第07讲 函数的性质 专项训练-2027届高考数学一轮复习

第07讲 函数的性质 目　　录 模拟·基础演练 2 题型01 单调性与奇偶性的判断 （重） 2 题型02 函数性质的综合辨析 重难 3 题型03 对称性与周期性的判定 重难 4 题型04 抽象函数与性质证明 重难 5 题型05 单调性与大小比较 重难 6 题型06 奇偶性与周期性的综合求值 重难 7 题型07 利用单调性求最值 重难 7 题型08 用函数性质解不等式 重难 8 重难·创新演练 9 真题·实战演练 10 模拟·基础演练 考查重点：单调性与奇偶性的直接判断、周期与对称性的基本转化 考点聚焦：定义法判断单调性与奇偶性 ▶ 题型01 单调性与奇偶性的判断 一、单选题 1．（2026·河北石家庄·三模）下列函数中，在 上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 2．（2026·山西太原·二模）函数 的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 3．（2026·江苏南京·一模）已知 是 上的奇函数，当 时 ，则 （　　） A． B． C． D． 4．（2025·河南郑州·三模）已知 满足 ，当 时 ，则 （　　） A． B． C． D． 5．（2025·安徽合肥·二模）已知偶函数 在 上单调递增，，则不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 6．（2025·辽宁大连·一模）已知 为偶函数，且 在 上单调递增，则（　　） A． B． C． D． 7．（2026·山东青岛·一模）函数 的奇偶性与单调性为（　　） A．偶函数，且在 上单调递增 B．奇函数，且在 上单调递减 C．奇函数，且在 上单调递增 D．非奇非偶函数，且在 上单调递增 8．（2026·江苏扬州·二模）已知 ，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 9．（2026·浙江宁波·一模）已知 是 上的奇函数，则 （　　） A． B． C． D． 10．（2025·湖北黄冈·三模）已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 11．（2025·福建福州·二模）已知 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递减，，则不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 12．（2025·湖南岳阳·三模）已知 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递减，若 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 考点聚焦：性质的综合辨析与图象辅助 ▶ 题型02 函数性质的综合辨析 一、多选题 1．（2026·湖北武汉·一模）下列说法正确的是（　　） A．奇函数的图象关于原点对称 B．奇函数若在 处有定义，则 C．偶函数一定满足 D．偶函数满足 2．（2026·湖南长沙·二模）已知 是 上的奇函数，且在 上单调递增，则下列结论正确的是（　　） A． 在 上单调递增 B． 在 上单调递增 C．若 ，则 的解集为 D．若 ，则 的解集为 3．（2025·浙江杭州·三模）已知 满足 ，则下列结论正确的是（　　） A． 是 的一个周期 B． C． 的图象关于直线 对称 D． 的图象关于点 对称 4．（2025·四川成都·二模）已知 是定义在 上的偶函数，且 ，当 时 ，则（　　） A． B． C． 在 上单调递增 D． 5．（2026·河北唐山·二模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A． 是奇函数 B． 在 上单调递减 C． 的最大值为 D． 的值域为 6．（2026·安徽芜湖·三模）已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时 ，，则下列说法正确的是（　　） A． B． 是奇函数 C． 在 上单调递减 D． 7．（2025·河南洛阳·三模）已知定义在 上的函数 满足 为奇函数， 为偶函数，则下列说法正确的是（　　） A． 是周期为 的周期函数 B． C． D． 的图象关于直线 对称 8．（2025·陕西西安·二模）已知 是定义在 上的奇函数，，且 在 上单调递增，则下列说法正确的是（　　） A． B．不等式 的解集为 C． 在 上单调递减 D． 考点聚焦：由对称轴、对称中心推出周期 ▶ 题型03 对称性与周期性的判定 一、填空题 1．（2026·福建厦门·一模）函数 的单调递增区间是________． 2．（2026·山东济南·三模）已知 是 上的偶函数，当 时 ，则 ________． 3．（2025·江西南昌·二模）已知 满足 ，，则 ________． 4．（2025·河北唐山·一模）已知 的图象关于直线 对称，且在 上单调递减，，则不等式 的解集是________． 5．（2025·广东广州·三模）已知 是 上的奇函数，且 ，则 ________． 6．（2026·江西九江·一模）已知 是定义在 上的奇函数，且 ，，则 ________． 7．（2026·广西南宁·二模）已知 是定义在 上的偶函数，且 ，当 时 ，则 ________． 8．（2025·山西晋中·三模）已知函数 的图象关于直线 对称，且在 上单调递减，，则不等式 的解集是________． 9．（2025·四川绵阳·二模）已知定义在 上的奇函数 满足 为偶函数，，则 ________． 10．（2025·重庆南开·三模）已知 是定义在 上的奇函数，且 ，，，则 ________． 考点聚焦：赋值法处理抽象函数 ▶ 题型04 抽象函数与性质证明 一、解答题 1．（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数 ．（1）判断 的奇偶性；（2）用定义证明 在 上单调递减． 2．（2026·全国·模拟预测）已知 是定义在 上的函数，对任意 ， 都有 ，且当 时 ，．（1）判断 的奇偶性；（2）判断并证明 在 上的单调性；（3）解不等式 ． 3．（2026·云南曲靖·模拟预测）已知函数 是定义在 上的奇函数，且 ． (1) 求 ， 的值，并写出 的解析式； (2) 用定义证明 在 上单调递增； (3) 解不等式 ． 4．（2026·全国·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，对任意 都有 ，且当 时 ，． (1) 判断 的奇偶性； (2) 证明 在 上单调递增； (3) 若 ，求实数 的取值范围． 考点聚焦：用单调性脱去函数符号，解不等式 ▶ 题型05 单调性与大小比较 一、单选题 1．（2026·河北沧州·三模）已知函数 在 上单调递增，且 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·山西吕梁·二模）已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增，若 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·河南三门峡·三模）已知 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增，，则下列结论正确的是（　　） A． B． 在 上单调递增 C． 的解集为 D． 的解集为 三、填空题 4．（2025·湖南益阳·二模）已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是________． 四、解答题 5．（2026·贵州毕节·模拟预测）已知 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递减，，求实数 的取值范围． (1) 把不等式化为两个自变量的大小关系； (2) 结合定义域求 的取值范围． 考点聚焦：先用周期把自变量搬到已知区间，再用奇偶性定符号 ▶ 题型06 奇偶性与周期性的综合求值 一、单选题 1．（2026·山东济宁·三模）已知 是定义在 上的偶函数，且周期为 ，，则 （　　） A． B． C． D． 2．（2025·河北衡水·二模）已知 是定义在 上的奇函数，且周期为 ，，则 （　　） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·湖南邵阳·三模）已知 是定义在 上的奇函数，且 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 三、填空题 4．（2025·安徽淮北·二模）已知 ，且 ，则 ________． 四、解答题 5．（2026·甘肃张掖·模拟预测）已知 是定义在 上的奇函数，且周期为 ，，求 的值． (1) 求 与 ； (2) 求 并求和． 考点聚焦：先定单调性，再比较端点与极值点，别漏等号条件 ▶ 题型07 利用单调性求最值 一、单选题 1．（2026·河北沧州·三模）函数 在区间 上的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·河南安阳·二模）函数 在区间 上的最大值为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·湖北孝感·三模）关于函数 在区间 上，下列说法正确的是（　　） A．最小值为 B．最大值为 C．在 上单调递减 D．在 上单调递减 三、填空题 4．（2025·湖南株洲·二模）函数 在区间 上的值域为________． 四、解答题 5．（2026·广西桂林·模拟预测）求函数 的最小值． (1) 配凑出 的形式； (2) 检验等号成立的条件并求最小值． 考点聚焦：把不等式化为 f(□)>f(△)，再用单调性脱去 f ▶ 题型08 用函数性质解不等式 一、单选题 1．（2026·河北唐山·三模）已知 在 上单调递增，且 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·河南郑州·二模）已知偶函数 在 上单调递减，且 ，则 的解集是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·湖北武汉·三模）已知 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增，则（　　） A． B． 在 上单调递增 C．若 ，则 D． 在 上单调递减 三、填空题 4．（2025·江西南昌·二模）已知 是偶函数，且在 上单调递增，若 ，则 的取值范围是________． 四、解答题 5．（2026·陕西西安·模拟预测）已知 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递减，解不等式 ． (1) 用奇性把不等式化为同号； (2) 用单调性脱去 ，再与定义域取交集． 重难·创新演练 一、单选题 设题创新：对数型复合、周期求和与定义域限制下的解不等式 1．（2026·江苏南通·模拟预测）已知 是 上的偶函数，且在 上单调递减，，则不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 2．（2026·浙江温州·三模）已知 是 上的奇函数，且 ，当 时 ，则 （　　） A． B． C． D． 3．（2026·江苏南通·模拟预测）已知定义在 上的函数 满足 为偶函数，且 在 上单调递增，则不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 4．（2026·浙江绍兴·三模）已知函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、解答题 5．（2026·全国·模拟预测）已知 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增．（1）判断 在 上的单调性；（2）若 ，求实数 的取值范围． 6．（2026·全国·模拟预测）已知函数 ． (1) 判断 的奇偶性，并说明理由； (2) 证明 在 上单调递增； (3) 解不等式 ． 真题·实战演练 一、单选题 高频考点：比较大小、抽象不等式与性质证明的规范书写 1．（2024·新课标Ⅰ卷·T6 改编）已知 ，则不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·天津卷·T5 改编）设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 3．（2023·新课标Ⅱ卷·T4 改编）已知 是 上的奇函数，且 ，，则 （　　） A． B． C． D． 4．（2022·全国乙卷·T12 改编）已知 的图象关于直线 对称，且在 上单调递减，则（　　） A． B． C． D． 5．（2024·新课标Ⅱ卷·T6 改编）已知 是定义在 上的奇函数，，且对任意 有 ，则 （　　） A． B． C． D． 6．（2023·新课标Ⅰ卷·T4 改编）已知 是定义在 上的奇函数，且 ，当 时 ，则 （　　） A． B． C． D． 7．（2023·天津卷·T5 改编）已知 是定义在 上的奇函数，当 时 ，则 的单调递减区间是（　　） A． 和 B． C． D． 8．（2022·全国乙卷·T12 改编）已知 是定义在 上的偶函数，当 时 ，则不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2023·上海卷·T6 改编）已知 是 上的奇函数，当 时 ，则 ________． 10．（2022·上海卷·T5 改编）已知 是定义在 上的奇函数，且 ，当 时 ，则 ________． 三、解答题 11．（2021·全国甲卷·T18 改编）已知 ．（1）判断 的奇偶性；（2）用定义证明 在 上单调递增． 12．（2024·全国·模拟预测）已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递减，若 ，求实数 的取值范围． 13．（2021·全国甲卷·T18 改编）已知函数 （）． (1) 判断 的奇偶性； (2) 讨论 在 上的单调性； (3) 当 时，求 在 上的值域． 14．（2024·全国·模拟预测）已知 是定义在 上的奇函数，且 ，当 时 ． (1) 求 与 的值； (2) 求 在 上的解析式； (3) 解不等式 （）． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 函数的性质 目　　录 模拟·基础演练 2 题型01 单调性与奇偶性的判断 （重） 2 题型02 函数性质的综合辨析 重难 5 题型03 对称性与周期性的判定 重难 8 题型04 抽象函数与性质证明 重难 11 题型05 单调性与大小比较 重难 12 题型06 奇偶性与周期性的综合求值 重难 14 题型07 利用单调性求最值 重难 16 题型08 用函数性质解不等式 重难 18 重难·创新演练 20 真题·实战演练 23 模拟·基础演练 考查重点：单调性与奇偶性的直接判断、周期与对称性的基本转化 考点聚焦：定义法判断单调性与奇偶性 ▶ 题型01 单调性与奇偶性的判断 一、单选题 1．（2026·河北石家庄·三模）下列函数中，在 上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐项判断；两个增函数之和仍为增函数． 【详解】A 中 在 上递减，排除； B 中 在 上递减，排除； C 中 与 在 上均递增，故 递增，符合； D 中 在 上递减，排除．故选 C． 2．（2026·山西太原·二模）函数 的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求定义域，再用复合函数“同增异减”，最后与定义域取交集． 【详解】由 得 或 ． 内层 在 上递减，外层 递增， 由“同增异减”知 在 上递减．故选 C． 3．（2026·江苏南京·一模）已知 是 上的奇函数，当 时 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求 ，再用奇性取相反数． 【详解】， 由奇性得 ．故选 C． 4．（2025·河南郑州·三模）已知 满足 ，当 时 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】周期为 ，把 除以 取余． 【详解】因为 ，所以 ． 又 ，故选 B． 5．（2025·安徽合肥·二模）已知偶函数 在 上单调递增，，则不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】偶函数在 上递增，故 等价于 ． 【详解】由偶性及 知， 等价于 ． 所以 ，解得 ．故选 A． 6．（2025·辽宁大连·一模）已知 为偶函数，且 在 上单调递增，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 为偶函数说明图象关于直线 对称，把负自变量平移到 ． 【详解】由 为偶函数得 ，故 的图象关于直线 对称， 7．（2026·山东青岛·一模）函数 的奇偶性与单调性为（　　） A．偶函数，且在 上单调递增 B．奇函数，且在 上单调递减 C．奇函数，且在 上单调递增 D．非奇非偶函数，且在 上单调递增 【答案】C 【分析】先看定义域是否关于原点对称判断奇偶性，再用定义作差判断 上的单调性。 【详解】定义域为 ，关于原点对称，且 ，故 为奇函数． 设 ，则 ，故 在 上单调递增． 故选 C． 8．（2026·江苏扬州·二模）已知 ，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把常数项剥离， 为奇函数，整体代换求值。 【详解】令 ，则 ，即 为奇函数． 由 得 ，故 ，所以 ． 故选 A． 9．（2026·浙江宁波·一模）已知 是 上的奇函数，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在 上用 代入另一段，与 比较系数。 【详解】当 时，，故 ． 由奇函数定义 得 对任意 成立，比较系数得 ，． （此时 ，分段处也满足奇函数的定义．） 所以 ，故选 D． 10．（2025·湖北黄冈·三模）已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分段函数在 上递增需三段条件同时成立：两段各自递增，且衔接处不出现“回落”。 【详解】需同时满足： ① 第一段递增：，即 ； ② 第二段递增：； ③ 衔接处不回落：，即 ，得 ． 综上 ，故选 B． 11．（2025·福建福州·二模）已知 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递减，，则不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由奇函数把单调性与零点“翻”到正半轴，再按 的正负去掉 的符号。 【详解】由奇函数性质， 在 上也单调递减，且 ． 当 时，；而 在 上递减且 ，故 ． 当 时，；而 在 上递减且 ，故 ． 所以解集为 ，故选 B． 12．（2025·湖南岳阳·三模）已知 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递减，若 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用奇函数把两项合并到同一侧，再用单调性去掉函数符号，最后用定义域限制取交集。 【详解】由奇函数得 ，又 在 上递减，故 ，即 ，解得 ． 再由定义域得 ，即 ；，即 ，故 且 ． 取交集得 ，故选 B． 所以 ，． 因为 在 上单调递增，且 ，所以 ， 即 ．故选 A． 考点聚焦：性质的综合辨析与图象辅助 ▶ 题型02 函数性质的综合辨析 一、多选题 1．（2026·湖北武汉·一模）下列说法正确的是（　　） A．奇函数的图象关于原点对称 B．奇函数若在 处有定义，则 C．偶函数一定满足 D．偶函数满足 【答案】ABD 【分析】A、B 由定义直接得到；C 举反例；D 按 与 两种情况验证． 【详解】A、B 均由奇函数定义直接得到，正确； C 中 是偶函数，但 ，错误； D 中当 时 ，当 时 ，正确．故选 ABD． 2．（2026·湖南长沙·二模）已知 是 上的奇函数，且在 上单调递增，则下列结论正确的是（　　） A． 在 上单调递增 B． 在 上单调递增 C．若 ，则 的解集为 D．若 ，则 的解集为 【答案】AC 【分析】A 用奇性转化；B 举反例；C、D 按自变量所在区间分类讨论． 【详解】A 任取 ，则 ，由递增得 ，即 ，故 ，正确； B 取 （），按奇性延拓得 ，此时 ，故 在 上不单调，错误； C 当 时， 得 ；当 时， 得 ，故 ，即 ；当 时 不满足，故解集为 ，正确； D 由 C 得 或 ，即 或 ，解集为 ，错误．故选 AC． 3．（2025·浙江杭州·三模）已知 满足 ，则下列结论正确的是（　　） A． 是 的一个周期 B． C． 的图象关于直线 对称 D． 的图象关于点 对称 【答案】ABD 【分析】迭代一次得周期；再计算 与 的和． 【详解】由 得 ，故 A、B 正确； 又 ，即 ， 故图象关于点 对称，D 正确，C 错误．故选 ABD． 4．（2025·四川成都·二模）已知 是定义在 上的偶函数，且 ，当 时 ，则（　　） A． B． C． 在 上单调递增 D． 【答案】ABC 【分析】周期为 ，把自变量化到 上；负自变量用偶性转正． 【详解】A 中 ，正确； 5．（2026·河北唐山·二模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A． 是奇函数 B． 在 上单调递减 C． 的最大值为 D． 的值域为 【答案】ACD 【分析】奇偶性看定义；单调性与最值把 时的函数写成 ，用对勾函数处理。 【详解】定义域为 ，且 ，故 是奇函数，A 正确． 当 时 ，而 在 上递减，故 在 上递增，B 错误． 时 （ 时取等），故 ；结合奇函数（）得值域为 ，C、D 正确． 故选 ACD． 6．（2026·安徽芜湖·三模）已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时 ，，则下列说法正确的是（　　） A． B． 是奇函数 C． 在 上单调递减 D． 【答案】ABC 【分析】赋值法得 、奇偶性，作差 判断单调性，再逐项验算。 【详解】令 得 ，故 ，A 正确． 令 得 ，即 ，故 为奇函数，B 正确． 设 ，则 ，，故 在 上递减，C 正确． ，，D 错误． 故选 ABC． 7．（2025·河南洛阳·三模）已知定义在 上的函数 满足 为奇函数， 为偶函数，则下列说法正确的是（　　） A． 是周期为 的周期函数 B． C． D． 的图象关于直线 对称 【答案】ABC 【分析】把两个条件分别翻译成“关于点 对称”与“关于直线 对称”，再用对称性推出周期。 【详解】由 为奇函数得 ：令 得 ，B 正确；令 得 ，C 正确． 由 为偶函数得 ．取 得 ；在 中取 得 ，于是 ，再以 代 得 ，故 ，A 正确． 又 ，即图象关于点 对称，而不关于直线 对称，D 错误． 故选 ABC． 8．（2025·陕西西安·二模）已知 是定义在 上的奇函数，，且 在 上单调递增，则下列说法正确的是（　　） A． B．不等式 的解集为 C． 在 上单调递减 D． 【答案】ABD 【分析】奇函数在对称区间上单调性相同，据此确定 在各段的符号，再逐项判断。 【详解】由奇函数得 ，A 正确；，D 正确． 奇函数在 上递增，则在 上也递增（由 可证），C 错误． 当 时 ，故 ；当 时 ，故 ； 当 时 ，；当 时 ，． 故解集为 ，B 正确． 故选 ABD． B 中 ，正确； C 中当 时 ，，单调递增，正确； D 中 ，错误．故选 ABC． 考点聚焦：由对称轴、对称中心推出周期 ▶ 题型03 对称性与周期性的判定 一、填空题 1．（2026·福建厦门·一模）函数 的单调递增区间是________． 【答案】 【分析】真数恒正，定义域为 ；再用“同增异减”． 【详解】因为 恒成立，所以定义域为 ． 内层 在 上递增，外层 递增， 故单调递增区间为 ． 2．（2026·山东济南·三模）已知 是 上的偶函数，当 时 ，则 ________． 【答案】 【分析】偶函数把 化为 ． 【详解】， 由偶性得 ． 3．（2025·江西南昌·二模）已知 满足 ，，则 ________． 【答案】 【分析】周期 ；． 【详解】由 得 ，故 ． 因为 ，所以 ． 4．（2025·河北唐山·一模）已知 的图象关于直线 对称，且在 上单调递减，，则不等式 的解集是________． 【答案】 【分析】先由对称性得 ，再分 与 两段讨论． 【详解】由图象关于直线 对称得 ，且在 上单调递增． 当 时， 得 ，即 ； 当 时， 得 ，即 ． 综上，解集为 ． 5．（2025·广东广州·三模）已知 是 上的奇函数，且 ，则 ________． 【答案】 【分析】先用奇性把条件化为 ，得周期 ；再对 赋值． 【详解】由奇性得 ，代入条件得 ， 6．（2026·江西九江·一模）已知 是定义在 上的奇函数，且 ，，则 ________． 【答案】3 【分析】用周期把大自变量化小，再用奇函数求 。 【详解】由周期性，，；又 为奇函数，故 ． 所以 ． 7．（2026·广西南宁·二模）已知 是定义在 上的偶函数，且 ，当 时 ，则 ________． 【答案】1 【分析】两次使用 把 化到 内，中间用偶函数去负号。 【详解】； ． 所以 ． 8．（2025·山西晋中·三模）已知函数 的图象关于直线 对称，且在 上单调递减，，则不等式 的解集是________． 【答案】 【分析】对称把 上的单调性翻到左侧，两个零点夹出正区间。 【详解】由对称性 ，且 在 上单调递增． 故当 时 ，解集为 ． 9．（2025·四川绵阳·二模）已知定义在 上的奇函数 满足 为偶函数，，则 ________． 【答案】1 【分析】对称轴 加对称中心 得周期 ，求出一个周期的和再按余数处理。 【详解】由 为偶函数得 ，图象关于直线 对称；又 为奇函数，图象关于原点对称，故 是 的一个周期． 于是 ，，，一个周期内 ． ，故 ． 10．（2025·重庆南开·三模）已知 是定义在 上的奇函数，且 ，，，则 ________． 【答案】 【分析】由 得周期 ，用奇函数补出 ，再按整周期加余项求和。 【详解】由 得 ，故周期为 ． ，，，． 一个周期内的和为 ． ，故原式 ． 所以 ，即 ． 因为 ，所以 ． 在 中令 得 ，故 ． 考点聚焦：赋值法处理抽象函数 ▶ 题型04 抽象函数与性质证明 一、解答题 1．（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数 ．（1）判断 的奇偶性；（2）用定义证明 在 上单调递减． （2）任取 ，则 【答案】（1）奇函数；（2）见详解 【分析】定义域为 ，关于原点对称；作差后提取 ，分子剩下 ． 【详解】（1）定义域为 ，关于原点对称，且 ，故 为奇函数． ． 因为 ，，所以 ，且分母为正， 故 ，即 在 上单调递减． 2．（2026·全国·模拟预测）已知 是定义在 上的函数，对任意 ， 都有 ，且当 时 ，．（1）判断 的奇偶性；（2）判断并证明 在 上的单调性；（3）解不等式 ． （2）任取 ，则 ，故 ． 【答案】（1）奇函数；（2）单调递减，证明见详解；（3） 【分析】赋值求 与奇偶性；把 写成 定号；再由 脱去 ． 【详解】（1）令 得 ；令 得 ，故 ， 为奇函数． 3．（2026·云南曲靖·模拟预测）已知函数 是定义在 上的奇函数，且 ． (1) 求 ， 的值，并写出 的解析式； (2) 用定义证明 在 上单调递增； (3) 解不等式 ． 【答案】(1) ，，；(2) 证明见解析；(3) 【分析】奇函数在 处有定义则 ，可定 ；作差时分子提取 判断符号；最后一问注意定义域限制。 【详解】(1) 因为 是奇函数且 ，所以 ． 又 ，得 ，故 ． (2) 设 ，则 ． 由 得 且 ，即 ，故 ，即 在 上单调递增． (3) 由奇函数得 ，再由单调递增得 ，即 ． 又需 且 ，即 ． 综上 ，解集为 ． 4．（2026·全国·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，对任意 都有 ，且当 时 ，． (1) 判断 的奇偶性； (2) 证明 在 上单调递增； (3) 若 ，求实数 的取值范围． 【答案】(1) 奇函数；(2) 证明见解析；(3) 【分析】赋值得 与 ；作差 证单调；把 写成 后脱去函数符号。 【详解】(1) 令 得 ；令 得 ，故 ， 为奇函数． (2) 设 ，则 ，，故 在 上单调递增． (3) ，，故原不等式化为 ． 由单调递增得 ，即 ，所求范围为 ． 考点聚焦：用单调性脱去函数符号，解不等式 ▶ 题型05 单调性与大小比较 一、单选题 1．（2026·河北沧州·三模）已知函数 在 上单调递增，且 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】增函数脱去 后不等号方向不变。 【详解】由 在 上单调递增，且 ，得 ，解得 ． 故选 A． 2．（2025·山西吕梁·二模）已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增，若 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】偶函数满足 ，再按偶函数在对称区间上的单调性转化为 。 【详解】由 为偶函数得 ，故条件化为 ． 又 在 上递增，故 ， 解得 或 ． 故选 B． 二、多选题 3．（2026·河南三门峡·三模）已知 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增，，则下列结论正确的是（　　） A． B． 在 上单调递增 C． 的解集为 D． 的解集为 【答案】ABC 【分析】奇函数在对称区间上单调性相同，再逐段判断符号。 【详解】由奇函数得 ，A 正确； 奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，故在 上也递增，B 正确； 时 ， 时 ； 时 ， 时 ， 故 的解集为 ，C 正确，D 错误． 故选 ABC． 三、填空题 4．（2025·湖南益阳·二模）已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是________． 【答案】 【分析】先判断 为奇函数且单调递增，再把不等式化为 。 【详解】，故 为奇函数； 又 与 均在 上递增，故 在 上递增． 由 得 ， 于是 ，解得 ． 四、解答题 5．（2026·贵州毕节·模拟预测）已知 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递减，，求实数 的取值范围． (1) 把不等式化为两个自变量的大小关系； (2) 结合定义域求 的取值范围． 【答案】 【分析】奇函数把和式化为同号，再用递减脱去 ，最后与定义域取交集。 【详解】(1) 由奇函数得 ， 原不等式化为 ． (2) 因为 在 上递减，所以 ， 即 ，解得 ． 再由定义域得 且 ， 即 且 ， 综上 ，故 的取值范围是 ． 考点聚焦：先用周期把自变量搬到已知区间，再用奇偶性定符号 ▶ 题型06 奇偶性与周期性的综合求值 一、单选题 1．（2026·山东济宁·三模）已知 是定义在 上的偶函数，且周期为 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用周期把 化成 ，再用偶函数化成 。 【详解】． 故选 C． 2．（2025·河北衡水·二模）已知 是定义在 上的奇函数，且周期为 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】奇函数满足 ，与周期无关。 【详解】由奇函数得 ． 故选 A． 二、多选题 3．（2026·湖南邵阳·三模）已知 是定义在 上的奇函数，且 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先用奇函数定 ，再用周期逐项推。 【详解】奇函数在原点有定义，故 ，A 正确； ，B 正确； ，只有 时才相等，C 不一定成立； ，D 正确． 故选 ABD． 三、填空题 4．（2025·安徽淮北·二模）已知 ，且 ，则 ________． 【答案】 【分析】周期为 ，把 减去偶数个周期。 【详解】， 故 ． 四、解答题 5．（2026·甘肃张掖·模拟预测）已知 是定义在 上的奇函数，且周期为 ，，求 的值． (1) 求 与 ； (2) 求 并求和． 【答案】 【分析】奇函数与周期结合可定出对称点处的函数值。 【详解】(1) ； ，故 ． (2) ， 所以 ． 考点聚焦：先定单调性，再比较端点与极值点，别漏等号条件 ▶ 题型07 利用单调性求最值 一、单选题 1．（2026·河北沧州·三模）函数 在区间 上的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断在 递减、在 递增，最小值在 处取得。 【详解】 在 上递减，在 上递增， 故最小值为 ． 故选 A． 2．（2025·河南安阳·二模）函数 在区间 上的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对称轴 落在区间内，函数值先增后减，最大值在顶点处。 【详解】，对称轴 ， 故最大值为 ． 故选 B． 二、多选题 3．（2026·湖北孝感·三模）关于函数 在区间 上，下列说法正确的是（　　） A．最小值为 B．最大值为 C．在 上单调递减 D．在 上单调递减 【答案】ABC 【分析】“对勾函数”在 上递减、在 上递增，最大值在离对称位置较远的端点。 【详解】最小值为 ，A 正确； ，，故最大值为 ，B 正确； 在 上递减，C 正确； 在 上递增，D 错误． 故选 ABC． 三、填空题 4．（2025·湖南株洲·二模）函数 在区间 上的值域为________． 【答案】 【分析】最小值在顶点处，最大值在离对称轴较远的端点处。 【详解】，对称轴 ， 最小值为 ； 又 ，，故最大值为 ， 值域为 ． 四、解答题 5．（2026·广西桂林·模拟预测）求函数 的最小值． (1) 配凑出 的形式； (2) 检验等号成立的条件并求最小值． 【答案】 【分析】先配凑成 的形式，再检验等号能否取到。 【详解】． 因为 ，所以 ， 由基本不等式得 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故 的最小值为 ． 考点聚焦：把不等式化为 f(□)>f(△)，再用单调性脱去 f ▶ 题型08 用函数性质解不等式 一、单选题 1．（2026·河北唐山·三模）已知 在 上单调递增，且 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】增函数脱去 ，不等号方向不变。 【详解】由单调递增得 ， 解得 ． 故选 A． 2．（2025·河南郑州·二模）已知偶函数 在 上单调递减，且 ，则 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】偶函数图象关于 轴对称，先看 再对称回去。 【详解】在 上递减且 ， 故 时 ； 由偶性， 时也成立， 所以解集为 ． 故选 A． 二、多选题 3．（2026·湖北武汉·三模）已知 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增，则（　　） A． B． 在 上单调递增 C．若 ，则 D． 在 上单调递减 【答案】ABC 【分析】奇函数在对称区间上单调性相同。 【详解】奇函数在原点有定义则 ，A 正确； 对称区间上单调性相同，故在 上递增，B 正确； ，由递增得 ，即 ，C 正确； D 与 B 矛盾，错误． 故选 ABC． 三、填空题 4．（2025·江西南昌·二模）已知 是偶函数，且在 上单调递增，若 ，则 的取值范围是________． 【答案】 【分析】偶函数比较大小看绝对值。 【详解】由偶性与单调性得 ， 故 ． 四、解答题 5．（2026·陕西西安·模拟预测）已知 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递减，解不等式 ． (1) 用奇性把不等式化为同号； (2) 用单调性脱去 ，再与定义域取交集． 【答案】 【分析】先化为同号，再脱 ，最后与定义域取交集。 【详解】由奇性得 ，原不等式化为 ． 由递减得 ，即 ，解得 ． 再由定义域： 且 ， 得 且 ． 综上 ． 由 ， 得 ，所以 在 上单调递减． （3），原不等式化为 ． 由单调递减得 ，即 ． 重难·创新演练 一、单选题 设题创新：对数型复合、周期求和与定义域限制下的解不等式 1．（2026·江苏南通·模拟预测）已知 是 上的偶函数，且在 上单调递减，，则不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】偶函数在 上递减，故 等价于 ；再解对数不等式． 【详解】由偶性及 知， 等价于 ． 所以 ，即 ． 由 递减得 ， 即 ，故选 B． 2．（2026·浙江温州·三模）已知 是 上的奇函数，且 ，当 时 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对称轴 加对称中心 得周期 ，再逐项求一个周期的和． 【详解】由 与 为奇函数得 ，故 ． 3．（2026·江苏南通·模拟预测）已知定义在 上的函数 满足 为偶函数，且 在 上单调递增，则不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 为偶函数即图象关于 对称，把比较函数值转化为比较到对称轴的距离。 【详解】 为偶函数说明 的图象关于直线 对称，且在 上递增， 故 ，解得 ． 故选 A． 4．（2026·浙江绍兴·三模）已知函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分段递减要三处同时成立：两段各自递减、且左段在 时的值不小于右段在 处的值。 【详解】① 左段递减：，即 ； ② 右段 在 上递减，恒成立； ③ 衔接处：左段在 时趋近于 ，需 ，即 ． 综上 ，故选 A． ，，，，一个周期的和为 ． 因为 ，所以和为 ，故选 B． 二、解答题 5．（2026·全国·模拟预测）已知 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增．（1）判断 在 上的单调性；（2）若 ，求实数 的取值范围． 【答案】（1）单调递增；（2） 【分析】用奇性把负半轴的问题转化到正半轴；第（2）问先化不等式，再与定义域取交集． 【详解】（1）任取 ，则 ． 6．（2026·全国·模拟预测）已知函数 ． (1) 判断 的奇偶性，并说明理由； (2) 证明 在 上单调递增； (3) 解不等式 ． 【答案】(1) 奇函数；(2) 证明见解析；(3) 【分析】奇偶性用定义； 时去绝对值后作差；第三问由“奇函数 + 两段都递增”得在 上递增，再脱去 。 【详解】(1) 定义域为 ，关于原点对称，且 ，故 为奇函数． (2) 设 ，则 ，，且 ，故 在 上单调递增． (3) 由奇函数且 上递增知 在 上单调递增，故 ，即 ， 整理得 ，即 ，解得 ． 由 在 上递增得 ，即 ， 故 ，所以 在 上单调递增． （2）由 为奇函数得 ， 原不等式化为 ． 由（1）知 在 上单调递增，故 ， 即 ，解得 或 ． 又 得 ； 得 ． 三者取交集得 ，即 的取值范围是 ． 真题·实战演练 一、单选题 高频考点：比较大小、抽象不等式与性质证明的规范书写 1．（2024·新课标Ⅰ卷·T6 改编）已知 ，则不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断奇偶性与单调性，再把 化为 ． 【详解】，故 为奇函数； 又 与 在 上均递增，故 在 上单调递增． 原不等式化为 ，所以 ，解得 ．故选 B． 2．（2024·天津卷·T5 改编）设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用 与 作中间量分层，再比较同层的两个数． 【详解】；；． 所以 ，故选 C． 3．（2023·新课标Ⅱ卷·T4 改编）已知 是 上的奇函数，且 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】周期 ；． 【详解】由 得 ，故 ． 因为 ，所以 ．故选 A． 4．（2022·全国乙卷·T12 改编）已知 的图象关于直线 对称，且在 上单调递减，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对称轴 把 化为 ，再在 上比较 、、． 【详解】由图象关于直线 对称得 ． 5．（2024·新课标Ⅱ卷·T6 改编）已知 是定义在 上的奇函数，，且对任意 有 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先令 用奇函数求出 ，再逐步递推。 【详解】令 得 ，即 ，故 ． 于是 ，，故选 C． 6．（2023·新课标Ⅰ卷·T4 改编）已知 是定义在 上的奇函数，且 ，当 时 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用 把自变量降到 内。 【详解】，故选 A． 7．（2023·天津卷·T5 改编）已知 是定义在 上的奇函数，当 时 ，则 的单调递减区间是（　　） A． 和 B． C． D． 【答案】A 【分析】先用奇偶性求出正半轴解析式，再分别配方读单调区间，注意两段不能简单合并。 【详解】当 时，，故 ． 所以 时 ，在 上递减； 时 ，在 上递减． 故递减区间为 和 ，故选 A． 8．（2022·全国乙卷·T12 改编）已知 是定义在 上的偶函数，当 时 ，则不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】正半轴解出后由偶函数的对称性翻到负半轴，注意 不满足严格不等式。 【详解】当 时， 得 ；由图象关于 轴对称，当 时解为 ． 又 不满足，故解集为 ，故选 A． 因为 在 上单调递减，且 ， 所以 ，即 ．故选 A． 二、填空题 9．（2023·上海卷·T6 改编）已知 是 上的奇函数，当 时 ，则 ________． 【答案】 【分析】先求 ，再由奇性取相反数． 【详解】， 10．（2022·上海卷·T5 改编）已知 是定义在 上的奇函数，且 ，当 时 ，则 ________． 【答案】 【分析】用周期把 化到 内，再用指数与对数的互化求值。 【详解】因为 ，所以 ，由周期为 得 ． ，所以原式 ． 由奇性得 ． 三、解答题 11．（2021·全国甲卷·T18 改编）已知 ．（1）判断 的奇偶性；（2）用定义证明 在 上单调递增． （2）任取 ，则 【答案】（1）奇函数；（2）见详解 【分析】定义域为 ；作差后提取 ，剩下的因式 恒正． 【详解】（1）定义域 关于原点对称，且 ，故 为奇函数． ． 因为 ，， 所以 ，即 ， 故 在 上单调递增． 12．（2024·全国·模拟预测）已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递减，若 ，求实数 的取值范围． 【答案】 【分析】偶函数化为 ，把自变量收到 上，再由递减脱去 ． 【详解】由偶性得 ，，且 ，． 13．（2021·全国甲卷·T18 改编）已知函数 （）． (1) 判断 的奇偶性； (2) 讨论 在 上的单调性； (3) 当 时，求 在 上的值域． 【答案】(1) 奇函数；(2) 当 时在 上单调递增，当 时在 上单调递减、在 上单调递增；(3) 【分析】作差后分子为 ，据此对 分类；最值借助单调性在顶点与端点比较。 【详解】(1) 定义域为 ，关于原点对称，且 ，故 为奇函数． (2) 设 ，则 ． 当 时 ，故 ， 在 上递增； 当 时：若 ，则 ，，在 上递减；若 ，则 ，，在 上递增． (3) 时 在 上递减、在 上递增，最小值为 ；又 ，故值域为 ． 14．（2024·全国·模拟预测）已知 是定义在 上的奇函数，且 ，当 时 ． (1) 求 与 的值； (2) 求 在 上的解析式； (3) 解不等式 （）． 【答案】(1) ，；(2) ，；(3) 【分析】用 把 上的自变量平移到 ，再用奇函数转到 。 【详解】(1) ． ，而 ，由 (2) 知 ，故 ． (2) 当 时，，．由 及奇函数得 ． (3) 由 (2) 知 时均有 ，故 ， 即 ，，解得 ． 由 在 上单调递减得 ， 即 ，解得 ． 又 得 ；． 三者取交集得 ， 即 的取值范围是 ． / 学科网（北京）股份有限公司 $