第04讲 二次函数与幂函数（复习讲义）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦二次函数与幂函数核心考点，涵盖幂函数图象性质、二次函数解析式及区间最值、根的分布等高考高频内容，按命题透视、知识精讲、题型破译、真题训练的逻辑架构梳理知识脉络，通过考点分类讲解、方法技巧归纳、分层练习设计，帮助学生系统构建解题思维体系。 讲义突出数形结合与分类讨论思想，如二次函数“动轴定区间”问题通过对称轴与区间位置分类突破，幂函数比较大小借助图象单调性分析，培养学生数学思维与几何直观能力。设置基础与重难分层训练，配合真题溯源与课本典例挖掘，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第04讲 二次函数与幂函数 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 幂函数的解题技巧 知识点2 二次函数的解题技巧 知识点3 二次函数在闭区间上的最值 知识点4 一元二次方程的根的分布问题 题型破译 题型1 幂函数的定义及其图像 【方法技巧】幂函数的定义及其图像 题型2 幂函数图象的判断及应用 【方法技巧】幂函数图象的判断及应用 题型3 幂函数的图象与性质的综合应用 【方法技巧】幂函数的图象与性质的综合应用 题型4 二次方程的实根分布及条件 【方法技巧】二次方程的实根分布及条件 题型5 二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题 【方法技巧】二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 幂函数的图象与性质 天津卷 T4（5 分） 天津卷 T3（5 分） 天津卷 T5（5 分） 二次函数的图象与基本性质 天津卷 T8（5 分） 天津卷 T7（5 分） 天津卷 T9（5 分） 二次函数综合应用（含参、最值、不等式） 天津卷 T16（14 分） 天津卷 T16（14 分） 天津卷 T16（14 分） 考情分析 二次函数与幂函数为天津高考高频必考内容，幂函数单独出基础选择题，每题 5 分；二次函数分层考查，基础性质放选择压轴，综合含参、最值、零点问题固定在第 16 道解答大题，分值 14 分。常结合不等式、函数单调性、恒成立命题，基础题简单易得分，综合大题有区分度，是函数板块核心得分点。 复习目标 1.熟记 5 类典型幂函数图象、单调性，会比较幂值大小； 2.掌握二次函数三种解析式，熟练判断开口、对称轴、单调区间与区间最值； 3.掌握动轴定区间、含参恒成立、零点分布题型的求解方法； 4.能借助数形结合，把一元二次不等式、函数最值问题转化为二次函数图象问题解题。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 幂函数的解题技巧 1．幂函数的解析式 幂函数的形式是(∈R)，其中只有一个参数，因此只需________条件即可确定其解析式. 2．幂函数的图象与性质 在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越________x轴，在区间(1,+)上，幂函数中指数越大，函数图象越________x轴. 3．比较幂值的大小 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其________进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 必记结论 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 自主检测已知幂函数的图象过点，且函数. (1)求幂函数的解析式； (2)判断并证明函数在上的单调性； (3)若，使得不等式有解，求实数取值范围. 知识点2 二次函数的解题技巧 1．二次函数解析式的求法 (1)________法：已知三点坐标，选用一般式. (2)________法：已知顶点坐标、对称轴或最大（小）值，选用顶点式. (3)________法：已知与x轴两交点坐标，选用零点式. 2．二次函数的图象问题 (1)研究二次函数图象应从“________”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向. (2)求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件. 3．二次函数的单调性与最值 闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解. 4．二次函数的恒成立问题 不等式恒成立求参数范围，一般有两个解题思路：一是________参数；二是________参数，直接借助于函数图象求最值.这两个思路，最后都是转化为求函数的最值问题. 必记结论 二次函数通用解析式 y=ax²+bx+c（a≠0），a 决定开口方向，a 大于 0 开口向上有最小值，a 小于 0 开口向下有最大值。对称轴公式为 x=-b/2a，顶点纵坐标 (4ac-b²)/4a，是求解区间最值的关键分界点。 判别式 Δ=b²-4ac 判定零点个数，Δ 大于 0 有两个交点，Δ 等于 0 顶点落在 x 轴，Δ 小于 0 无实数零点。两根满足韦达定理，两根之和 =-b/a，两根之积 = c/a。 求解区间最值需分情况讨论对称轴与给定区间的位置关系；恒成立问题转化为区间内函数最值正负判断；一元二次不等式解集可结合函数图像快速判断，数形结合是天津高考小题常用解题思路，常搭配参数范围、零点问题综合考查。 自主检测已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 知识点3 二次函数在闭区间上的最值 闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处. 对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令： （1）若，则；（2）若，则； （3）若，则；（4）若，则.． 自主检测已知函数的图象过点． (1)当时，求的解集； (2)当时，若的定义域为，值域为，求的值． 知识点4 一元二次方程的根的分布问题 一般情况下需要从以下4个方面考虑： （1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负. 设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示. 根的分布 图像 限定条件 在区间内 没有实根 在区间内 有且只有一个实根 在区间内 有两个不等实根 ． 必记结论 一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）根的分布依托对应二次函数图像分析，核心看三点：判别式 Δ、对称轴位置、区间端点函数值符号。 两根都大于 m：Δ≥0，对称轴在 m 右侧，f (m)>0；两根都小于 m：Δ≥0，对称轴在 m 左侧，f (m)>0； 两根分居 m 两侧：仅需 a・f (m)<0；两根落在区间 (m,n) 内：Δ≥0，对称轴在区间之间，f (m)>0 且 f (n)>0。 解题全程数形结合，无需解出方程实根，通过不等式组限定参数范围，是天津高考二次函数含参小题高频考法，常结合恒成立、区间最值综合命题。 自主检测若直线与曲线有4个交点，则k的取值范围为______. 题●型●破●译 题型1 幂函数的定义及其图像 例1-1（2026·天津·二模）已知幂函数在区间上单调递增，则___________． 例1-2（2026·天津·模拟预测）若幂函数的图象与轴没有交点，则________． 方法技巧 幂函数的定义及其图像 确定幂函数的定义域，当为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当时，底数是非零的. 【变式训练1-1】幂函数的图象经过点，若，则___________． 【变式训练1-2】已知幂函数在第一象限上是增函数． (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 【变式训练1-3】在同一坐标系内，函数（）和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 题型2 幂函数图象的判断及应用 例2-1以下四个命题结论正确的是（   ） A．幂函数与幂函数的图象均过点，点 B．当，，，时，幂函数的图象经过第一、三象限 C．时的幂函数在其定义域内是减函数 D．当，，时，幂函数在上为增函数 例2-2已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（   ） A． B． C．2 D． 方法技巧 幂函数图象的判断及应用 紧扣幂函数的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意为奇数时，为奇函数，为偶数时，为偶函数. 【变式训练2-1·变考法】中国文化之美照亮生活，宋代的几何图案（图1）注重理性和逻辑的文化风气，中式美学的另一种浪漫，蕴含着数学对称之美．几何图案由函数，，与函数（）图像（如图2）分别关于轴、轴及原点对称所得（如图3）．        (1)若图3构成正八边形，求实数m的值； (2)若关于的方程有两个不相等实数根，． ①求实数m的取值范围； ②求的最小值． 【变式训练2-2】已知定义域为的函数，若是三个互不相同的正数，且，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】已知幂函数在第一象限内的图像如图所示，若则与曲线、、、对应的的值依次为（    ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 题型3 幂函数的图象与性质的综合应用 例3-1函数（，且）的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（   ） A． B． C．3 D．9 例3-2若函数为幂函数，且在单调递增． (1)求实数的值； (2)设函数，是否存在实数，使得当时恒成立，若存在，求的取值范围，若不存在，说明理由． 例3-3若函数为幂函数，且在单调递减. (1)求实数的值； (2)若函数，且， （i）判断函数的单调性，无需证明； （ii）求使不等式成立的实数的取值范围. 方法技巧 幂函数的图象与性质的综合应用 幂函数统一形式为 y=xα，定义域、图像由指数 α 决定，常考 α 取 ±1、±2、1/2 等数值。所有幂函数均过定点 (1,1)，α>0 时在第一象限单调递增，图像过原点；α<0 时在第一象限单调递减，以坐标轴为渐近线。比较幂值大小时，同指数利用单调性，同底数借助指数函数规律，不同底不同指数可搭桥中间量判断。天津高考多以选择题考查，常结合不等式、函数值域、参数范围综合出题。解题优先锁定第一象限图像特征，再结合奇偶性拓展完整图像，运用数形结合快速求解大小比较、定义域、单调区间类基础题型。 【变式训练3-1】已知幂函数为偶函数． (1)求的解析式； (2)若，求的取值范围； (3)当时，求不等式的解集． 【变式训练3-2】已知幂函数为偶函数. (1)求幂函数的解析式； (2)设函数，若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 题型4 二次方程的实根分布及条件 例4-1已知二次函数满足，， (1)求表达式； (2)当，求最大值和最小值； (3)在上的最小值为，求实数的值. 例4-2已知一元二次函数的对称轴为， 且满足，. (1)求的解析式; (2)若在区间上单调，求实数m的取值范围； (3)用来表示在区间上的最小值，，求的表达式. 方法技巧 二次方程的实根分布及条件 结合二次函数的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围. 【变式训练4-1】已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】已知函数． (1)若函数对恒成立，求实数的值； (2)若不等式的解集为，求实数的值； (3)求函数在上的最小值． 【变式训练4-3】已知函数则在区间上的最大值__________，最小值__________________. 题型5 二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题 例5-1已知函数． (1)若在区间上是单调函数，求实数的取值范围； (2)试求在区间上的最大值与最小值． 例5-2若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 方法技巧 二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题 “动轴定区间 ”、“定轴动区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论； （2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析； （3）将分类讨论的结果整合得到最终结果. 【变式训练5-1】已知二次函数． (1)若，求在上的最值； (2)若在区间上单调递增，求实数a的取值范围； (3)若时，函数的最小值为5，求a的值． 【变式训练5-2】已知函数，若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】已知函数 在上单调递减，则实数的取值范围为___. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（2022·天津·高考真题）设，，，则的大小关系为（      ） A． B． C． D． 5．（2014·天津·高考真题）已知函数，．若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为__________． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．求函数在区间上的最大值和最小值． 2．已知下列函数在给定的区间上单调递增，求实数k的取值范围． (1)，； (2)，； (3)，． 3．讨论下列函数在给定区间上的单调性： (1)，； (2)，． 4．某型号汽车使用单位体积燃料行驶的路程（单位：km）是行驶速度x（单位：km/h）的函数．由实验可知，这一函数关系是． (1)求，并说明它的实际意义； (2)当速度x为多少时，汽车最省油？ 5．若关于的函数在区间上递减，求实数的取值范围． 6．已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的两个交点的横坐标的平方和为15，求该二次函数的表达式． 7．对于函数与： (1)通过计算或借助绘图工具求这两个函数图象的交点个数； (2)比增长得快，通过分析它们的图象解释其含义． 8．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小： (1)与； (2)与. 9．已知幂函数． (1)若的图象在时位于直线的上方，求实数的取值范围； (2)若的图象在时位于直线的上方，求实数的取值范围． 10．已知幂函数在区间上是减函数． (1)求函数的解析式； (2)讨论函数的奇偶性和单调性； (3)求函数的值域． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：基础演练侧重两类函数核心基础知识点，幂函数重点考查定义识别、定点 (1,1)、第一象限单调性与图像特征，常设置幂值大小比较、定义域、奇偶性判断小题。二次函数为核心考查主体，覆盖三种解析式转化、开口、对称轴、顶点、判别式、韦达定理等基础结论，包含定区间求最值、简单一元二次不等式求解。两类函数常结合命题，依托数形结合思想，弱化复杂含参难题，侧重基础公式记忆与图像识图能力。贴合天津高考基础送分题型难度，夯实选择小题必备基础，为后续含参综合题、零点根分布题型做好铺垫。 1．已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 3．幂函数在上单调递增，则且的图象过定点__________. 4．已知函数，，的零点分别为，则的大小关系为__________. 5．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”. (1)设是定义域上的“类函数”，求实数的取值范围； (2)若为其定义域上的“类函数”，求实数的取值范围. 6．幂函数在上单调递增，则（   ） A．1 B． C．2 D． 7．已知函数在区间上单调递增，则参数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为____________． 9．若，对，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 10．已知函数（为常数） (1)若函数的定义域为，求实数的取值范围： (2)当时， ①若 试用表示; ②是否存在正整数，使得关于的不等式 在区间上有解?若存在，求出的最大值，若不存在，请说明理由. 重难·创新演练 设题创新:贴合天津高考命题趋势，创新点集中在跨函数综合设问。一是融合幂函数图像单调性与二次函数区间最值、零点分布，搭建双函数数形结合题型；二是设置含参复合型问题，将幂函数底数、指数参数与二次函数对称轴、判别式结合，分段讨论参数范围；三是创新情景载体，结合不等式恒成立、存在性问题串联两类函数；四是弱化单一公式套用，侧重逻辑推理，以多选、压轴小题形式考查分类讨论思想，打破单一函数简单计算模式，强化图像转化、等价转化能力，贴合天津卷区分度题型命题思路。 1．已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)求不等式的解集； (3)若在区间上不单调，求实数的取值范围. 2．下列函数中，哪些函数既是奇函数又是增函数____________（填写序号） ①；②；③；④；⑤；⑥. 3．已知幂函数的图象经过点，函数为奇函数. (1)求幂函数的解析式及实数的值； (2)判断函数在区间上的单调性，并用的数单调性定义证明. 4．下列命题中正确的个数是（    ） ①函数既是奇函数，又是R上的增函数 ②不等式的解集为R，则实数的取值范围为 ③的定义域为 ④若为偶函数，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．若函数是幂函数，且其图像过点，则的单调递增区间为___________. 6．已知幂函数的图像经过点，则此幂函数的解析式为_____；关于的不等式的解集为_____. 7．若函数是上的单调函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，. (1)若，使得不等式成立，求实数的取值范围； (2)记，若函数在单调递增，求实数的取值范围； (3)当时，若关于的方程无实数根，求实数的取值范围. 9．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． (1)求函数的解析式； (2)直接写出函数的增区间； (3)若函数，求函数的最小值． 10．已知，函数. (1)求不等式的解集； (2)设，若存在实数x，使得成立，求实数的最小值； (3)若，使得，求实数的取值范围. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 二次函数与幂函数 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 幂函数的解题技巧 知识点2 二次函数的解题技巧 知识点3 二次函数在闭区间上的最值 知识点4 一元二次方程的根的分布问题 题型破译 题型1 幂函数的定义及其图像 【方法技巧】幂函数的定义及其图像 题型2 幂函数图象的判断及应用 【方法技巧】幂函数图象的判断及应用 题型3 幂函数的图象与性质的综合应用 【方法技巧】幂函数的图象与性质的综合应用 题型4 二次方程的实根分布及条件 【方法技巧】二次方程的实根分布及条件 题型5 二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题 【方法技巧】二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 幂函数的图象与性质 天津卷 T4（5 分） 天津卷 T3（5 分） 天津卷 T5（5 分） 二次函数的图象与基本性质 天津卷 T8（5 分） 天津卷 T7（5 分） 天津卷 T9（5 分） 二次函数综合应用（含参、最值、不等式） 天津卷 T16（14 分） 天津卷 T16（14 分） 天津卷 T16（14 分） 考情分析 二次函数与幂函数为天津高考高频必考内容，幂函数单独出基础选择题，每题 5 分；二次函数分层考查，基础性质放选择压轴，综合含参、最值、零点问题固定在第 16 道解答大题，分值 14 分。常结合不等式、函数单调性、恒成立命题，基础题简单易得分，综合大题有区分度，是函数板块核心得分点。 复习目标 1.熟记 5 类典型幂函数图象、单调性，会比较幂值大小； 2.掌握二次函数三种解析式，熟练判断开口、对称轴、单调区间与区间最值； 3.掌握动轴定区间、含参恒成立、零点分布题型的求解方法； 4.能借助数形结合，把一元二次不等式、函数最值问题转化为二次函数图象问题解题。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 幂函数的解题技巧 1．幂函数的解析式 幂函数的形式是(∈R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式. 2．幂函数的图象与性质 在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴，在区间(1,+)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴. 3．比较幂值的大小 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 必记结论 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 自主检测已知幂函数的图象过点，且函数. (1)求幂函数的解析式； (2)判断并证明函数在上的单调性； (3)若，使得不等式有解，求实数取值范围. 【答案】(1)(2)在上单调递增，证明见解析(3) 【详解】（1）设幂函数为 ，其图象过点， ，解得， 故幂函数的解析式为； （2）由（1）知，故， 任取， 则. 因为，则有，，且，. 所以，即. 故在上单调递增； （3）由（2）知在上单调递增， 所以，即 令，则不等式有解等价于在上有解， 即，. 令，， 易得在区间上单调递减，在上单调递增， 则有，即. 综上，实数的取值范围是. 知识点2 二次函数的解题技巧 1．二次函数解析式的求法 (1)一般式法：已知三点坐标，选用一般式. (2)顶点式法：已知顶点坐标、对称轴或最大（小）值，选用顶点式. (3)零点式法：已知与x轴两交点坐标，选用零点式. 2．二次函数的图象问题 (1)研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向. (2)求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件. 3．二次函数的单调性与最值 闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解. 4．二次函数的恒成立问题 不等式恒成立求参数范围，一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，直接借助于函数图象求最值.这两个思路，最后都是转化为求函数的最值问题. 必记结论 二次函数通用解析式 y=ax²+bx+c（a≠0），a 决定开口方向，a 大于 0 开口向上有最小值，a 小于 0 开口向下有最大值。对称轴公式为 x=-b/2a，顶点纵坐标 (4ac-b²)/4a，是求解区间最值的关键分界点。 判别式 Δ=b²-4ac 判定零点个数，Δ 大于 0 有两个交点，Δ 等于 0 顶点落在 x 轴，Δ 小于 0 无实数零点。两根满足韦达定理，两根之和 =-b/a，两根之积 = c/a。 求解区间最值需分情况讨论对称轴与给定区间的位置关系；恒成立问题转化为区间内函数最值正负判断；一元二次不等式解集可结合函数图像快速判断，数形结合是天津高考小题常用解题思路，常搭配参数范围、零点问题综合考查。 自主检测已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的对称轴是，开口方向向上， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 因为函数在区间上单调递减， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故选：D 知识点3 二次函数在闭区间上的最值 闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处. 对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令： （1）若，则；（2）若，则； （3）若，则；（4）若，则.． 自主检测已知函数的图象过点． (1)当时，求的解集； (2)当时，若的定义域为，值域为，求的值． 【答案】(1)或(2) 【详解】（1）因为的图象过点， 所以，解得， 当时，， 令可得，或， 所以的解集为或. （2）当时，函数的对称轴， ①当时，函数在上单调递增， 当时，函数有最小值， 当时，函数有最大值，解得，符合题意； ②当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数有最小值，即， 解得或，均不符合题意. 综上可得，. 知识点4 一元二次方程的根的分布问题 一般情况下需要从以下4个方面考虑： （1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负. 设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示. 根的分布 图像 限定条件 在区间内 没有实根 在区间内 有且只有一个实根 在区间内 有两个不等实根 ． 必记结论 一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）根的分布依托对应二次函数图像分析，核心看三点：判别式 Δ、对称轴位置、区间端点函数值符号。 两根都大于 m：Δ≥0，对称轴在 m 右侧，f (m)>0；两根都小于 m：Δ≥0，对称轴在 m 左侧，f (m)>0； 两根分居 m 两侧：仅需 a・f (m)<0；两根落在区间 (m,n) 内：Δ≥0，对称轴在区间之间，f (m)>0 且 f (n)>0。 解题全程数形结合，无需解出方程实根，通过不等式组限定参数范围，是天津高考二次函数含参小题高频考法，常结合恒成立、区间最值综合命题。 自主检测若直线与曲线有4个交点，则k的取值范围为______. 【答案】 【详解】直线恒过点且斜率存在的动直线， 又，作出图象，如图： 易知， 由，消得到，由， 得到或（舍）（因为时，，不合题意）， 所以当时，与（或）相切， 由图可知，当时，直线与曲线有1个交点，不合题意； 当时，直线与曲线没有交点，不合题意； 当时，直线与曲线有1交点，不合题意； 当时，直线与曲线有2交点，不合题意； 当时，直线与曲线有3交点，不合题意； 设直线与曲线相切于点， 联立，消y得， 由 解得或（舍去，此时方程的根为，不合题意） 当，即时， 直线与曲线有4交点，符合题意； 当时，直线与曲线有3交点，不合题意； 当时，直线与曲线有2交点，不合题意； 综上，k的取值范围为. 故答案为： 题●型●破●译 题型1 幂函数的定义及其图像 例1-1（2026·天津·二模）已知幂函数在区间上单调递增，则___________． 【答案】2 【详解】因为幂函数在区间上单调递增， 则，解得. 例1-2（2026·天津·模拟预测）若幂函数的图象与轴没有交点，则________． 【答案】/ 【分析】由是幂函数有，结合基本函数的图象，排除掉与轴有交点时的值，即可求. 【详解】因为是幂函数，则，解得或， 若，则，此时的图象与轴没有交点，故成立； 若，则，此时的图象与轴有交点，故不成立； 综上，，即. 故答案为：. 方法技巧 幂函数的定义及其图像 确定幂函数的定义域，当为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当时，底数是非零的. 【变式训练1-1】幂函数的图象经过点，若，则___________． 【答案】 【详解】根据题意，设，则， 故，可得，所以， 由可得. 故答案为：. 【变式训练1-2】已知幂函数在第一象限上是增函数． (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为是幂函数， 所以， 解得或， 又在第一象限上是增函数，故， 所以，则. （2）由（1）知在上是增函数， 又的定义域为， 所以解得， 所以的取值范围是. 【变式训练1-3】在同一坐标系内，函数（）和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，结合函数的图象得，结合的图象得，即，可能成立，故A正确； 对于B，结合函数的图象得，结合的图象得，即，两者矛盾，故B错误； 对于C，结合函数的图象得，结合的图象得，即，两者矛盾，故C错误； 对于D，结合函数的图象得，结合的图象得，无解，故D错误； 故选：A. 题型2 幂函数图象的判断及应用 例2-1以下四个命题结论正确的是（   ） A．幂函数与幂函数的图象均过点，点 B．当，，，时，幂函数的图象经过第一、三象限 C．时的幂函数在其定义域内是减函数 D．当，，时，幂函数在上为增函数 【答案】D 【详解】对于A，幂函数的图象不过点，A错误； 对于B，幂函数的图象不经过第三象限，B错误； 对于C，幂函数在定义域内不单调，C错误； 对于D，幂函数在上单调递增，D正确. 故选：D 例2-2已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】令，解得或1， 若，则，与坐标轴没有公共点，满足要求， 若，则，与坐标轴有公共点，交点为原点，不合要求， 故. 故选：A 方法技巧 幂函数图象的判断及应用 紧扣幂函数的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意为奇数时，为奇函数，为偶数时，为偶函数. 【变式训练2-1·变考法】中国文化之美照亮生活，宋代的几何图案（图1）注重理性和逻辑的文化风气，中式美学的另一种浪漫，蕴含着数学对称之美．几何图案由函数，，与函数（）图像（如图2）分别关于轴、轴及原点对称所得（如图3）．        (1)若图3构成正八边形，求实数m的值； (2)若关于的方程有两个不相等实数根，． ①求实数m的取值范围； ②求的最小值． 【答案】(1)(2)①；②16 【详解】（1）        设，，且，则， 由得，，即， 因为和关于对称， 所以， 所以（*）， 又因为点在图像上， 所以，将（*）代入可得：，解得． （2）①由可得：的两个实数根为， 所以，解得或， 又因为，所以； ②由根与系数关系得，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为16． 【变式训练2-2】已知定义域为的函数，若是三个互不相同的正数，且，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】作出函数的图象， 不妨设，则， ∴， ∴，即， ∴， ∴. 故选：B. 【变式训练2-3】已知幂函数在第一象限内的图像如图所示，若则与曲线、、、对应的的值依次为（    ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 【答案】C 【详解】由幂函数的图像与性质可知： 在第一象限内，在的右侧部分的图像，图像由下至上，幂的指数依次增大， 故曲线、、、对应的的值依次为：、、、， 故选：C. 题型3 幂函数的图象与性质的综合应用 例3-1函数（，且）的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（   ） A． B． C．3 D．9 【答案】C 【详解】令，得，当时，， 所以点的坐标为， 由于函数为幂函数，设， 将点的坐标代入函数的解析式，得，则， ，因此，. 故选：C. 例3-2若函数为幂函数，且在单调递增． (1)求实数的值； (2)设函数，是否存在实数，使得当时恒成立，若存在，求的取值范围，若不存在，说明理由． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为函数为幂函数，且在单调递增， 所以，解得. （2）由（1）得，则是一元二次函数， 当时恒成立，只需即可， 当时，在上单调递增， ， 解得，与矛盾，此时无解； 当时，在单调递减，在单调递增， ，解得， 当时，在上单调递减， ， 解得，与矛盾，此时无解； 综上. 例3-3若函数为幂函数，且在单调递减. (1)求实数的值； (2)若函数，且， （i）判断函数的单调性，无需证明； （ii）求使不等式成立的实数的取值范围. 【答案】(1)(2)（i）函数在区间单调递增；（ii） 【详解】（1）因为函数为幂函数， 所以，解得或， 当时，，此时在单调递减，符合题意； 当时，，此时在单调递增，不符合题意； 综上，； （2）（i），在区间单调递增， 证明如下： 则在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在区间单调递增； （ii）由（i）知，在区间单调递增， 若不等式成立， 则，解得， 故实数的取值范围为. 方法技巧 幂函数的图象与性质的综合应用 幂函数统一形式为 y=xα，定义域、图像由指数 α 决定，常考 α 取 ±1、±2、1/2 等数值。所有幂函数均过定点 (1,1)，α>0 时在第一象限单调递增，图像过原点；α<0 时在第一象限单调递减，以坐标轴为渐近线。比较幂值大小时，同指数利用单调性，同底数借助指数函数规律，不同底不同指数可搭桥中间量判断。天津高考多以选择题考查，常结合不等式、函数值域、参数范围综合出题。解题优先锁定第一象限图像特征，再结合奇偶性拓展完整图像，运用数形结合快速求解大小比较、定义域、单调区间类基础题型。 【变式训练3-1】已知幂函数为偶函数． (1)求的解析式； (2)若，求的取值范围； (3)当时，求不等式的解集． 【答案】(1)(2)(3)答案见解析 【详解】（1）由为幂函数，得，解得或， 当时，为奇函数，舍去； 当时，为偶函数，符合题意. 综上所述，. （2）因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且为偶函数， 则，等价于， 则，整理得，解得或， 所以的取值范围为． （3）由， 则，即， 当时，不等式为，则不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为. 【变式训练3-2】已知幂函数为偶函数. (1)求幂函数的解析式； (2)设函数，若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）∵幂函数为偶函数 ∴ 即，解得或， 当时，为偶函数，符合条件； 当时，为奇函数，不符合条件； ∴函数的解析式是. （2）由（1）知，，则 由，得，即， 令，依题意，对任意，恒成立， ∴ ∵函数在上单调递减， ∴，故， ∴实数的取值范围是. 题型4 二次方程的实根分布及条件 例4-1已知二次函数满足，， (1)求表达式； (2)当，求最大值和最小值； (3)在上的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2)最大值7，最小值(3)，或. 【详解】（1）设（）， 因为，所以，则. 又， 得， 展开得， 所以，解得，， 故. （2）由（1）知， 是一条开口向上的抛物线，对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 且， 所以在上的最大值3，最小值. （3）， 是一条开口向上的抛物线，对称轴为， 当时，在上单调递减， 此时，解得，符合题意； 当时，在上单调递增， 此时，解得，符合题意； 当时， 在上单调递减，在上单调递增， 此时， 整理得，解得，不符合题意. 综上，或. 例4-2已知一元二次函数的对称轴为， 且满足，. (1)求的解析式; (2)若在区间上单调，求实数m的取值范围； (3)用来表示在区间上的最小值，，求的表达式. 【答案】(1)；(2)或；(3). 【详解】（1）由一元二次函数的对称轴为，设， 由，得，解得，则， 所以的解析式为. （2）由（1）得函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 由在区间上单调，得或， 则或，解得或， 所以实数m的取值范围是或. （3）函数， 当时，在上单调递增，； 当，即时，在上单调递减，； 当时，， 所以的表达式为. 方法技巧 二次方程的实根分布及条件 结合二次函数的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围. 【变式训练4-1】已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对任意，当时，都有成立，则函数在上单调递增， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C 【变式训练4-2】已知函数． (1)若函数对恒成立，求实数的值； (2)若不等式的解集为，求实数的值； (3)求函数在上的最小值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）因为函数对恒成立， 所以，整理得，解得； （2）不等式的解集为， 所以是方程的两根，运用韦达定理，得到，解得； （3）由于， ①当即时，在上单调递增， 所以. ②当即时， 则， ③当即时，在上单调递减， 所以 . 则. 【变式训练4-3】已知函数则在区间上的最大值__________，最小值__________________. 【答案】；. 【详解】当，即时，函数在上单调递增， 则，； 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 此时，， 则， 则时，，即； 时，，即； 时，，即； 当，即时，函数在上单调递减， 则，. 综上所述，，. 故答案为：；. 题型5 二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题 例5-1已知函数． (1)若在区间上是单调函数，求实数的取值范围； (2)试求在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)或(2)， 【详解】（1）因为在区间上是单调函数， 所以或， 所以或， 故实数的取值范围为或. （2）当，即时，函数在上单调递增， 则，； 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 此时，， 则， 则时，，即； 时，，即； 时，，即； 当，即时，函数在上单调递减， 则，. 综上所述，，. 例5-2若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，在区间上单调递增，符合题意， 当时， 因为为二次函数，且函数在区间上单调递增， 所以，解得，所以实数的取值范围是. 故选：. 方法技巧 二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题 “动轴定区间 ”、“定轴动区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论； （2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析； （3）将分类讨论的结果整合得到最终结果. 【变式训练5-1】已知二次函数． (1)若，求在上的最值； (2)若在区间上单调递增，求实数a的取值范围； (3)若时，函数的最小值为5，求a的值． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【详解】（1）时，， 它在上递减，在上递增，，，， 所以； （2），对称轴是， 它在上单调递增，则，所以； （3）当即时，，无实解； 当即时，在上递增，，； 当即时，在上递减，,，舍去， 综上，． 【变式训练5-2】已知函数，若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数在区间上是增函数， 又对数函数在其定义域内为减函数，令， 所以在上是减函数且恒成立，对称轴， 则，即，解得：， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 【变式训练5-3】已知函数 在上单调递减，则实数的取值范围为___. 【答案】 【详解】设，. 由函数 在上单调递减， 则函数在上单调递减，且， 故，解得. 故的取值范围为. 故答案为：. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 2．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 3．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由在R上递增，则， 由在上递增，则. 所以. 故选：D 4．（2022·天津·高考真题）设，，，则的大小关系为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，故. 故选：D. 5．（2014·天津·高考真题）已知函数，．若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为__________． 【答案】． 【详解】试题分析：（方法一）在同一坐标系中画和的图象（如图），问题转化为 与图象恰有四个交点．当与（或与）相切时，与图象恰有三个交点．把代入，得，即，由，得，解得或．又当时，与仅两个交点，或． （方法二）显然，∴．令，则 ∵，∴．结合图象可得或． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】最大值为9；最小值为. 【详解】解：令， 则原函数转化为， 当，即时，函数取得最小值为； 当，即时，函数取得最大值为. 2．已知下列函数在给定的区间上单调递增，求实数k的取值范围． (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）依题意函数在若为单调递增， 由一次函数性质可知； （2）若函数在单调递增， 由反比例函数性质可知； （3）①当时，函数为，易知其在上单调递减，不合题意； ②当时，可得函数在上单调递增，显然不合题意； ③当时，可得函数在上单调递增， 若要使，函数为单调递增，则，解得； 所以； 综上可得，实数k的取值范围为. 3．讨论下列函数在给定区间上的单调性： (1)，； (2)，． 【答案】(1)在上单调递增 (2)在上单调递增，在上单调递减. 【详解】（1）由于，故在上单调递增； （2）， 开口向下，对称轴为， 故当时，单调递增，当时，单调递减. 4．某型号汽车使用单位体积燃料行驶的路程（单位：km）是行驶速度x（单位：km/h）的函数．由实验可知，这一函数关系是． (1)求，并说明它的实际意义； (2)当速度x为多少时，汽车最省油？ 【答案】(1)，实际意义见解析(2) 【详解】（1）， ， 的实际意义是当汽车的行驶速度为时，汽车使用单位体积燃料行驶的路程为. （2）由，得当时，取得最大值. 即当速度为时，汽车使用单位体积燃料行驶的路程最大，汽车最省油. 5．若关于的函数在区间上递减，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】因为二次函数的图像的对称轴为直线， 且开口向上，所以函数在区间上递减． 又已知该函数在区间上递减， 则需满足，即． 所以实数的取值范围为． 6．已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的两个交点的横坐标的平方和为15，求该二次函数的表达式． 【答案】或． 【分析】利用给定点求出c，设出图象与轴交点的横坐标，结合一元二次方程根与系数的关系求出b得解. 【详解】由二次函数的图象与轴交于点知，， 设二次函数的图象与轴交点的横坐标为，则是一元二次方程的两个根， 由根与系数的关系知，，则，解得， 所以所求二次函数的表达式为或. 7．对于函数与： (1)通过计算或借助绘图工具求这两个函数图象的交点个数； (2)比增长得快，通过分析它们的图象解释其含义． 【答案】(1)图见解析，交点个数为2(2)见解析 【详解】（1）     由图可知，两函数图象在第一象限内有两个交点，故交点个数为2， 且随着增大，的值总大于的值，两图象再无交点， 当时，，所以此时两函数图象也没有交点， 综上所述：两函数图象共有两个交点. （2）由图可知当时，比增长得快， 不妨设，求导得， 继续对求导得，再求导得， 因为， 所以， 所以在上单调递增， 所以， 所以在上单调递增， 所以， 因此当时，比增长得快. 8．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小： (1)与； (2)与. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为，当且仅当，即时取等号， 而在上单调递增， 所以. （2）， 因为在上单调递增，且， 所以，即. 9．已知幂函数． (1)若的图象在时位于直线的上方，求实数的取值范围； (2)若的图象在时位于直线的上方，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）根据题意，当时，， 因为指数函数（以为自变量，底数为常数）是单调减函数， 故，即的取值范围为. （2）根据题意，当时，， 因为指数函数（以为自变量，底数为常数）是单调增函数， 故，即的取值范围为. 10．已知幂函数在区间上是减函数． (1)求函数的解析式； (2)讨论函数的奇偶性和单调性； (3)求函数的值域． 【答案】(1)或或(2)答案见解析(3)答案见解析 【详解】（1）解：依题意，即，解得，因为，所以或或，所以或或 （2）解：若定义域为，则为奇函数，且在和上单调递减； 若定义域为，则为偶函数，且在上单调递增，在上单调递减； 若定义域为，则为奇函数，且在和上单调递减； （3）若，则为奇函数，当时，所以时，所以函数的值域为； 若，则为偶函数，当时，所以时，所以函数的值域为； 若，则为奇函数，当时，所以时，所以函数的值域为； 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：基础演练侧重两类函数核心基础知识点，幂函数重点考查定义识别、定点 (1,1)、第一象限单调性与图像特征，常设置幂值大小比较、定义域、奇偶性判断小题。二次函数为核心考查主体，覆盖三种解析式转化、开口、对称轴、顶点、判别式、韦达定理等基础结论，包含定区间求最值、简单一元二次不等式求解。两类函数常结合命题，依托数形结合思想，弱化复杂含参难题，侧重基础公式记忆与图像识图能力。贴合天津高考基础送分题型难度，夯实选择小题必备基础，为后续含参综合题、零点根分布题型做好铺垫。 1．已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，， 因为函数在上单调递增， 则，则，则，则B正确. 2．若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得， 与互为反函数，故其交点在直线上，且交点横坐标小于1， 而与交点的横坐标等于1， 从而，，在同一直角坐标系中的大致图象如图所示：与的图像交点为,与的图像交点为, 且 当直线位于点的上方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 当直线位于点的上方，的下方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 当直线位于点的上方，的下方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 当直线位于点的下方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 3．幂函数在上单调递增，则且的图象过定点__________. 【答案】 【详解】因为幂函数在上单调递增，所以， 解得，所以且， 令，得，所以， 所以且的图象过定点. 故答案为： 4．已知函数，，的零点分别为，则的大小关系为__________. 【答案】 【详解】在同一平面直角坐标系中分别作出函数，，，的图像， 如图所示：    由图像可知：. 故答案为： 5．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”. (1)设是定义域上的“类函数”，求实数的取值范围； (2)若为其定义域上的“类函数”，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）因为是定义域上的“类函数”， 所以存在实数，满足， 即在上有解， 分离参数得在上有解. 令，则问题转化为在上有解. 令，易知在上是增函数， 所以其值域为，即，所以实数的取值范围是. （2）由题意知在上恒成立， 即在上恒成立，所以. 因为为其定义域上的“类函数”， 所以存在实数，满足. ①当时，，此时即， 所以，即在上有解可保证为“类函数”， 令，易知在上是增函数， 所以，即，所以； ②当时，，此时即，亦即，该式不成立，此种情况无解； ③当时，，此时即， 所以，即在上有解可保证为“类函数”， 令，易知函数在上是减函数， 所以，即，所以. 综上，实数的取值范围是. 6．幂函数在上单调递增，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】因为为幂函数，所以，解得， 因为在上单调递增，所以，则. 故选：C 7．已知函数在区间上单调递增，则参数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在上单调递增，函数在上单调递增， 因此在上单调递增，而在上单调递增， 则函数在上单调递增，且， 于是且，解得， 所以参数的取值范围是. 故选：D 8．已知函数，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为____________． 【答案】 【详解】令，即， 由题意可知在R上恒成立， ①若，即时， 要满足题意需， 整理得,解得或（舍去）； ②若，即时， 要满足题意需， 整理得， 解得或，与前提矛盾舍去； ③若，即时， 要满足题意需， 整理得，解得或（，舍去）； 综上所述. 故答案为： 9．若，对，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令、，则，即， 即，使得对，都有或， 令， 则或， 即时，，使得对，都有， 且当取时，； 令可得或 令，则， 则当时， ，使得对，都有， 综上，，使得对，， 即，使得对，对， 故的最大值为. 故选：A. 10．已知函数（为常数） (1)若函数的定义域为，求实数的取值范围： (2)当时， ①若 试用表示; ②是否存在正整数，使得关于的不等式 在区间上有解?若存在，求出的最大值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)(2)①；②存在， 【详解】（1）由题意函数的定义域为， 则对于恒成立， 当时，，不恒成立； 当时，，无解； 综上所述，实数的取值范围为. （2）当时，， ①因为，， 所以. ②存在，理由如下： 由，则， 则不等式 可化为， 则，即在区间上有解， 令，，则， 因为，， 所以， 又因为为正整数，所以的最大值为. 故存在. 重难·创新演练 设题创新:贴合天津高考命题趋势，创新点集中在跨函数综合设问。一是融合幂函数图像单调性与二次函数区间最值、零点分布，搭建双函数数形结合题型；二是设置含参复合型问题，将幂函数底数、指数参数与二次函数对称轴、判别式结合，分段讨论参数范围；三是创新情景载体，结合不等式恒成立、存在性问题串联两类函数；四是弱化单一公式套用，侧重逻辑推理，以多选、压轴小题形式考查分类讨论思想，打破单一函数简单计算模式，强化图像转化、等价转化能力，贴合天津卷区分度题型命题思路。 1．已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)求不等式的解集； (3)若在区间上不单调，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2)答案见解析；(3). 【详解】（1）由为幂函数，得，解得或， 时，为奇函数，舍去；时，为偶函数，符合题意， 所以. （2）由（1）知，原不等式化为，即， 当时，解得； 当时，不等式为，解得或； 当时，不等式化为， 当时，解得； 当时，不等式无解； 当时，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （3）函数在上不单调，则有，解得， 所以实数的取值范围是. 2．下列函数中，哪些函数既是奇函数又是增函数____________（填写序号） ①；②；③；④；⑤；⑥. 【答案】③⑥ 【详解】对①：是偶函数，排除； 对②：在和上单调递增，排除； 对③：为奇函数且在上单调递增，正确； 对④：时，，时，，不是奇函数，排除； 对⑤：是非奇非偶函数函数，排除； 对⑥：，定义域为，， 为奇函数且在上单调递增，正确； 故答案为：③⑥ 3．已知幂函数的图象经过点，函数为奇函数. (1)求幂函数的解析式及实数的值； (2)判断函数在区间上的单调性，并用的数单调性定义证明. 【答案】(1)；(2)在上单调递增，证明见解析 【详解】（1）由条件可知，所以，即， 所以， 因为是奇函数，所以，即， 满足是奇函数，所以成立； （2）函数在区间上单调递增，证明如下， 由（1）可知， 在区间上任意取值，且， ， 因为，所以，， 所以， 即， 所以函数在区间上单调递增. 4．下列命题中正确的个数是（    ） ①函数既是奇函数，又是R上的增函数 ②不等式的解集为R，则实数的取值范围为 ③的定义域为 ④若为偶函数，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】对于①，设，有， 故函数是奇函数，且易知函数在R上单调递增，故①正确； 对于②，当时，不等式为，解集为R， 当时，有，解得， 综上：，②错误； 对于③，中，，解得，③错误； 对于④，若为偶函数，则，，④错误. 综上：只有①正确. 故选：A 5．若函数是幂函数，且其图像过点，则的单调递增区间为___________. 【答案】 【详解】函数是幂函数，且其图象过点， ，且，求得，，可得， 则函数， 令，解得：或，且的对称轴是， 故函数在递增， 故答案为：. 6．已知幂函数的图像经过点，则此幂函数的解析式为_____；关于的不等式的解集为_____. 【答案】 【详解】（1）设幂函数的解析式为， 所以函数的解析式为； （2）由题得函数的定义域为，在是减函数， 因为，所以. 所以不等式的解集为. 故答案为：；. 7．若函数是上的单调函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数， 由函数是上的单调函数，得函数在上单调， 当时，在上递增，而时，为常数函数，不递增，因此； 当时，，函数在上递增，在上递减， ，函数在上不单调，因此不成立； 当时，，函数在上递增，在上递减， 因此函数在上单调递增，且，即，解得， 此时函数在上单调递增，要函数在上单调递增， 则，而，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B 8．已知函数，. (1)若，使得不等式成立，求实数的取值范围； (2)记，若函数在单调递增，求实数的取值范围； (3)当时，若关于的方程无实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）由可得，成立， 当时，显然不能使成立， 当时，由可得，进而可得，使得，故， 当且仅当时取等号，故 （2）， 当时，即时，此时， 由于函数在单调递增，故，解得， 当时，此时， 要使函数在单调递增，则或 解得， 综上可得 （3）当时，，， 此时， 令则， 故， 由于，故， 故的最小值为，即， 要使无实数根，只需要， 9．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． (1)求函数的解析式； (2)直接写出函数的增区间； (3)若函数，求函数的最小值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）由已知当时，， 则当时，，， 又函数是定义在上的偶函数，则， 综上所述； （2）由已知当时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递增， 综上所述函数的单调递增区间为； （3）由已知，，对称轴方程为， 当，即时，为最小值； 当，即时，为最小值； 当，即时，为最小值． 综上，. 10．已知，函数. (1)求不等式的解集； (2)设，若存在实数x，使得成立，求实数的最小值； (3)若，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3). 【详解】（1）由可知函数的定义域为R， 由得即， 令，则，解得，即，故， 所以不等式的解集为. （2）由题可得， 所以存在实数x，使得成立，即成立， 所以方程有实数解， 令，即，当且仅当即时等号成立， 所以方程有实数解， 因为和为上的增函数，所以为上的增函数， 所以， 所以. 所以满足题意的实数的最小值为. （3）由题意，使得， 所以， 由（1）知，因为，所以， 所以， 因为， 当时，在区间上单调递增，所以， 则，所以； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，则即， 所以； 当时，在区间上单调递减，所以， 则，所以； 综上所述，满足题意的实数的取值范围为：. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $