第12讲 对数与对数函数（2考点+8题型） 讲义-2027届高考数学一轮复习

第12讲 对数与对数函数 目录 Part 1 考点突破 【考点1：对数式的运算】 【考点2：对数函数的定义及图像】 【方法总结：对数与对数函数的常用技巧】 Part2 题型探究 题型1：对数式的运算 题型2：对数函数的图象及应用 题型3：对数函数过定点问题 题型4：比较对数式的大小 题型5：解对数方程或不等式 题型6：对数函数的最值与值域问题 题型7：对数函数中的恒成立问题 题型8：对数函数的综合问题 Part3 分层通关 Part 1 考点突破 【考点1：对数式的运算】 (1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数． (2)常见对数： ①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数； ②常用对数：以为底，记为； ③自然对数：以为底，记为； (3) 对数的性质和运算法则： ①；；其中且； ②(其中且，)； ③对数换底公式：； ④； ⑤； ⑥，； ⑦和； ⑧； 对数运算先化同底，乘除变指数加减，幂次直接提出来；换底公式能把任意底都归到常用对数或自然对数。 【考点2：对数函数的定义及图像】 (1)对数函数的定义：函数 且叫做对数函数． (12)对数函数的图象与性质 看对数函数先认准 a>0 且 a≠1、真数 x>0；图像只有两种，a>1 单调增、0<a<1 单调减，都过定点 (1,0)。 【方法总结：对数与对数函数的常用技巧】 1、对数函数常用技巧 在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图) Part 2 题型探究 【题型1：对数式的运算】 【例1】（1）lg22·lg 250＋lg25·lg 40＝ . （2）若3a=5b=225，则+= 。 （4）若，，则 。 【答案】（1）1 （2） （3）40 【解析】（1）lg22·lg 250＋lg25·lg 40＝lg22·＋(1－lg 2)2·(2lg 2＋1) ＝lg22·(3－2lg 2)＋(lg22－2lg 2＋1)·(2lg 2＋1)＝1. （2）则 （3），，， 【变式1】（2025·全国·高三专题练习）计算：（1）； （2）． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据对数的运算法则，逐步计算，即可得出结果； （2）根据指数幂的运算法则，以及对数的运算法则，直接计算，即可得出结果. 【解析】（1）原式 ．        （2）原式 ． 【题型2：对数函数的图象及应用】 【例2】在同一平面直角坐标系中，函数，且的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】假设指数函数图象正确，结合对数函数单调性和处函数值的正负可得到正确图象. 【解析】对于AB，若图象正确，则，单调递减， 又时，，A正确，B错误； 对于CD，若图象正确，则，单调递增，CD错误. 故选：A. 【变式2】（2025春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考开学考试）已知函数．若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象得，则，令，利用对勾函数的图象与性质即可求出其范围. 【解析】由得．根据函数的图象及， 得，，所以． 令，根据对勾函数的图像与性质易得在上单调递增， 所以．故， 故选：C. 【题型3：对数函数过定点问题】 【例3】 已知直线过函数（，且）的定点T，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】根据求出点，再代入直线方程得到，最后利用基本不等式里“1”的妙用求最值. 【解析】函数过定点，所以， 将代入直线，得，即， 因为，， 所以， 当且仅当，即，时“=”成立. 故选：C. 【变式3】（2025·全国·高三专题练习）一种药在病人血液中的量保持1000mg以上才有疗效，而低于500mg病人就有危险．现给某病人静脉注射了这种药2000mg，如果药在血液中以每小时10%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过______小时内向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，，精确到0.1h） 【答案】6.6 【分析】写出血液中药物含量关于时间的关系式，解不等式求出答案. 【解析】设h后血液中的药物量为mg， 则有， 令得： 故从现在起经过6.6h内向病人的血液补充这种药，才能保持疗效. 故答案为：6.6 【题型4：比较对数式的大小】 【例4】 分别比较下列各组数的大小： (1)，，； (2)，，； (3)与． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）对于同底数的对数，利用函数单调性，对于不同底数的对数，利用中间值法； （2）对数与指数之间的比较，利用中间值法； （3）对于真数相同的对数，利用函数图象. 【解析】（1）因为在上是增函数，所以．又在上是增函数，所以，所以． （2）因为在R上是增函数，所以．因为在上是增函数，所以．因为在上是减函数，所以．所以． （3）方法一：函数和的图象如图所示． 当时，的图象在的图象的上方，所以． 方法二：因为，，又，所以． 【变式4】（2025·河南周口·统考模拟预测）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用对数的运算法则和指数函数的性质求解. 【解析】 ， 对于指数函数 ，当 时， ， ， ； 故选：A. 【题型5：解对数方程或不等式】 【例5】（1）当时，求实数x的取值范围； （2）当时，求实数x的取值范围； （3）当恒取正值时，求实数x的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）由增函数性质去“”解不等式即可； （2）由减函数性质去“”解不等式即可； （3）分类讨论底数，由函数单调性去“”解不等式即可. 【解析】（1），即，因为为增函数，故，； （2），即，因为为减函数，故，解得； （3）若，为增函数，当时，，，故； 若，时，为减函数，当时，，解得，故， 综上所述， 【变式5】（2025·全国·高三专题练习）方程的解是（    ） A．1 B．2 C．e D．3 【答案】D 【分析】利用指数与对数的转化即可得到结果. 【解析】∵，∴，∴. 故选：D. 【题型6：对数函数的最值与值域问题】 【例6】已知函数在上单调递减，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数单调性同增异减，可得在区间上单调递增，由对数函数的性质，真数恒大于0，可得，再利用二次函数的单调性和值域求解即可. 【解析】解析：令． 因为在上单调递减， 所以函数在区间上单调递增，且恒大于0， 所以对称轴且，所以且， 解得，即a的取值范围为， 故选：D． 【变式6】（2025·河北·高三学业考试）若函数（且）在区间上的最大值比最小值多2，则（    ） A．2或 B．3或 C．4或 D．2或 【答案】A 【分析】分别讨论和，然后利用对数函数的单调性列方程即可得解. 【解析】由题意解得或（舍去）， ①当时，函数在定义域内为增函数， 则由题意得， 所以即，解得或（舍去）； ②当时，函数在定义域内为减函数， 则由题意得， 所以即，解得； 综上可得：或. 故选：A. 【点睛】本题考查了分类讨论思想的应用，考查了对数函数单调性的应用，属于基础题. 【题型7：对数函数中的恒成立问题】 【例7】若不等式（，且）在内恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若，此时，，而，故无解； 若，此时，，而， 令，，画出两函数图象，如下： 故要想在内恒成立， 则要，解得：. 故选：B. 【变式7】（2025·全国·高三专题练习）已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】求出函数的最大值，结合已知条件可得出，进而可求得实数的取值范围. 【解析】，当时，； 当时，. 所以，. 若对任意的，不等式恒成立，则， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 【题型8：对数函数的综合问题】 【例8】(1)如图是对数函数y＝logax的底数a的值分别取，，，时所对应的图象，则相应的C1，C2，C3，C4的a的值依次是________． (2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝ln(x＋1)，则函数f(x)的大致图象为(　　) (3)当0<x≤时，4x<logax，则a的取值范围是________． 【答案】（1）　，，， （2）C （3） 【解析】（1）略 （2）先作出当x≥0时，f(x)＝ln(x＋1)的图象，显然图象经过点(0,0)，再作此图象关于y轴对称的图象 可得函数f(x)在R上的大致图象，如选项C中图象所示． （3）由题意得，当0<a<1时，要使得4x<logax， 即当0<x≤时，函数y＝4x的图象在函数y＝logax图象的下方．又当x＝时，即函数y＝4x的图象过点.把点代入y＝logax，得a＝.若0<x≤时，函数y＝4x的图象在函数y＝logax图象的下方，则需<a<1(如图所示)． 当a>1时，不符合题意，舍去．所以实数a的取值范围是. 【变式8】（2025·全国·高三专题练习）已知函数，则（    ） A．在单调递增 B．在单调递增，在单调递减 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 【答案】BC 【分析】由题可得函数的定义域，化简函数，分析函数的单调性和对称性，从而判断选项. 【解析】函数的定义域满足 ，即， 即函数的定义域是， ∵， 设，则函数在单调递增，在单调递减， 又函数单调递增， 由复合函数单调性可知函数在单调递增，在单调递减，故A错误，B正确； 因为,, 所以，即函数图象关于直线对称，故C正确； 又，， 所以，所以D错误． 故选：BC． Part 3 分层通关 1．（2025·天津·统考二模）已知，则（    ） A．3 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】根据指对运算化简，再根据对数运算法则计算的值. 【解析】， . 故选：A. 2．（2025·山西阳泉·统考三模）函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的单调性的性质及函数零点的存在性定理即可求解. 【解析】由在上单调递增，在上单调递增，得函数在区间上单调递增， 因为函数在区间存在零点， 所以，即，解得， 所以实数m的取值范围是. 故选：B. 3．（2025·浙江绍兴·统考模拟预测）基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：（其中是自然对数的底数）描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足.有学者基于已有数据估计出，，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加倍需要的时间约为（    ）（参考数据：，） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】B 【分析】根据所给模型求得，令，求得，根据条件可得方程，然后解出即可． 【解析】把，代入，可得，， 当时，，则，两边取对数得，解得． 故选：B. 4．（2025春·贵州·高三校联考期中）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用对数函数的单调性和比较，用指数函数的单调性和比较，用对数函数的单调性和比较，即可判断大小关系. 【解析】因为,所以为减函数， 所以，即. 因为,所以为增函数， 所以，即. 因为,所以为增函数， 所以，即， 所以． 故选：D 5．（2025·云南·校联考二模）函数的图象大致形如（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性和函数值等知识确定正确答案. 【解析】依题意， 为偶函数，则为偶函数， 又，则. 故选A． 6．（2025·全国·高三专题练习）已知函数，恒过定点，过定点的直线与坐标轴的正半轴相交，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出，代入直线方程，再根据基本不等式可求出结果. 【解析】令，即，得，则， 则且，， 由． 当且仅当，时，等号成立， 故选：C 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 7．（2025秋·江苏无锡·高三统考期末）函数的部分图象大致为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出定义域，由得到为偶函数，结合函数在上函数值的正负，排除BC，结合函数图象的走势，排除D，得到正确答案. 【解析】变形为，定义域为， ，故为偶函数，关于y轴对称． 当时，，时，，排除BC， 又时，，故排除D，A正确. 故选：A． 8．（2025·全国·高三专题练习）已知函数，若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，转化为命题“，”为真命题．利用不等式恒成立得出关于的不等式求解. 【解析】由题意知且，命题“，”为真命题， 当时，，易知在上单调递减，其最小值为， 则由恒成立得，即； 当时，恒成立，则，此时函数为增函数， 故，得． 综上，， 即实数的取值范围是． 故选：A 9．（2025·全国·高三专题练习）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，化为，，，即可比较的大小关系，然后作商即可比较的大小，从而得到结果. 【解析】由题设知，，.因为，， 所以，， 所以，故. 因为，所以， 所以，所以，于是. 故选：C. 10．（2025·湖南·铅山县第一中学校联考二模）下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据指数以及对数的运算性质即可结合选项逐一求解. 【解析】对于A, ，由于，所以，故A错误， 对于B,由于，所以，所以，故B正确， 对于C, ，所以C错误， 对于D，由于，所以，故D正确， 故选：BD 11．（2025·天津河西·统考一模）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两边取对数，根据对数的运算性质、法则化简即可得解. 【解析】， ， ， ，即或（舍去） 故选：C 12．（2025·上海·高三专题练习）若实数、满足、，则______________． 【答案】 【分析】根据指数式与对数式的关系，将转化为指数式，再根据指数运算公式求值. 【解析】由，得， 所以， 故答案为：. 13．（2025·全国·高三专题练习）已知函数且的图像恒过定点，且点在圆外，则符合条件的整数的取值可以为__________.（写出一个值即可） 【答案】（不唯一，取的整数即可） 【分析】先求定点的坐标，结合点在圆外以及圆的限制条件可得的取值. 【解析】因为函数的图像恒过定点，所以； 因为点在圆外， 所以且，解得或； 又为整数，所以的取值可以为. 故答案为：（不唯一，取的整数即可）. 14．（2025·河南平顶山·叶县高级中学校联考模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】令，即可判断在上的单调性，依题意可得在上为减函数，即可得到不等式组，解得即可. 【解析】令，则在为减函数， 所以由复合函数的单调性可知在上为减函数，则，解得， 即的取值范围为． 故答案为： 15．（2025·全国·高三专题练习）若，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【分析】分离参数，将恒成立问题转化为函数最值问题，根据单调性可得. 【解析】因为，不等式恒成立， 所以对恒成立. 记，，只需. 因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以，所以.故答案为： 16．（2025·全国·高三专题练习）若函数(且)的图像经过定点，则函数的最大值为___________. 【答案】 【分析】由题知，进而得，进而结合复合函数求值域即可. 【解析】由于函数是由函数(且)向左平移个单位，再向下平移个单位得到, 所以函数(且)的图像经过定点， 所以， 当且仅当时等号成立. 故答案为:. 【点睛】本题考查指数型函数过定点问题，对数型复合函数值域求解问题，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据已知条件得，进而利用配方法得，再结合二次函数值域求解即可. 17．（2025·海南海口·校考模拟预测）已知函数的图象与函数和的图象分别交于点，则________． 【答案】 【分析】确定，，设，根据函数单调递增得到，得到答案. 【解析】，则；，即， 设，函数在上单调递增， ，则，即. 故答案为：. 18．（2025·全国·高三专题练习）如图为一台冷轧机的示意图.冷轧机由若干对轧辊组成，厚度为（单位：）的带钢从一端输入，经过各对车辊逐步减薄后输出，厚度变为（单位：）.若，每对轧辊的减薄率不超过4%，则冷轧机至少需要安装轧辊的对数为（    ）（一对轧辊减薄率） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】D 【分析】根据题意可得，两边取对数能求出冷轧机至少需要安装轧辊的对数. 【解析】厚度为的带钢从一端输入经过减薄率为4%的对轧辊后厚度为，过各对车辊逐步减薄后输出，厚度变为， 则， 故选：D. 19．（2025春·全国·高三校联考开学考试）已知函数的最小值为0． (1)求实数a的值； (2)设，，，判断，，的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出函数的导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间，即可得到函数的最小值为，从而得到，再令，利用导数说明函数的单调性，即可得到值，从而得解； （2）由（1）可得，当时两边取对数得到，当时，设，根据函数值的情况判断，当时，设，即可判断，从而得解. 【解析】（1）解：由题意得． 当时，，单调递增，无最小值，不满足题意． 当时，令，得． 当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以的最小值为，即． 设，则．令，得． 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即．故的解只有， 综上所述，． （2）解：由（1）可得，所以，当且仅当时等号成立． 当时，不等式两边取对数，得，所以，当且仅当时等号成立． 当时，设， 则，当且仅当时，等号成立． 因为，所以，所以． 当时，设，因为， 所以， 所以，即． 故，所以． 综上所述，． 20．（2025·河北邢台·校联考模拟预测）已知，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性可得，即证，进而，即证，原不等式即可证明； （2）易知时不等式成立；当时，利用二阶导数研究函数的单调性可得，即()，变形即可证明. 【解析】（1）令，则，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，等号仅当时成立，即， 从而，所以． 综上，． （2）显然时，，即成立． 令，，则，， 令，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，等号仅当时成立， 从而可得，，所以在和上单调递减． 由（1）知，时，；时，， 所以，即． 又当且时，，所以． 故时，． 【点睛】在解决类似的问题时，要熟练应用导数研究函数的单调性与最值，善于培养转化的数学思想，学会构造新函数，利用导数或二阶求导研究新函数的性质即可解决问题. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 对数与对数函数 目录 Part 1 考点突破 【考点1：对数式的运算】 【考点2：对数函数的定义及图像】 【方法总结：对数与对数函数的常用技巧】 Part2 题型探究 题型1：对数式的运算 题型2：对数函数的图象及应用 题型3：对数函数过定点问题 题型4：比较对数式的大小 题型5：解对数方程或不等式 题型6：对数函数的最值与值域问题 题型7：对数函数中的恒成立问题 题型8：对数函数的综合问题 Part3 分层通关 Part 1 考点突破 【考点1：对数式的运算】 (1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数． (2)常见对数： ①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数； ②常用对数：以为底，记为； ③自然对数：以为底，记为； (3) 对数的性质和运算法则： ①；；其中且； ②(其中且，)； ③对数换底公式：； ④； ⑤； ⑥，； ⑦和； ⑧； 对数运算先化同底，乘除变指数加减，幂次直接提出来；换底公式能把任意底都归到常用对数或自然对数。 【考点2：对数函数的定义及图像】 (1)对数函数的定义：函数 且叫做对数函数． (12)对数函数的图象与性质 看对数函数先认准 a>0 且 a≠1、真数 x>0；图像只有两种，a>1 单调增、0<a<1 单调减，都过定点 (1,0)。 【方法总结：对数与对数函数的常用技巧】 1、对数函数常用技巧 在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图) Part 2 题型探究 【题型1：对数式的运算】 【例1】（1）lg22·lg 250＋lg25·lg 40＝ . （2）若3a=5b=225，则+= 。 （4）若，，则 。 【变式1】（2025·全国·高三专题练习）计算：（1）； （2）． 【题型2：对数函数的图象及应用】 【例2】在同一平面直角坐标系中，函数，且的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考开学考试）已知函数．若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3：对数函数过定点问题】 【例3】 已知直线过函数（，且）的定点T，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D． 【变式3】（2025·全国·高三专题练习）一种药在病人血液中的量保持1000mg以上才有疗效，而低于500mg病人就有危险．现给某病人静脉注射了这种药2000mg，如果药在血液中以每小时10%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过______小时内向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，，精确到0.1h） 【题型4：比较对数式的大小】 【例4】 分别比较下列各组数的大小： (1)，，； (2)，，； (3)与． 【变式4】（2025·河南周口·统考模拟预测）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【题型5：解对数方程或不等式】 【例5】（1）当时，求实数x的取值范围； （2）当时，求实数x的取值范围； （3）当恒取正值时，求实数x的取值范围. 【变式5】（2025·全国·高三专题练习）方程的解是（    ） A．1 B．2 C．e D．3 【题型6：对数函数的最值与值域问题】 【例6】已知函数在上单调递减，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6】（2025·河北·高三学业考试）若函数（且）在区间上的最大值比最小值多2，则（    ） A．2或 B．3或 C．4或 D．2或 【题型7：对数函数中的恒成立问题】 【例7】若不等式（，且）在内恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7】（2025·全国·高三专题练习）已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型8：对数函数的综合问题】 【例8】(1)如图是对数函数y＝logax的底数a的值分别取，，，时所对应的图象，则相应的C1，C2，C3，C4的a的值依次是________． (2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝ln(x＋1)，则函数f(x)的大致图象为(　　) (3)当0<x≤时，4x<logax，则a的取值范围是________． 【变式8】（2025·全国·高三专题练习）已知函数，则（    ） A．在单调递增 B．在单调递增，在单调递减 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 Part 3 分层通关 1．（2025·天津·统考二模）已知，则（    ） A．3 B．5 C． D． 2．（2025·山西阳泉·统考三模）函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江绍兴·统考模拟预测）基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：（其中是自然对数的底数）描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足.有学者基于已有数据估计出，，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加倍需要的时间约为（    ）（参考数据：，） A．天 B．天 C．天 D．天 4．（2025春·贵州·高三校联考期中）若，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·云南·校联考二模）函数的图象大致形如（    ） A． B． C． D． 6．（2025·全国·高三专题练习）已知函数，恒过定点，过定点的直线与坐标轴的正半轴相交，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．（2025秋·江苏无锡·高三统考期末）函数的部分图象大致为（    ）． A． B． C． D． 8．（2025·全国·高三专题练习）已知函数，若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2025·全国·高三专题练习）设，，，则（    ） A． B． C． D． 10．（2025·湖南·铅山县第一中学校联考二模）下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（2025·天津河西·统考一模）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 12．（2025·上海·高三专题练习）若实数、满足、，则______________． 13．（2025·全国·高三专题练习）已知函数且的图像恒过定点，且点在圆外，则符合条件的整数的取值可以为__________.（写出一个值即可） 14．（2025·河南平顶山·叶县高级中学校联考模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为______． 15．（2025·全国·高三专题练习）若，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________. 16．（2025·全国·高三专题练习）若函数(且)的图像经过定点，则函数的最大值为___________. 17．（2025·海南海口·校考模拟预测）已知函数的图象与函数和的图象分别交于点，则________． 18．（2025·全国·高三专题练习）如图为一台冷轧机的示意图.冷轧机由若干对轧辊组成，厚度为（单位：）的带钢从一端输入，经过各对车辊逐步减薄后输出，厚度变为（单位：）.若，每对轧辊的减薄率不超过4%，则冷轧机至少需要安装轧辊的对数为（    ）（一对轧辊减薄率） A．14 B．15 C．16 D．17 19．（2025春·全国·高三校联考开学考试）已知函数的最小值为0． (1)求实数a的值； (2)设，，，判断，，的大小． 20．（2025·河北邢台·校联考模拟预测）已知，证明： (1)； (2)． 学科网（北京）股份有限公司 $