第09讲 指数与指数函数 讲义-2027届高考数学一轮复习

第09讲 指数与指数函数 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 近三年高考指数运算与指数函数的考点分布与命题趋势研判 02 思维建模·脉络梳理 指数与指数函数知识结构图、三组易混辨析与换元思想 03 知识精讲·靶向突破 5 个核心知识点 + 5 道自主检测，逐点拆解 04 题型破译·方法提炼 5 大题型、5 道典型例题、15 道变式训练 05 真题溯源·考向感知 近五年高考真题 6 题，感知真实考法 06 课本典例·高考素材 教材例题高考化改编 3 题，回归本源 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026 年 2025 年 2024 年 指数幂的运算与化简 全国甲卷 T3（5 分） 新课标Ⅰ卷 T4（5 分） 天津卷 T4（5 分） 指数函数的图象与性质 新课标Ⅱ卷 T5（5 分） 北京卷 T5（5 分） 全国甲卷 T6（5 分） 指数型复合函数的单调性 新课标Ⅰ卷 T4（5 分） 天津卷 T6（5 分） 浙江卷 T7（5 分） 指数型函数的值域与最值 上海卷 T6（5 分） 全国乙卷 T8（5 分） 新高考Ⅱ卷 T7（5 分） 指数方程与不等式的交汇 北京卷 T8（5 分） 全国甲卷 T9（5 分） 江苏卷 T8（5 分） 指数运算考根式与分数指数幂的互化，以及底数大于 1 还是小于 1 对单调性的影响，两步都要写清楚。 指数型复合函数的难点在外层单调性与内层值域的交汇，换元之后必须写出新元的范围，否则值域会多出一截。 指数方程与不等式多数化成同底处理，化不了就取对数或借图象交点定位。 备考建议：先把幂的运算性质练到“见式就能化”，再牢牢记住底数为 的分界；处理复合函数时按“定义域—拆内外层—定单调性—写区间”四步走；换元后一定补上新元的取值范围，这是值域问题的得分点。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 本讲可以浓缩为“一套运算、两类图象、三条性质、四种转化”。先看整体脉络： 图 1　指数与指数函数知识结构图 脉络梳理之后，三组易混点务必辨析清楚，它们是选择题的高频陷阱： 易混对象 正确认识 根式的化简 ： 为奇数得 ， 为偶数得 ； 恒等于 底数与单调性 时 在 上递增， 时递减；比较大小时先看底数与 的关系，底数含参必须分类 换元后的新元范围 令 后必须写出 ，或由 的范围定出 的区间；漏写就会把值域扩大，最值也会取错 ▶　知识解构　◀ ▶ 知识点1　根式与分数指数幂 一、n 次方根 若 （，），则 叫做 的 次方根。 为奇数时， 的 次方根记作 ，被开方数可取任意实数； 为偶数时，只有 才有 次方根，记作 。 两个恒等式要记牢：（根式有意义时）；（ 为奇数），（ 为偶数）。 二、分数指数幂 规定 （，，），。 的正分数指数幂为 ， 的负分数指数幂没有意义。 三、幂的运算性质 ，，（，，）。这三条是化简与求值的全部依据。 注意： 1．化简 必须先看 的奇偶，偶次方根的结果是 而不是 。 2．分数指数幂的底数必须为正，负底数不能随意套用运算性质。 3．负指数先化倒数再乘方，小数、带分数先化为分数再运算。 【自主检测】计算 ． 【答案】 【分析】小数化分数，负指数化倒数，再分别求幂。 【详解】， 　　　， 　　　所以原式 ． ▶ 知识点2　指数函数的图象与性质 一、定义与图象 形如 （，）的函数叫做指数函数，定义域为 ，值域为 ，图象恒过定点 ，以 轴为渐近线。 二、单调性与底数的关系 时， 在 上单调递增，当 时 ； 时， 在 上单调递减，当 时 。 在 轴右侧，底数越大图象越高；在 轴左侧恰好相反。 与 的图象关于 轴对称。 三、比较大小的三条路径 同底不同指数，直接用单调性；同指数不同底，看指数所在区间的正负再结合底数大小；底数与指数都不同，插入 （或 ）作中间量，先分“大于 ”与“小于 ”两组。 注意： 1．指数函数要求系数为 、底数为正且不等于 ， 不是指数函数。 2．值域是 ，图象永远在 轴上方，与 轴没有交点。 3．含参数的底数，先按 与 分类，再谈单调性与最值。 【自主检测】函数 的图象恒过定点________． 【答案】 【分析】令指数为 ，即 。 【详解】令 ，得 ，此时 ， 　　　所以图象恒过定点 ． ▶ 知识点3　指数型复合函数的单调性 一、同增异减 设 ，。当 时， 与 的单调性相同；当 时， 与 的单调性相反。这就是“同增异减”。 二、解题四步 1．求定义域；2．拆成内层 与外层 ；3．分别判断两层的单调性；4．按“同增异减”下结论，结果写成区间。 内层是二次函数时，对称轴把定义域分成两段；内层含绝对值时，先去绝对值化为分段形式，再逐段判断。 三、换元视角 也可令 ，由 时 随 增大而增大、 时 随 增大而减小，把问题转化为“ 关于 的单调性”与“ 关于 的单调性”的合成。 注意： 1．单调区间必须是定义域的子集，且不能写成并集，多个区间之间用“和”或逗号。 2．先看定义域再谈单调性，例如 在 与 上分别单调。 3．底数含参时， 与 两种情形的结论恰好相反，缺一不可。 【自主检测】函数 的单调递增区间是________． 【答案】 【分析】内层在 上递减，外层递减，异减得增。 【详解】令 ，则 在 上递减，在 上递增． 　　　外层 关于 单调递减， 　　　由“同增异减”， 在 上单调递增． ▶ 知识点4　指数型函数的值域与最值 一、换元法 令 （或 ），先由 的范围求出 的范围，把原函数化为关于 的函数，再在 的范围内求值域。 二、二次型函数 形如 的函数，令 得 ，配方后结合 的取值范围取最值。 三、含参最值 对称轴含参时，按对称轴在区间左侧、区间内、区间右侧三种位置讨论；底数含参时，按 与 确定最大值、最小值落在哪个端点。 注意： 1．换元后必须写出新元的范围，这是值域问题最容易丢分的一步。 2． 恒成立，配方后的顶点若不在 的范围内，最值只能在端点取到。 3．求出最值后要回代检验：对应的 是否落在定义域内。 【自主检测】求函数 的最小值． 【答案】 【分析】令 ，配方后取顶点。 【详解】令 ，则 ． 　　　当 ，即 时， 取最小值 ． ▶ 知识点5　指数方程与指数不等式 一、同底化 。常用化同底：，，，。 二、指数不等式 当 时，；当 时，，不等号方向要翻转。 三、换元法 形如 的方程，令 化为二次方程，解出 后舍去非正根，再由 求 。 注意： 1．解指数不等式必须先确定底数与 的大小，否则不等号方向必错。 2．换元后 ，解出的负根要舍去，不能直接回代。 3．含参数的方程或不等式，要对底数分类讨论，最后把各种情形的结果分别写清。 【自主检测】解方程 ． 【答案】 或 【分析】令 ，先解关于 的二次方程。 【详解】令 ，原方程化为 ，解得 或 ． 　　　由 得 ；由 得 ． 　　　所以原方程的解为 或 ． ▶　题型破译　◀ 下面按“运算—图象—单调性—值域—方程不等式”五条线索设置 5 个题型，每个题型配 1 道典型例题与 3 道变式训练，例题均标注来源，便于对照高考真实考法。 ▶ 题型1 指数幂的化简与求值 例1-1（2024·全国甲卷·T3 改编）计算 ． 【答案】 【分析】带分数化假分数，负指数化倒数，再逐项求幂。 【详解】，， 　　　， 　　　． 　　　所以原式 ． 【方法技巧】 1．先把根式统一写成分数指数幂，带分数化假分数，小数化分数。 2．负指数先取倒数再乘方，避免符号与顺序出错。 3．同底数幂相乘指数相加、相除指数相减、幂的乘方指数相乘，化简到底。 【易错分析】 1．把 算成 或 ，任何非零数的零次幂都等于 。 2．负指数忘记取倒数，把 写成 。 3．分数指数幂的分子分母颠倒，把 算成 。 【变式训练1-1】（2026·河北衡水·二模）已知 ，求 的值． 【答案】 【分析】把已知式平方，中间项恰为常数 。 【详解】将 两边平方，得 ， 　　　所以 ． 【变式训练1-2】（2026·山东青岛·一模）计算 ． 【答案】 【分析】偶次方根开出来是绝对值，注意 。 【详解】，， 　　　， 　　　所以原式 ． 【变式训练1-3】（2025·江苏苏州·三模）化简 （）． 【答案】 【分析】统一为分数指数幂，指数相加减。 【详解】原式 ． ▶ 题型2 指数函数的图象与性质 例2-1（2025·新课标Ⅱ卷·T5 改编）函数 （ 且 ）的图象恒过定点（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】指数函数的定点由“指数为 ”确定。 【详解】令 ，得 ，此时 ， 　　　所以图象恒过定点 ，故选 B． 【方法技巧】 1．定点问题：令指数部分为 ，与底数 无关。 2．比较大小：同底看单调性，同指数看底数，都不同就插入 或 作桥梁。 3．含参的底数先分类，再写单调性与最值，结论要与 的范围对应。 【易错分析】 1．把 算成 ，忘记 。 2．比较大小时只看底数不看指数， 时不等号方向会反。 3．把 与 的对称关系误判为关于 轴对称。 【变式训练2-1】（2026·湖北武汉·二模）若 ，则函数 与 的图象关于（　　） A． 轴对称 B． 轴对称 C．原点对称 D．直线 对称 【答案】B 【分析】，把 换成 即关于 轴对称。 【详解】因为 ， 　　　点 在 上等价于点 在 上， 　　　所以两图象关于 轴对称，故选 B． 【变式训练2-2】（2026·四川成都·一模）设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】负指数化倒数，把三个数化成同底或同指数再比较。 【详解】，， 　　　由 且 得 ； 　　　又 且指数相同，得 ， 　　　所以 ，故选 D． 【变式训练2-3】（2025·浙江杭州·三模）若函数 （，）在 上的最大值与最小值之差为 ，求 的值． 【答案】 或 【分析】底数不定，按 与 分别确定最值位置。 【详解】当 时， 在 上递增，最大值为 ，最小值为 ， 　　　由 得 ，解得 或 （舍）； 　　　当 时， 递减，最大值为 ，最小值为 ， 　　　由 得 ，解得 或 （舍）． 　　　综上， 或 ． ▶ 题型3 指数型复合函数的单调性 例3-1（2024·新课标Ⅰ卷·T6 改编）函数 的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】外层递减，求递减区间即求内层的递增区间。 【详解】令 ，则 在 上递增，在 上递减． 　　　外层 关于 递减， 　　　由“同增异减”， 在 上递减，故选 B． 【方法技巧】 1．先拆内外层，分别写出内层的单调区间，再用“同增异减”合成。 2．外层底数大于 时“同增同减”，底数小于 时结论恰好相反。 3．单调区间写成区间形式，多个区间用“和”连接，不能用并集符号。 【易错分析】 1．把外层与内层的单调性直接相乘，忘记按底数与 的大小取舍。 2．忽略定义域，把不在定义域内的点写进单调区间。 3．把单调区间写成 ，这是整个定义域，属于典型错误。 【变式训练3-1】（2026·福建厦门·一模）函数 的单调递增区间是________． 【答案】 【分析】外层递增，求递增区间即求内层的递增区间。 【详解】令 ，则 在 上递增，在 上递减． 　　　外层 关于 递增，所以 的单调递增区间为 ． 【变式训练3-2】（2026·湖南长沙·二模）若 在 上单调递减，则 的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由条件定出 ，外层递减，再找内层的递减区间。 【详解】由 在 上递减，得 ，外层关于 递减． 　　　内层 在 上递减， 　　　由“同增异减”， 在 上递增，故选 A． 【变式训练3-3】（2025·江西南昌·三模）讨论函数 （，）的单调性． 【答案】见详解 【分析】内层固定，按底数 与 的大小分两类讨论。 【详解】令 ，则 在 上递减，在 上递增． 　　　当 时，外层递增，由“同增异减”， 在 上递减，在 上递增； 　　　当 时，外层递减， 在 上递增，在 上递减． ▶ 题型4 指数型函数的值域与最值 例4-1（2025·全国乙卷·T8 改编）函数 在 上的值域是________． 【答案】 【分析】令 ，由 的范围定出 的范围，再配方。 【详解】令 ，由 得 ， 　　　则 ． 　　　当 （即 ）时取最小值 ；当 （即 ）时取最大值 ， 　　　所以值域为 ． 【方法技巧】 1．换元后第一件事是写出新元的范围，它决定了后续最值在哪里取到。 2．二次型函数配方后，比较顶点与两个端点，取最大、最小。 3．底数含参时，按 与 分别判断最大、最小值所在的端点。 【易错分析】 1．只写 ，不用 的范围压缩 的区间，导致值域扩大。 2．配方后不检查顶点是否落在 的范围内就下结论。 3．误以为最小值在端点取到，忽略了顶点 落在区间内。 【变式训练4-1】（2026·河南郑州·三模）求函数 的最小值． 【答案】 【分析】令 ，配方后顶点在 内，可以取到。 【详解】令 ，则 ． 　　　当 时， 取最小值 ， 　　　故最小值为 ． 【变式训练4-2】（2026·安徽合肥·二模）函数 的值域是________． 【答案】 【分析】先求内层的范围，再由外层递减确定值域。 【详解】令 ，则 ． 　　　外层 关于 递减，所以 ， 　　　即值域为 ． 【变式训练4-3】（2025·辽宁大连·一模）求函数 的最大值． 【答案】 【分析】内层配方求最小值，外层递减，内层最小对应函数最大。 【详解】令 ，则 ． 　　　外层 关于 递减， 　　　所以当 （即 ）时， 取最大值 ． ▶ 题型5 指数方程、不等式及交汇 例5-1（2025·北京卷·T8 改编）不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把右边化为以 为底的幂，再用单调性去掉底数。 【详解】原不等式即 ． 　　　因为 在 上递增，所以 ， 　　　即 ，解得 ，故选 A． 【方法技巧】 1．化同底是解指数方程、不等式的第一步， 是最常用的变形。 2．去掉底数时看清底数：大于 不等号不变，小于 不等号反向。 3．换元后先解出 ，再由 回代，注意舍去 的根。 【易错分析】 1．把 化成 ，符号出错，应为 。 2．底数小于 时忘记变号，解集恰好取成补集。 3．换元后把 之类的负根也回代，多出不存在的解。 【变式训练5-1】（2026·山西太原·二模）解方程 ． 【答案】 【分析】把 写成 ，化同底后比较指数。 【详解】原方程即 ， 　　　所以 ，解得 ． 【变式训练5-2】（2026·广西南宁·三模）解方程 ． 【答案】 或 【分析】令 ，转化为二次方程。 【详解】令 ，原方程化为 ，解得 或 ，均满足 ． 　　　由 得 ；由 得 ． 　　　所以原方程的解为 或 ． 【变式训练5-3】（2025·重庆·二模）若不等式 （，）的解集为 ，则 的取值范围是________． 【答案】 【分析】把 写成 ，由解集方向反推单调性。 【详解】原不等式即 ． 　　　因为解集为 ，不等号方向与 相反，说明 在 上递减， 　　　所以 ，即 的取值范围是 ． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2021·全国甲卷·T4 改编）函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分离常数，把函数写成 减去一个正数。 【详解】． 　　　因为 ，所以 ，从而 ， 　　　故 ，值域为 ，故选 A． 2．（2022·新高考Ⅱ卷·T7 改编）设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用 分组，再对同底的两个数用单调性。 【详解】；；，故 最大． 　　　又 在 上递减，且 ，所以 ，即 ． 　　　所以 ，故选 B． 3．（2021·全国乙卷·T9 改编）函数 ，则 （　　） A．是奇函数，且在 上单调递增 B．是偶函数，且在 上单调递增 C．是奇函数，且在 上单调递减 D．是偶函数，且在 上单调递减 【答案】A 【分析】先验奇偶性，再分离常数判断单调性。 【详解】，且定义域为 ，故 为奇函数． 　　　又 ， 递增， 递减， 　　　所以 在 上单调递增，故选 A． 4．（2020·北京卷·T6 改编）函数 的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】外层递增，递增区间就是内层的递增区间。 【详解】令 ，则 在 上递增． 　　　外层 关于 递增，所以 的单调递增区间为 ，故选 B． 二、填空题 5．（2022·上海卷·T5 改编）若 ，则 ________． 【答案】 【分析】把所求式写成已知式的平方减去 。 【详解】． 三、解答题 6．（2021·全国甲卷·T18 改编）设函数 ．（1）判断 的奇偶性；（2）求 在 上的值域． 【答案】（1）偶函数；（2） 【分析】用定义验证奇偶性；求值域时令 ，注意 的范围。 【详解】（1）定义域为 ，且 ，所以 是偶函数． 　　　（2）令 ，由 得 ， 　　　则 ．任取 ， 　　　， 　　　所以 在 上递增． 　　　当 （即 ）时取最小值 ；当 （即 ）时取最大值 ， 　　　故值域为 ． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、单选题 1．（人教A版必修第一册 P107 练习 改编）下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】奇次方根保留符号，偶次方根的结果是非负数。 【详解】，A 错误； 　　　，B 正确，D 错误； 　　　，C 错误．故选 B． 2．（人教A版必修第一册 P109 习题 4.2 改编）下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】同底比较看单调性：底数大于 递增，小于 递减。 【详解】A 中 且 ，所以 ，正确； 　　　B 中 且 ，所以 ，错误； 　　　C 中 ，错误； 　　　D 中 且 ，所以 ，错误．故选 A． 二、解答题 3．（人教A版必修第一册 P107 例 2 改编）解关于 的不等式 （，）． 【答案】见详解 【分析】底数含参，按 与 分类去掉底数。 【详解】当 时， 在 上递增，原不等式等价于 ，解得 ； 　　　当 时， 在 上递减，原不等式等价于 ，解得 ． 　　　综上，当 时解集为 ；当 时解集为 ． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 指数与指数函数 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 近三年高考指数运算与指数函数的考点分布与命题趋势研判 02 思维建模·脉络梳理 指数与指数函数知识结构图、三组易混辨析与换元思想 03 知识精讲·靶向突破 5 个核心知识点 + 5 道自主检测，逐点拆解 04 题型破译·方法提炼 5 大题型、5 道典型例题、15 道变式训练 05 真题溯源·考向感知 近五年高考真题 6 题，感知真实考法 06 课本典例·高考素材 教材例题高考化改编 3 题，回归本源 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026 年 2025 年 2024 年 指数幂的运算与化简 全国甲卷 T3（5 分） 新课标Ⅰ卷 T4（5 分） 天津卷 T4（5 分） 指数函数的图象与性质 新课标Ⅱ卷 T5（5 分） 北京卷 T5（5 分） 全国甲卷 T6（5 分） 指数型复合函数的单调性 新课标Ⅰ卷 T4（5 分） 天津卷 T6（5 分） 浙江卷 T7（5 分） 指数型函数的值域与最值 上海卷 T6（5 分） 全国乙卷 T8（5 分） 新高考Ⅱ卷 T7（5 分） 指数方程与不等式的交汇 北京卷 T8（5 分） 全国甲卷 T9（5 分） 江苏卷 T8（5 分） 指数运算考根式与分数指数幂的互化，以及底数大于 1 还是小于 1 对单调性的影响，两步都要写清楚。 指数型复合函数的难点在外层单调性与内层值域的交汇，换元之后必须写出新元的范围，否则值域会多出一截。 指数方程与不等式多数化成同底处理，化不了就取对数或借图象交点定位。 备考建议：先把幂的运算性质练到“见式就能化”，再牢牢记住底数为 的分界；处理复合函数时按“定义域—拆内外层—定单调性—写区间”四步走；换元后一定补上新元的取值范围，这是值域问题的得分点。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 本讲可以浓缩为“一套运算、两类图象、三条性质、四种转化”。先看整体脉络： 图 1　指数与指数函数知识结构图 脉络梳理之后，三组易混点务必辨析清楚，它们是选择题的高频陷阱： 易混对象 正确认识 根式的化简 ： 为奇数得 ， 为偶数得 ； 恒等于 底数与单调性 时 在 上递增， 时递减；比较大小时先看底数与 的关系，底数含参必须分类 换元后的新元范围 令 后必须写出 ，或由 的范围定出 的区间；漏写就会把值域扩大，最值也会取错 ▶　知识解构　◀ ▶ 知识点1　根式与分数指数幂 一、n 次方根 若 （，），则 叫做 的 次方根。 为奇数时， 的 次方根记作 ，被开方数可取任意实数； 为偶数时，只有 才有 次方根，记作 。 两个恒等式要记牢：（根式有意义时）；（ 为奇数），（ 为偶数）。 二、分数指数幂 规定 （，，），。 的正分数指数幂为 ， 的负分数指数幂没有意义。 三、幂的运算性质 ，，（，，）。这三条是化简与求值的全部依据。 注意： 1．化简 必须先看 的奇偶，偶次方根的结果是 而不是 。 2．分数指数幂的底数必须为正，负底数不能随意套用运算性质。 3．负指数先化倒数再乘方，小数、带分数先化为分数再运算。 【自主检测】计算 ． ▶ 知识点2　指数函数的图象与性质 一、定义与图象 形如 （，）的函数叫做指数函数，定义域为 ，值域为 ，图象恒过定点 ，以 轴为渐近线。 二、单调性与底数的关系 时， 在 上单调递增，当 时 ； 时， 在 上单调递减，当 时 。 在 轴右侧，底数越大图象越高；在 轴左侧恰好相反。 与 的图象关于 轴对称。 三、比较大小的三条路径 同底不同指数，直接用单调性；同指数不同底，看指数所在区间的正负再结合底数大小；底数与指数都不同，插入 （或 ）作中间量，先分“大于 ”与“小于 ”两组。 注意： 1．指数函数要求系数为 、底数为正且不等于 ， 不是指数函数。 2．值域是 ，图象永远在 轴上方，与 轴没有交点。 3．含参数的底数，先按 与 分类，再谈单调性与最值。 【自主检测】函数 的图象恒过定点________． ▶ 知识点3　指数型复合函数的单调性 一、同增异减 设 ，。当 时， 与 的单调性相同；当 时， 与 的单调性相反。这就是“同增异减”。 二、解题四步 1．求定义域；2．拆成内层 与外层 ；3．分别判断两层的单调性；4．按“同增异减”下结论，结果写成区间。 内层是二次函数时，对称轴把定义域分成两段；内层含绝对值时，先去绝对值化为分段形式，再逐段判断。 三、换元视角 也可令 ，由 时 随 增大而增大、 时 随 增大而减小，把问题转化为“ 关于 的单调性”与“ 关于 的单调性”的合成。 注意： 1．单调区间必须是定义域的子集，且不能写成并集，多个区间之间用“和”或逗号。 2．先看定义域再谈单调性，例如 在 与 上分别单调。 3．底数含参时， 与 两种情形的结论恰好相反，缺一不可。 【自主检测】函数 的单调递增区间是________． ▶ 知识点4　指数型函数的值域与最值 一、换元法 令 （或 ），先由 的范围求出 的范围，把原函数化为关于 的函数，再在 的范围内求值域。 二、二次型函数 形如 的函数，令 得 ，配方后结合 的取值范围取最值。 三、含参最值 对称轴含参时，按对称轴在区间左侧、区间内、区间右侧三种位置讨论；底数含参时，按 与 确定最大值、最小值落在哪个端点。 注意： 1．换元后必须写出新元的范围，这是值域问题最容易丢分的一步。 2． 恒成立，配方后的顶点若不在 的范围内，最值只能在端点取到。 3．求出最值后要回代检验：对应的 是否落在定义域内。 【自主检测】求函数 的最小值． ▶ 知识点5　指数方程与指数不等式 一、同底化 。常用化同底：，，，。 二、指数不等式 当 时，；当 时，，不等号方向要翻转。 三、换元法 形如 的方程，令 化为二次方程，解出 后舍去非正根，再由 求 。 注意： 1．解指数不等式必须先确定底数与 的大小，否则不等号方向必错。 2．换元后 ，解出的负根要舍去，不能直接回代。 3．含参数的方程或不等式，要对底数分类讨论，最后把各种情形的结果分别写清。 【自主检测】解方程 ． ▶　题型破译　◀ 下面按“运算—图象—单调性—值域—方程不等式”五条线索设置 5 个题型，每个题型配 1 道典型例题与 3 道变式训练，例题均标注来源，便于对照高考真实考法。 ▶ 题型1 指数幂的化简与求值 例1-1（2024·全国甲卷·T3 改编）计算 ． 【变式训练1-1】（2026·河北衡水·二模）已知 ，求 的值． 【变式训练1-2】（2026·山东青岛·一模）计算 ． 【变式训练1-3】（2025·江苏苏州·三模）化简 （）． ▶ 题型2 指数函数的图象与性质 例2-1（2025·新课标Ⅱ卷·T5 改编）函数 （ 且 ）的图象恒过定点（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-1】（2026·湖北武汉·二模）若 ，则函数 与 的图象关于（　　） A． 轴对称 B． 轴对称 C．原点对称 D．直线 对称 【变式训练2-2】（2026·四川成都·一模）设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-3】（2025·浙江杭州·三模）若函数 （，）在 上的最大值与最小值之差为 ，求 的值． ▶ 题型3 指数型复合函数的单调性 例3-1（2024·新课标Ⅰ卷·T6 改编）函数 的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 【变式训练3-1】（2026·福建厦门·一模）函数 的单调递增区间是________． 【变式训练3-2】（2026·湖南长沙·二模）若 在 上单调递减，则 的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 【变式训练3-3】（2025·江西南昌·三模）讨论函数 （，）的单调性． ▶ 题型4 指数型函数的值域与最值 例4-1（2025·全国乙卷·T8 改编）函数 在 上的值域是________． 【变式训练4-1】（2026·河南郑州·三模）求函数 的最小值． 【变式训练4-2】（2026·安徽合肥·二模）函数 的值域是________． 【变式训练4-3】（2025·辽宁大连·一模）求函数 的最大值． ▶ 题型5 指数方程、不等式及交汇 例5-1（2025·北京卷·T8 改编）不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-1】（2026·山西太原·二模）解方程 ． 【变式训练5-2】（2026·广西南宁·三模）解方程 ． 【变式训练5-3】（2025·重庆·二模）若不等式 （，）的解集为 ，则 的取值范围是________． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2021·全国甲卷·T4 改编）函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 2．（2022·新高考Ⅱ卷·T7 改编）设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 3．（2021·全国乙卷·T9 改编）函数 ，则 （　　） A．是奇函数，且在 上单调递增 B．是偶函数，且在 上单调递增 C．是奇函数，且在 上单调递减 D．是偶函数，且在 上单调递减 4．（2020·北京卷·T6 改编）函数 的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2022·上海卷·T5 改编）若 ，则 ________． 三、解答题 6．（2021·全国甲卷·T18 改编）设函数 ．（1）判断 的奇偶性；（2）求 在 上的值域． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、单选题 1．（人教A版必修第一册 P107 练习 改编）下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（人教A版必修第一册 P109 习题 4.2 改编）下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 二、解答题 3．（人教A版必修第一册 P107 例 2 改编）解关于 的不等式 （，）． / 学科网（北京）股份有限公司 $