2027届高考数学一轮复习----第7讲 对数与对数函数讲义

该高中数学讲义聚焦对数与对数函数高考核心考点，涵盖对数概念、运算性质、函数图象与性质及反函数，按“概念-性质-应用”逻辑架构知识体系。通过知识点预览梳理基础，探究核心题型分考点突破，结合真题模拟例题及跟踪训练，辅以课时精练分层巩固，系统构建复习路径。 资料以考点为导向设计探究题型，如对数式运算结合换底公式例题，培养学生数学思维与运算能力。跟踪训练与课时精练分层设置，适配不同学生需求，助力教师精准把控复习节奏。通过真题情境渗透数学语言应用，提升学生问题转化与解题效率，为高考复习提供高效实战支撑。

2027年高考一轮复习讲义 第7讲 对数与对数函数 知识点预览 1．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数，记作 lg N. 以e为底的对数叫做自然对数，记作 ln N. 2．对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)． (2)对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM (n∈R)． (3)对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)． 3．对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 增函数 减函数 4.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 探究核心题型 考点一 对数式的运算 例1-1 (2026·洛阳模拟)已知3a＝5b＝m，且＋＝1，则实数m的值为 ． 例1-2 (多选)下列运算中正确的是(　　) A.=log75 B.ln(ln e)=0 C.lo=-1 D.= 跟踪训练 1 计算：2log32-log3+log320-log3=　　　　.  2. 计算：log535＋－log5－log514＝ . 3. 若a>0，＝，则等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 4. )(2025·扬州检测)计算：lg 25+lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2. 考点二 对数函数的图象及应用 例2-1. 已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　) A．0<a－1<b<1 B．0<b<a－1<1 C．0<b－1<a<1 D．0<a－1<b－1<1 例2-2. (2025·深圳模拟)已知a>0，且a≠1，则函数y=loga的图象一定经过(　　) A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限 跟踪训练 1. 已知函数f(x)＝|log3x|，若a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋4b的取值范围是(　　) A．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C．[5，＋∞) D．(5，＋∞) 2. (2025·海口模拟)已知函数f(x)=|log3x|，0<a<b，且f(a)=f(b)，下列结论正确的是(　　) A.0<a<1 B.>b C.+b>3 D.a+2b>2 3. 已知实数m>0且m≠1，函数y=logm(x+n)的大致图象如图所示，则(　　) A.m>1，n>1 B.m>1，0<n<1 C.0<m<1，n>1 D.0<m<1，0<n<1 4. (2024·乌鲁木齐检测)我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数f(x)＝ax与g(x)＝(a>0且a≠1)在同一坐标系中的大致图象是(　　) 考点3 对数函数的性质及应用 命题点1　比较对数式的大小 例3-1. (2026·西安模拟)若a＝lg 0.2，b＝log32，c＝log64，则关于a，b，c的大小关系，下列说法正确的是(　　) A．c>b>a B．b>c>a C．c>a>b D．a>b>c 命题点2　解对数方程、不等式 例3-2. (2025·沈阳模拟)已知函数f(x)=log2x-(x-1)2，则不等式f(x)<0的解集为　　　　　　　　.  命题点3　对数函数的性质及应用 例3-3. (多选)(2026·岳阳模拟)关于函数f(x)=log2x+log2(4-x)，下列说法正确的是(　　) A.f(x)的最大值为1 B.f(x)在区间(0，2)上单调递增 C.f(x)的图象关于直线x=2对称 D.f(x)的图象关于点(2，0)对称 跟踪训练 1. 设a=log32，b=log96，c=，则(　　) A.a>b>c B.c>b>a C.b>c>a D.b>a>c 2. (2023·中山模拟)设实数a>0，则“2a>2”是“loga>0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3. (2025·苏州期末)已知a=log103，b=log53，c=，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.c<b<a 课时对点精练 一、单项选择题 1．(2023·德州模拟)若函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0且a≠1，b∈R)的大致图象如图，则函数g(x)＝a－x－b的大致图象是(　　) 2．设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)(　　) A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减 3．(2023·宜宾模拟)已知函数f(x)＝log2(x2－2x)在(a，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．[2，＋∞) B．[1，＋∞) C．(－∞，1] D．(－∞，0] 4．函数y＝的定义域为(　　) A．[1，＋∞) B. C. D. 5．(2026·潮汕期末) 若函数y=log3x与y=f(x)的图象关于直线y=x对称，则f等于(　　) A. B. C. D.3 6．若<0，则x1与x2的关系正确的是(　　) A．0<x2<x1<1 B．0<x1<x2<1 C．1<x1<x2 D．1<x2<x1 7. (2025·成都模拟)已知f(x)=loga(x-1)+1(a>0且a≠1)恒过定点M，且点M在直线+=1(m>0，n>0)上，则m+n的最小值为(　　) A.3+2 B.8 C.4 D.4 8．(2025·本溪模拟)若不等式(x－1)2<logax(a>0且a≠1)在x∈(1,2]内恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A．(1,2] B．(1,2) C．(1，] D．(，2) 二、多项选择题 9．(2025·贵阳模拟)已知2x=3y=6，则实数x，y满足(　　) A.(x-1)(y-1)=1 B.x+y>4 C.+>1 D.xy>4 10．(2024·永州模拟)若10a＝5，10b＝20，则(　　) A．a＋b＝4 B．b－a＝lg 4 C．ab<2(lg 5)2 D．b－a>lg 5 11. (2026·烟台模拟)已知函数f(x)=lg(x2+ax-a)，下列说法中正确的是(　　) A.若f(x)的定义域为R，则a的取值范围是(-4，0) B.若f(x)的值域为R，则a的取值范围是(-∞，-4]∪[0，+∞) C.若a=2，则f(x)的单调递减区间为(-∞，-1) D.若f(x)在(-2，-1)上单调递减，则a的取值范围是 三、填空题 12．(人教B版必修第二册P18例4改编)已知log4a=log25b=，则lg(ab)=　　　　　.  13．计算：lg 25＋lg 8－log227×log32＋＝ . 14．(2023·龙岩模拟)已知函数y＝f(x)，若在定义域内存在实数x，使得f(－x)＝－f(x)，则称函数y＝f(x)为定义域上的局部奇函数．若函数f(x)＝log3(x＋m)是[－2,2]上的局部奇函数，则实数m的取值范围是 ． 四、解答题 15．(2025·南昌模拟)已知函数f(x)=log3(9x+1)+kx是偶函数. (1)求k的值；(6分) (2)解不等式f(x)≥log3(7·3x-1).(7分) 16. 已知f(x)＝． (1)若a＝2，求f(x)的值域； (2)若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围． 17. . (2026·南通模拟)已知函数f(x)=log2. (1)判断并证明f(x)的奇偶性；(6分) (2)若对任意x∈，t∈[-2，2]，不等式f(x)≥t2+at-6恒成立，求实数a的取值范围.(8分) 18. (2025·全国Ⅰ卷)已知2+log2x=3+log3y=5+log5z，则x，y，z的大小关系不可能为(　　) A.x>y>z B.x>z>y C.y>x>z D.y>z>x 19. 已知正实数x，y，z满足log2x＝log3y＝log5z≠0，则(　　) A．x>y>z B．x<y<z C．x，y，z可能构成等比数列 D．关于x，y，z的方程x＋y＝z有且只有一组解 20. (多选)(2025·沈阳模拟)科学记数法可以将一个正数x表示成x=a×10b，a∈[1，10)，b∈Z的形式，显然lg x=b+lg a，其中b叫做lg x的首数，记为f(x)，lg a叫做lg x的尾数，记为g(x)，则(　　) A.f(e4)=1 B.g(e4)> C.f(xy)=f(x)+f(y) D.g(xy)=g(x)+g(y) 2 / 3 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考一轮复习讲义 第7讲 对数与对数函数 知识点预览 1．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数，记作 lg N. 以e为底的对数叫做自然对数，记作 ln N. 2．对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)． (2)对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM (n∈R)． (3)对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)． 3．对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 增函数 减函数 4.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 探究核心题型 考点一 对数式的运算 例1-1 (2026·洛阳模拟)已知3a＝5b＝m，且＋＝1，则实数m的值为 ． 答案　45 解析　由3a＝5b＝m，可知m>0，显然m≠1. 则a＝log3m＝，b＝log5m＝， 所以＝，＝， 由＋＝1， 可得＝＝logm45＝1， 所以m＝45. 例1-2 (多选)下列运算中正确的是(　　) A.=log75 B.ln(ln e)=0 C.lo=-1 D.= 答案　BCD 解析　对于A，=log57，故A错误； 对于B，ln(ln e)=ln 1=0，故B正确； 对于C，lo=lo==-1，故C正确； 对于D，===，故D正确. 跟踪训练 1 计算：2log32-log3+log320-log3=　　　　.  答案　 解析　由题意可得2log32-log3+log320-log3 =log34-log3+log320-log35 =log3=log33 =. 2. 计算：log535＋－log5－log514＝ . 答案　2 解析　原式＝log535－log5－log514＋ ＝log5＋ ＝log5125－1＝log553－1＝3－1 ＝2. 3. 若a>0，＝，则等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案　B 解析　由＝，得a2＝6， 而a>0，解得a＝3， 所以＝3. 4. )(2025·扬州检测)计算：lg 25+lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2. 解　原式=2lg 5+lg 23+lg 5·(1+lg 2)+(lg 2)2 =2(lg 5+lg 2)+lg 5+lg 5×lg 2+(lg 2)2 =2+lg 5+lg 2(lg 5+lg 2) =2+lg 5+lg 2 =2+1 =3. 考点二 对数函数的图象及应用 例2-1. 已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　) A．0<a－1<b<1 B．0<b<a－1<1 C．0<b－1<a<1 D．0<a－1<b－1<1 答案　A 解析　由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1. 函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)， 由函数图象可知－1<logab<0， 解得<b<1. 综上，0<a－1<b<1. 例2-2. (2025·深圳模拟)已知a>0，且a≠1，则函数y=loga的图象一定经过(　　) A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限 答案　D 解析　当x=0时， y=loga=-1， 当0<a<1时，函数图象经过第二、三、四象限； 当a>1时，函数图象经过第一、三、四象限， 所以函数y=loga的图象一定经过第三、四象限. 跟踪训练 1. 已知函数f(x)＝|log3x|，若a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋4b的取值范围是(　　) A．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C．[5，＋∞) D．(5，＋∞) 答案　D 解析　画出f(x)＝|log3x|的图象如图所示， 因为a<b，且f(a)＝f(b)， 所以－log3a＝log3b， 故＝b，且0<a<1， 令y＝a＋4b，所以y＝a＋， 由对勾函数的性质可知y＝a＋在(0,1)上单调递减， 故y＝a＋>1＋＝5， 故a＋4b的取值范围是(5，＋∞)． 2. (2025·海口模拟)已知函数f(x)=|log3x|，0<a<b，且f(a)=f(b)，下列结论正确的是(　　) A.0<a<1 B.>b C.+b>3 D.a+2b>2 答案　ACD 解析　因为0<a<b，f(a)=f(b)，所以由函数f(x)=|log3x|的图象知0<a<1<b，所以A正确； 由f(a)=f(b)，可得|log3a|=， 即-log3a=log3b，所以ab=1，即b=，所以B不正确； 因为0<a<1<b，且b=，所以+b=3b>3，所以C正确； 因为0<a<1<b，且b=，所以a+2b=a+. 因为函数y=x+(0<x<1)单调递减， 所以函数y=x+(0<x<1)的值域是(3，+∞)， 因此a+>3，即a+2b>3>2，所以D正确. 3. 已知实数m>0且m≠1，函数y=logm(x+n)的大致图象如图所示，则(　　) A.m>1，n>1 B.m>1，0<n<1 C.0<m<1，n>1 D.0<m<1，0<n<1 答案　C 解析　由图象可知函数y=logm(x+n)是减函数，所以0<m<1； 当x=0时，logm(x+n)=logmn<0，所以n>1. 4. (2024·乌鲁木齐检测)我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数f(x)＝ax与g(x)＝(a>0且a≠1)在同一坐标系中的大致图象是(　　) 答案　C 解析　对于A，由指数函数的图象，可得a>1，则0<<1，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，故A错误； 对于B，由指数函数的图象，可得0<a<1，则>1，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，故B错误； 对于C，由指数函数的图象，可得a>1，则0<<1，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，故C正确； 对于D，由指数函数的图象，可得a>1，则0<<1，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，故D错误． 考点3 对数函数的性质及应用 命题点1　比较对数式的大小 例3-1. (2026·西安模拟)若a＝lg 0.2，b＝log32，c＝log64，则关于a，b，c的大小关系，下列说法正确的是(　　) A．c>b>a B．b>c>a C．c>a>b D．a>b>c 答案　A 解析　∵a＝lg 0.2<lg 1＝0， b＝log32>0，c＝log64>0， ＝＝＝×＝<1， ∴b<c，即c>b>a. 命题点2　解对数方程、不等式 例3-2. (2025·沈阳模拟)已知函数f(x)=log2x-(x-1)2，则不等式f(x)<0的解集为　　　　　　　　.  答案　(0，1)∪(2，+∞) 解析　由题意，不等式f(x)<0，即log2x-(x-1)2<0， 等价于求log2x<(x-1)2在(0，+∞)上的解， 令g(x)=log2x，h(x)=(x-1)2，则不等式为g(x)<h(x)， 在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象，如图所示， 又g(1)=h(1)=0，g(2)=h(2)=1，由图可得不等式f(x)<0的解集为(0，1)∪(2，+∞). 命题点3　对数函数的性质及应用 例3-3. (多选)(2026·岳阳模拟)关于函数f(x)=log2x+log2(4-x)，下列说法正确的是(　　) A.f(x)的最大值为1 B.f(x)在区间(0，2)上单调递增 C.f(x)的图象关于直线x=2对称 D.f(x)的图象关于点(2，0)对称 答案　BC 解析　函数f(x)=log2x+log2(4-x)=log2(4x-x2)=log2[-(x-2)2+4](0<x<4)， 当x=2时，4x-x2取到最大值4， 故此时f(x)=log2x+log2(4-x)取到最大值log24=2，A错误； f(x)=log2(4x-x2)(0<x<4)可以看作是由函数y=log2u，u=-x2+4x(0<x<4)复合而成，而y=log2u是定义域上的增函数，u=-x2+4x(0<x<4)在(0，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减，故f(x)在区间(0，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减，B正确； 因为函数f(4-x)=log2(4-x)+log2x=f(x)，故f(x)的图象关于直线x=2对称，C正确； 因为f(4-x)+f(x)=2f(x)=0不恒成立，故f(x)的图象不关于点(2，0)对称，D错误. 跟踪训练 1. 设a=log32，b=log96，c=，则(　　) A.a>b>c B.c>b>a C.b>c>a D.b>a>c 答案　D 解析　因为b=log96=lo=log3，且c==log3， 又<2<，函数y=log3x在(0，+∞)上单调递增， 则log3<log32<log3，所以c<a<b. 2. (2023·中山模拟)设实数a>0，则“2a>2”是“loga>0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　由2a>2，可得a>1. 由loga>0， 可得loga>loga1， ∴或 解得a>1或0<a<. 因此“2a>2”是“loga>0”的充分不必要条件． 3. (2025·苏州期末)已知a=log103，b=log53，c=，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.c<b<a 答案　A 解析　a=log103<log10=， b=log53>log5=，b=log53<log55=1， c=>=1，故a<b<c. 课时对点精练 一、单项选择题 1．(2023·德州模拟)若函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0且a≠1，b∈R)的大致图象如图，则函数g(x)＝a－x－b的大致图象是(　　) 答案　C 解析　根据函数f(x)＝loga(x＋b)的图象，可得0<a<1,0<b<1， 根据指数函数y＝a－x(0<a<1)的图象与性质， 结合图象变换向下移动b个单位长度，可得函数g(x)＝a－x－b的图象大致为C选项． 2．设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)(　　) A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减 答案　D 解析　由f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|， 得f(x)的定义域为，关于坐标原点对称， 又f(－x)＝ln|1－2x|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)， ∴f(x)为定义域上的奇函数，故排除A，C； 当x∈时，f(x)＝ln(2x＋1)－ln(1－2x)， ∵y＝ln(2x＋1)在上单调递增，y＝ln(1－2x)在上单调递减， ∴f(x)在上单调递增，故排除B； 当x∈时，f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝ln ＝ln， ∵u＝1＋在上单调递减，f(u)＝ln u在(0，＋∞)上单调递增， 根据复合函数单调性可知f(x)在上单调递减，故D正确． 3．(2023·宜宾模拟)已知函数f(x)＝log2(x2－2x)在(a，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．[2，＋∞) B．[1，＋∞) C．(－∞，1] D．(－∞，0] 答案　A 解析　由题意得，x2－2x>0⇒x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)， 而函数y＝x2－2x的对称轴为x＝1， 所以函数y＝x2－2x在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 根据复合函数单调性“同增异减”的原则，函数f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)， 又因为函数f(x)在(a，＋∞)上单调递增， 所以a∈[2，＋∞)． 4．函数y＝的定义域为(　　) A．[1，＋∞) B. C. D. 答案　C 解析　函数y＝的定义域满足 即解得<x≤1， 故函数的定义域为. 5．(2026·潮汕期末) 若函数y=log3x与y=f(x)的图象关于直线y=x对称，则f等于(　　) A. B. C. D.3 答案　B 解析　因为函数y=log3x与y=f(x)的图象关于直线y=x对称， 所以f(x)=3x，所以f==. 6．若<0，则x1与x2的关系正确的是(　　) A．0<x2<x1<1 B．0<x1<x2<1 C．1<x1<x2 D．1<x2<x1 答案　C 解析　因为<0， 所以log0.8x2<log0.8x1<0＝log0.81， 又因为y＝log0.8x在(0，＋∞)上单调递减， 所以1<x1<x2. 7. (2025·成都模拟)已知f(x)=loga(x-1)+1(a>0且a≠1)恒过定点M，且点M在直线+=1(m>0，n>0)上，则m+n的最小值为(　　) A.3+2 B.8 C.4 D.4 答案　A 解析　对于函数f(x)=loga(x-1)+1(a>0且a≠1)，f(2)=loga1+1=1，即点M(2，1)， 由题意可得+=1(m>0，n>0)， 所以m+n=(m+n)=3++ ≥3+2=3+2， 当且仅当=， 即m=2+，n=+1时，等号成立， 故m+n的最小值为3+2. 8．(2025·本溪模拟)若不等式(x－1)2<logax(a>0且a≠1)在x∈(1,2]内恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A．(1,2] B．(1,2) C．(1，] D．(，2) 答案　B 解析　若0<a<1，此时x∈(1,2]，logax<0，而(x－1)2>0， 故(x－1)2<logax无解； 若a>1，此时x∈(1,2]，logax>0，而(x－1)2>0， 令f(x)＝logax，g(x)＝(x－1)2， 画出函数f(x)与g(x)的图象，如图， 若不等式(x－1)2<logax在x∈(1,2]内恒成立， 则loga2>1，解得a∈(1,2)． 二、多项选择题 9．(2025·贵阳模拟)已知2x=3y=6，则实数x，y满足(　　) A.(x-1)(y-1)=1 B.x+y>4 C.+>1 D.xy>4 答案　ABD 解析　因为2x=3y=6， 所以x=log26=1+log23，y=log36=1+log32， 所以(x-1)(y-1)=log23×log32=1，A正确； x+y=2+log23+log32>2+2=4，B正确； +=log62+log63=1，C错误； 由+=1，可得xy=x+y>4，D正确. 10．(2024·永州模拟)若10a＝5，10b＝20，则(　　) A．a＋b＝4 B．b－a＝lg 4 C．ab<2(lg 5)2 D．b－a>lg 5 答案　BC 解析　由10a＝5，10b＝20， 得a＝lg 5，b＝lg 20， 则a＋b＝lg 5＋lg 20＝lg(5×20)＝lg 100＝2，故A错误； b－a＝lg 20－lg 5＝lg ＝lg 4<lg 5，故B正确，D错误； ab＝lg 5×lg 20＝lg 5×(lg 4＋lg 5) ＝lg 5×lg 4＋(lg 5)2， ∵lg 4<lg 5， ∴lg 5×lg 4＋(lg 5)2<lg 5×lg 5＋(lg 5)2 ＝2(lg 5)2， ∴ab<2(lg 5)2，故C正确． 11. (2026·烟台模拟)已知函数f(x)=lg(x2+ax-a)，下列说法中正确的是(　　) A.若f(x)的定义域为R，则a的取值范围是(-4，0) B.若f(x)的值域为R，则a的取值范围是(-∞，-4]∪[0，+∞) C.若a=2，则f(x)的单调递减区间为(-∞，-1) D.若f(x)在(-2，-1)上单调递减，则a的取值范围是 答案　ABD 解析　选项A，x2+ax-a>0对任意x∈R恒成立，即Δ=a2+4a<0，解得-4<a<0，A正确； 选项B，x2+ax-a≤0有解，因此Δ=a2+4a≥0，解得a≤-4或a≥0，B正确； 选项C，当a=2时，f(x)=lg(x2+2x-2)，由x2+2x-2=(x+1)2-3>0得x<-1-或x>-1+，根据复合函数的单调性得其单调递减区间是(-∞，-1-)，C错误； 选项D，f(x)在(-2，-1)上单调递减， 则解得a≤，D正确. 三、填空题 12．(人教B版必修第二册P18例4改编)已知log4a=log25b=，则lg(ab)=　　　　　.  答案　2 解析　由log4a=log25b=可得a=，b=，所以ab=×=(4×25==(102=， 所以lg(ab)=2. 13．计算：lg 25＋lg 8－log227×log32＋＝ . 答案　2 解析　原式＝2lg 5＋2lg 2－3log23×log32＋3＝2(lg 5＋lg 2)－3＋3＝2. 14．(2023·龙岩模拟)已知函数y＝f(x)，若在定义域内存在实数x，使得f(－x)＝－f(x)，则称函数y＝f(x)为定义域上的局部奇函数．若函数f(x)＝log3(x＋m)是[－2,2]上的局部奇函数，则实数m的取值范围是 ． 答案　(2，] 解析　因为f(x)＝log3(x＋m)是[－2,2]上的局部奇函数， 所以x＋m>0在[－2,2]上恒成立， 所以m－2>0，即m>2， 由局部奇函数的定义，存在x∈[－2,2]， 使得log3(－x＋m)＝－log3(x＋m)， 即log3(－x＋m)＋log3(x＋m)＝log3(m2－x2)＝0，所以存在x∈[－2,2]， 使得m2－x2＝1，即m2＝x2＋1， 又因为x∈[－2,2]，所以x2＋1∈[1,5]， 所以m2∈[1,5]， 即m∈[－，－1]∪[1，]， 综上，m∈(2，]． 四、解答题 15．(2025·南昌模拟)已知函数f(x)=log3(9x+1)+kx是偶函数. (1)求k的值；(6分) (2)解不等式f(x)≥log3(7·3x-1).(7分) 解　(1)∵f(x)是偶函数， ∴f(-x)=f(x)， 即log3(9-x+1)-kx=log3(9x+1)+kx对任意x∈R恒成立， ∴2kx=log3(9-x+1)-log3(9x+1) =log3=log33-2x=-2x， ∴k=-1. (2)由(1)得f(x)=log3(9x+1)-x=log3(9x+1)-log33x=log3=log3(3x+3-x)， 则不等式f(x)≥log3(7·3x-1)等价于3x+3-x≥7·3x-1>0， 由7·3x-1>0，解得x>-log37； 由3x+3-x≥7·3x-1， 得6·(3x)2-3x-1≤0， 得0<3x≤， 即x≤-log32， 综上，不等式的解集为{x|-log37<x≤-log32}. 16. 已知f(x)＝． (1)若a＝2，求f(x)的值域； (2)若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围． 解　(1)当a＝2时，f(x)＝， 令t＝x2－2x＋10＝(x－1)2＋9， ∴t≥9，f(x)≤＝－2， ∴f(x)的值域为(－∞，－2]． (2)令u＝x2－ax＋5a， ∵y＝为减函数，f(x)在(1，＋∞)上单调递减， ∴u＝x2－ax＋5a在(1，＋∞)上单调递增， ∴解得－≤a≤2， ∴a的取值范围是. 17. . (2026·南通模拟)已知函数f(x)=log2. (1)判断并证明f(x)的奇偶性；(6分) (2)若对任意x∈，t∈[-2，2]，不等式f(x)≥t2+at-6恒成立，求实数a的取值范围.(8分) 解　(1)f(x)为奇函数，证明如下： 由解析式易知>0⇒(x-1)(x+1)<0⇒-1<x<1，即函数的定义域为(-1，1)， 而f(-x)=log2=-log2=-f(x)，故f(x)为奇函数. (2)由m==-1在上单调递减，而y=log2m在定义域上为增函数， 所以f(x)在上单调递减， 故f(x)min=f=-1， 要使任意x∈，t∈[-2，2]，不等式f(x)≥t2+at-6恒成立， 只需t2+at-6≤-1在t∈[-2，2]上恒成立， 即t2+at-5≤0在t∈[-2，2]上恒成立， 由y=t2+at-5的图象开口向上， 则⇒-≤a≤， 综上，实数a的取值范围为. 18. (2025·全国Ⅰ卷)已知2+log2x=3+log3y=5+log5z，则x，y，z的大小关系不可能为(　　) A.x>y>z B.x>z>y C.y>x>z D.y>z>x 答案　B 解析　方法一　设2+log2x=3+log3y=5+log5z=m， 令m=2，则x=1，y=3-1=，z=5-3=，此时x>y>z，A有可能； 令m=5，则x=8，y=9，z=1，此时y>x>z，C有可能； 令m=8，则x=26=64，y=35=243，z=53=125，此时y>z>x，D有可能. 方法二　设2+log2x=3+log3y=5+log5z=t， 则x=2t-2，y=3t-3，z=5t-5. 当x>y时，2t-2>3t-3，解得t<<5； 当z>y时，5t-5>3t-3，解得t>>5. 因此当x>z>y时，t无解，故选B. 19. 已知正实数x，y，z满足log2x＝log3y＝log5z≠0，则(　　) A．x>y>z B．x<y<z C．x，y，z可能构成等比数列 D．关于x，y，z的方程x＋y＝z有且只有一组解 答案　D 解析　令log2x＝log3y＝log5z＝t≠0， 则x＝2t，y＝3t，z＝5t， 令g(k)＝kt， 由幂函数图象的性质可知， 当t>0时，g(k)＝kt在(0，＋∞)上单调递增，故2t<3t<5t，即x<y<z， 当t<0时，g(k)＝kt在(0，＋∞)上单调递减，故2t>3t>5t，即x>y>z， 故A，B不一定正确； 假设x，y，z成等比数列， 则y2＝xz⇒(3t)2＝2t·5t⇒9t＝10t， 则t＝0，与已知矛盾，故C错误； 因为x＋y＝z，则2t＋3t＝5t，即t＋t＝1， 令f(t)＝t＋t－1，由指数函数的性质可知f(t)为减函数， 注意到f(1)＝0，故f(t)只有一个零点， 即t＋t＝1只有一个解t＝1， 所以x＋y＝z只有一组解x＝2，y＝3，z＝5，故D正确． 20. (多选)(2025·沈阳模拟)科学记数法可以将一个正数x表示成x=a×10b，a∈[1，10)，b∈Z的形式，显然lg x=b+lg a，其中b叫做lg x的首数，记为f(x)，lg a叫做lg x的尾数，记为g(x)，则(　　) A.f(e4)=1 B.g(e4)> C.f(xy)=f(x)+f(y) D.g(xy)=g(x)+g(y) 答案　AB 解析　因为10<24<e4<34<100， 所以e4用科学记数法表示为e4=×10， 所以lg e4=1+lg，所以f(e4)=1，故A正确； 因为e3>10，所以e>1，即e4>1， 所以>1，则g(e4)=lg>，故B正确； 令x=2，y=5，则f(xy)=f(10)=1， f(x)=f(2)=0，f(y)=f(5)=0， 所以f(xy)≠f(x)+f(y)，故C错误； 令x=2，y=5，则g(xy)=g(10)=0， g(x)=g(2)=lg 2，g(y)=g(5)=lg 5， 所以g(xy)≠g(x)+g(y)，故D错误. 2 / 3 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $