外层递减，复合函数的增区间对应内层的减区间。 【详解】，定义域为 ； 　　　内层在 上递减、在 上递增， 　　　外层 递减，由“同增异减”得复合函数在 上递增．故选 A． 【方法技巧】 1．先解 求定义域，所有讨论都在定义域内进行。 2．拆成内层 与外层 ，分别判断单调性。 3．内外层同增或同减则复合递增，一增一减则复合递减。 4．写单调区间时，端点要在定义域内，多个区间之间不能用并集连接。 【易错分析】 1．只求内层的单调区间，忘记与定义域取交集。 2．把外层递减当成复合函数递减，忽略“同增异减”。 3．单调区间写成并集，或把不在定义域内的点并入区间。 【变式训练3-1】（2026·湖北武汉·二模）函数 的单调递减区间是________． 【答案】 【分析】先求定义域，再找内层在定义域内的减区间。 【详解】由 得 或 ，定义域为 ； 　　　内层在 上递减，与定义域取交集得 ； 　　　外层递增，故复合函数在 上递减． 【变式训练3-2】（2026·四川成都·一模）函数 的值域是________． 【答案】 【分析】配方求内层最小值，再由外层递增映射。 【详解】， 　　　所以 ，值域为 ． 【变式训练3-3】（2025·福建厦门·三模）已知函数 在 上单调递减，则 的取值范围是________． 【答案】 【分析】先由定义域在 上恒成立确定 ，再分底数讨论单调性。 【详解】由真数 在 上恒成立，且 ，得 ，即 ； 　　　当 时，外层递增，内层 递减，复合函数递减，符合题意； 　　　当 时，外层递减，内层递减，复合函数递增，不符合题意， 　　　所以 ． ▶ 题型4 对数方程与不等式 例4-1（2025·北京卷·T7 改编）不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】底数小于 ，不等号反向，同时真数必须为正。 【详解】因为底数 ，函数递减， 　　　所以原不等式等价于 ， 　　　解得 且 ， 　　　故解集为 ．故选 A． 【方法技巧】 1．同底不等式先看底数： 不等号方向不变， 方向改变。 2．无论哪种情况，都要同时列出“真数大于 ”。 3．含常数时化为 ，再化为同底不等式。 4．解集写成区间或集合，并与定义域取交集。 【易错分析】 1．底数小于 时忘记改变不等号方向。 2．只解不等式，不检验真数为正，产生增根。 3．把 直接写成 ，没有分类讨论。 【变式训练4-1】（2026·辽宁大连·二模）方程 的解是________． 【答案】 【分析】先并项，再化为同底方程，最后检验。 【详解】由真数为正得 ， 　　　原方程化为 ， 　　　即 ，解得 或 ， 　　　结合 得 ． 【变式训练4-2】（2026·江西南昌·三模）解关于 的不等式 （，）． 【答案】 时解集为 ； 时解集为 【分析】把 写成 ，再按底数分类。 【详解】原不等式化为 ． 　　　当 时，函数递增，得 ，即 ； 　　　当 时，函数递减，得 ，即 ． 【变式训练4-3】（2025·广西南宁·二模）方程 的解是________． 【答案】 【分析】同底方程化为真数相等，再检验真数为正。 【详解】由 得 ， 　　　原方程化为 ，即 ， 　　　解得 或 ，结合 得 ． ▶ 题型5 指数与对数比较大小 例5-1（2023·天津卷·T5 改编）设 ，，，则 ，， 的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用 与 作中间量，先定位每个数的范围。 【详解】； 　　　； 　　　， 　　　所以 ．故选 A． 【方法技巧】 1．先定符号与范围：与 、 比较，把数分成三段。 2．同底不同真数用单调性；同真数不同底用图象或换底。 3．底数、真数都不同，插入中间量（如 、、、）搭桥。 【易错分析】 1．把 与 直接按底数大小比较，忽略指数不同。 2．没有判断 的符号，误以为对数一定为正。 3．不同底的对数硬套“底大图低”，导致大小关系颠倒。 【变式训练5-1】（2026·湖南长沙·二模）设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化为倒数形式，比较 、、 的大小。 【详解】，，， 　　　因为 ， 　　　取倒数得 ．故选 A． 【变式训练5-2】（2026·山西太原·三模）比较 与 的大小． 【答案】 【分析】寻找中间值 搭桥。 【详解】因为 ，所以 ； 　　　因为 ，所以 ； 　　　故 ． 【变式训练5-3】（2025·重庆·三模）设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别判断三个数与 、 的大小关系。 【详解】因为底数 ，真数 ，所以 ； 　　　因为指数函数 递增，所以 ； 　　　因为 ，指数 ，所以 ， 　　　故 ．故选 B． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2023·新课标Ⅱ卷·T7 改编）设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以 为中间量，分别比较 、 与 。 【详解】； 　　　因为 ，所以 ； 　　　因为 ，所以 ， 　　　故 ．故选 D． 2．（2022·北京卷·T4 改编）函数 的定义域是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】真数大于 ，解一元二次不等式。 【详解】由 得 ， 　　　解得 或 ， 　　　所以定义域为 ．故选 B． 3．（2021·全国甲卷·T6 改编）函数 的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求定义域，再由“同增异减”确定增区间。 【详解】由 得 或 ，定义域为 ； 　　　内层在 上递减，与定义域取交集得 ； 　　　外层 递减，所以复合函数在 上递增．故选 A． 4．（2024·天津卷·T5 改编）若 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按 与 分类，把 写成 。 【详解】当 时， 等价于 ，即 ； 　　　当 时， 恒成立，即 ； 　　　综上 ．故选 C． 二、填空题 5．（2023·上海卷·T5 改编）计算 ________． 【答案】 【分析】前一项连锁换底，后两项提取公因式凑 。 【详解】； 　　　 　　　， 　　　所以原式 ． 三、解答题 6．（2022·全国乙卷·T19 改编）已知函数 （，）．（1）求 的定义域，并判断 的奇偶性；（2）解不等式 ． 【答案】（1）定义域 ，奇函数；（2） 时解集为 ， 时解集为 【分析】先由两个真数都大于 求定义域，再用奇偶性定义判断，最后按底数分类解不等式。 【详解】（1）由 且 得 ，所以定义域为 ，关于原点对称． 　　　又 ，所以 是奇函数． 　　　（2），不等式化为 ． 　　　当 时，，结合 得 ； 　　　当 时，，结合 得 ． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、单选题 1．（人教A版必修第一册 P127 练习 改编）计算 的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别化为同底幂，再求对数值。 【详解】， 　　　， 　　　所以原式 ．故选 A． 2．（人教A版必修第一册 P131 习题 4.4 改编）函数 （，）的图象恒过定点（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令真数为 ，求出定点坐标。 【详解】令 ，得 ，此时 ， 　　　所以 ，定点为 ．故选 B． 二、解答题 3．（人教A版必修第一册 P135 复习参考题 改编）已知 ，求证：． 【答案】见详解 【分析】把指数式化为对数式，再用换底公式把 、 化为以 为底的对数。 【详解】由 得 ，所以 ； 　　　由 得 ，所以 ； 　　　两式相加得 ． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 对数与对数函数 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 近三年高考对数运算与对数函数的考点分布与命题趋势研判 02 思维建模·脉络梳理 对数知识结构图、三组易混辨析与转化思想 03 知识精讲·靶向突破 5 个核心知识点 + 5 道自主检测，逐点拆解 04 题型破译·方法提炼 5 大题型、5 道典型例题、15 道变式训练 05 真题溯源·考向感知 近五年高考真题 6 题，感知真实考法 06 课本典例·高考素材 教材例题高考化改编 3 题，回归本源 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026 年 2025 年 2024 年 对数的运算与求值 新课标Ⅰ卷 T5（5 分） 全国甲卷 T4（5 分） 天津卷 T5（5 分） 对数函数的图象与性质 全国乙卷 T6（5 分） 新课标Ⅱ卷 T6（5 分） 北京卷 T4（5 分） 对数型复合函数的单调性 天津卷 T6（5 分） 浙江卷 T5（5 分） 新课标Ⅰ卷 T6（5 分） 对数方程与不等式 北京卷 T7（5 分） 上海卷 T6（5 分） 全国甲卷 T5（5 分） 指数与对数比较大小 新课标Ⅱ卷 T7（5 分） 天津卷 T5（5 分） 新课标Ⅱ卷 T7（5 分） 对数运算的失分点集中在三处：真数为正、底数范围、以及 的适用条件。 对数函数图象恒过 ，底数大于 1 与小于 1 的走势要能随手画出来，比记性质表快。 复合函数单调性用同增异减，前提是定义域已经确定，直接套口诀而不看定义域是典型错法。 比较大小是对数的常客：同底看单调，同真看底数，都不同就插中间量 0 或 1 过渡。 备考建议：运算先化同底，再拆、并、提；图象题先定定义域，再找定点，最后看底数；复合函数先写真数大于 ，再拆内外层；解对数不等式务必按底数分类，并把真数条件与不等式的解取交集。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 本讲可以浓缩为“一个定义、三条性质、两类图象、四种应用”。先看整体脉络： 图 1　对数与对数函数知识结构图 学习时抓住两条主线：互化（指数式与对数式互相转写）与分类（底数大于 还是小于 ）。三组易混点务必辨析清楚： 易混对象 正确认识 定义域与值域 的定义域是 ，值域是 ；解题先令真数为正，再谈单调性与最值 运算性质 要求 ，；，不是 复合单调性 底数 时外层递增， 时外层递减；用“同增异减”前必须先保证真数为正 ▶　知识解构　◀ ▶ 知识点1　对数的概念与基本性质 一、对数的定义 一般地，若 （，，），则称 是以 为底 的对数，记作 ，其中 叫做底数， 叫做真数。 指数式与对数式的互化：。对数的本质是“已知底数与幂，求指数”，所以对数运算与指数运算互为逆运算。 二、两类特殊对数 以 为底的对数叫做常用对数，记作 ，即 ；以无理数 （）为底的对数叫做自然对数，记作 ，即 。 三、基本恒等式 ，；对数恒等式 ；（，，，）。 注意： 1．底数必须满足 且 ，真数必须满足 ，二者缺一不可。 2．负数与零没有对数，、 均无意义。 3． 是一个整体记号，不是 与 的乘积。 4．含参数的对数式，先列底数与真数的条件，再化简求值。 【自主检测】计算 ． ▶ 知识点2　对数的运算性质与换底公式 一、三条运算性质 设 ，，，，则 ；；（）。即积的对数等于对数的和，商的对数等于对数的差，幂的对数等于对数的倍数。 二、换底公式 ，其中 ，，，，。换底公式的作用是把不同底的对数统一成同一底数，常取 或 。 三、常用推论 ；（）；。 常用技巧：化同底、拆真数、提指数、凑 。 注意： 1．三条性质都要求 ，，真数为负时不能直接拆分。 2．，这是最常见的错误。 3．，只有当 时才等于 。 4．换底时新底 可以任意选取，但必须满足 且 。 【自主检测】计算 ． ▶ 知识点3　对数函数的图象与性质 一、图象与性质 函数 （，）叫做对数函数，定义域为 ，值域为 ，图象恒过定点 ，以 轴为渐近线。 当 时， 在 上单调递增： 时 ， 时 ；当 时， 在 上单调递减： 时 ， 时 。 二、图象的对称关系 与 的图象关于 轴对称，因为 ； 与 的图象关于直线 对称，二者互为反函数。 三、底数对图象的影响 在 时，底数越大，函数值越小，图象越靠近 轴；在 时，底数越大，函数值越大，图象同样越靠近 轴。记忆口诀：“底大图低”只适用于 的部分。 注意： 1．定义域是 ，不是 ；值域才是 ，两者不要混淆。 2．定点是 ，不是 ；令真数为 即可求定点。 3．含字母底数时，必须按 与 分类讨论单调性。 4．图象与 轴只有一个交点 ，不会有两个交点。 【自主检测】函数 （，）的图象恒过定点________． ▶ 知识点4　对数型复合函数的单调性与值域 一、定义域优先 形如 的函数，定义域由 确定。单调区间、值域都必须在定义域内讨论，这是复合函数问题的第一步。 二、单调性：同增异减 设 ，则 。当 时，外层随 增大而增大；当 时，外层随 增大而减小。内外层单调性相同，复合函数递增；内外层单调性相反，复合函数递减。 例如 ，定义域为 或 。内层在 上递减、在 上递增，外层递增，所以复合函数在 上递减、在 上递增。 三、值域的求法 先求内层 在定义域上的取值范围（），再由外层 的单调性映射。若 ，则 时 ， 时 。 注意： 1．单调区间必须是定义域的子集，不能把内层的单调区间直接当作复合函数的单调区间。 2．“同增异减”只适用于内外层都有意义的区间，真数为负的区间要剔除。 3．求值域时，先看内层能否取到最小值或最大值，再结合外层单调性写出值域。 4．二次型内层要配方，注意开口方向与对称轴是否落在定义域内。 【自主检测】求函数 的值域． ▶ 知识点5　对数方程、不等式与比较大小 一、对数方程 同底方程 ，解出后必须检验真数为正；换元方程令 ，把原方程化为一元二次方程，解出 后再回代求 。 二、对数不等式 当 时，；当 时，。含常数的不等式，先把常数写成 的形式，再化为同底不等式。 三、比较大小 同底不同真数直接用单调性；同真数不同底用图象位置或换底公式；底数、真数都不同时，插入 、 作中间量，或寻找中间值搭桥。 符号规律： 的符号由 决定，同号为正，异号为负。 注意： 1．解对数不等式先列真数大于 ，再把不等式的解与定义域取交集。 2．底数含参数时必须分 与 两种情况，不能默认底数大于 。 3．换元解方程后要回代，并检验所得解是否满足真数为正。 4．比较大小不能把“底大图低”直接套到不同真数的情形，需先化为同一真数或同一底数。 【自主检测】解不等式 ． ▶　题型破译　◀ 下面按“运算—图象—复合—方程—比较”五条线索设置 5 个题型，每个题型配 1 道典型例题与 3 道变式训练，例题均标注来源，便于对照高考真实考法。 ▶ 题型1 对数的运算与求值 例1-1（2024·全国甲卷·T4 改编）计算 ． 【变式训练1-1】（2026·江苏南京·二模）计算 ． 【变式训练1-2】（2026·山东济南·三模）已知 ，求 的值． 【变式训练1-3】（2025·浙江杭州·二模）计算 ． ▶ 题型2 对数函数的图象与性质 例2-1（2025·新课标Ⅱ卷·T6 改编）函数 （，）的图象恒过定点（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-1】（2026·河北石家庄·二模）函数 （，）的图象恒过定点________． 【变式训练2-2】（2026·河南郑州·一模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．定义域为 B．值域为 C．在 上单调递增 D．图象过点 【变式训练2-3】（2025·安徽合肥·三模）若 ，则（　　） A． B． C． D． ▶ 题型3 对数型复合函数的单调性与值域 例3-1（2026·天津卷·T6 改编）函数 的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 【变式训练3-1】（2026·湖北武汉·二模）函数 的单调递减区间是________． 【变式训练3-2】（2026·四川成都·一模）函数 的值域是________． 【变式训练3-3】（2025·福建厦门·三模）已知函数 在 上单调递减，则 的取值范围是________． ▶ 题型4 对数方程与不等式 例4-1（2025·北京卷·T7 改编）不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【变式训练4-1】（2026·辽宁大连·二模）方程 的解是________． 【变式训练4-2】（2026·江西南昌·三模）解关于 的不等式 （，）． 【变式训练4-3】（2025·广西南宁·二模）方程 的解是________． ▶ 题型5 指数与对数比较大小 例5-1（2023·天津卷·T5 改编）设 ，，，则 ，， 的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-1】（2026·湖南长沙·二模）设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-2】（2026·山西太原·三模）比较 与 的大小． 【变式训练5-3】（2025·重庆·三模）设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2023·新课标Ⅱ卷·T7 改编）设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 2．（2022·北京卷·T4 改编）函数 的定义域是（　　） A． B． C． D． 3．（2021·全国甲卷·T6 改编）函数 的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 4．（2024·天津卷·T5 改编）若 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2023·上海卷·T5 改编）计算 ________． 三、解答题 6．（2022·全国乙卷·T19 改编）已知函数 （，）．（1）求 的定义域，并判断 的奇偶性；（2）解不等式 ． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、单选题 1．（人教A版必修第一册 P127 练习 改编）计算 的结果是（　　） A． B． C． D． 2．（人教A版必修第一册 P131 习题 4.4 改编）函数 （，）的图象恒过定点（　　） A． B． C． D． 二、解答题 3．（人教A版必修第一册 P135 复习参考题 改编）已知 ，求证：． / 学科网（北京）股份有限公司 $