第04讲 指数与指数函数（复习讲义）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦指数与指数函数专题，涵盖根式、分数指数幂、运算性质、指数函数图象与性质等核心考点，按知识解构-题型破译-真题训练逻辑架构，通过考情分析、知识框架搭建、方法技巧归纳及分层练习，系统突破高考重点难点。 讲义创新采用题型靶向突破法，如通过换元法解决指数型函数值域问题，结合近年北京卷真题培养逻辑推理与数形结合素养，设置基础与重难分层训练，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供精准指导。

第04讲 指数与指数函数 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 根式的概念及性质 知识点2 分数的指数幂的意义 知识点3 实数指数幂的运算性质 知识点4 指数函数的一般形式 知识点5 指数函数的图象及性质 知识点6 解指数不等式 知识点7 比较大小的方法 题型破译 (含超链接） 题型1 指数与指数幂的运算【含方法技巧】 题型2 指数函数的图象及其应用【含方法技巧】 题型3 指数（型）函数的单调性【含方法技巧】 题型4 指数（型）函数的值域与最值【含方法技巧】 题型5 指数值的大小比较【含方法技巧】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 指数函数的图象与性质 T5（4分） T4（4分） T9（4分） 考情分析 指数与指数函数是高考必考内容，北京卷近年以选择题形式直接命题，分值约4分，难度中等偏易。近三年考情显示，指数函数常与函数奇偶性、单调性判断（2026 T5）、图象变换（2025 T4）及图象上点的坐标关系（2024 T9）相结合考查，体现数形结合与逻辑推理素养。复习时需立足基础，掌握指数运算与指数函数性质，同时注意与三角函数、对数函数等板块的联系与区分。 复习目标 1.理解指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，能进行指数式的化简与求值。 2.理解指数函数的概念，掌握指数函数 （ 且 ）的图象与性质（定义域、值域、单调性、过定点）。 3.能利用指数函数的单调性比较指数式的大小，能解决简单的与指数函数相关的复合函数问题（如定义域、值域、单调区间）。 4.理解指数函数与对数函数互为反函数的关系，能进行简单的图象变换。 5.体会指数函数在刻画增长或衰减实际问题中的广泛应用，提升数学建模素养。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 根式的概念及性质 （1）概念：式子叫做______，这里叫做根指数，叫做被开方数． （2）①______没有偶次方根． ②0的任何次方根都是0，记作______． ③______（，且）． ④（为大于1的奇数）． ⑤（为大于1的偶数）． 自主检测若，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 知识点2 分数的指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定： （，且） 负分数指数幂 规定：（，且） 性质 0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂 自主检测已知，则的分数指数幂的形式为（   ） A． B． C． D． 知识点3 实数指数幂的运算性质 （1）= . . （2）= . . （3）= . . 自主检测1已知，，则（    ） A． B． C． D． 自主检测2若，且，则（   ） A． B． C． D．8 知识点4 指数函数的一般形式 一般地，函数 （）叫做指数函数，其中是自变量，定义域为. 自主检测若是指数函数，则有（    ） A． B． C． D．且 知识点5 指数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 过点 ，即 时， 函数值的变化 当时， 当时， 当时， 当时， 单调性 是上的 是上的 自主检测1函数（且）的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 自主检测2已知且，，则函数与在同一坐标系内的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 知识点6 解指数不等式 （1）指数不等式的类型为，且． ①当时， ； ②当时， ． （2）含指数式的不等式的一般解法：先将不等式的两边化成 的指数式，再利用指数函数的单调性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解． 自主检测不等式的解集是______. 知识点7 比较大小的方法 （1）对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用 来判断； （2）对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用 来判断； （3）对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过 来判断． 自主检测设，，，则（   ） A． B． C． D． 题●型●破●译 题型1 指数与指数幂的运算 例1-1若，则__________. 例1-2若，则___________．（用m，n表示） 方法技巧 1.根式与分数指数幂的互化：牢记公式 （，，且 ），这是化简运算的基础。 2.运算优先级：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。有括号先算括号内的。 3.化简原则： 尽量将根式化为分数指数幂，将负指数化为正指数（利用 ）； 结果中通常不含负指数和根式（可根据题目要求保留）。 4.乘法公式的逆用：灵活运用 ，，， 进行合并与化简。 5.整体代换：对于形如 、 的式子，常利用平方关系 进行整体变形。 【变式训练1-1】将化成有理数指数幂的形式为___________． 【变式训练1-2】已知 ，则 _____. 【变式训练1-3】已知（，且），则______． 题型2 指数函数的图象及其应用 例1-1（2026·北京东城·二模）已知函数与的图象关于轴对称，则（   ） A．-2 B． C． D．2 例1-2已知函数恒过定点，且点在函数的图象上，则的最小值为（   ） A． B．8 C． D． 方法技巧 1.图象特征：指数函数 （，）的图象恒过定点 ，且以 轴为渐近线。 当 时，图象从左到右上升（单调递增）； 当 时，图象从左到右下降（单调递减）。 2.图象变换： 平移变换： 的图象由 的图象向左（）或向右（）平移 个单位，再向上（）或向下（）平移 个单位得到。 对称变换： 与 的图象关于 轴对称； 与 的图象关于 轴对称。 3.用图：利用指数函数图象可直观判断方程解的个数、不等式解集以及参数取值范围，数形结合是解决这类问题的核心方法。 【变式训练1-1】已知函数，若曲线与曲线关于直线对称，则（    ） A． B． C．0 D．1 【变式训练1-2】已知函数的图象过原点，且无限接近于直线，但不与该直线相交，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】若函数至少有一个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型3 指数（型）函数的单调性 例1-1（2026·北京房山·二模）下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 例1-2若函数在区间单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 方法技巧 1.直接判断：对于 （，），其单调性由底数 和内层函数 的单调性共同决定，遵循“同增异减”原则： 当 时， 与 的单调性相同； 当 时， 与 的单调性相反。 2.含参讨论：若底数 为参数且范围不明确，需分 和 两类进行讨论。 3.复合函数的单调区间：先求定义域，再在定义域内确定内层函数的单调区间，最后利用“同增异减”得出复合函数的单调区间。 【变式训练1-1】（2026·北京丰台·二模）不等式的解集是___________. 【变式训练1-2】（2026·北京昌平·二模）已知函数，则是（） A．偶函数，且在上是增函数 B．奇函数，且在上是增函数 C．偶函数，且在上是减函数 D．奇函数，且在上是减函数 【变式训练1-3】若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型4 指数（型）函数的值域与最值 例1-1函数的值域为______. 例1-2若是奇函数，则的值域为（   ） A． B． C． D． 方法技巧 1.换元法：对于指数型函数 ，令 ，先求出 的取值范围，再结合指数函数 的单调性，求出 的范围。 2.配方法：若指数部分 是二次函数，可先对 配方，确定其最值，再利用指数函数的单调性求整体值域。 3.分离常数法：对于分式型指数函数 （ 为常数），可先分离常数，转化为简单形式后再求值域。 4.注意定义域：求值域前务必先确定函数的定义域，定义域的变化会直接影响值域的结果。 5.数形结合：画出图象，直接观察纵坐标的取值范围，尤其适用于含绝对值的指数函数。 【变式训练1-1】函数在上的值域为___________. 【变式训练1-2】已知函数的最小值为，则实数的值是（   ） A． B． C． D．4 【变式训练1-3】已知函数，则的最大值与最小值之差为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型5 指数值的大小比较 例1-1设，，，则a，b，c的大小关系为（  ） A． B． C． D． 例1-2设，，，则（    ） A． B． C． D． 方法技巧 1.同底数、异指数：利用指数函数 的单调性直接判断。当底数 时，指数越大，函数值越大；当 时，指数越大，函数值越小。 2.同指数、异底数：利用幂函数 的单调性，或借助指数函数图象在第一象限的高低位置进行比较。 3.底数、指数均不同： 引入中间量：通常选 或 作为桥梁，将要比较的数分别与 、 比较，再确定大小关系。 化为同底或同指：通过恒等变形（如将底数化为相同或将指数化为相同），转化为上述两种情况再比较。 4.特殊值法：对于选择题，可取满足条件的特殊指数值代入验证，快速排除错误选项。 【变式训练1-1】设，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】设，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】设，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2025·北京·高考真题）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（   ） A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变） 2．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．求下列函数的定义域： （1）； （2）； （3）； （4） 2．比较下列各题中两个值的大小： （1）； （2）； （3）. 3．比较满足下列条件的、的大小： (1)； (2)； (3)； (4). 4．已知f(x)=ax，g(x)=(a>0，且a≠1). （1）讨论函数f(x)和g(x)的单调性； （2）如果f(x)<g(x)，那么x的取值范围是多少？ 5．已知函数，且，，求函数的一个解析式. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．已知，则（  ）. A． B． C． D． 2．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3．若函数在上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 5．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，对任意的，且，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知集合，则中的元素个数为（   ） A． B． C． D． 9．若函数且在区间上的值域为，则（   ） A． B． C．3 D．5 10．已知、为实数，则“”是“”的（ ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分又非必要 重难·创新演练 11．高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 12．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 13．函数，若关于x的方程有4个不同的根，则a的取值范围（   ） A． B． C． D． 14．已知是上的奇函数，当时，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．已知曲线上的点和曲线上的两点 满足是等腰直角三角形，且直角边与坐标轴平行，则（   ） A． B．2 C． D．3 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 指数与指数函数 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 根式的概念及性质 知识点2 分数的指数幂的意义 知识点3 实数指数幂的运算性质 知识点4 指数函数的一般形式 知识点5 指数函数的图象及性质 知识点6 解指数不等式 知识点7 比较大小的方法 题型破译 (含超链接） 题型1 指数与指数幂的运算【含方法技巧】 题型2 指数函数的图象及其应用【含方法技巧】 题型3 指数（型）函数的单调性【含方法技巧】 题型4 指数（型）函数的值域与最值【含方法技巧】 题型5 指数值的大小比较【含方法技巧】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 指数函数的图象与性质 T5（4分） T4（4分） T9（4分） 考情分析 指数与指数函数是高考必考内容，北京卷近年以选择题形式直接命题，分值约4分，难度中等偏易。近三年考情显示，指数函数常与函数奇偶性、单调性判断（2026 T5）、图象变换（2025 T4）及图象上点的坐标关系（2024 T9）相结合考查，体现数形结合与逻辑推理素养。复习时需立足基础，掌握指数运算与指数函数性质，同时注意与三角函数、对数函数等板块的联系与区分。 复习目标 1.理解指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，能进行指数式的化简与求值。 2.理解指数函数的概念，掌握指数函数 （ 且 ）的图象与性质（定义域、值域、单调性、过定点）。 3.能利用指数函数的单调性比较指数式的大小，能解决简单的与指数函数相关的复合函数问题（如定义域、值域、单调区间）。 4.理解指数函数与对数函数互为反函数的关系，能进行简单的图象变换。 5.体会指数函数在刻画增长或衰减实际问题中的广泛应用，提升数学建模素养。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 根式的概念及性质 （1）概念：式子叫做___根式 ___，这里叫做根指数，叫做被开方数． （2）①__负数____没有偶次方根． ②0的任何次方根都是0，记作___0___． ③______（，且）． ④（为大于1的奇数）． ⑤（为大于1的偶数）． 自主检测若，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次根式的性质求解. 【详解】，，， . 故选：B. 知识点2 分数的指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定： （，且） 负分数指数幂 规定：（，且） 性质 0的正分数指数幂等于 0 ，0的负分数指数幂 无意义 自主检测已知，则的分数指数幂的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分数指数幂和根式的关系逐层转化即可. 【详解】. 故选：A 知识点3 实数指数幂的运算性质 （1）= . . （2）= . . （3）= . . 自主检测1已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数的运算性质可得出，，，结合指数的运算性质可求得所求代数式的值. 【详解】因为，，则，，且，所以， 所以. 故选：B. 自主检测2若，且，则（   ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】利用完全平方公式求出，再由完全平方公式求出，即可得解. 【详解】， ， 即， ， ， 又，， . 知识点4 指数函数的一般形式 一般地，函数 （）叫做指数函数，其中是自变量，定义域为. 自主检测若是指数函数，则有（    ） A． B． C． D．且 【答案】B 【详解】由指数函数的定义得，解得. 知识点5 指数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 过点 ，即 0 时， 1 函数值的变化 当时， 当时， 当时， 当时， 单调性 是上的 增函数 是上的 减函数 自主检测1函数（且）的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，令，求得，且，即可求解. 【详解】由函数，令，解得，此时， 所以函数且的图象必经过点． 自主检测2已知且，，则函数与在同一坐标系内的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为为一次函数，所以函数的图象为一条直线，根据选项由一次函数图象性质及指数型函数图象性质依次判断即可. 【详解】因为为一次函数，所以函数的图象为一条直线， 而为指数型函数， 对于A，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递增，故A符合题意； 对于B，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递减，故B符合题意； 对于C，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递减其图象与的图象关于轴对称，故C符合题意； 对于D，由图象结合一次函数图象性质可知，， 而恒成立，所以图象在轴上方，故D不符合题意. 故选：D 知识点6 解指数不等式 （1）指数不等式的类型为，且． ①当时， ； ②当时， ． （2）含指数式的不等式的一般解法：先将不等式的两边化成 同底 的指数式，再利用指数函数的单调性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解． 自主检测不等式的解集是______. 【答案】 【分析】根据题意结合指数函数单调性可得，解一元二次不等式即可得结果. 【详解】因为，可得， 整理可得，解得， 所以不等式的解集是. 故答案为：. 知识点7 比较大小的方法 （1）对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用 指数函数的单调性 来判断； （2）对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用 指数函数的图象的变化规律 来判断； （3）对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过 中间值 来判断． 自主检测设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出. 【详解】因为，，， 所以. 故选：A. 题●型●破●译 题型1 指数与指数幂的运算 例1-1若，则__________. 【答案】 【分析】利用对数与指数的互化以及指数幂的运算性质可求得所求代数式的值. 【详解】，，又， . 故答案为：. 例1-2若，则___________．（用m，n表示） 【答案】 【分析】由条件结合指数幂的运算性质可得，结合关系可得结论. 【详解】因为，所以， 所以． 方法技巧 1.根式与分数指数幂的互化：牢记公式 （，，且 ），这是化简运算的基础。 2.运算优先级：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。有括号先算括号内的。 3.化简原则： 尽量将根式化为分数指数幂，将负指数化为正指数（利用 ）； 结果中通常不含负指数和根式（可根据题目要求保留）。 4.乘法公式的逆用：灵活运用 ，，， 进行合并与化简。 5.整体代换：对于形如 、 的式子，常利用平方关系 进行整体变形。 【变式训练1-1】将化成有理数指数幂的形式为___________． 【答案】 【分析】由根式与指数幂换算求解． 【详解】． 故答案为： 【变式训练1-2】已知 ，则 _____. 【答案】/0.5 【分析】由指数的运算性质即可得解. 【详解】由题意，所以. 故答案为： 【变式训练1-3】已知（，且），则______． 【答案】/ 【详解】已知（，且），令，则，，解得， ，； ， ． 题型2 指数函数的图象及其应用 例1-1（2026·北京东城·二模）已知函数与的图象关于轴对称，则（   ） A．-2 B． C． D．2 【答案】A 【详解】函数图象上任意一点关于轴对称的点为， 代入中得，即，得. 例1-2已知函数恒过定点，且点在函数的图象上，则的最小值为（   ） A． B．8 C． D． 【答案】D 【分析】通过令指数部分为0求出定点坐标，代入直线得到线性关系，再运用基本不等式求最小值即可. 【详解】令，即，，所以恒过定点， 因为点在函数的图象上，则有， ， 当且仅当，即时等号成立. 则的最小值为. 方法技巧 1.图象特征：指数函数 （，）的图象恒过定点 ，且以 轴为渐近线。 当 时，图象从左到右上升（单调递增）； 当 时，图象从左到右下降（单调递减）。 2.图象变换： 平移变换： 的图象由 的图象向左（）或向右（）平移 个单位，再向上（）或向下（）平移 个单位得到。 对称变换： 与 的图象关于 轴对称； 与 的图象关于 轴对称。 3.用图：利用指数函数图象可直观判断方程解的个数、不等式解集以及参数取值范围，数形结合是解决这类问题的核心方法。 【变式训练1-1】已知函数，若曲线与曲线关于直线对称，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【详解】由对称性定义可知， 即，即，∴， 故. 【变式训练1-2】已知函数的图象过原点，且无限接近于直线，但不与该直线相交，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的图象无限接近直线但又不与该直线相交可得出，再将原点坐标代入该函数的解析式可求得即可. 【详解】由函数的图象无限接近于直线，但不与该直线相交可得， 又因函数的图象过原点，则，故. 故选：C. 【变式训练1-3】若函数至少有一个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，问题转化为与的图象有交点，数形结合求解. 【详解】函数有零点，则方程有根，即有根， 因此函数的图象与直线有交点， 而函数是R上的偶函数，在上单调递减，函数的值域为， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图，    观察图象知，当且仅不，即时，函数的图象与直线有交点， 所以的取值范围为. 故选：C 题型3 指数（型）函数的单调性 例1-1（2026·北京房山·二模）下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】选项A，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ，， 是奇函数， 在上是单调递增函数， 在定义域上不是单调递增函数，故选项A错误； 选项B，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ，， 不是奇函数，故选项B错误； 选项C，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ，， 是奇函数， 都是定义域上的单调递增函数，是定义域上的单调递增函数， 故选项C正确； 选项D，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ，，是奇函数， 当时，，当且仅当时，即时等号成立， 当时，单调递减；当时，单调递增， 当时，单调递减；当时，单调递增； 故选项D错误. 例1-2若函数在区间单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数复合函数的区间单调性，结合二次函数的性质有，即可得. 【详解】令，又在R上单调递减， 所以要使在区间单调递增， 则在区间单调递减， 所以由的开口向上且对称轴为得，解得. 故选：D 方法技巧 1.直接判断：对于 （，），其单调性由底数 和内层函数 的单调性共同决定，遵循“同增异减”原则： 当 时， 与 的单调性相同； 当 时， 与 的单调性相反。 2.含参讨论：若底数 为参数且范围不明确，需分 和 两类进行讨论。 3.复合函数的单调区间：先求定义域，再在定义域内确定内层函数的单调区间，最后利用“同增异减”得出复合函数的单调区间。 【变式训练1-1】（2026·北京丰台·二模）不等式的解集是___________. 【答案】 【分析】把不等式化为，结合指数函数的单调性，即可求解. 【详解】由不等式，可化为， 因为函数为定义域上的单调递增函数，所以， 所以不等式的解集为. 【变式训练1-2】（2026·北京昌平·二模）已知函数，则是（） A．偶函数，且在上是增函数 B．奇函数，且在上是增函数 C．偶函数，且在上是减函数 D．奇函数，且在上是减函数 【答案】D 【分析】先确定定义域为且关于原点对称,求出判定为奇函数,再将函数变形为,由在上递增推出在上递减,从而选出答案D. 【详解】已知函数，定义域为，关于原点对称. .满足，故是奇函数. .因为且在上单调递增. 所以在上单调递增，进而在上单调递减. 故在上单调递减. 综上，是奇函数，且在上是减函数. 【变式训练1-3】若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、二次函数以及复合函数的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数， 且函数在上单调， 根据复合函数的单调性，可得，即， 所以的取值范围是. 故选：A. 题型4 指数（型）函数的值域与最值 例1-1函数的值域为______. 【答案】 【详解】因为，所以，所以，故. 例1-2若是奇函数，则的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得，再结合不等式的运算求解值域即可. 【详解】函数的定义域为， 由是奇函数即， 所以，解得， 则， 因为且，所以，，则， 即，可得， 所以函数的值域为． 方法技巧 1.换元法：对于指数型函数 ，令 ，先求出 的取值范围，再结合指数函数 的单调性，求出 的范围。 2.配方法：若指数部分 是二次函数，可先对 配方，确定其最值，再利用指数函数的单调性求整体值域。 3.分离常数法：对于分式型指数函数 （ 为常数），可先分离常数，转化为简单形式后再求值域。 4.注意定义域：求值域前务必先确定函数的定义域，定义域的变化会直接影响值域的结果。 5.数形结合：画出图象，直接观察纵坐标的取值范围，尤其适用于含绝对值的指数函数。 【变式训练1-1】函数在上的值域为___________. 【答案】 【分析】利用换元法，结合二次函数、指数函数的知识来求得正确答案. 【详解】设，由于，所以， 所以， 根据二次函数的性质可知，当时，取得最小值为，对应； 当时，取得最大值为， 所以取得的值域为. 故答案为： 【变式训练1-2】已知函数的最小值为，则实数的值是（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】换元后将原函数化为关于新变量的二次函数，其图象开口向上，最小值在顶点处取得，为使顶点位于定义域内，需对称轴大于零，此时顶点函数值等于已知最小值，解方程求得参数值，并舍去使对称轴非正的值. 【详解】设，则，函数等价于函数． 令，则该函数的图象开口向上，对称轴为直线． 当，即时，在上单调递增，此时无最值，不满足题意； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 或（舍去）． 所以实数的值是. 【变式训练1-3】已知函数，则的最大值与最小值之差为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据分段函数结合指数函数单调性计算得出最值即可求解. 【详解】函数， 因为单调递增，所以； 因为单调递减，所以； 所以当时，；当时，； 则的最大值与最小值之差为. 题型5 指数值的大小比较 例1-1设，，，则a，b，c的大小关系为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，利用指数函数的单调性比较a，b，再与“1”比较即可. 【详解】，． 因为指数函数单调递增，且， 所以． 又，． 所以． 故选：B. 例1-2设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 因为，且， 所以，即， ，因为，幂函数在上单调递增，， 所以，因此，即， ， 因为，，所以， 因为，所以，即， 因此. 方法技巧 1.同底数、异指数：利用指数函数 的单调性直接判断。当底数 时，指数越大，函数值越大；当 时，指数越大，函数值越小。 2.同指数、异底数：利用幂函数 的单调性，或借助指数函数图象在第一象限的高低位置进行比较。 3.底数、指数均不同： 引入中间量：通常选 或 作为桥梁，将要比较的数分别与 、 比较，再确定大小关系。 化为同底或同指：通过恒等变形（如将底数化为相同或将指数化为相同），转化为上述两种情况再比较。 4.特殊值法：对于选择题，可取满足条件的特殊指数值代入验证，快速排除错误选项。 【变式训练1-1】设，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数和对数函数的性质，分别求得，和，即可求解. 【详解】由指数函数的性质，可得，即， 且，即， 又由对数函数的性质，可得，即， 所以. 【变式训练1-2】设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找中间量、合理构造函数后，利用指数函数、幂函数的单调性求解 【详解】构造指数函数，底数，所以单调递减，即； ，即. 【变式训练1-3】设，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性判断a，b的大小；通过正弦函数的取值范围，结合对数函数的单调性可判断三者的大小. 【详解】由a＝，b＝，指数函数为单调递减函数， 又，所以，即 因为上单调递增， ，所以， 又，在上，在上，，所以， 即， 故B选项正确. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2025·北京·高考真题）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（   ） A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变） 【答案】A 【详解】因为，所以将函数的图象上所有点的横坐标变成原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数的图象， 故选：A. 2．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，则，即，所以. 故选：D. 3．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 4．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 5．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 【答案】1 【详解】函数，所以. 故答案为：1 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．求下列函数的定义域： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【详解】（1）可得的定义域为； （2）可得的定义域为； （3）可得的定义域为； （4）可得，即的定义域为. 2．比较下列各题中两个值的大小： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）由函数的单调性得结论； （2）由函数的单调性得结论； （3）与中间值1比较后可得． 【详解】（1）和可看作函数当分别取2.5和3时所对应的两个函数值. 因为底数，所以指数函数是增函数. 因为，所以. （2）同（1）理，因为，所以指数函数是减函数，因，所以. （3）由指数函数的性质知， 所以. 【点睛】本题考查比较幂的大小，同底数的幂可利用指数函数的单调性比较，不同底数的幂可借助中间值为1比较大小． 3．比较满足下列条件的、的大小： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：因为函数为上的增函数，且，则. （2）解：因为函数为上的减函数，且，则. （3）解：当时，函数为上的减函数，且，则. （4）解：当时，函数为上的增函数，且，则. 4．已知f(x)=ax，g(x)=(a>0，且a≠1). （1）讨论函数f(x)和g(x)的单调性； （2）如果f(x)<g(x)，那么x的取值范围是多少？ 【答案】（1）答案见解析；（2）当a>1时，x的取值范围是；当0<a<1时，x的取值范围是. 【详解】（1）当a>1时，f (x)=ax是R上的增函数， 由于0<<1，所以g(x)=是R上的减函数； 当0<a<1时，f (x)=ax是R上的减函数， 由于>1，所以g(x)=是R上的增函数； （2）， 当a>1时，x<0；当0<a<1时，x>0. ∴当a>1时，x的取值范围是； 当0<a<1时，x的取值范围是. 【点睛】本题考查了指数函数图象与性质的应用，考查了分类讨论思想的应用，属于基础题. 5．已知函数，且，，求函数的一个解析式. 【答案】 【解析】用连乘法求，然后用归纳法归纳一个结论． 【详解】由已知得，，， ， ，又. 【点睛】本题考查指数函数的解析式，由于只知道一些函数值，并不知道函数的形式，因此可用归纳法思想归纳一个结论． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．已知，则（  ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性判断即可. 【详解】因为函数在上是增函数，函数在上是减函数，且， 所以，即. 故选：C. 2．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分段法来确定正确答案. 【详解】， ， ， 所以. 故选：A 3．若函数在上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用指数型复合函数的单调性列式求出的范围. 【详解】函数在上单调递增，而函数是R上的增函数， 则函数在上单调递增，于是， 所以a的取值范围为． 故选：D 4．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数在、上的值域，取并集即可得出函数的值域. 【详解】当时，，因为函数在上单调递增， 所以，此时； 当时，因为函数在上为减函数，在上为增函数， 故，即在上的值域为. 综上所述，函数的值域为. 故选：A. 5．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的奇偶性、基本初等函数的性质再结合复合函数的单调性逐一判断即可. 【详解】对于A，由在上递增，在定义域上递增，故在上递增，故A不满足题意； 对于B，由在上递增，在定义域上递增，故在 上单调递增函数，故B不满足题意； 对于C，为偶函数，由幂函数的性质知在上递减，故C满足题意； 对于D，为偶函数，在上为周期函数，故D不满足题意. 故选：C. 6．已知函数，对任意的，且，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据条件判断函数在上为增函数，在保证每一段函数单调递增的情况下，注意分界点处的值的大小关系，列不等式组求解即可． 【详解】根据题意，函数对任意的，且，都有， 所以在上为增函数， 又， 所以有， 即，解得， 故选：D． 7．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由指数函数单调性可得，然后根据不等式性质及充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】由指数函数的单调性得，由能推出， 反之，由推不出，例如，但， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 8．已知集合，则中的元素个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求解计划是先求解集合中不等式，确定集合的元素，再根据交集的定义求出，最后得出中元素的个数. 【详解】集合由满足的自然数组成， 又， 所以满足的自然数的，故集合， 集合， 所以，包含个元素. 故选：B. 9．若函数且在区间上的值域为，则（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】利用指数函数性质计算即可得. 【详解】由指数函数的性质知必是单调函数， 又， 因为值域为，所以函数在上单调递增，故， 即，解得，又，故. 故选：B. 10．已知、为实数，则“”是“”的（ ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分又非必要 【答案】B 【详解】因为，则，又，则， 命题“若，则”为真命题，即， 命题“若，则”为假命题，即 所以“”是“”的必要非充分条件. 故选：B. 重难·创新演练 11．高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先用换元法求得的值域，再根据高斯函数定义求出结论． 【详解】, 设，因为，则， 所以， 因为，则，即， 所以当时，，当时，，当时，， 所以的值域是 12．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，，转化不等式为，进而分、两种情况讨论求解即可. 【详解】令，， 由，则， 当时，不等式为，即， 解得或，由于，则不等式无解； 当时，不等式为，即， 解得或，由于，则， 即，则. 综上所述，不等式的解集为. 故选：B 13．函数，若关于x的方程有4个不同的根，则a的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根的情况和 的情况求解即可 【详解】当时，单调递减，且，所以， 因为，所以 为偶函数， 作出的图象如图：    由， 得 ， 因为关于x的方程有4个不同的根， 且 有两个不同的实数根，所以有两个不同的实数根， 则 ，且 ， 所以a的取值范围为. 故选：D. 【点睛】利用函数的奇偶性结合一元二次方程根的情况求解是关键，要学会使用复合函数的根的求法. 14．已知是上的奇函数，当时，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求得当时，，不等式可得，根据函数奇偶性、单调性及列式求解即可. 【详解】因为是上的奇函数， 所以，解得． 易知当时， 因为在区间内单调递增，所以函数在区间内单调递减， 又为奇函数，所以在上单调递减．因为，， 所以不等式可化为，即， 则，又，所以，则， 由函数的单调性可知，解得或． 故选：A． 15．已知曲线上的点和曲线上的两点 满足是等腰直角三角形，且直角边与坐标轴平行，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】先判断必为斜边，再设，则可由题设条件得到，构建单调函数后可求该方程的解，从而可求. 【详解】因为在曲线上，故必为斜边， 不妨设平行于轴，平行于轴， 设，则， 令，则即， 因为是等腰直角三角形，故， 所以， 整理得， 设， 因为均为上的增函数， 故为上的增函数，而， 故的解为， 故. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $