第06讲 函数的概念及其表示专项训练-2027届高考数学一轮复习

第06讲 函数的概念及其表示 目　　录 模拟·基础演练 2 题型01 函数的概念与同一函数 （重） 2 题型02 定义域与解析式 （重） 5 题型03 分段函数与值域 重难 8 题型04 函数综合 重难 10 题型05 函数图象的识别与变换 重难 11 题型06 抽象函数的定义域 重难 13 题型07 函数的值域与最值 重难 14 题型08 分段函数的求值与解方程 重难 16 重难·创新演练 19 真题·实战演练 22 模拟·基础演练 考查重点：函数三要素、定义域的求法与解析式的四种常用方法 考点聚焦：定义域与对应关系同时相同才是同一函数 ▶ 题型01 函数的概念与同一函数 一、单选题 1．（2026·河北石家庄·三模）下列各组函数中，表示同一函数的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】逐项比较定义域与对应关系． 【详解】A 中 的定义域为 ，与 不同； B 中两函数定义域均为 ，且 ，是同一函数； C 中 的定义域为 ，与 不同； D 中 的定义域为 ，与 不同．故选 B． 2．（2026·山西太原·二模）下列说法正确的是（　　） A．函数值域中的每一个数，在定义域中都有数与之对应 B．函数的定义域可以是空集 C．函数的定义域与值域确定后，对应关系也随之确定 D．函数的对应关系确定后，值域也随之确定 【答案】A 【分析】由函数定义逐项判断． 【详解】由定义，函数值域中的每个数都是某个自变量的函数值，A 正确； 定义域是非空实数集，B 错误； 定义域与值域确定后，对应关系仍可能有多种，C 错误； 值域由定义域与对应关系共同确定，D 错误．故选 A． 3．（2026·江苏南京·一模）函数 与 的关系是（　　） A．同一函数 B．定义域相同但对应关系不同 C．对应关系相同但定义域不同 D．定义域与对应关系都不同 【答案】C 【分析】 化简后为 ，但定义域不含 ． 【详解】，对应关系与 相同； 但 的定义域为 ，而 的定义域为 ． 所以对应关系相同、定义域不同．故选 C． 4．（2026·辽宁大连·一模）下列函数中，定义域为 的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐项求定义域． 【详解】A 中要求 ；B 中要求 ；D 中要求 ； C 中 对任意实数都有意义，定义域为 ．故选 C． 5．（2026·浙江温州·三模）已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先算内层 ． 【详解】， ， 故 ．故选 C． 6．（2025·安徽合肥·二模）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由 解出 ． 【详解】由题意 ， 7．（2026·河北石家庄·三模）下列各组函数中，表示同一函数的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】判断同一函数要看定义域与对应关系是否都相同，逐项比较。 【详解】A：，与 的对应关系不同，错误； B： 的定义域为 ，与 的定义域 不同，错误； C：，定义域都是 ，对应关系相同，正确； D： 的定义域为 ，与 不同，错误． 故选 C． 8．（2026·山西太原·二模）下列说法正确的是（　　） A．定义域与值域都相同的两个函数是同一函数 B．函数 的图像与直线 至多有一个公共点 C．分段函数由几个式子组成，所以它不是函数 D．若 的定义域为 ，则 的定义域为 【答案】B 【分析】A 忽视对应关系；B 由函数定义的唯一性；C 误解分段函数；D 需解 。 【详解】A：如 与 在 上定义域、值域均为 ，但不是同一函数，错误； B：对定义域内的每个 只有唯一的 与之对应，故图像与 至多一个公共点，正确； C：分段函数是在定义域的不同部分用不同式子表示的一个函数，仍是函数，错误； D：由 得 ，故定义域为 ，错误． 故选 B． 9．（2026·江苏南京·一模）函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】被开方数非负，同时分母不为零，两者取交集。 【详解】由 得 ；由 得 ． 取交集得定义域为 ． 故选 A． 10．（2026·辽宁大连·一模）已知 则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由内向外计算，注意每次代入都要判断属于哪一段。 【详解】因为 ，所以 ． 因为 ，所以 ． 故 ，选 C． 11．（2026·浙江绍兴·二模）已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】换元法：令 ，把右边整体用 表示。 【详解】令 ，则 ， ． 故 ，选 A． 12．（2026·安徽合肥·三模）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】定义域指自变量 的取值范围，需先求出整体 的范围，它才是 的定义域。 【详解】由 得 ． 即 的自变量取值在 内，故 的定义域为 ． 故选 B． 即 ，解得 ， 所以定义域为 ．故选 B． 考点聚焦：定义域的六类限制与解析式求法 ▶ 题型02 定义域与解析式 一、多选题 1．（2026·湖北武汉·一模）下列函数中，定义域为 的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根式与对数的限制条件逐一核对． 【详解】A 中整式对任意实数都有意义，定义域为 ，正确； B 中 恒成立，定义域为 ，正确； C 中要求 ，错误； D 中 恒成立，定义域为 ，正确．故选 ABD． 2．（2026·湖南长沙·二模）下列各组函数中，表示同一函数的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】AB 【分析】定义域相同且化简后对应关系相同才是同一函数． 【详解】A 中 ，定义域均为 ，正确； B 中 ，定义域均为 ，正确； C 中对应关系不同，错误； D 中 的定义域不含 ，错误．故选 AB． 3．（2026·河南郑州·三模）已知 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． 的定义域为 D． 【答案】ABC 【分析】令 求出解析式，再逐项验证． 【详解】令 ，则 ，， 所以 ，定义域为 ，A、C 正确； ，B 正确； ，D 错误．故选 ABC． 4．（2025·四川成都·二模）已知 对任意 成立，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 为奇函数 【答案】ABC 【分析】用 代换得第二个方程，联立求出 ． 【详解】将 换成 得 ，与原式联立消去 ， 5．（2026·湖北武汉·一模）下列函数中，定义域为 的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】逐项看是否有分母为零或被开方数为负的限制。 【详解】A： 恒成立，定义域为 ； B：分母 ，定义域为 ； C：分母 ，定义域为 ； D：需 ，定义域为 ，不是 ． 故选 ABC． 6．（2026·湖南长沙·二模）下列判断中正确的是（　　） A． 与 是同一个函数 B． 与 是同一个函数 C． 与 是同一个函数 D． 与 是同一个函数 【答案】BC 【分析】同一函数要求定义域相同且对应关系相同，与自变量所用字母无关；A、D 的定义域被改变了。 【详解】A： 的定义域为 ，与 的定义域 不同，错误； B：，两函数定义域均为 ，正确； C：两函数定义域均为 ，对应关系都是“平方减 ”，只是自变量字母不同，正确； D： 的定义域为 ，与 的定义域 不同，错误． 故选 BC． 7．（2026·河南郑州·三模）已知 则下列结论正确的是（　　） A． B． C．若 ，则 D． 的值域为 【答案】ABC 【分析】分段求值与解方程都要先判断自变量落在哪一段，值域需两段分别求再取并集。 【详解】A：，故 ，正确； B：，而 ，故 ，正确； C：若 ，则 ，得 ，与 矛盾；若 ，则 ，得 或 ，取 ，正确； D：当 时 ；当 时 ，两段并集为 ，D 错误． 故选 ABC． 8．（2026·四川成都·二模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．定义域为 B．值域为 C． 为偶函数 D．若 ，则 【答案】ABC 【分析】分母恒正故定义域为 ；由 求值域；D 中取相反数即可否定。 【详解】A： 恒成立，定义域为 ，正确； B：由 得 ，且 时取到 ，故值域为 ，正确； C：，定义域关于原点对称，为偶函数，正确； D：，但 ，错误． 故选 ABC． 得 ，即 ，A 正确； ，B 正确；，C 正确； ，与 不恒等，D 错误．故选 ABC． 考点聚焦：分段函数先判后算、值域分段求并 ▶ 题型03 分段函数与值域 一、填空题 1．（2026·福建厦门·一模）已知 （），（），则 ________． 【答案】 【分析】由内到外，先算 ． 【详解】因为 ，所以 ； 因为 ，所以 ， 故 ． 2．（2026·山东济南·三模）已知 （），（），若 ，则 ________． 【答案】 或 【分析】按 与 两段分别求解并检验． 【详解】当 时，由 得 （ 舍去）； 当 时，由 得 ，符合； 所以 或 ． 3．（2026·江西南昌·二模）函数 在区间 上的值域为________． 【答案】 【分析】对称轴 在区间内，再比较端点． 【详解】，对称轴 ，故最小值为 ； 又 ，，故最大值为 ， 所以值域为 ． 4．（2025·河北唐山·一模）函数 （）的值域为________． 【答案】 【分析】分离常数后由 的范围求值域． 【详解】，由 得 ， 所以 ， 故 ． 5．（2025·广东广州·三模）已知 ，则函数 的定义域为________． 【答案】 【分析】由 解出 ． 【详解】， 6．（2026·福建厦门·一模）已知 ，，则 ________． 【答案】 【分析】先求内层 ，再代入 。 【详解】， 故 ． 7．（2026·山东济南·三模）已知 ，，则 ________． 【答案】 【分析】由内向外逐层代入，注意 的定义域要求 。 【详解】， 故 ． 8．（2026·江西南昌·二模）函数 的值域为________． 【答案】 【分析】先求分母的取值范围，再取倒数并注意方向。 【详解】，当 时取到 ． 故 ，即值域为 ． 9．（2026·河北唐山·一模）函数 的值域为________． 【答案】 【分析】先由被开方数非负确定定义域，再求被开方数的最大值。 【详解】由 得 ，定义域为 ． ，在 上取值范围为 ， 故 的取值范围为 ． 10．（2026·广东广州·三模）函数 的定义域为________． 【答案】 【分析】被开方数非负且分母不为零，两个条件同时满足。 【详解】由 得 ；由 得 ． 取交集得定义域为 ． 由 得 ， 所以定义域为 ． 考点聚焦：待定系数与函数方程 ▶ 题型04 函数综合 一、解答题 1．（2026·云南昆明·模拟预测）已知 是一次函数，且 ，求 的解析式． 【答案】 或 【分析】设 ，代入后比较系数，注意 有两种取值． 【详解】设 （），则 ． 由 得 ，． 当 时，，得 ，此时 ； 当 时，，得 ，此时 ． 所以 或 ． 2．（2026·全国·模拟预测）已知函数 ．（1）求 在 上的值域；（2）若 在 上的最小值为 ，求 的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】配方得对称轴 ，最小值在顶点处取得的条件是 ． 【详解】（1），对称轴为 ，且 ， 3．（2026·云南昆明·模拟预测）已知 是一次函数，且 ． (1) 求 的解析式； (2) 若 ，求 的值． 【答案】(1) ；(2) 【分析】设 ，代入后比较系数，注意 的两解需逐一检验。 【详解】(1) 设 （），则 ． 与 比较系数得 ，． 若 ，则 ，，得 ； 若 ，则 ，无解． 故 ． (2) 由 得 ． 4．（2026·全国·模拟预测）已知函数 ，． (1) 当 时，求 的值域； (2) 若 在 上的最小值为 ，求 的值． 【答案】(1) ；(2) 或 【分析】(1) 配方后看对称轴是否在区间内；(2) 按对称轴与 的位置关系分三类。 【详解】(1) 当 时，，对称轴 ， 故最小值 ；又 ，，故最大值 ． 所以值域为 ． (2) ，对称轴 ． 若 ，最小值 ，得 ，不满足 ； 若 ，最小值 ，得 ，即 ； 若 ，最小值 ，得 ，不满足 ． 综上 或 ． 考点聚焦：平移、对称、翻折的顺序与解析式写法 ▶ 题型05 函数图象的识别与变换 一、单选题 1．（2026·山西忻州·三模）把函数 的图象向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度，所得图象对应的函数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】右移把 换成 ，上移在整体上加 。 【详解】图象右移 个单位得 ， 再上移 个单位得 ． 故选 A． 2．（2025·河北邢台·二模）函数 的图象的最低点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】绝对值函数在绝对值为零处取最小值。 【详解】当 时 取最小值 ， 此时 ，故最低点为 ． 故选 A． 二、多选题 3．（2026·内蒙古赤峰·三模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．它是偶函数 B．它的最小值为 C．它在 上单调递减 D．它的图象与 轴有 个交点 【答案】ABC 【分析】分 与 去绝对值，再结合偶函数性质判断。 【详解】设 ，则 ，为偶函数，A 正确； 当 时 ，最小值为 ，B 正确； 在 上 递减，C 正确； 令 得 或 ，共 个交点，D 错误． 故选 ABC． 三、填空题 4．（2025·辽宁抚顺·二模）把函数 的图象关于 轴对称，所得图象对应的函数解析式为________． 【答案】 【分析】关于 轴对称把 换成 。 【详解】将 换成 得 ． 四、解答题 5．（2026·贵州黔南·模拟预测）已知函数 ． (1) 作出 的图象； (2) 写出 的单调区间． 【答案】(2) 单调递增区间为 、；单调递减区间为 、 【分析】先画抛物线，再把 轴下方的部分翻折到上方。 【详解】(1) ，与 轴交于 、，顶点为 ． 把 轴下方的一段翻折上去，即得 的图象． (2) 由图象可知， 在 、 上单调递增， 在 、 上单调递减． 考点聚焦：括号内整体范围不变，把新自变量塞进同一区间 ▶ 题型06 抽象函数的定义域 一、单选题 1．（2026·河北保定·三模）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把 整体看作 的自变量，令其落在 内。 【详解】由 得 ， 故定义域为 ． 故选 A． 2．（2025·山东烟台·二模）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由 求出 的范围，这个范围就是 的定义域。 【详解】当 时，， 故 的定义域为 ． 故选 B． 二、多选题 3．（2026·湖北黄石·三模）已知函数 的定义域为 ，则下列说法正确的是（　　） A． 的定义域为 B． 的定义域为 C． 的定义域为 D． 的定义域为 【答案】ABC 【分析】逐项解“整体落在 ”的不等式，D 还要取两个定义域的交集。 【详解】A： 得 ，正确； B： 得 ，即 ，正确； C： 得 ，正确； D：需同时满足 与 ，交集为 ，D 错误． 故选 ABC． 三、填空题 4．（2025·山西大同·二模）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为________． 【答案】 【分析】令 即可。 【详解】由 得 ， 故定义域为 ． 四、解答题 5．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，求 的定义域． (1) 分别求出两个函数有意义的 的范围； (2) 取交集写出定义域． 【答案】 【分析】两个函数都有意义，需取各自定义域的交集。 【详解】由 得 ； 由 得 ． 两者取交集得 ， 故 的定义域为 ． 考点聚焦：换元、分离常数、判别式、单调性四种求值域的思路 ▶ 题型07 函数的值域与最值 一、单选题 1．（2026·河北保定·三模）函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】配方后看最小值。 【详解】， 故值域为 ． 故选 A． 2．（2025·山东烟台·二模）函数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令 ，把函数化为 的二次函数。 【详解】令 ，则 ，， ， 在 上递增，故最小值为 ． 故选 A． 二、多选题 3．（2026·湖南岳阳·三模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．值域为 B．在 上单调递增 C．对任意 都有 D．值域为 【答案】ABC 【分析】分离常数后看 的范围。 【详解】， 由 得 ，故 ， 所以 ，A、C 正确，D 错误； 递增，故 递增，B 正确． 故选 ABC． 三、填空题 4．（2025·安徽芜湖·二模）函数 的最大值为________． 【答案】 【分析】令 ，化成二次函数求最值。 【详解】令 ，则 ，， ， 当 （即 ）时取最大值 ． 四、解答题 5．（2026·陕西西安·模拟预测）求函数 的值域． (1) 把函数分离常数； (2) 由 的范围求值域． 【答案】 【分析】先分离常数，再利用 的范围。 【详解】． 由 得 ， 故 ， 即值域为 ． 考点聚焦：先判断自变量落在哪一段，再代对应解析式 ▶ 题型08 分段函数的求值与解方程 一、单选题 1．（2026·河北石家庄·三模）已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由内向外，先算 。 【详解】， ？ 注意 ，故 ，即 ． 故选 D． 2．（2025·山东济南·二模）已知 ，若 ，则 （　　） A． B． C． 或 D． 【答案】C 【分析】分两种情况解方程，注意检验是否落在对应区间。 【详解】当 时 ，得 ，符合； 当 时 ，得 ，符合． 故 ． 故选 C． 二、多选题 3．（2026·湖南长沙·三模）关于分段函数 ，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 在 上单调递增 【答案】ABC 【分析】逐项代入对应的一段。 【详解】，A 正确； ，B 正确； ，C 正确； 从 增到 时函数值由 增到 ，但 从 到 时函数值由 降到 ，不单调，D 错误． 故选 ABC． 三、填空题 4．（2025·安徽合肥·二模）已知 ，则 ________． 【答案】 【分析】先算内层，再代外层。 【详解】， ． 四、解答题 5．（2026·四川成都·模拟预测）已知 ，求 、、 的值，并解方程 ． (1) 求三个函数值； (2) 分段解方程并检验． 【答案】 【分析】解方程要逐段求解并检验区间。 【详解】，，． 当 时 得 （不符合）； 当 时 得 （不符合）； 当 时 得 （符合）． 故方程的解为 ． 重难·创新演练 一、单选题 设题创新：抽象函数定义域的双向转化、含绝对值函数的值域与最值反求参数 1．（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由 的定义域求出 的定义域，再解不等式． 【详解】由 得 ，所以 的定义域为 ． 再由 得 ，即 ， 所以 的定义域为 ．故选 B． 2．（2026·浙江温州·三模）函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按零点 、 分段，或利用绝对值的几何意义． 【详解】当 时，； 3．（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由 的定义域求出 的定义域 ，再令 。 【详解】由 得 ，即 的定义域为 ． 令 ，解得 ． 故 的定义域为 ，选 A． 4．（2026·浙江温州·三模）函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把 视为参数，将等式整理为关于 的二次方程，由判别式非负求 的范围。 【详解】由 得 ． 当 时，，可以取到； 当 时，方程有实根需 ，即 ． 又 时 ， 时 ，两端点均可取到， 故值域为 ，选 A． 当 时，； 当 时，． 所以 ，且 时取到 ，值域为 ．故选 A． 二、解答题 5．（2026·全国·模拟预测）已知函数 在区间 上的最小值为 ，求实数 的值． 【答案】 【分析】对称轴 ，按它与区间 的位置关系分三类． 【详解】，对称轴为 ． 6．（2026·全国·模拟预测）已知函数 在区间 上的最小值为 ． (1) 求 的解析式； (2) 若 ，求 的取值范围； (3) 求 的最大值． 【答案】(1) (2) ；(3) 【分析】按对称轴 在区间左侧、内部、右侧三类写出最小值，再分段处理方程与最值。 【详解】(1) ，对称轴 ． 当 时， 在 上递增，； 当 时，； 当 时， 在 上递减，． 故 (2) 当 时， 恒成立； 当 时，，得 ； 当 时，，得 ，不满足 ． 综上 ． (3) 当 时 ；当 时 （ 取等）；当 时 ． 故 的最大值为 ． 当 ，即 时， 在 上单调递增， 最小值为 ，由 得 ，满足 ； 当 ，即 时， 最小值为 ，即 ，无解； 当 ，即 时， 在 上单调递减， 最小值为 ，由 得 ，不满足 ． 综上，． 真题·实战演练 一、单选题 高频考点：定义域、同一函数、分段函数求值与二次型函数的值域 1．（2023·新课标Ⅰ卷·T3 改编）函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】被开方数非负、分母不为零，取交集． 【详解】由 得 ；由 得 ． 取交集得 且 ， 即定义域为 ．故选 A． 2．（2022·全国乙卷·T4 改编）下列函数中，与 表示同一函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先看定义域，再看化简结果． 【详解】A 中定义域为 ，不是； B 中 ，定义域为 ，是； C 中 ，对应关系不同，不是； D 中定义域为 ，不是．故选 B． 3．（2023·天津卷·T6 改编）已知 （），（），则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由内到外，先算 ． 【详解】因为 ，所以 ； 因为 ，所以 ． 故 ．故选 C． 4．（2024·新课标Ⅱ卷·T8 改编）函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】配方为 ，由 求值域． 【详解】， 5．（2023·新课标Ⅰ卷·T3 改编）函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根式非负与分母非零同时成立，取交集。 【详解】由 得 ；由 得 ． 取交集得定义域为 ． 故选 A． 6．（2022·全国乙卷·T4 改编）下列函数中，与 表示同一函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逐个比较定义域与对应关系，注意偶次根号与约分会改变定义域。 【详解】A：，但定义域为 ，与 不同，错误； B：，对应关系不同，错误； C：，但定义域为 ，错误； D：，定义域为 ，与 完全相同，正确． 故选 D． 7．（2023·天津卷·T6 改编）已知 若 ，则 （　　） A． B． C． 或 D． 【答案】B 【分析】分段解方程，每段求出的解必须落在该段的自变量范围内。 【详解】若 ，则 ，得 ，与 矛盾； 若 ，则 ，得 或 ，其中只有 满足 ． 故 ，选 B． 8．（2024·新课标Ⅱ卷·T8 改编）函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用绝对值三角不等式求下界，再说明下界能取到。 【详解】由绝对值三角不等式，． 当 时，，等号可以取到． 又当 无限增大时函数值无限增大，故值域为 ，选 A． 因为 ，所以当 时取最小值 ，无最大值， 故值域为 ．故选 A． 二、填空题 9．（2024·全国甲卷·T13 改编）已知 ，则 ________． 【答案】 【分析】令 ，反解 后代入． 【详解】令 ，则 ， 10．（2024·全国甲卷·T13 改编）已知 ，则 ________． 【答案】 【分析】换元法：令 ，把右边化为 的式子。 【详解】令 ，则 ， ． 故 ． ， 所以 ． 三、解答题 11．（2023·全国乙卷·T20 改编）已知 是二次函数，且 ，．（1）求 的解析式；（2）求 在 上的值域． 【答案】（1）；（2） 【分析】设 ，代入比较系数求出 、，再求闭区间上的值域． 【详解】（1）设 （），由 得 ． ， 由题意 ，，解得 ，，所以 ． （2） 在 上单调递增， 最小值为 ，最大值为 ， 故值域为 ． 12．（2025·全国·模拟预测）已知 （），（），（）．（1）求 ；（2）若 ，求 的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】求值由内到外；解方程按三段分类，解后逐段检验． 【详解】（1）因为 ，所以 ； 13．（2023·全国乙卷·T20 改编）已知 是二次函数，且 ，． (1) 求 的解析式； (2) 求 在 上的值域． 【答案】(1) ；(2) 【分析】(1) 设一般式，代入恒等式比较系数；(2) 配方后比较顶点与两端点的函数值。 【详解】(1) 设 （），由 得 ． ， 与 比较系数得 ，，故 ，． 所以 ． (2) ，对称轴 ， 最小值 ； 端点值 ，，故最大值 ． 所以值域为 ． 14．（2025·全国·模拟预测）已知 ，． (1) 求 与 的解析式； (2) 若 ，求 的值． 【答案】(1) ，；(2) 【分析】复合函数由内向外代入；第 (2) 问把两个解析式相等后解一元一次方程。 【详解】(1) ； ． (2) 由 得 ， 即 ，故 ． 因为 ，所以 ， 故 ． （2）当 时，由 得 ，不满足 ，舍去； 当 时，由 得 或 ，均不在该范围内，舍去； 当 时，由 得 ，满足 ． 综上，． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 函数的概念及其表示 目　　录 模拟·基础演练 2 题型01 函数的概念与同一函数 （重） 2 题型02 定义域与解析式 （重） 3 题型03 分段函数与值域 重难 4 题型04 函数综合 重难 5 题型05 函数图象的识别与变换 重难 5 题型06 抽象函数的定义域 重难 6 题型07 函数的值域与最值 重难 7 题型08 分段函数的求值与解方程 重难 7 重难·创新演练 8 真题·实战演练 9 模拟·基础演练 考查重点：函数三要素、定义域的求法与解析式的四种常用方法 考点聚焦：定义域与对应关系同时相同才是同一函数 ▶ 题型01 函数的概念与同一函数 一、单选题 1．（2026·河北石家庄·三模）下列各组函数中，表示同一函数的是（　　） A．， B．， C．， D．， 2．（2026·山西太原·二模）下列说法正确的是（　　） A．函数值域中的每一个数，在定义域中都有数与之对应 B．函数的定义域可以是空集 C．函数的定义域与值域确定后，对应关系也随之确定 D．函数的对应关系确定后，值域也随之确定 3．（2026·江苏南京·一模）函数 与 的关系是（　　） A．同一函数 B．定义域相同但对应关系不同 C．对应关系相同但定义域不同 D．定义域与对应关系都不同 4．（2026·辽宁大连·一模）下列函数中，定义域为 的是（　　） A． B． C． D． 5．（2026·浙江温州·三模）已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 6．（2025·安徽合肥·二模）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 7．（2026·河北石家庄·三模）下列各组函数中，表示同一函数的是（　　） A．， B．， C．， D．， 8．（2026·山西太原·二模）下列说法正确的是（　　） A．定义域与值域都相同的两个函数是同一函数 B．函数 的图像与直线 至多有一个公共点 C．分段函数由几个式子组成，所以它不是函数 D．若 的定义域为 ，则 的定义域为 9．（2026·江苏南京·一模）函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 10．（2026·辽宁大连·一模）已知 则 （　　） A． B． C． D． 11．（2026·浙江绍兴·二模）已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 12．（2026·安徽合肥·三模）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 考点聚焦：定义域的六类限制与解析式求法 ▶ 题型02 定义域与解析式 一、多选题 1．（2026·湖北武汉·一模）下列函数中，定义域为 的是（　　） A． B． C． D． 2．（2026·湖南长沙·二模）下列各组函数中，表示同一函数的是（　　） A．， B．， C．， D．， 3．（2026·河南郑州·三模）已知 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． 的定义域为 D． 4．（2025·四川成都·二模）已知 对任意 成立，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 为奇函数 5．（2026·湖北武汉·一模）下列函数中，定义域为 的是（　　） A． B． C． D． 6．（2026·湖南长沙·二模）下列判断中正确的是（　　） A． 与 是同一个函数 B． 与 是同一个函数 C． 与 是同一个函数 D． 与 是同一个函数 7．（2026·河南郑州·三模）已知 则下列结论正确的是（　　） A． B． C．若 ，则 D． 的值域为 8．（2026·四川成都·二模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．定义域为 B．值域为 C． 为偶函数 D．若 ，则 考点聚焦：分段函数先判后算、值域分段求并 ▶ 题型03 分段函数与值域 一、填空题 1．（2026·福建厦门·一模）已知 （），（），则 ________． 2．（2026·山东济南·三模）已知 （），（），若 ，则 ________． 3．（2026·江西南昌·二模）函数 在区间 上的值域为________． 4．（2025·河北唐山·一模）函数 （）的值域为________． 5．（2025·广东广州·三模）已知 ，则函数 的定义域为________． 6．（2026·福建厦门·一模）已知 ，，则 ________． 7．（2026·山东济南·三模）已知 ，，则 ________． 8．（2026·江西南昌·二模）函数 的值域为________． 9．（2026·河北唐山·一模）函数 的值域为________． 10．（2026·广东广州·三模）函数 的定义域为________． 考点聚焦：待定系数与函数方程 ▶ 题型04 函数综合 一、解答题 1．（2026·云南昆明·模拟预测）已知 是一次函数，且 ，求 的解析式． 2．（2026·全国·模拟预测）已知函数 ．（1）求 在 上的值域；（2）若 在 上的最小值为 ，求 的取值范围． 3．（2026·云南昆明·模拟预测）已知 是一次函数，且 ． (1) 求 的解析式； (2) 若 ，求 的值． 4．（2026·全国·模拟预测）已知函数 ，． (1) 当 时，求 的值域； (2) 若 在 上的最小值为 ，求 的值． 考点聚焦：平移、对称、翻折的顺序与解析式写法 ▶ 题型05 函数图象的识别与变换 一、单选题 1．（2026·山西忻州·三模）把函数 的图象向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度，所得图象对应的函数为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·河北邢台·二模）函数 的图象的最低点坐标是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·内蒙古赤峰·三模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．它是偶函数 B．它的最小值为 C．它在 上单调递减 D．它的图象与 轴有 个交点 三、填空题 4．（2025·辽宁抚顺·二模）把函数 的图象关于 轴对称，所得图象对应的函数解析式为________． 四、解答题 5．（2026·贵州黔南·模拟预测）已知函数 ． (1) 作出 的图象； (2) 写出 的单调区间． 考点聚焦：括号内整体范围不变，把新自变量塞进同一区间 ▶ 题型06 抽象函数的定义域 一、单选题 1．（2026·河北保定·三模）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·山东烟台·二模）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·湖北黄石·三模）已知函数 的定义域为 ，则下列说法正确的是（　　） A． 的定义域为 B． 的定义域为 C． 的定义域为 D． 的定义域为 三、填空题 4．（2025·山西大同·二模）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为________． 四、解答题 5．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，求 的定义域． (1) 分别求出两个函数有意义的 的范围； (2) 取交集写出定义域． 考点聚焦：换元、分离常数、判别式、单调性四种求值域的思路 ▶ 题型07 函数的值域与最值 一、单选题 1．（2026·河北保定·三模）函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·山东烟台·二模）函数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·湖南岳阳·三模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．值域为 B．在 上单调递增 C．对任意 都有 D．值域为 三、填空题 4．（2025·安徽芜湖·二模）函数 的最大值为________． 四、解答题 5．（2026·陕西西安·模拟预测）求函数 的值域． (1) 把函数分离常数； (2) 由 的范围求值域． 考点聚焦：先判断自变量落在哪一段，再代对应解析式 ▶ 题型08 分段函数的求值与解方程 一、单选题 1．（2026·河北石家庄·三模）已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 2．（2025·山东济南·二模）已知 ，若 ，则 （　　） A． B． C． 或 D． 二、多选题 3．（2026·湖南长沙·三模）关于分段函数 ，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 在 上单调递增 三、填空题 4．（2025·安徽合肥·二模）已知 ，则 ________． 四、解答题 5．（2026·四川成都·模拟预测）已知 ，求 、、 的值，并解方程 ． (1) 求三个函数值； (2) 分段解方程并检验． 重难·创新演练 一、单选题 设题创新：抽象函数定义域的双向转化、含绝对值函数的值域与最值反求参数 1．（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 2．（2026·浙江温州·三模）函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 3．（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 4．（2026·浙江温州·三模）函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 二、解答题 5．（2026·全国·模拟预测）已知函数 在区间 上的最小值为 ，求实数 的值． 6．（2026·全国·模拟预测）已知函数 在区间 上的最小值为 ． (1) 求 的解析式； (2) 若 ，求 的取值范围； (3) 求 的最大值． 真题·实战演练 一、单选题 高频考点：定义域、同一函数、分段函数求值与二次型函数的值域 1．（2023·新课标Ⅰ卷·T3 改编）函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 2．（2022·全国乙卷·T4 改编）下列函数中，与 表示同一函数的是（　　） A． B． C． D． 3．（2023·天津卷·T6 改编）已知 （），（），则 （　　） A． B． C． D． 4．（2024·新课标Ⅱ卷·T8 改编）函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 5．（2023·新课标Ⅰ卷·T3 改编）函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 6．（2022·全国乙卷·T4 改编）下列函数中，与 表示同一函数的是（　　） A． B． C． D． 7．（2023·天津卷·T6 改编）已知 若 ，则 （　　） A． B． C． 或 D． 8．（2024·新课标Ⅱ卷·T8 改编）函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2024·全国甲卷·T13 改编）已知 ，则 ________． 10．（2024·全国甲卷·T13 改编）已知 ，则 ________． 三、解答题 11．（2023·全国乙卷·T20 改编）已知 是二次函数，且 ，．（1）求 的解析式；（2）求 在 上的值域． 12．（2025·全国·模拟预测）已知 （），（），（）．（1）求 ；（2）若 ，求 的值． 13．（2023·全国乙卷·T20 改编）已知 是二次函数，且 ，． (1) 求 的解析式； (2) 求 在 上的值域． 14．（2025·全国·模拟预测）已知 ，． (1) 求 与 的解析式； (2) 若 ，求 的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $