第8讲 幂函数与二次函数·讲义-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦幂函数单调性、二次函数对称轴与闭区间最值等核心考点，按定义-性质-应用逻辑架构知识体系，通过考情分析明确方向，知识清单系统梳理，典题精讲分层突破，真题训练强化应用，帮助学生构建完整知识网络。 资料以高考间接考查特点为导向，突出幂函数与二次函数的工具性作用，通过换元构造二次函数模型、分类讨论区间最值等教学活动，培养学生数学思维与转化能力。结合近三年真题设计典例，设置方法总结与防坑警示，确保复习高效，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

第8讲 幂函数与二次函数 · 讲义 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容与方式 2024 1（单选题） 5分 间接 利用幂函数单调性解不等式求集合交集 2024 6（单选题） 5分 间接 结合二次函数对称轴判断其在特定区间上的单调性 2025 18（解答题） 17分 间接 通过三角换元转化为二次函数在闭区间上的最值问题 近三年全国一卷中，幂函数与二次函数多以间接考察的形式出现.它们常作为解决集合运算、分段函数性质、解析几何最值等问题的基础代数工具，与其他知识点深度交汇. 2. 命题角度与特色 核心考点：幂函数的单调性应用，二次函数的对称轴、单调性及闭区间上的最值. 命题趋势：淡化对幂函数和二次函数的独立命题，强化其作为初等代数工具在复杂情境（如解析几何、导数综合）中的基础支撑作用. 试题特点：隐蔽性强，往往需要通过换元、构造等手段，将原问题转化为二次函数模型后再进行求解. 3. 备考策略 · 熟练掌握二次函数的图象特征，尤其是对称轴与给定区间的相对位置关系对单调性和最值的影响. · 强化转化与化归思想，在解析几何、三角函数等模块中，要有意识地通过换元法构造二次函数模型解决最值问题. · 准确记忆常见幂函数的图象与性质，确保在处理不等式或比较大小时能快速调用其单调性. 二、知识清单 1. 幂函数的定义 一般地，（为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数. 2. 幂函数的特征 同时满足以下三个条件才是幂函数： ① 的系数为；② 的底数是自变量；③指数为常数. 3. 常见的幂函数图像及性质 【防坑警示】研究幂函数 的性质时，必须先确定其定义域.当指数 为分数 （互质）时，其奇偶性由分子 和分母 的奇偶性共同决定. 4. 二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：； （2）顶点式：；其中， 为抛物线顶点坐标， 为对称轴方程. （3）零点式：，其中，是抛物线与 轴交点的横坐标. 5. 二次函数的图像 二次函数 的图像是一条抛物线，对称轴方程为 ，顶点坐标为 . （1）单调性与最值 ①当 时，如图所示，抛物线开口向上，函数在 上递减，在 上递增，当 时，； ②当 时，如图所示，抛物线开口向下，函数在 上递增，在 上递减，当 时，. （2）与 轴相交的弦长 当 时，二次函数 的图像与 轴有两个交点 和 ，. 6. 二次函数在闭区间上的最值 闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处. 对二次函数 ，当 时， 在区间 上的最大值是 ，最小值是 ，令 ： （1）若 ，则 ； （2）若 ，则 ； （3）若 ，则 ； （4）若 ，则 . 7. 实系数一元二次方程 的实根符号与系数之间的关系 （1）方程有两个不等正根 （2）方程有两个不等负根 （3）方程有一正根和一负根，设两根为 8. 一元二次方程 的根的分布问题 一般情况下需要从以下 4 个方面考虑： （1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴 与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负. 设 为实系数方程 的两根，则一元二次方程 的根的分布与其限定条件如下： · 两根满足 ：图像为；限定条件为 . · 两根满足 ：图像为；限定条件为 . · 两根满足 ：图像为；限定条件为 . · 在区间 内没有实根： 图像为；限定条件为 ； 或；限定条件为 ； 或；限定条件为 ； 或；限定条件为 ； 或 . · 在区间 内有且只有一个实根： 图像为，限定条件为 ； 或，；限定条件为 . · 在区间 内有两个不等实根： 图像为；限定条件为 . 三、典题精讲 考点一：幂函数的概念、图象与性质 考法1：幂函数的概念与解析式 例1.已知函数是幂函数，且在上递减，则实数（ 　　） A. B. 或 C. D. 考法2：幂函数的图象特征与奇偶性 例2.已知幂函数(且互质)的图象关于轴对称，如图所示，则（ 　　） A. 均为奇数，且 B. 为偶数，为奇数，且 C. 为奇数，为偶数，且 D. 为奇数，为偶数，且 考法3：利用幂函数单调性解不等式 例3.已知幂函数，若，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【考点一 方法总结】 · 求解幂函数参数问题的基本步骤：令系数等于1求出参数的候选值，再根据单调性（增函数对应指数大于0，减函数对应指数小于0）或定义域要求进行检验剔除. · 分数指数幂（互质）的图象特征由两部分决定：指数的整体正负决定第一象限的增减性（正增负减）；分子与分母的奇偶性决定函数的奇偶性（偶则为偶函数，奇奇则为奇函数）. · 利用幂函数单调性解不等式时，不仅要根据单调性脱去函数符号，更要列出自变量满足定义域限制的不等式组，切忌遗漏定义域导致参数范围扩大. · 确定幂函数的定义域时，当为分数，可转化为根式考虑是否为偶次根式或被开方式非负；当时，底数必须非零. · 幂函数在第一象限内图象的画法：当时，其图象可类似画出；当时，其图象可类似画出；当时，其图象可类似画出. 考点二：一元二次方程与一元二次不等式 考法1：一元二次方程根的分布 例4.设为实数，若方程在区间上有两个不相等的实数解，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 考法2：含参一元二次不等式的求解 例5.已知. （1）若，，解关于的不等式； （2）若，在上的最大值为，最小值为，求证：. 【考点二 方法总结】 · 解决二次方程实根分布问题，常构造二次函数并画出草图，严格从四个维度建立条件：①开口方向；②判别式的正负；③对称轴与给定区间的相对位置；④区间端点对应函数值的符号. · 解含参一元二次不等式的标准流程：先看二次项系数是否可能为0；若不为0，分系数大于0和小于0讨论；在系数确定同号的情况下，计算判别式或直接求根，若有两个根，还需比较两根的大小关系. 考点三：二次函数在闭区间上的最值 考法1：定轴动区间 / 动轴定区间的最值问题 例6.已知函数 (). （1）当时，解关于的不等式； （2）函数在上的最大值为，最小值为，求实数和的值. 考法2：含绝对值的二次函数最值 例7.二次函数为偶函数，，且恒成立. （1）求的解析式； （2），记函数在上的最大值为，求的最小值. 【考点三 方法总结】 · 处理含参数的二次函数在闭区间上的最值问题（动轴定区间和定轴动区间），解法是抓住“三点一轴”（区间两个端点、区间中点、对称轴）.通过比较对称轴与区间的相对位置关系（轴在区间左侧、右侧、内部）进行分类讨论. · 已知二次函数在某区间上的最值求参数，关键是判断对称轴与区间的相对位置.最大值通常在离对称轴较远的端点处取得，最小值则需看对称轴是否包含在区间内部. · 求含绝对值的二次函数在闭区间上的最大值时，最大值必然在区间的端点或的顶点处取得.分别求出这些关键点处的函数值绝对值，比较大小并分段讨论即可. 考点四：二次函数的综合应用 考法1：二次函数的恒成立与存在性问题 例8.已知函数是定义在上的奇函数，且时，，. （1）求在区间上的解析式； （2）若对，则，使得成立，求的取值范围. 考法2：复合函数的最值问题 例9.（2025·沧州五县·一模）已知幂函数 () 是定义在上的偶函数. （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的最大值，并求对应的自变量的值. 【考点四 方法总结】 · “任意，存在使得”等价于“的值域是值域的子集”；若是“任意，任意使得”，则等价于“的最小值 的最大值”. · 遇到对数或指数型复合函数的最值问题，优先考虑换元法.换元时务必“换元必换限”，即先根据原自变量的范围求出新变量的取值范围，再在新的定义域内研究二次函数的最值. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲 幂函数与二次函数 · 讲义（解析卷） 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容与方式 2024 1（单选题） 5分 间接 利用幂函数单调性解不等式求集合交集 2024 6（单选题） 5分 间接 结合二次函数对称轴判断其在特定区间上的单调性 2025 18（解答题） 17分 间接 通过三角换元转化为二次函数在闭区间上的最值问题 近三年全国一卷中，幂函数与二次函数多以间接考察的形式出现.它们常作为解决集合运算、分段函数性质、解析几何最值等问题的基础代数工具，与其他知识点深度交汇. 2. 命题角度与特色 核心考点：幂函数的单调性应用，二次函数的对称轴、单调性及闭区间上的最值. 命题趋势：淡化对幂函数和二次函数的独立命题，强化其作为初等代数工具在复杂情境（如解析几何、导数综合）中的基础支撑作用. 试题特点：隐蔽性强，往往需要通过换元、构造等手段，将原问题转化为二次函数模型后再进行求解. 3. 备考策略 · 熟练掌握二次函数的图象特征，尤其是对称轴与给定区间的相对位置关系对单调性和最值的影响. · 强化转化与化归思想，在解析几何、三角函数等模块中，要有意识地通过换元法构造二次函数模型解决最值问题. · 准确记忆常见幂函数的图象与性质，确保在处理不等式或比较大小时能快速调用其单调性. 二、知识清单 1. 幂函数的定义 一般地，（为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数. 2. 幂函数的特征 同时满足以下三个条件才是幂函数： ① 的系数为；② 的底数是自变量；③指数为常数. 3. 常见的幂函数图像及性质 【防坑警示】研究幂函数 的性质时，必须先确定其定义域.当指数 为分数 （互质）时，其奇偶性由分子 和分母 的奇偶性共同决定. 4. 二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：； （2）顶点式：；其中， 为抛物线顶点坐标， 为对称轴方程. （3）零点式：，其中，是抛物线与 轴交点的横坐标. 5. 二次函数的图像 二次函数 的图像是一条抛物线，对称轴方程为 ，顶点坐标为 . （1）单调性与最值 ①当 时，如图所示，抛物线开口向上，函数在 上递减，在 上递增，当 时，； ②当 时，如图所示，抛物线开口向下，函数在 上递增，在 上递减，当 时，. （2）与 轴相交的弦长 当 时，二次函数 的图像与 轴有两个交点 和 ，. 6. 二次函数在闭区间上的最值 闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处. 对二次函数 ，当 时， 在区间 上的最大值是 ，最小值是 ，令 ： （1）若 ，则 ； （2）若 ，则 ； （3）若 ，则 ； （4）若 ，则 . 7. 实系数一元二次方程 的实根符号与系数之间的关系 （1）方程有两个不等正根 （2）方程有两个不等负根 （3）方程有一正根和一负根，设两根为 8. 一元二次方程 的根的分布问题 一般情况下需要从以下 4 个方面考虑： （1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴 与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负. 设 为实系数方程 的两根，则一元二次方程 的根的分布与其限定条件如下： · 两根满足 ：图像为；限定条件为 . · 两根满足 ：图像为；限定条件为 . · 两根满足 ：图像为；限定条件为 . · 在区间 内没有实根： 图像为；限定条件为 ； 或；限定条件为 ； 或；限定条件为 ； 或；限定条件为 ； 或 . · 在区间 内有且只有一个实根： 图像为，限定条件为 ； 或，；限定条件为 . · 在区间 内有两个不等实根： 图像为；限定条件为 . 三、典题精讲 考点一：幂函数的概念、图象与性质 考法1：幂函数的概念与解析式 例1.已知函数是幂函数，且在上递减，则实数（ 　　） A. B. 或 C. D. 【答案】A 【思路】引导回顾幂函数的基本定义，明确其系数必须严格为1，由此可建立关于参数的方程求出候选值.随后结合幂函数在第一象限的单调性与指数正负的对应关系，对候选值进行检验与筛选. 【解析】由是幂函数，得，解得或.又∵在上单调递减，∴，即，∴.对应选项A. 【规律】求解幂函数参数问题的基本步骤：令系数等于1求出参数的候选值，再根据单调性（增函数对应指数大于0，减函数对应指数小于0）或定义域要求进行检验剔除. 考法2：幂函数的图象特征与奇偶性 例2.已知幂函数(且互质)的图象关于轴对称，如图所示，则（ 　　） A. 均为奇数，且 B. 为偶数，为奇数，且 C. 为奇数，为偶数，且 D. 为奇数，为偶数，且 【答案】D 【思路】观察函数图象在第一象限的走势，利用下降趋势直接判定指数整体的正负.接着抓住图象关于y轴对称这一核心几何特征，利用偶函数的代数定义反推分数指数幂中分子与分母的奇偶性. 【解析】由图象可知，函数的定义域为，且在上单调递减，∴.∵函数的图象关于轴对称，∴函数为偶函数，即为偶数.又互质，∴必为奇数.对应选项D. 【规律】分数指数幂（互质）的图象特征由两部分决定：指数的整体正负决定第一象限的增减性（正增负减）；分子与分母的奇偶性决定函数的奇偶性（偶则为偶函数，奇奇则为奇函数）. 考法3：利用幂函数单调性解不等式 例3.已知幂函数，若，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】先利用指数运算法则将原函数化为标准幂函数形式，以准确判断其定义域与单调性.随后利用单调性脱去函数符号“”，将函数值的不等关系转化为自变量的不等关系，在此过程中务必确保自变量满足定义域的限制条件. 【解析】由幂函数，可得函数的定义域为，且是递减函数. ∵，∴，解得，即实数的取值范围为.对应选项A. 【规律】利用幂函数单调性解不等式时，不仅要根据单调性脱去函数符号，更要列出自变量满足定义域限制的不等式组，切忌遗漏定义域导致参数范围扩大. 【考点一 方法总结】 · 求解幂函数参数问题的基本步骤：令系数等于1求出参数的候选值，再根据单调性（增函数对应指数大于0，减函数对应指数小于0）或定义域要求进行检验剔除. · 分数指数幂（互质）的图象特征由两部分决定：指数的整体正负决定第一象限的增减性（正增负减）；分子与分母的奇偶性决定函数的奇偶性（偶则为偶函数，奇奇则为奇函数）. · 利用幂函数单调性解不等式时，不仅要根据单调性脱去函数符号，更要列出自变量满足定义域限制的不等式组，切忌遗漏定义域导致参数范围扩大. · 确定幂函数的定义域时，当为分数，可转化为根式考虑是否为偶次根式或被开方式非负；当时，底数必须非零. · 幂函数在第一象限内图象的画法：当时，其图象可类似画出；当时，其图象可类似画出；当时，其图象可类似画出. 考点二：一元二次方程与一元二次不等式 考法1：一元二次方程根的分布 例4.设为实数，若方程在区间上有两个不相等的实数解，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】将方程的根转化为对应二次函数图象与x轴的交点问题.结合二次函数图象的直观特征，从判别式、对称轴位置以及区间端点函数值的正负这三个维度，建立关于参数的不等式组进行求解. 【解析】令，由方程在区间上有两个不相等的实数解，可得，即，化简得，解得.对应选项C. 【规律】解决二次方程根的分布问题，常构造二次函数并画出草图，严格从三个维度建立条件：① 判别式的正负；② 对称轴与给定区间的相对位置；③ 区间端点对应函数值的符号. 考法2：含参一元二次不等式的求解 例5.已知. （1）若，，解关于的不等式； （2）若，在上的最大值为，最小值为，求证：. 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【思路】对于第一问，先代入已知条件求出函数解析式，整理不等式后，由于二次项系数含有参数，需对其正负以及对应方程两根的大小关系进行全面细致的分类讨论.对于第二问，利用反证法思想，假设对称轴在给定区间外，利用二次函数的单调性推导端点最值，进而得出与已知条件相悖的结论. 【解析】（1）∵，∴，又∵，∴，∴，则不等式即为，即. 若，则，解集为； 若，则，解集为； 若，当时，，解集为；当时，，解集为；当时，，解集为. （2）若，则，，当时，，无解，∴. 若时，由，得，对称轴为.假设，即对称轴在区间的左外侧或右外侧，∴在上是单调函数，则的最值必在，处取到.而，，则，矛盾.∴假设错误，则. 【规律】解含参一元二次不等式的标准流程：先看二次项系数是否可能为0；若不为0，分系数大于0和小于0讨论；在系数确定同号的情况下，计算判别式或直接求根，若有两个根，还需比较两根的大小关系. 【考点二 方法总结】 · 解决二次方程实根分布问题，常构造二次函数并画出草图，严格从四个维度建立条件：①开口方向；②判别式的正负；③对称轴与给定区间的相对位置；④区间端点对应函数值的符号. · 解含参一元二次不等式的标准流程：先看二次项系数是否可能为0；若不为0，分系数大于0和小于0讨论；在系数确定同号的情况下，计算判别式或直接求根，若有两个根，还需比较两根的大小关系. 考点三：二次函数在闭区间上的最值 考法1：定轴动区间 / 动轴定区间的最值问题 例6.已知函数 (). （1）当时，解关于的不等式； （2）函数在上的最大值为，最小值为，求实数和的值. 【答案】（1） （2）或 【思路】第一问直接代入参数，将连不等式转化为不等式组求解.第二问属于“定对称轴、动区间”的二次函数最值逆向求解问题，需结合二次函数图象的对称性，分析区间端点及顶点与最大值、最小值的对应关系，进而建立方程组反推参数. 【解析】（1）当时，不等式，即为，即，∴，∴或，∴原不等式的解集为. （2），由题意或，这时解得. 若，则，∴； 若，即，∴，则. 综上，或. 【规律】已知二次函数在某区间上的最值求参数，关键是判断对称轴与区间的相对位置.最大值通常在离对称轴较远的端点处取得，最小值则需看对称轴是否包含在区间内部. 考法2：含绝对值的二次函数最值 例7.二次函数为偶函数，，且恒成立. （1）求的解析式； （2），记函数在上的最大值为，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【思路】第一问利用偶函数性质设出不含一次项的解析式，再利用恒成立条件（转化为二次函数判别式小于等于0）锁定系数.第二问求含绝对值的二次函数在闭区间上的最大值，需比较区间端点及极值点处的函数值绝对值大小，并针对参数的不同取值范围展开分类讨论. 【解析】（1）依题设，由，得，得恒成立，，得，∴，又，∴，. （2）由题意可得：，. 若，则，则在上单调递增，所以； 若，当，即时，在上单调递减，； 当，只须比较与的大小. 由，得：，此时； 时，，此时. 综上，. 时，； 时，； 时，. 综上可知：的最小值为. 【规律】求含绝对值的二次函数在闭区间上的最大值时，最大值必然在区间的端点或的顶点处取得.分别求出这些关键点处的函数值绝对值，比较大小并分段讨论即可. 【考点三 方法总结】 · 处理含参数的二次函数在闭区间上的最值问题（动轴定区间和定轴动区间），解法是抓住“三点一轴”（区间两个端点、区间中点、对称轴）.通过比较对称轴与区间的相对位置关系（轴在区间左侧、右侧、内部）进行分类讨论. · 已知二次函数在某区间上的最值求参数，关键是判断对称轴与区间的相对位置.最大值通常在离对称轴较远的端点处取得，最小值则需看对称轴是否包含在区间内部. · 求含绝对值的二次函数在闭区间上的最大值时，最大值必然在区间的端点或的顶点处取得.分别求出这些关键点处的函数值绝对值，比较大小并分段讨论即可. 考点四：二次函数的综合应用 考法1：二次函数的恒成立与存在性问题 例8.已知函数是定义在上的奇函数，且时，，. （1）求在区间上的解析式； （2）若对，则，使得成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【思路】第一问利用奇函数性质进行区间转换，从而求出负半轴的解析式.第二问将“任意-存在”型问题转化为两个函数值域之间的包含关系，分别求出两函数在对应区间上的值域，列出不等式组即可求解. 【解析】（1）设，则，.即当时，. （2）当时，；当时，；又∵，∴函数在上的值域为. 在上单调递减，在上单调递增，当时，，. ∵，则，使得成立，则，解得. 【规律】“任意，存在使得”等价于“的值域是值域的子集”；若是“任意，任意使得”，则等价于“的最小值 的最大值”. 考法2：复合函数的最值问题 例9.（2025·沧州五县·一模）已知幂函数 () 是定义在上的偶函数. （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的最大值，并求对应的自变量的值. 【答案】（1） （2）最大值为，此时 【思路】第一问由幂函数的定义求出参数，再利用偶函数性质进行取舍.第二问代入解析式后，利用换元法将对数型复合函数的最值问题转化为熟悉的一元二次函数在闭区间上的最值问题. 【解析】（1）根据题意可得，即，∴，解得或.又函数是定义在上的偶函数，∴，，即函数的解析式为. （2）由（1）可知.∵，∴.当，即时，函数取得最大值，最大值为. 【规律】遇到对数或指数型复合函数的最值问题，优先考虑换元法.换元时务必“换元必换限”，即先根据原自变量的范围求出新变量的取值范围，再在新的定义域内研究二次函数的最值. 【考点四 方法总结】 · “任意，存在使得”等价于“的值域是值域的子集”；若是“任意，任意使得”，则等价于“的最小值 的最大值”. · 遇到对数或指数型复合函数的最值问题，优先考虑换元法.换元时务必“换元必换限”，即先根据原自变量的范围求出新变量的取值范围，再在新的定义域内研究二次函数的最值. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $