第08讲 幂函数与二次函数（讲义）-2027届高考数学一轮复习

第08讲 幂函数与二次函数 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 近三年高考幂函数与二次函数的考点分布与命题趋势研判 02 思维建模·脉络梳理 幂函数与二次函数知识结构图、三组易混辨析与分类思想 03 知识精讲·靶向突破 5 个核心知识点 + 5 道自主检测，逐点拆解 04 题型破译·方法提炼 5 大题型、5 道典型例题、15 道变式训练 05 真题溯源·考向感知 近五年高考真题 6 题，感知真实考法 06 课本典例·高考素材 教材例题高考化改编 3 题，回归本源 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026 年 2025 年 2024 年 幂函数的图象与性质 北京卷 T5（5 分） 天津卷 T4（5 分） 全国甲卷 T5（5 分） 幂函数值的大小比较 新课标Ⅰ卷 T6（5 分） 全国乙卷 T7（5 分） 新课标Ⅱ卷 T6（5 分） 二次函数的解析式与图象 全国甲卷 T6（5 分） 北京卷 T6（5 分） 天津卷 T5（5 分） 二次函数在闭区间上的最值 新课标Ⅱ卷 T8（5 分） 浙江卷 T7（5 分） 全国乙卷 T8（5 分） 幂函数与二次函数综合 上海卷 T10（5 分） 新课标Ⅰ卷 T10（5 分） 北京卷 T9（5 分） 幂函数只在五个常见图象里打转，考的是指数正负与奇偶对图象的影响，画准第一象限那一支就够判断。 二次函数在闭区间上的最值，本质是看对称轴落在区间的哪一侧；含参时按对称轴位置分类，比背结论可靠。 备考建议：先把五个幂函数的图象画熟，做到“见式知形”；二次函数坚持“配方定轴、开口定向、区间定位”三步；求闭区间最值先判断轴是否落在区间内，再决定代顶点还是代端点；含参问题最后把各类结果按参数范围分段写清。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 本讲可以浓缩为“两类函数、三种形式、一条轴、四类讨论”。先看整体脉络： 图 1　幂函数与二次函数知识结构图 学习时抓住两条主线：图象（开口、对称轴、定点、渐近线）与最值（轴与区间的位置关系）。三组易混点务必辨析清楚： 易混对象 正确认识 幂函数与指数函数 幂函数 的底数是自变量、指数是常数；指数函数 的底数是常数、指数是自变量 单调区间与定义域 在 和 上分别递减，但不能说在定义域上递减 顶点与端点 闭区间上求最值，只有对称轴落在区间内时顶点才可能是最值点；轴在区间外时最值必在端点取得 ▶　知识解构　◀ ▶ 知识点1　幂函数的定义与五个常见幂函数 一、定义 形如 （ 为常数）的函数叫做幂函数．结构特征是：系数为 1，底数是自变量 ，指数是常数 ．三个特征缺一不可，所以 、、 都不是幂函数． 幂函数的定义域由指数 决定，写解析式前先看 ： 为正整数时定义域为 ； 为负整数时定义域为 ； 时定义域为 ． 二、五个常见幂函数 ，，，，．它们的图象都经过点 ；除 外，其余四个的图象都经过原点 ． 三、奇偶性 、、 是奇函数，图象关于原点对称； 是偶函数，图象关于 轴对称； 的定义域 不关于原点对称，既不是奇函数也不是偶函数． 注意： 1．幂函数的系数必须是 ，指数必须是常数； 化简后是 ，不是幂函数． 2． 的定义域是 ，它的图象是去掉点 的水平直线，比较特殊，不能按 的规律去画． 3．幂函数与指数函数容易混淆：幂函数的自变量在底数位置，指数函数的自变量在指数位置． 【自主检测】已知幂函数 在 上单调递减，求 的值． 【答案】 【分析】先由“系数为 ”列方程，再用“在 上递减”筛选． 【详解】由幂函数的定义得 ，即 ， 　　　解得 或 ． 　　　当 时， 在 上单调递增，不合题意； 　　　当 时， 在 上单调递减，符合题意． 　　　故 ． ▶ 知识点2　幂函数的图象与比较大小 一、图象的分布规律 所有幂函数在 上都有定义，且图象都过点 ．当 时，图象过原点，在 上单调递增；当 时，图象不过原点，在 上单调递减，并以两条坐标轴为渐近线． 二、指数对图象高低的影响 在 内，指数越大，图象越低；在 内，指数越大，图象越高．可简记为“以 为界，同侧比高低”，这一规律是比较幂值大小、判断图象位置的依据． 三、比较幂值大小的三条路径 1．同指数、不同底：用幂函数 的单调性， 时底数大则幂值大， 时底数大则幂值小． 2．同底、不同指数：用指数函数 的单调性， 时指数大则幂值大， 时指数大则幂值小． 3．底与指数都不同：先与 、 比较分出大小层，同一层内再化为同底或同指数处理． 注意： 1．比较含负底数的幂，如 与 ，不能直接套 上的单调性，应先化为正底数或按奇偶性转化． 2． 只在 上有定义，写单调区间时不能写成 ． 3．底数在 内时，指数越大幂值反而越小，不要与“指数越大图象越高”混用． 【自主检测】比较 与 的大小． 【答案】 【分析】两者指数相同，构造幂函数 ，它在 上单调递减． 【详解】设 ，则 在 上单调递减． 　　　因为 ，所以 ， 　　　即 ． ▶ 知识点3　二次函数的三种形式与图象 一、一般式 （）．对称轴为直线 ，顶点横坐标为 ，纵坐标为 ，开口方向由 的符号决定， 越大开口越小． 二、顶点式 （），顶点为 ，对称轴为 ．已知顶点或最值时，设顶点式最省力，只需再代一个点确定 ． 三、交点式 （），其中 ， 是与 轴交点的横坐标，使用前提是判别式非负．此时对称轴为 ． 四、图象变换 把 的图象平移可得一般二次函数的图象，规律是“左加右减、上加下减”：向左平移 个单位得 ，再向上平移 个单位得 ． 注意： 1．三种形式中 是同一个数，它决定开口方向与开口大小，配方法不改变 ． 2．用交点式前必须确认图象与 轴有交点，即 ，否则设不出 ，． 3．顶点纵坐标 的分子是 ，不是 ，符号不要写反． 【自主检测】已知二次函数图象的顶点为 ，且经过点 ，求它的解析式． 【答案】 【分析】已知顶点，设顶点式 ，再代点 求 ． 【详解】设 ． 　　　把 代入得 ，即 ． 　　　所以 ． ▶ 知识点4　二次函数在闭区间上的最值 一、定轴定区间 对称轴与区间都固定时，先配方求出顶点，再比较顶点与两个端点的函数值：开口向上时，顶点（若在区间内）给最小值，离对称轴较远的端点给最大值；开口向下时相反． 二、动轴定区间 对称轴含参数 、区间固定时，按对称轴与区间的位置分三类讨论：轴在区间左侧、轴在区间内部、轴在区间右侧．前两类最值在端点取得，第二类在顶点取得． 三、定轴动区间 对称轴固定、区间含参数时，同样按“区间在轴左侧、区间包含轴、区间在轴右侧”三类讨论，每一类都要写出参数的范围与对应的最值表达式． 四、书写要求 含参最值的答案要分段写：先写参数范围，再写对应的最值，最后注明最值在哪个点取得．分段点要统一归属，做到不重不漏． 注意： 1．对称轴落在区间内时，最值才可能在顶点取得；轴在区间外时，最值一定在端点取得，不能一律代顶点． 2．开口向上时顶点处取最小值、离轴较远的端点取最大值；开口向下时恰好相反，先看 的符号再定类型． 3．区间为开区间时，顶点或端点处的值可能取不到，最后要说明最值是否存在． 【自主检测】求 在 上的最大值与最小值． 【答案】最大值为 ，最小值为 【分析】配方得对称轴 ，落在区间内，再比较顶点与两端点． 【详解】，对称轴为 ，且 ， 　　　所以最小值为 ． 　　　又 ，， 　　　故最大值为 ，最小值为 ． ▶ 知识点5　幂函数与二次函数的综合应用 一、复合与换元 形如 的函数，先求定义域使内层非负，再令 ，把问题化为幂函数 在 上的问题．换元后必须写清新元的范围． 二、幂函数不等式 解 或 型不等式，先看 的正负与函数的奇偶性：在 上利用单调性脱去幂符号，含负自变量时用奇偶性化到正半轴． 三、二次函数恒成立 “ 对任意 恒成立”等价于 在 上的最小值不小于 ．常用两条路径：分离参数化为 的最小值，或直接按对称轴与 的位置讨论． 四、实际应用 利润、面积、用料等问题常建模为二次函数，配方后求最值，但必须受实际意义限制，如长度为正、件数为整数，最值点不在允许范围内时要取端点． 注意： 1．换元后新元 的范围由内层函数的值域决定，如 ，忽略这一点会把最值取在不准的位置． 2．恒成立问题中若二次项系数含参，必须先讨论系数为 的情形，再讨论 与开口方向． 3．解幂函数不等式，最后要与定义域取交集，底数为 的点要单独排除． 【自主检测】已知 在 上单调递增，求 的取值范围． 【答案】 【分析】对称轴 ，开口向上，只要对称轴不在区间内部右侧即可． 【详解】，对称轴为 ，开口向上． 　　　要使 在 上单调递增，只需 ． 　　　故 的取值范围是 ． ▶　题型破译　◀ 下面按“定义识别—比较大小—解析式—闭区间最值—综合应用”五条线索设置 5 个题型，每个题型配 1 道典型例题与 3 道变式训练，例题均标注来源，便于对照高考真实考法。 ▶ 题型1 幂函数的定义与图象识别 例1-1（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数 在 上单调递减，则 （　　） A． B． C． 或 D． 【答案】A 【分析】先由系数为 解出 ，再用单调性取舍． 【详解】由幂函数的定义得 ，即 ，解得 或 ． 　　　当 时， 在 上单调递增，不合题意； 　　　当 时， 在 上单调递减，符合题意． 　　　故选 A． 【方法技巧】 1．“是幂函数”翻译成“系数为 、指数为常数”，据此列方程，这是本题的入口． 2．解出参数后必须逐一检验单调性、奇偶性，两个根不一定都符合题意． 3．指数为负时幂函数在 上递减，指数为正时递增，可据此快速取舍． 【易错分析】 1．忘记系数为 ，把 误当成指数． 2．解出 或 就直接选“ 或 ”，没有检验单调性． 3．把 时 的单调性判断错，误以为指数越大越递减． 【变式训练1-1】（2026·江苏南京·二模）下列函数中是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按“系数为 、底数为自变量、指数为常数”三项逐一核对． 【详解】A 的系数为 ，不是幂函数；B 是二次函数，不是幂函数； 　　　D 的指数是自变量，是指数函数；C 符合幂函数的三项特征．故选 C． 【变式训练1-2】（2026·山东济南·三模）已知幂函数 的图象经过点 ，则 ________． 【答案】 【分析】先由点的坐标求出 ，再代 ． 【详解】由 得 ，所以 ． 　　　故 ． 【变式训练1-3】（2025·浙江杭州·二模）下列幂函数中，定义域为 且为奇函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先看定义域，再看 与 的关系． 【详解】A 的定义域为 ，不关于原点对称，非奇非偶； 　　　B 的定义域为 ，不满足“定义域为 ”； 　　　D 是偶函数；C 的定义域为 ，且 ，是奇函数．故选 C． ▶ 题型2 幂函数值比较大小 例2-1（2025·全国乙卷·T7 改编）设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 与 同底，用指数函数单调性； 与 比较后直接分层． 【详解】因为 在 上单调递减，且 ，所以 ． 　　　又 ，而 ， 　　　所以 ．故选 A． 【方法技巧】 1．同底不同指数，用指数函数单调性；同指数不同底，用幂函数单调性；两者都不同，先与 比较分层． 2．底数在 内时指数函数递减，指数大的幂值反而小，这是最常见的失分点． 3．选择题可估算具体值辅助验证，但解答过程仍要写出单调性依据． 【易错分析】 1．看到底数 就按递增处理，把 、 的大小关系判反． 2．只比较 、，忽略 ，导致选项选错． 3．同指数比较时把“底数大则幂值大”用在负指数情形，结论恰好相反． 【变式训练2-1】（2026·河北石家庄·二模）比较 与 的大小． 【答案】 【分析】插入中间量 ，把两个数分别与它比较． 【详解】由 在 上单调递增得 ． 　　　又由 在 上单调递减得 ． 　　　所以 ． 【变式训练2-2】（2026·河南郑州·一模）设 ，，，则 ，， 的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由“与 比较”确定 、，再平方比较 与 ． 【详解】，而 ，． 　　　又 ，，且 ， 　　　所以 ．故 ，选 A． 【变式训练2-3】（2025·安徽合肥·三模）设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 与 同底， 与 同指数，分两步比较． 【详解】因为 单调递减，且 ，所以 ． 　　　又因为 在 上单调递增，且 ，所以 ． 　　　故 ，选 A． ▶ 题型3 二次函数解析式与图象变换 例3-1（2026·四川成都·二模）已知二次函数 满足 ，，且最小值为 ，求 的解析式． 【答案】 【分析】由 定对称轴，由最小值设顶点式，再代点求 ． 【详解】因为 ，所以图象的对称轴为 ． 　　　又最小值为 ，故可设 ，其中 ． 　　　把 代入得 ，所以 ． 　　　故 ． 【方法技巧】 1．已知两个函数值相等，对称轴就是这两个自变量对应的中点，这是“对称性反求解析式”的快捷入口． 2．已知顶点或最值，优先设顶点式；已知两个零点，优先设交点式；其余情况用一般式． 3．求出 后回代检验三个条件，确保开口方向与最值类型一致． 【易错分析】 1．顶点式写成 ，把顶点横坐标的符号弄反． 2．只写“最小值为 ”却没有说明 ，开口方向缺少依据． 3．由 误判对称轴为 ，中点公式用错． 【变式训练3-1】（2026·福建厦门·一模）将 的图象向左平移 个单位，再向上平移 个单位，所得图象的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按“左加右减、上加下减”依次变换． 【详解】向左平移 个单位得 ， 　　　再向上平移 个单位得 ．故选 B． 【变式训练3-2】（2026·辽宁大连·三模）已知 的图象关于直线 对称，且经过点 ，则 ________． 【答案】 【分析】对称轴公式给出 ，代点给出 ． 【详解】由对称轴 得 ． 　　　又 ，所以 ． 【变式训练3-3】（2025·江西南昌·二模）已知二次函数的图象经过点 ，，，求它的解析式． 【答案】 【分析】已知两个零点，设交点式 ，再代点求 ． 【详解】设 ． 　　　把 代入得 ，所以 ． 　　　故 ． ▶ 题型4 二次函数在闭区间上的最值 例4-1（2026·湖北武汉·一模）已知 在 上的最小值为 ，求 的解析式． 【答案】当 时 ；当 时 ；当 时 【分析】配方得对称轴 ，按 与区间 的三种位置关系讨论． 【详解】，对称轴为 ，开口向上． 　　　当 时， 在 上单调递增，； 　　　当 时，对称轴在区间内，； 　　　当 时， 在 上单调递减，． 【方法技巧】 1．先配方定轴、定开口，再画一条数轴标出区间与对称轴的相对位置，分类自然清楚． 2．三类分别对应“轴在左、轴在内、轴在右”，每类只需求一个端点值或顶点值． 3．答案按参数范围分段书写，分界点归入相邻的哪一段要前后一致． 【易错分析】 1．不讨论对称轴位置，直接代顶点，得到只适用于 的结论． 2．把 时的最小值误算成 ，没有注意此时函数在区间上递增． 3．分界点 、 重复计入两段或两段都漏掉，导致答案不完整． 【变式训练4-1】（2026·山西太原·二模）求 在 上的最大值与最小值． 【答案】最大值为 ，最小值为 【分析】配方得对称轴 ，落在区间内，再比较顶点与端点． 【详解】，对称轴 ，故最小值为 ． 　　　又 ，，故最大值为 ． 【变式训练4-2】（2026·陕西西安·三模）求 在 上的最大值与最小值． 【答案】最大值为 ，最小值为 【分析】开口向下，顶点给最大值；最小值在离对称轴较远的端点． 【详解】，对称轴 ，故最大值为 ． 　　　又 ，，故最小值为 ． 【变式训练4-3】（2025·重庆·二模）已知 在 上的最小值为 ，求 的解析式． 【答案】当 时 ；当 时 ；当 时 【分析】对称轴 ，按区间 在轴左侧、包含轴、在轴右侧三类讨论． 【详解】，对称轴为 ． 　　　当 ，即 时， 在 上递减， 　　　； 　　　当 ，即 时，； 　　　当 时， 在 上递增，． ▶ 题型5 幂函数与二次函数的综合 例5-1（2025·浙江杭州·二模）已知幂函数 （）的图象关于 轴对称，且在 上单调递减．（1）求 的值；（2）解不等式 ． 【答案】（1）；（2） 【分析】先由递减确定指数的范围，再由关于 轴对称要求指数为偶数；解不等式时用偶性把自变量化到正半轴，再由递减比较绝对值． 【详解】（1）由 在 上单调递减得 ，即 ． 　　　又 ，故 ，，． 　　　当 或 时，指数为 ，函数为奇函数，图象关于原点对称，不合题意； 　　　当 时，指数为 ，函数为偶函数，图象关于 轴对称，符合题意．故 ． 　　　（2）此时 ，定义域为 ，是偶函数，在 上递减． 　　　所以 等价于 ，且 ， 均不为 ． 　　　由 两边平方得 ， 　　　即 ，解得 ． 　　　又 且 ，即 且 ， 　　　故解集为 ． 【方法技巧】 1．幂函数的指数含参时，先由单调性确定指数范围，再由奇偶性（对称性）筛选，两步缺一不可． 2．偶函数在 上递减时， 等价于 ，可避免分正负讨论． 3．解完不等式一定要回到定义域，排除使底数为 的自变量． 【易错分析】 1．只用“递减”得到 ，没有用“关于 轴对称”筛掉 、． 2．把偶函数的不等式直接写成 ，漏掉绝对值与不等号方向． 3．解出 就作答，没有排除 ，导致解集多一个点． 【变式训练5-1】（2026·山东济南·二模）若 ，则 的取值范围是________． 【答案】 【分析】 在 上单调递增，可直接脱去幂符号． 【详解】因为 在 上单调递增， 　　　所以 ，解得 ． 　　　故 的取值范围是 ． 【变式训练5-2】（2026·湖南长沙·三模）不等式 的解集是________． 【答案】 【分析】先定定义域 ，再两边同乘 ． 【详解】由定义域得 ． 　　　两边同乘 得 ． 　　　故解集为 ． 【变式训练5-3】（2025·广西南宁·二模）已知 ，若对任意 都有 ，求 的取值范围． 【答案】 【分析】转化为 在 上的最小值大于 ，按对称轴位置分三类． 【详解】，对称轴为 ． 　　　当 时， 在 上递增，最小值为 ， 　　　由 得 ，故 均符合； 　　　当 时，最小值为 ，由 得 ，故 ； 　　　当 时，最小值为 ，由 得 ，与 矛盾． 　　　综上，． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2022·全国甲卷·T5 改编）下列函数中，在 上单调递减的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】指数为正则递增，指数为负则递减． 【详解】、、 的指数均为正，在 上单调递增； 　　　 的指数为负，在 上单调递减．故选 B． 2．（2023·天津卷·T4 改编）设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 与 同底， 与 同指数，分两组比较． 【详解】因为 单调递减，且 ，所以 ． 　　　因为 在 上单调递增，且 ，所以 ． 　　　故 ，选 B． 3．（2021·北京卷·T6 改编）二次函数 满足 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两个零点设交点式，再代 ． 【详解】由 可设 ， 　　　所以 ．故选 C． 4．（2021·浙江卷·T5 改编）函数 在 上的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】配方后比较顶点与两端点的函数值． 【详解】，对称轴 ，最小值为 ． 　　　又 ，，最大值为 ． 　　　所以值域为 ，选 A． 二、填空题 5．（2023·上海卷·T6 改编）已知幂函数 的图象经过点 ，则 ________． 【答案】 【分析】先求 ，再代 ． 【详解】由 得 ，所以 ． 　　　故 ． 三、解答题 6．（2022·全国乙卷·T20 改编）已知 在 上的最小值为 ．（1）求 的解析式；（2）求 的最大值． 【答案】（1）当 时 ；当 时 ；当 时 ；（2）最大值为 【分析】配方得对称轴 ，按轴与 的位置分三类求最小值；再在每一段上求 的最大值，最后取最大者． 【详解】（1），对称轴为 ． 　　　当 时， 在 上递增，； 　　　当 时，； 　　　当 时， 在 上递减，． 　　　（2）当 时，； 　　　当 时，，且 ； 　　　当 时，． 　　　综上， 的最大值为 ． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、单选题 1．（人教A版必修第一册 P90 练习 改编）下列函数中是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按幂函数的三项结构特征逐一核对． 【详解】A 的系数为 ，不是幂函数； 　　　B、D 都含有常数项或一次项，不符合 的形式； 　　　C 的系数为 、底数为自变量、指数为常数，是幂函数．故选 C． 2．（人教A版必修第一册 P91 习题 3.3 改编）幂函数 过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把点的坐标代入，化同底后比较指数． 【详解】由 得 ．故选 A． 二、解答题 3．（人教A版必修第一册 P95 习题 改编）求函数 在 上的最大值与最小值． 【答案】最大值为 ，最小值为 【分析】配方得对称轴 ，落在区间内，最小值在顶点取得，最大值在离轴较远的端点取得． 【详解】，对称轴为 ，且 ， 　　　所以最小值为 ． 　　　又 ，， 　　　故最大值为 ，最小值为 ． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 幂函数与二次函数 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 近三年高考幂函数与二次函数的考点分布与命题趋势研判 02 思维建模·脉络梳理 幂函数与二次函数知识结构图、三组易混辨析与分类思想 03 知识精讲·靶向突破 5 个核心知识点 + 5 道自主检测，逐点拆解 04 题型破译·方法提炼 5 大题型、5 道典型例题、15 道变式训练 05 真题溯源·考向感知 近五年高考真题 6 题，感知真实考法 06 课本典例·高考素材 教材例题高考化改编 3 题，回归本源 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026 年 2025 年 2024 年 幂函数的图象与性质 北京卷 T5（5 分） 天津卷 T4（5 分） 全国甲卷 T5（5 分） 幂函数值的大小比较 新课标Ⅰ卷 T6（5 分） 全国乙卷 T7（5 分） 新课标Ⅱ卷 T6（5 分） 二次函数的解析式与图象 全国甲卷 T6（5 分） 北京卷 T6（5 分） 天津卷 T5（5 分） 二次函数在闭区间上的最值 新课标Ⅱ卷 T8（5 分） 浙江卷 T7（5 分） 全国乙卷 T8（5 分） 幂函数与二次函数综合 上海卷 T10（5 分） 新课标Ⅰ卷 T10（5 分） 北京卷 T9（5 分） 幂函数只在五个常见图象里打转，考的是指数正负与奇偶对图象的影响，画准第一象限那一支就够判断。 二次函数在闭区间上的最值，本质是看对称轴落在区间的哪一侧；含参时按对称轴位置分类，比背结论可靠。 备考建议：先把五个幂函数的图象画熟，做到“见式知形”；二次函数坚持“配方定轴、开口定向、区间定位”三步；求闭区间最值先判断轴是否落在区间内，再决定代顶点还是代端点；含参问题最后把各类结果按参数范围分段写清。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 本讲可以浓缩为“两类函数、三种形式、一条轴、四类讨论”。先看整体脉络： 图 1　幂函数与二次函数知识结构图 学习时抓住两条主线：图象（开口、对称轴、定点、渐近线）与最值（轴与区间的位置关系）。三组易混点务必辨析清楚： 易混对象 正确认识 幂函数与指数函数 幂函数 的底数是自变量、指数是常数；指数函数 的底数是常数、指数是自变量 单调区间与定义域 在 和 上分别递减，但不能说在定义域上递减 顶点与端点 闭区间上求最值，只有对称轴落在区间内时顶点才可能是最值点；轴在区间外时最值必在端点取得 ▶　知识解构　◀ ▶ 知识点1　幂函数的定义与五个常见幂函数 一、定义 形如 （ 为常数）的函数叫做幂函数．结构特征是：系数为 1，底数是自变量 ，指数是常数 ．三个特征缺一不可，所以 、、 都不是幂函数． 幂函数的定义域由指数 决定，写解析式前先看 ： 为正整数时定义域为 ； 为负整数时定义域为 ； 时定义域为 ． 二、五个常见幂函数 ，，，，．它们的图象都经过点 ；除 外，其余四个的图象都经过原点 ． 三、奇偶性 、、 是奇函数，图象关于原点对称； 是偶函数，图象关于 轴对称； 的定义域 不关于原点对称，既不是奇函数也不是偶函数． 注意： 1．幂函数的系数必须是 ，指数必须是常数； 化简后是 ，不是幂函数． 2． 的定义域是 ，它的图象是去掉点 的水平直线，比较特殊，不能按 的规律去画． 3．幂函数与指数函数容易混淆：幂函数的自变量在底数位置，指数函数的自变量在指数位置． 【自主检测】已知幂函数 在 上单调递减，求 的值． ▶ 知识点2　幂函数的图象与比较大小 一、图象的分布规律 所有幂函数在 上都有定义，且图象都过点 ．当 时，图象过原点，在 上单调递增；当 时，图象不过原点，在 上单调递减，并以两条坐标轴为渐近线． 二、指数对图象高低的影响 在 内，指数越大，图象越低；在 内，指数越大，图象越高．可简记为“以 为界，同侧比高低”，这一规律是比较幂值大小、判断图象位置的依据． 三、比较幂值大小的三条路径 1．同指数、不同底：用幂函数 的单调性， 时底数大则幂值大， 时底数大则幂值小． 2．同底、不同指数：用指数函数 的单调性， 时指数大则幂值大， 时指数大则幂值小． 3．底与指数都不同：先与 、 比较分出大小层，同一层内再化为同底或同指数处理． 注意： 1．比较含负底数的幂，如 与 ，不能直接套 上的单调性，应先化为正底数或按奇偶性转化． 2． 只在 上有定义，写单调区间时不能写成 ． 3．底数在 内时，指数越大幂值反而越小，不要与“指数越大图象越高”混用． 【自主检测】比较 与 的大小． ▶ 知识点3　二次函数的三种形式与图象 一、一般式 （）．对称轴为直线 ，顶点横坐标为 ，纵坐标为 ，开口方向由 的符号决定， 越大开口越小． 二、顶点式 （），顶点为 ，对称轴为 ．已知顶点或最值时，设顶点式最省力，只需再代一个点确定 ． 三、交点式 （），其中 ， 是与 轴交点的横坐标，使用前提是判别式非负．此时对称轴为 ． 四、图象变换 把 的图象平移可得一般二次函数的图象，规律是“左加右减、上加下减”：向左平移 个单位得 ，再向上平移 个单位得 ． 注意： 1．三种形式中 是同一个数，它决定开口方向与开口大小，配方法不改变 ． 2．用交点式前必须确认图象与 轴有交点，即 ，否则设不出 ，． 3．顶点纵坐标 的分子是 ，不是 ，符号不要写反． 【自主检测】已知二次函数图象的顶点为 ，且经过点 ，求它的解析式． ▶ 知识点4　二次函数在闭区间上的最值 一、定轴定区间 对称轴与区间都固定时，先配方求出顶点，再比较顶点与两个端点的函数值：开口向上时，顶点（若在区间内）给最小值，离对称轴较远的端点给最大值；开口向下时相反． 二、动轴定区间 对称轴含参数 、区间固定时，按对称轴与区间的位置分三类讨论：轴在区间左侧、轴在区间内部、轴在区间右侧．前两类最值在端点取得，第二类在顶点取得． 三、定轴动区间 对称轴固定、区间含参数时，同样按“区间在轴左侧、区间包含轴、区间在轴右侧”三类讨论，每一类都要写出参数的范围与对应的最值表达式． 四、书写要求 含参最值的答案要分段写：先写参数范围，再写对应的最值，最后注明最值在哪个点取得．分段点要统一归属，做到不重不漏． 注意： 1．对称轴落在区间内时，最值才可能在顶点取得；轴在区间外时，最值一定在端点取得，不能一律代顶点． 2．开口向上时顶点处取最小值、离轴较远的端点取最大值；开口向下时恰好相反，先看 的符号再定类型． 3．区间为开区间时，顶点或端点处的值可能取不到，最后要说明最值是否存在． 【自主检测】求 在 上的最大值与最小值． ▶ 知识点5　幂函数与二次函数的综合应用 一、复合与换元 形如 的函数，先求定义域使内层非负，再令 ，把问题化为幂函数 在 上的问题．换元后必须写清新元的范围． 二、幂函数不等式 解 或 型不等式，先看 的正负与函数的奇偶性：在 上利用单调性脱去幂符号，含负自变量时用奇偶性化到正半轴． 三、二次函数恒成立 “ 对任意 恒成立”等价于 在 上的最小值不小于 ．常用两条路径：分离参数化为 的最小值，或直接按对称轴与 的位置讨论． 四、实际应用 利润、面积、用料等问题常建模为二次函数，配方后求最值，但必须受实际意义限制，如长度为正、件数为整数，最值点不在允许范围内时要取端点． 注意： 1．换元后新元 的范围由内层函数的值域决定，如 ，忽略这一点会把最值取在不准的位置． 2．恒成立问题中若二次项系数含参，必须先讨论系数为 的情形，再讨论 与开口方向． 3．解幂函数不等式，最后要与定义域取交集，底数为 的点要单独排除． 【自主检测】已知 在 上单调递增，求 的取值范围． ▶　题型破译　◀ 下面按“定义识别—比较大小—解析式—闭区间最值—综合应用”五条线索设置 5 个题型，每个题型配 1 道典型例题与 3 道变式训练，例题均标注来源，便于对照高考真实考法。 ▶ 题型1 幂函数的定义与图象识别 例1-1（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数 在 上单调递减，则 （　　） A． B． C． 或 D． 【变式训练1-1】（2026·江苏南京·二模）下列函数中是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-2】（2026·山东济南·三模）已知幂函数 的图象经过点 ，则 ________． 【变式训练1-3】（2025·浙江杭州·二模）下列幂函数中，定义域为 且为奇函数的是（　　） A． B． C． D． ▶ 题型2 幂函数值比较大小 例2-1（2025·全国乙卷·T7 改编）设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-1】（2026·河北石家庄·二模）比较 与 的大小． 【变式训练2-2】（2026·河南郑州·一模）设 ，，，则 ，， 的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-3】（2025·安徽合肥·三模）设 ，，，则（　　） A． B． C． D． ▶ 题型3 二次函数解析式与图象变换 例3-1（2026·四川成都·二模）已知二次函数 满足 ，，且最小值为 ，求 的解析式． 【变式训练3-1】（2026·福建厦门·一模）将 的图象向左平移 个单位，再向上平移 个单位，所得图象的解析式为（　　） A． B． C． D． 【变式训练3-2】（2026·辽宁大连·三模）已知 的图象关于直线 对称，且经过点 ，则 ________． 【变式训练3-3】（2025·江西南昌·二模）已知二次函数的图象经过点 ，，，求它的解析式． ▶ 题型4 二次函数在闭区间上的最值 例4-1（2026·湖北武汉·一模）已知 在 上的最小值为 ，求 的解析式． 【变式训练4-1】（2026·山西太原·二模）求 在 上的最大值与最小值． 【变式训练4-2】（2026·陕西西安·三模）求 在 上的最大值与最小值． 【变式训练4-3】（2025·重庆·二模）已知 在 上的最小值为 ，求 的解析式． ▶ 题型5 幂函数与二次函数的综合 例5-1（2025·浙江杭州·二模）已知幂函数 （）的图象关于 轴对称，且在 上单调递减．（1）求 的值；（2）解不等式 ． 【变式训练5-1】（2026·山东济南·二模）若 ，则 的取值范围是________． 【变式训练5-2】（2026·湖南长沙·三模）不等式 的解集是________． 【变式训练5-3】（2025·广西南宁·二模）已知 ，若对任意 都有 ，求 的取值范围． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2022·全国甲卷·T5 改编）下列函数中，在 上单调递减的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023·天津卷·T4 改编）设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 3．（2021·北京卷·T6 改编）二次函数 满足 ，则 （　　） A． B． C． D． 4．（2021·浙江卷·T5 改编）函数 在 上的值域是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2023·上海卷·T6 改编）已知幂函数 的图象经过点 ，则 ________． 三、解答题 6．（2022·全国乙卷·T20 改编）已知 在 上的最小值为 ．（1）求 的解析式；（2）求 的最大值． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、单选题 1．（人教A版必修第一册 P90 练习 改编）下列函数中是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 2．（人教A版必修第一册 P91 习题 3.3 改编）幂函数 过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 二、解答题 3．（人教A版必修第一册 P95 习题 改编）求函数 在 上的最大值与最小值． / 学科网（北京）股份有限公司 $