2027届高考数学一轮复习讲义第6讲 指数与指数函数

该高中数学讲义聚焦指数与指数函数高考核心考点，按“根式-分数指数幂-运算性质-指数函数图象及性质”逻辑梳理知识体系，通过知识点预览夯实基础，核心题型探究（含指数幂运算、图象应用、性质应用）进行考点分析与方法指导，配合跟踪训练及课时精练，构建系统复习路径。 资料特色在于对接高考命题规律，设计分层教学活动，如指数函数性质应用中通过奇函数单调性及恒成立问题培养数学思维，图象考点借助多选例题训练几何直观。设置基础到综合练习，保障复习效果，助力教师精准把控节奏，有效提升学生应考能力。

2027年高考一轮复习讲义 第6讲 指数与指数函数 知识点预览 1.根式 (1)一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. (3)()n=a. 当n为奇数时，=a， 当n为偶数时，=|a|= 2.分数指数幂 正数的正分数指数幂：=(a>0，m，n∈N*，n>1). 正数的负分数指数幂：==(a>0，m，n∈N*，n>1). 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 3.指数幂的运算性质 aras=ar+s；(ar)s=ars；(ab)r=arbr(a>0，b>0，r，s∈R). 4.指数函数及其性质 (1)概念：一般地，函数y=ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，+∞) 性质 过定点(0，1)，即x=0时，y=1 当x>0时，y>1；当x<0时， 0<y<1 当x<0时，y>1；当x>0时， 0<y<1 增函数 减函数 探究核心题型 考点一 指数幂的运算 例1-1 (2025·中山模拟)将·化成分数指数幂的形式是(　　) A. B. C. D. 例1-2 计算： (1)0.5－2×－2×0＋－2； (2)2×3×. 跟踪训练 1 (1)计算：++×[(-2)4=　　　　.  (2)若+=3，则=　　　　.  2. (多选)下列计算正确的是(　　) A.＝ B． C.＝ D．已知x2＋x－2＝2，则x＋x－1＝2 3. (多选)下列各式正确的是(式中字母均是正数)(　　) A.= B.=a C.=36 D.=- 考点二 指数函数的图象及应用 例2-1. (多选)已知实数a，b满足等式3a＝6b，则下列可能成立的关系式为(　　) A．a＝b B．0<b<a C．a<b<0 D．0<a<b 例2-2. (多选)已知函数f(x)=ax-b(a>0，且a≠1，b≠0)的图象如图所示，则(　　) A.a>1 B.0<a<1 C.b>1 D.0<b<1 跟踪训练 1. (多选)(2025·淮安模拟)已知实数a，b满足等式=，则下列关系式中可能成立的是(　　) A.0<b<a B.b<a<0 C.a=b D.a<b<0 2. 若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________． 考点3 指数函数的性质及应用 命题点1　比较指数式的大小 例3-1. (2024·海口模拟)已知a＝1.30.6，b＝－0.4，c＝0.3，则(　　) A．c<b<a B．a<b<c C．c<a<b D．b<c<a 命题点2　解简单的指数方程或不等式 例3-2. 已知p：ax<1(a>1)，q：2x＋1－x<2，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 命题点3　指数函数性质的综合应用 例3-3. (2025·合肥期末)已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数. (1)求实数a的值； (2)判断函数f(x)的单调性，并说明理由； (3)若不等式f(m·3x)+f(3x-9x-2)>0对任意的x≥0恒成立，求实数m的取值范围. 跟踪训练 1. (2026·大同模拟)设a=0.30.2，b=1.10.2，c=1.10.3，则(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.c<a<b 2. (2025·大连期末)不等式2·10x-3x-6x≤0的解集为　　　　　　.  3. 已知函数f(x)=(a>0且a≠1)在区间[0，2]上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A.(1，+∞) B. C.∪(1，+∞) D. 4. (多选)(2023·重庆模拟)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)的定义域为R B．函数f(x)的值域为(－1,1) C．函数f(x)是奇函数 D．函数f(x)为减函数 课时对点精练 一、单项选择题 1．已知函数f(x)=ax-2+1(a>0，a≠1)的图象恒过定点M(m，n)，则函数g(x)=mx-n的图象不经过(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2．函数y=3|x|-1的定义域为[-1，2]，则其值域为(　　) A.[2，8] B.[1，8] C.[0，8] D.[-1，8] 3．下列结论中，正确的是(　　) A．若a>0，则＝a B．若m8＝2，则m＝± C．若a＋a－1＝3，则＝± D.＝2－π 4．已知指数函数f(x)=(a-1)bx的图象经过点，则等于(　　) A. B. C.2 D.4 5．(2026·汕头期末)设a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系为(　　) A.c>a>b B.a>b>c C.b>a>c D.a>c>b 6．(2023·新高考全国Ⅰ)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．[－2,0) C．(0,2] D．[2，＋∞) 7. (2026·泰州模拟) “关于x的方程a(2|x|＋1)＝2|x|没有实数解”的一个必要不充分条件是(　　) A．a≤ B．a>1 C．a≤或a≥1 D．a<或a≥1 8．(2026·哈尔滨模拟)已知函数y=a+b的图象经过原点，且无限接近直线y=2，但又不与该直线相交，则ab等于(　　) A.-1 B.-2 C.-4 D.-9 二、多项选择题 9．下列各式正确的是(　　) A.若2a=，则8a= B.若am=3，an=4，则=24 C.若a>0，则= D.若a>0，b>0，则4÷=-6ab-1 10．已知函数f(x)＝|2x－1|，实数a，b满足f(a)＝f(b)(a<b)，则(　　) A．2a＋2b>2 B．∃a，b∈R，使得0<a＋b<1 C．2a＋2b＝2 D．a＋b<0 11. 已知函数f(x)＝m－是定义域为R的奇函数，则下列说法正确的是(　　) A．m＝ B．函数f(x)在R上的最大值为 C．函数f(x)是减函数 D．存在实数n，使得关于x的方程f(x)－n＝0有两个不相等的实数根 三、填空题 12．计算：0.12-+[(-2)2+(×)6=　　　　　.  13．若关于x的方程4x-a·2x+a=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是　　　　　　.  四、解答题 14．(2026·莆田模拟)已知函数f(x)=(a∈R). (1)若a=-2，求f(x)的单调区间；(6分) (2)若f(x)有最大值3，求a的值.(7分) 15．如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值． 16. 已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数． (1)求a，b的值； (2)判断f(x)的单调性； (3)若存在t∈[0,4]，使f(k＋t2)＋f(4t－2t2)<0成立，求实数k的取值范围． 17. .(2025·成都模拟)已知a>2，8a+15a=17b，则(　　) A.a>b>2 B.a>2>b C.b>a>2 D.b>2，但a和b的大小关系无法确定 18.(多选)函数y=f(x)和y=f(-x)，若两函数在区间[m，n]上的单调性相同，则把区间[m，n]叫做y=f(x)的“稳定区间”，已知区间[1，2 025]为函数y=的“稳定区间”，则实数a的可能取值是(　　) A.- B.- C.0 D. 19. (2023·深圳模拟)已知α∈，a＝(cos α)sin α，b＝(sin α)cos α，c＝(cos α)cos α，则(　　) A．b>c>a B．c>b>a C．c>a>b D．a>b>c 20. (2026·岳阳模拟) )正实数m，n满足e1－2m＋2－2m＝en－1＋n，则＋的最小值为________． 2 / 3 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考一轮复习讲义 第6讲 指数与指数函数 知识点预览 1.根式 (1)一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. (3)()n=a. 当n为奇数时，=a， 当n为偶数时，=|a|= 2.分数指数幂 正数的正分数指数幂：=(a>0，m，n∈N*，n>1). 正数的负分数指数幂：==(a>0，m，n∈N*，n>1). 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 3.指数幂的运算性质 aras=ar+s；(ar)s=ars；(ab)r=arbr(a>0，b>0，r，s∈R). 4.指数函数及其性质 (1)概念：一般地，函数y=ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，+∞) 性质 过定点(0，1)，即x=0时，y=1 当x>0时，y>1；当x<0时， 0<y<1 当x<0时，y>1；当x>0时， 0<y<1 增函数 减函数 探究核心题型 考点一 指数幂的运算 例1-1 (2025·中山模拟)将·化成分数指数幂的形式是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　·=·=·=. 例1-2 计算： (1)0.5－2×－2×0＋－2； (2)2×3×. 解　(1)原式＝－2×－2＋2 ＝－2×－2＋ ＝－2×－2＋ ＝－－2＋ ＝－. (2)原式＝ ＝6×3 ＝18. 跟踪训练 1 (1)计算：++×[(-2)4=　　　　.  答案　+19 解析　原式=+-1+×23 =2+-1+×8 =+1+×8=+19. (2)若+=3，则=　　　　.  答案　 解析　由+=3， 等号两边平方得a+a-1=7， 等号两边再平方可得a2+a-2=47， 所以==. 2. (多选)下列计算正确的是(　　) A.＝ B． C.＝ D．已知x2＋x－2＝2，则x＋x－1＝2 答案　BC 解析　对于A，＝＝＝≠，所以A错误； 对于B，＝－9a(a>0，b>0)，所以B正确； 对于C，＝＝，所以C正确； 对于D，因为(x＋x－1)2＝x2＋2＋x－2＝4，所以x＋x－1＝±2，所以D错误． 3. (多选)下列各式正确的是(式中字母均是正数)(　　) A.= B.=a C.=36 D.=- 答案　ABC 解析　对于A，==，故A正确； 对于B，=|a|=a，故B正确； 对于C，==62=36，故C正确； 对于D，==，故D错误. 考点二 指数函数的图象及应用 例2-1. (多选)已知实数a，b满足等式3a＝6b，则下列可能成立的关系式为(　　) A．a＝b B．0<b<a C．a<b<0 D．0<a<b 答案　ABC 解析　由题意，在同一平面直角坐标系内分别画出函数y＝3x和y＝6x的图象，如图所示， 由图象知，当a＝b＝0时，3a＝6b＝1，故选项A正确； 作出直线y＝k，当k>1时，若3a＝6b＝k，则0<b<a，故选项B正确； 作出直线y＝m，当0<m<1时，若3a＝6b＝m，则a<b<0，故选项C正确； 当0<a<b时，易得2b>1，则3a<3b<2b·3b＝6b，故选项D错误． 例2-2. (多选)已知函数f(x)=ax-b(a>0，且a≠1，b≠0)的图象如图所示，则(　　) A.a>1 B.0<a<1 C.b>1 D.0<b<1 答案　BD 解析　观察图象得，函数f(x)=ax-b是减函数， 因此0<a<1， 设图象与y轴交点的纵坐标为y0， 则0<y0<1， 又y0=f(0)=1-b， 于是得0<1-b<1，解得0<b<1， 所以0<a<1，0<b<1. 跟踪训练 1. (多选)(2025·淮安模拟)已知实数a，b满足等式=，则下列关系式中可能成立的是(　　) A.0<b<a B.b<a<0 C.a=b D.a<b<0 答案　ACD 解析　如图所示， 当=>1时， 则a<b<0； 当==1时， 则a=b=0； 当0<=<1时，0<b<a. 2. 若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________． 答案　(0,2) 解析　在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示． ∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点． ∴实数b的取值范围是(0,2)． 考点3 指数函数的性质及应用 命题点1　比较指数式的大小 例3-1. (2024·海口模拟)已知a＝1.30.6，b＝－0.4，c＝0.3，则(　　) A．c<b<a B．a<b<c C．c<a<b D．b<c<a 答案　D 解析　a＝1.30.6>1.30＝1，b＝－0.4＝0.4，c＝0.3， 因为指数函数y＝x是减函数， 所以0.4<0.3<0＝1， 所以b<c<1，所以b<c<a. 命题点2　解简单的指数方程或不等式 例3-2. 已知p：ax<1(a>1)，q：2x＋1－x<2，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　∵ax<1，当a>1时，y＝ax是增函数， ∴p：{x|x<0}． 对于不等式2x＋1<x＋2， 作出函数y＝2x＋1与y＝x＋2的图象，如图所示． 由图象可知，不等式2x＋1<x＋2的解集为{x|－1<x<0}， ∴q：{x|－1<x<0}． 又∵{x|－1<x<0}⊆{x|x<0}， ∴p是q的必要不充分条件． 命题点3　指数函数性质的综合应用 例3-3. (2025·合肥期末)已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数. (1)求实数a的值； (2)判断函数f(x)的单调性，并说明理由； (3)若不等式f(m·3x)+f(3x-9x-2)>0对任意的x≥0恒成立，求实数m的取值范围. 解　(1)由f(x)是定义在R上的奇函数， 得f(0)===0， 解得a=1，经检验，a=1符合题意， 所以a=1. (2)函数f(x)在R上是减函数，理由如下. 由(1)知f(x)==-1， 因为函数y=ex+1在R上单调递增， 所以函数y=在R上单调递减， 所以函数f(x)=-1在R上单调递减， 即函数f(x)在R上是减函数. (3)由f(m·3x)+f(3x-9x-2)>0， 得f(m·3x)>-f(3x-9x-2)=f(9x-3x+2)， 由(2)知，f(x)是R上的减函数， 则m·3x<9x-3x+2， 即m<=3x+-1， 依题意，m<3x+-1对任意的x≥0恒成立， 而3x≥1，则3x+-1≥2-1=2-1，当且仅当3x=，即3x=时取等号， 因此m<2-1， 所以实数m的取值范围是(-∞，2-1). 跟踪训练 1. (2026·大同模拟)设a=0.30.2，b=1.10.2，c=1.10.3，则(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.c<a<b 答案　A 解析　因为函数y=1.1x单调递增，所以1=1.10<1.10.2<1.10.3，故1<b<c， 又函数y=0.3x单调递减，所以a=0.30.2<0.30=1，所以a<b<c. 2. (2025·大连期末)不等式2·10x-3x-6x≤0的解集为　　　　　　.  答案　(-∞，0] 解析　原不等式等价于2--≤0， 令f(x)=2--，则f(0)=0， 所以f(x)≤f(0)， 因为y=和y=在R上单调递减，所以函数f(x)在R上单调递增， 所以x≤0， 所以原不等式的解集为(-∞，0]. 3. 已知函数f(x)=(a>0且a≠1)在区间[0，2]上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A.(1，+∞) B. C.∪(1，+∞) D. 答案　B 解析　设t=ax2-2x+1，则y=at， 由复合函数的单调性可知当a>1时，需满足t=ax2-2x+1在区间[0，2]上单调递增， 所以只需≤0，则a<0，与a>1矛盾； 当0<a<1时，需满足t=ax2-2x+1在区间[0，2]上单调递减， 所以只需≥2，解得0<a≤. 故实数a的取值范围是. 4. (多选)(2023·重庆模拟)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)的定义域为R B．函数f(x)的值域为(－1,1) C．函数f(x)是奇函数 D．函数f(x)为减函数 答案　ABC 解析　因为ex>0，所以ex＋1>0， 所以函数f(x)的定义域为R，故A正确； f(x)＝＝1－， 由ex>0⇒ex＋1>1⇒0<<1 ⇒－2<－<0⇒－1<1－<1， 所以函数f(x)的值域为(－1,1)，故B正确； 因为f(－x)＝＝＝＝－f(x)， 所以函数f(x)是奇函数，故C正确； 因为函数y＝ex＋1是增函数，所以y＝ex＋1>1， 所以函数y＝是减函数， 所以函数y＝－是增函数， 故f(x)＝＝1－是增函数，故D不正确． 课时对点精练 一、单项选择题 1．已知函数f(x)=ax-2+1(a>0，a≠1)的图象恒过定点M(m，n)，则函数g(x)=mx-n的图象不经过(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　B 解析　由已知条件得当x=2时，f(2)=2，则函数f(x)的图象恒过点(2，2)， 即m=2，n=2，此时g(x)=2x-2， 由于g(x)的图象由y=2x的图象向下平移2个单位长度得到，且过点(0，-1)， 由此可知g(x)的图象不经过第二象限. 2．函数y=3|x|-1的定义域为[-1，2]，则其值域为(　　) A.[2，8] B.[1，8] C.[0，8] D.[-1，8] 答案　C 解析　由题意x∈[-1，2]，所以|x|∈[0，2]，y=3|x|-1∈[0，8]. 3．下列结论中，正确的是(　　) A．若a>0，则＝a B．若m8＝2，则m＝± C．若a＋a－1＝3，则＝± D.＝2－π 答案　B 解析　对于A，根据分数指数幂的运算法则，可得，当a＝1时，＝a；当a≠1时，≠a，故A错误； 对于B，m8＝2，故m＝±，故B正确； 对于C，a＋a－1＝3，则＝a＋a－1＋2＝3＋2＝5，因为a>0，所以＝，故C错误； 对于D，＝|2－π|＝π－2，故D错误． 4．已知指数函数f(x)=(a-1)bx的图象经过点，则等于(　　) A. B. C.2 D.4 答案　A 解析　由指数函数f(x)=(a-1)bx的图象经过点，得解得a=b=2， 所以==. 5．(2026·汕头期末)设a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系为(　　) A.c>a>b B.a>b>c C.b>a>c D.a>c>b 答案　D 解析　依题意，函数y=在(0，+∞)上单调递增，函数y=在R上单调递减， 则>>， 即a，b，c的大小关系为a>c>b. 6．(2023·新高考全国Ⅰ)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．[－2,0) C．(0,2] D．[2，＋∞) 答案　D 解析　函数y＝2x在R上是增函数，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减， 则函数y＝x(x－a)＝2－在区间(0,1)上单调递减，因此≥1，解得a≥2， 所以a的取值范围是[2，＋∞)． 7. (2026·泰州模拟) “关于x的方程a(2|x|＋1)＝2|x|没有实数解”的一个必要不充分条件是(　　) A．a≤ B．a>1 C．a≤或a≥1 D．a<或a≥1 答案　C 解析　a(2|x|＋1)＝2|x|， 因为2|x|＋1>0，所以a＝＝1－， 因为2|x|≥20＝1， 所以2|x|＋1≥2,0<≤，≤1－<1， 要使a(2|x|＋1)＝2|x|没有实数解， 则a<或a≥1， 由于a<或a≥1不能推出a≤，故A不成立； 由于a<或a≥1不能推出a>1，故B不成立； 由于a<或a≥1⇒a≤或a≥1，且a≤或a≥1不能推出a<或a≥1，故C正确； D为充要条件，不符合要求． 8．(2026·哈尔滨模拟)已知函数y=a+b的图象经过原点，且无限接近直线y=2，但又不与该直线相交，则ab等于(　　) A.-1 B.-2 C.-4 D.-9 答案　C 解析　因为函数y=a+b的图象经过原点，所以a+b=0， 即a+b=0，又该函数图象无限接近直线y=2，且不与该直线相交， 所以b=2，则a=-2， 所以ab=-4. 二、多项选择题 9．下列各式正确的是(　　) A.若2a=，则8a= B.若am=3，an=4，则=24 C.若a>0，则= D.若a>0，b>0，则4÷=-6ab-1 答案　ABD 解析　对于A，因为2a=，所以8a=23a=(2a)3=，A正确； 对于B，=am·=3·(an=3×=3×(22=3×23=3×8=24，B正确； 对于C，===，C错误； 对于D，4÷=4××=-6ab-1，D正确. 10．已知函数f(x)＝|2x－1|，实数a，b满足f(a)＝f(b)(a<b)，则(　　) A．2a＋2b>2 B．∃a，b∈R，使得0<a＋b<1 C．2a＋2b＝2 D．a＋b<0 答案　CD 解析　画出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示． 由图知1－2a＝2b－1，则2a＋2b＝2，故A错误，C正确； 由基本不等式可得2＝2a＋2b>2＝2， 所以2a＋b<1，则a＋b<0，故B错误，D正确． 11. 已知函数f(x)＝m－是定义域为R的奇函数，则下列说法正确的是(　　) A．m＝ B．函数f(x)在R上的最大值为 C．函数f(x)是减函数 D．存在实数n，使得关于x的方程f(x)－n＝0有两个不相等的实数根 答案　AC 解析　因为函数f(x)＝m－是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝m－＝0， 解得m＝，此时f(x)＝－， 则f(－x)＝－＝－ ＝－＝－1＋ ＝－＝－f(x)，符合题意，故A正确； 又f(x)＝－＝－＝－， 因为ex>0，所以ex＋1>1，则0<<1， 所以－<f(x)<， 即f(x)∈，故B错误； 因为y＝ex是增函数，y＝ex>0， 且y＝在(0，＋∞)上单调递减， 所以f(x)＝－是减函数，故C正确； 因为f(x)是减函数， 所以y＝f(x)与y＝n最多有1个交点， 故f(x)－n＝0最多有一个实数根， 即不存在实数n，使得关于x的方程f(x)－n＝0有两个不相等的实数根，故D错误． 三、填空题 12．计算：0.12-+[(-2)2+(×)6=　　　　　.  答案　75 解析　0.12-+[(-2)2+(×)6 =-1+2+× =2+1+8×9=75. 13．若关于x的方程4x-a·2x+a=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是　　　　　　.  答案　(4，+∞) 解析　令t=2x，∴t>0， 原方程可化为t2-at+a=0， 依题意该方程有两个不相等的正实数根， ∴解得a>4. 故实数a的取值范围是(4，+∞). 四、解答题 14．(2026·莆田模拟)已知函数f(x)=(a∈R). (1)若a=-2，求f(x)的单调区间；(6分) (2)若f(x)有最大值3，求a的值.(7分) 解　(1)当a=-2时，f(x)=的定义域为R， 令t=-2x2-4x+3=-2(x+1)2+5≤5， 因为t=-2x2-4x+3在(-∞，-1)上单调递增，在(-1，+∞)上单调递减， 且y=在t∈(-∞，5]上单调递减， 所以f(x)在(-∞，-1)上单调递减，在(-1，+∞)上单调递增， 即f(x)的单调递增区间是(-1，+∞)，单调递减区间是(-∞，-1). (2)令g(x)=ax2-4x+3，f(x)=， 由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值-1， 因此必有 解得a=1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1. 15．如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值． 解　令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2. 当a>1时，因为x∈[－1,1]， 所以t∈， 又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增， 所以ymax＝(a＋1)2－2＝14， 解得a＝3或a＝－5(舍去)； 当0<a<1时，因为x∈[－1,1]， 所以t∈， 又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增， 则ymax＝2－2＝14， 解得a＝或a＝－(舍去)． 综上，a＝3或a＝. 16. 已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数． (1)求a，b的值； (2)判断f(x)的单调性； (3)若存在t∈[0,4]，使f(k＋t2)＋f(4t－2t2)<0成立，求实数k的取值范围． 解　(1)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(0)＝0，即＝0，所以a＝1， 又因为f(－x)＝－f(x)， 所以＝－， 将a＝1代入，整理得＝， 当x≠0时，有b·2x＋1＝b＋2x， 即(b－1)(2x－1)＝0， 又因为当x≠0时，有2x－1≠0， 所以b－1＝0，所以b＝1. 经检验符合题意，所以a＝1，b＝1. (2)由(1)知，函数f(x)＝＝＝－1＋， 因为y＝1＋2x为增函数，且1＋2x>0，则函数f(x)是减函数． (3)因为存在t∈[0,4]，使f(k＋t2)＋f(4t－2t2)<0成立，且函数f(x)是定义在R上的奇函数， 所以不等式可转化为f(k＋t2)<f(2t2－4t)， 又因为函数f(x)是减函数， 所以k＋t2>2t2－4t，所以k>t2－4t， 令g(t)＝t2－4t＝(t－2)2－4， 由题意可知，问题等价转化为k>g(t)min， 又因为g(t)min＝g(2)＝－4，所以k>－4， 即实数k的取值范围为(－4，＋∞)． 17. .(2025·成都模拟)已知a>2，8a+15a=17b，则(　　) A.a>b>2 B.a>2>b C.b>a>2 D.b>2，但a和b的大小关系无法确定 答案　A 解析　由于a>2，所以17b=8a+15a>82+152=172，因此b>2， 又因为17b-a=+<+=1，即b-a<0，故2<b<a. 18.(多选)函数y=f(x)和y=f(-x)，若两函数在区间[m，n]上的单调性相同，则把区间[m，n]叫做y=f(x)的“稳定区间”，已知区间[1，2 025]为函数y=的“稳定区间”，则实数a的可能取值是(　　) A.- B.- C.0 D. 答案　AB 解析　因为y=f(x)=， 则f(-x)==|2x+a|， 由题意得f(x)=与f(-x)=|2x+a|在区间[1，2 025]上单调性相同. 若单调递增，则在区间[1，2 025]上恒成立，即所以-2≤a≤-； 若单调递减，则在区间[1，2 025]上恒成立，即无解， 综上，实数a的取值范围是，所以A，B选项符合题意. 19. (2023·深圳模拟)已知α∈，a＝(cos α)sin α，b＝(sin α)cos α，c＝(cos α)cos α，则(　　) A．b>c>a B．c>b>a C．c>a>b D．a>b>c 答案　A 解析　已知α∈，则0<cos α<sin α<1， 因为y＝(cos α)x在(0,1)上单调递减，故c＝(cos α)cos α>(cos α)sin α＝a； 因为幂函数y＝xcos α在(0,1)上单调递增，故c＝(cos α)cos α<(sin α)cos α＝b，故b>c>a. 故A符合条件 20. (2026·岳阳模拟) )正实数m，n满足e1－2m＋2－2m＝en－1＋n，则＋的最小值为________． 答案　 解析　由e1－2m＋2－2m＝en－1＋n，得e1－2m＋(1－2m)＝en－1＋(n－1)， 令f(x)＝ex＋x，则原等式为f(1－2m)＝f(n－1)，显然函数f(x)为增函数， 于是1－2m＝n－1，即2m＋n＝2， 而m>0，n>0， 因此＋＝＋＝＋＋≥2＋＝， 当且仅当＝，即m＝n＝时取等号， 所以当m＝n＝时，＋取得最小值. 2 / 3 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $