第3节 函数的基本性质基础专项训练-2027届高三数学一轮复习

湖南省平江县颐华学校高三数学基础过关满分 第3节 函数的基本性质 命题细目表 题号 题型 分值 考查知识点 关键能力 难度 答案 1 单项选择题 5 定义域的求法 数学运算 基础 C 2 单项选择题 5 奇偶性的判定 逻辑推理 基础 D 3 单项选择题 5 二次函数的单调区间 直观想象 基础 A 4 单项选择题 5 偶性求函数值 数学运算 基础 C 5 单项选择题 5 单调性解不等式 逻辑推理 基础 B 6 单项选择题 5 复合函数的单调区间 逻辑推理 基础 D 7 单项选择题 5 偶性解不等式 数学运算 基础 A 8 单项选择题 5 奇性求函数值 数学运算 基础 C 9 多项选择题 6 周期性与奇偶性 逻辑推理 中档 AB 10 多项选择题 6 抽象函数的性质 数学抽象 中档 BCD 11 多项选择题 6 分式函数的性质 直观想象 中档 BC 12 填空题 5 单调区间反求参数 数学运算 基础 a ≥ 3 13 填空题 5 奇性求解析式 数学运算 中档 −x{^|2|} + 2x 14 填空题 5 复合函数的最值 数学运算 中档 3 15 解答题 6 含绝对值函数的性质 数学运算 中档 见解析 16 解答题 6 奇性递减解不等式 逻辑推理 中档 见解析 17 解答题 7 含参复合函数 逻辑推理 略难 见解析 18 解答题 8 周期与偶性解不等式 逻辑推理 略难 见解析 难度分布：基础 9 题，中档 7 题，略难 2 题。全卷 18 题、满分 100 分，围绕定义域、单调性、奇偶性三条主线展开：选择题以概念辨析与单一性质的运用为主，填空题考查由性质反求参数与分段求解析式，四道解答题依次处理含绝对值的函数、奇性与递减性叠加下的解不等式、含参复合函数的定义域与单调区间，以及周期与偶性叠加下的解不等式。 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高三数学基础过关满分 第3节 函数的基本性质 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 一、单项选择题（5×8=40分） 1． 某县域文旅平台用函数 h(x) = + 刻画用户活跃度，其中 x 为上线天数，则该函数的定义域为 A. (3, 5) ∪ (5, +∞) B. [3, +∞) C. [3, 5) ∪ (5, +∞) D. [3, 5] 2． 某智慧课堂平台用四个解析式刻画答题正确率随时间的波动，其中图象关于坐标原点对称的函数是 A. y = + 1 B. y = + 2 C. y = + D. y = − 2x 3． 某即时零售平台用函数 g(x) = − 4x + 3 估算前置仓日均损耗，其中 x 为在售品类数。该函数的单调递减区间为 A. (−∞, 2] B. [2, +∞) C. [−2, +∞) D. (−∞, −2] 4． 某直播助农团队把单场销售额的折算函数记为 F(x)（x 为时长档位）。已知 F(x) 是定义在 R 上的偶函数，且当 x ≥ 0 时 F(x) = − 3x，则 F(−4) 的值为 A. 28 B. −28 C. 4 D. −4 5． 某社区团购平台用满意度函数 φ(x) 描述团长评价，已知 φ(x) 在区间 [0, +∞) 上单调递减。若 φ(2a + 1) < φ(a + 3)，且两个自变量都落在 [0, +∞) 内，则实数 a 满足 A. − ≤ a < 2 B. a > 2 C. a < 2 D. a ≥ − 6． 某算力中心用函数 y = 刻画散热余量随负载率 x 的变化，则该函数的单调递减区间为 A. (−∞, 2] B. [2, +∞) C. [−1, 2] D. [2, 5] 7． 某新能源汽车实验室把续航偏差记为偶函数 ψ(x)，已知 ψ(x) 在 [0, +∞) 上单调递增，且 ψ(3) = 0，则不等式 ψ(x − 1) < 0 的解集为 A. (−2, 4) B. (−∞, −2) ∪ (4, +∞) C. (−4, 2) D. (−1, 3) 8． 某智慧农业监测平台把土壤含水率相对基准的偏差记为函数 f(x)（x 为距正午的小时数，取正值表示正午后）。已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x > 0 时 f(x) = + 2x，则 f(−2) + f(0) 的值为 A. 8 B. 0 C. −8 D. −4 二、多项选择题（6×3=18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9． 某智慧校园图书馆用函数 f(x) 记录借阅热度（x 为距开学日的周数，可取负值）。已知 f(x) 的定义域为 R，对任意实数 x 都有 f(x + 4) = f(x)，且 f(x) 为奇函数，f(1) = 3。关于这个函数，下列四个判断中正确的有 A. f(0) = 0 B. f(5) = 3 C. f(−1) = 3 D. f(2) = 3 10． 某生物医药冷库的温度偏差累积量记为函数 g(x)，其定义域为 R，且对任意实数 x、y 都有 g(x + y) = g(x) + g(y)，又当 x > 0 时 g(x) > 0。下面给出的四个结论中成立的有 A. g(−1) = g(1) B. g(0) = 0 C. g(x) 为奇函数 D. g(x) 在 R 上单调递增 11． 某高标准农田示范区用喷灌效率函数 h(x) = 描述单位水量的覆盖面积，其中 x 为水压档位且 x ≠ 1。关于 h(x) 的下列判断，成立的有 A. h(x) 在区间 (1, +∞) 上单调递增 B. h(x) 在区间 (−∞, 1) 上单调递减 C. h(x) 的值域为 {y | y ≠ 0} D. h(0) = h(2) 三、填空题（5×3=15分） 12． 某县域电商物流园用 f(x) = − 6x + 1 估算分拣成本，其中 x 为在岗分拣员人数。若 f(x) 在区间 [a, +∞) 上单调递增，则实数 a 的取值范围为 ___________。 13． 某校体质健康监测把心率恢复偏差记为函数 f(x)（x 为运动结束后的分钟数，可取正值与负值）。已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x < 0 时 f(x) = + 2x，则当 x > 0 时 f(x) 的解析式为 ___________。 14． 某县域文旅民宿用评分函数 y = 估算月均入住评分，其中 x 为宣传投入档位，则该评分的最大值为 ___________。 四、解答题（共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15． 某智慧停车场把车位周转偏差记为函数 f(x) = − 2 − 3，其中 x 为时段偏移量。 （1）判断 f(x) 的奇偶性，并说明理由； （2）求 f(x) 的单调递增区间。 16． 某快递冷链监控平台把货厢温度偏差记为函数 f(x)（x 为时间偏移，单位：h）。已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，且在 R 上单调递减，又 f(2) = −1。 （1）求 f(−2) 与 f(0) 的值，并比较 f(0) 与 f(1) 的大小； （2）解关于 x 的不等式 f(2x − 1) + f(x − 2) < 0。 17． 某无人机植保作业把药液有效浓度记为 y = ，其中 x 为飞行高度档位，a 为机型参数。 （1）当 a = 2 时，求该函数的定义域与单调递减区间； （2）若该函数的定义域为 R，求实数 a 的取值范围。 18． 某县域农产品溯源平台用函数 f(x) 记录批次质量评分的偏差，其中 x 为距出厂的天数。已知 f(x) 的定义域为 R，对任意实数 x 都有 f(x + 4) = f(x)，且 f(x) 为偶函数；当 0 ≤ x ≤ 2 时，f(x) = − 1。 （1）求 f(0)、f(3) 与 f(6) 的值； （2）解不等式 f(x) ≤ 0。 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高三数学基础过关满分 第3节 函数的基本性质 （解析版） 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 一、单项选择题（5×8=40分） 1． 某县域文旅平台用函数 h(x) = + 刻画用户活跃度，其中 x 为上线天数，则该函数的定义域为 A. (3, 5) ∪ (5, +∞) B. [3, +∞) C. [3, 5) ∪ (5, +∞) D. [3, 5] 【答案】C 【解析】求定义域要逐个条件列出来，再取交集，不能只看其中一项。 第一项 是偶次根式，被开方数需非负：x − 3 ≥ 0，得 x ≥ 3。 第二项 是分式，分母不能为 0：x − 5 ≠ 0，得 x ≠ 5。 两者取交集：x ≥ 3 且 x ≠ 5，写成区间即 [3, 5) ∪ (5, +∞)，选 C。 选项 B 漏掉了分母不为零的条件，选项 A 把根式那一步的等号丢掉了，选项 D 完全没考虑第二项。 【考查知识点】根式与分式共同限制下的定义域求解 【易错点】只顾根式被开方数非负而忘记分母不为零；两个条件必须取交集而不是并集 2． 某智慧课堂平台用四个解析式刻画答题正确率随时间的波动，其中图象关于坐标原点对称的函数是 A. y = + 1 B. y = + 2 C. y = + D. y = − 2x 【答案】D 【解析】图象关于坐标原点对称等价于函数为奇函数，即满足 f(−x) = −f(x)，定义域也要关于原点对称。四个选项的定义域都是 R，只需验证等式。 A 项：f(−x) = + 1 = + 1 = f(x)，是偶函数，图象关于纵轴对称。 B 项：f(−x) = + 2 = + 2 = f(x)，同样是偶函数。 C 项：f(−x) = − + ，既不等于 f(x) 也不等于 −f(x)，属于非奇非偶。 D 项：f(−x) = − 2(−x) = − + 2x = −( − 2x) = −f(x)，所以 D 是奇函数。选 D。 C 项提醒我们：解析式中同时含奇次项与偶次项时，通常是非奇非偶，不能只看最高次项。 【考查知识点】奇函数的判定与图象关于原点对称的关系 【易错点】只凭"含 x 的奇次项"就判奇函数；C 项同时含奇次项与偶次项，必须代入 f(−x) 严格比较 3． 某即时零售平台用函数 g(x) = − 4x + 3 估算前置仓日均损耗，其中 x 为在售品类数。该函数的单调递减区间为 A. (−∞, 2] B. [2, +∞) C. [−2, +∞) D. (−∞, −2] 【答案】A 【解析】先配方：g(x) = − 4x + 3 = − 1，可见图象开口向上，对称轴为 x = 2。 开口向上的二次函数在对称轴左侧递减、右侧递增，故单调递减区间为 (−∞, 2]，单调递增区间为 [2, +∞)。 所以选 A。 选项 B 是单调递增区间，把左右两侧记反了；选项 C、D 是把对称轴算成 −2 的结果，配方时一次项系数的一半应为 −2，对称轴是 x = 2 而不是 −2。 【考查知识点】二次函数的单调区间与对称轴 【易错点】把对称轴写成 x = −2；配方后括号内是 (x − 2)，对称轴取 x = 2 4． 某直播助农团队把单场销售额的折算函数记为 F(x)（x 为时长档位）。已知 F(x) 是定义在 R 上的偶函数，且当 x ≥ 0 时 F(x) = − 3x，则 F(−4) 的值为 A. 28 B. −28 C. 4 D. −4 【答案】C 【解析】自变量 −4 是负数，题给的解析式只适用于 x ≥ 0，因此要先用偶性把它搬到正半轴上。 由 F 为偶函数得 F(−4) = F(4)。 此时 4 ≥ 0，可以代入已知解析式：F(4) = − 3 × 4 = 16 − 12 = 4。 所以 F(−4) = 4，选 C。 选项 A 是把 x = −4 直接代入 − 3x 得到的 16 + 12 = 28，属于"忘了用偶性"的典型错误；选项 D 则是符号处理失误。 【考查知识点】利用偶性把负半轴的函数值转化为正半轴求值 【易错点】把负数直接代入只适用于 x ≥ 0 的解析式；遇到分段给出的奇偶函数，第一步永远是"搬符号" 5． 某社区团购平台用满意度函数 φ(x) 描述团长评价，已知 φ(x) 在区间 [0, +∞) 上单调递减。若 φ(2a + 1) < φ(a + 3)，且两个自变量都落在 [0, +∞) 内，则实数 a 满足 A. − ≤ a < 2 B. a > 2 C. a < 2 D. a ≥ − 【答案】B 【解析】先保证两个自变量有意义：2a + 1 ≥ 0 得 a ≥ −，a + 3 ≥ 0 得 a ≥ −3，两者取交集为 a ≥ −。 再脱去函数符号。φ 在 [0, +∞) 上递减，函数值小的对应自变量大，故由 φ(2a + 1) < φ(a + 3) 得 2a + 1 > a + 3。 解得 a > 2，它与 a ≥ − 取交集后仍是 a > 2。 所以选 B。选项 A 是"忘记递减要反向"的结果，是最容易掉进去的坑；选项 D 只顾了自变量的取值范围。 【考查知识点】由单调性脱去函数符号求参数范围，兼顾自变量的取值范围 【易错点】递减时不等号要反向；同时别漏掉自变量必须落在给定区间内这一条件 6． 某算力中心用函数 y = 刻画散热余量随负载率 x 的变化，则该函数的单调递减区间为 A. (−∞, 2] B. [2, +∞) C. [−1, 2] D. [2, 5] 【答案】D 【解析】复合函数要先定定义域：被开方数 − + 4x + 5 ≥ 0，即 − 4x − 5 ≤ 0，分解得 (x − 5)(x + 1) ≤ 0，故定义域为 [−1, 5]。 再看内层 u = − + 4x + 5 = − + 9，它在 (−∞, 2] 上递增，在 [2, +∞) 上递减。 外层 y = 随 u 的增大而增大，按"同增异减"，原函数的增减与内层一致。 把内层的递减部分 [2, +∞) 与定义域 [−1, 5] 取交集，得单调递减区间为 [2, 5]，选 D。 选项 C 是单调递增区间；选项 A、B 都是忘记与定义域取交集的结果。 【考查知识点】复合函数的单调区间：先求定义域，再按"同增异减"取交集 【易错点】只算出内层的单调性就下结论，忘记外层根式的定义域限制；单调区间必须是定义域的子集 7． 某新能源汽车实验室把续航偏差记为偶函数 ψ(x)，已知 ψ(x) 在 [0, +∞) 上单调递增，且 ψ(3) = 0，则不等式 ψ(x − 1) < 0 的解集为 A. (−2, 4) B. (−∞, −2) ∪ (4, +∞) C. (−4, 2) D. (−1, 3) 【答案】A 【解析】先处理 ψ 本身的取值规律。ψ 是偶函数，故 ψ(t) = ψ()；又 ψ 在 [0, +∞) 上递增且 ψ(3) = 0。 于是当 < 3 时 ψ() < ψ(3) = 0；当 > 3 时 ψ() > 0。故 ψ(t) < 0 等价于 < 3。 令 t = x − 1，得 < 3，即 −3 < x − 1 < 3。 三边同加 1，得 −2 < x < 4，解集为 (−2, 4)，选 A。 选项 B 是不等号方向弄反的结果；选项 C 是平移方向写错；选项 D 是忘了平移、直接把 t 当成 x。 【考查知识点】偶性配合半区间单调性解不等式 【易错点】忘记偶性，只在 [0, +∞) 上讨论；偶函数要先把自变量换成绝对值再比较 8． 某智慧农业监测平台把土壤含水率相对基准的偏差记为函数 f(x)（x 为距正午的小时数，取正值表示正午后）。已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x > 0 时 f(x) = + 2x，则 f(−2) + f(0) 的值为 A. 8 B. 0 C. −8 D. −4 【答案】C 【解析】奇函数有两个现成的结论要记住：定义域含 0 时必有 f(0) = 0；对任意 x 有 f(−x) = −f(x)。 先算 f(0)：由 f 在 R 上有定义且为奇函数，取 x = 0 得 f(0) = −f(0)，故 f(0) = 0。 再算 f(−2)：由奇性 f(−2) = −f(2)，而 2 > 0，代入已知解析式得 f(2) = + 2 × 2 = 4 + 4 = 8，故 f(−2) = −8。 所以 f(−2) + f(0) = −8 + 0 = −8，选 C。 选项 A 是把 f(2) 当成了 f(−2)；选项 B 是只算了 f(2) + f(−2)；选项 D 是漏掉一次项的结果。 【考查知识点】奇函数的两个基本结论：f(0) = 0 与 f(−x) = −f(x) 【易错点】忽略"定义在 R 上"这一前提，不敢用 f(0) = 0；求 f(−2) 时先取相反数再代入 二、多项选择题（6×3=18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9． 某智慧校园图书馆用函数 f(x) 记录借阅热度（x 为距开学日的周数，可取负值）。已知 f(x) 的定义域为 R，对任意实数 x 都有 f(x + 4) = f(x)，且 f(x) 为奇函数，f(1) = 3。关于这个函数，下列四个判断中正确的有 A. f(0) = 0 B. f(5) = 3 C. f(−1) = 3 D. f(2) = 3 【答案】AB 【解析】A 项：f 是定义在 R 上的奇函数，取 x = 0 得 f(0) = −f(0)，故 f(0) = 0，A 正确。 B 项：由 f(x + 4) = f(x) 知 4 是 f 的一个周期，故 f(5) = f(1 + 4) = f(1) = 3，B 正确。 C 项：由奇性 f(−1) = −f(1) = −3，不是 3，C 错误。 D 项：由周期性 f(−2) = f(−2 + 4) = f(2)，又由奇性 f(−2) = −f(2)，两式合起来得 f(2) = −f(2)，故 f(2) = 0，不是 3，D 错误。 所以答案为 AB。D 项的推导说明：周期与奇性叠加时，某些特殊点的函数值是被"逼"出来的，不需要额外的解析式。 【考查知识点】周期性与奇偶性叠加时特殊点函数值的推导 【易错点】把周期当成 2 或把 f(−1) 直接用周期搬运而不先用奇性；赋值时要交替使用两条性质 10． 某生物医药冷库的温度偏差累积量记为函数 g(x)，其定义域为 R，且对任意实数 x、y 都有 g(x + y) = g(x) + g(y)，又当 x > 0 时 g(x) > 0。下面给出的四个结论中成立的有 A. g(−1) = g(1) B. g(0) = 0 C. g(x) 为奇函数 D. g(x) 在 R 上单调递增 【答案】BCD 【解析】A 项：由奇性 g(−1) = −g(1)，而 1 > 0 时 g(1) > 0，故 g(−1) < 0 < g(1)，两者不可能相等，A 错误。 B 项：在 g(x + y) = g(x) + g(y) 中取 x = y = 0，得 g(0) = g(0) + g(0)，故 g(0) = 0，B 正确。 C 项：取 y = −x，得 g(0) = g(x) + g(−x)，由 g(0) = 0 得 g(−x) = −g(x)，故 g 为奇函数，C 正确。 D 项：任取 < ，则 − > 0，由已知得 g( − ) > 0；又 g() = g( + ( − )) = g() + g( − ) > g()，故 g 在 R 上单调递增，D 正确。 所以答案为 BCD。处理抽象函数的通法是"赋值"，要哪个值就代入哪组数。 【考查知识点】抽象函数的赋值法：求特殊值、判定奇偶、作差证明单调性 【易错点】证明单调性时只写"由 x > 0 时 g(x) > 0 即得"，而漏掉作差这一步；必须构造 g() − g() 的形式 11． 某高标准农田示范区用喷灌效率函数 h(x) = 描述单位水量的覆盖面积，其中 x 为水压档位且 x ≠ 1。关于 h(x) 的下列判断，成立的有 A. h(x) 在区间 (1, +∞) 上单调递增 B. h(x) 在区间 (−∞, 1) 上单调递减 C. h(x) 的值域为 {y | y ≠ 0} D. h(0) = h(2) 【答案】BC 【解析】先看单调性：在区间 (1, +∞) 上，x − 1 随 x 增大而增大且恒为正，分子 2 为正，故分式的值随之减小，h(x) 单调递减，A 错误。 在区间 (−∞, 1) 上同理，x − 1 随 x 增大而增大（但恒为负），取倒数后仍减小，故 h(x) 单调递减，B 正确。 再看值域：分子恒为 2 ≠ 0，故 h(x) 不可能取到 0；反过来，对任意 y ≠ 0，由 y = 可解出 x = 1 + ，它不等于 1，说明 y 一定能取到。故值域为 {y | y ≠ 0}，C 正确。 最后算两点：h(0) = = −2，h(2) = = 2，两者互为相反数而不相等，D 错误。 所以答案为 BC。这类函数在两个区间上都是递减的，但整个定义域上不能说递减，书写时务必分开写区间。 【考查知识点】分式型函数的单调性与值域 【易错点】把两个区间上的单调性合并成"在定义域上单调递减"；跨越 x = 1 时函数值发生跳跃，不能合并 三、填空题（5×3=15分） 12． 某县域电商物流园用 f(x) = − 6x + 1 估算分拣成本，其中 x 为在岗分拣员人数。若 f(x) 在区间 [a, +∞) 上单调递增，则实数 a 的取值范围为 ___________。 【答案】a ≥ 3 【解析】先配方：f(x) = − 6x + 1 = − 8，图象开口向上，对称轴为 x = 3。 开口向上的二次函数在 [3, +∞) 上单调递增，在 (−∞, 3] 上单调递减。 要使 f(x) 在 [a, +∞) 上递增，就要让 [a, +∞) 落在递增区间 [3, +∞) 之内，即 a ≥ 3。 所以填 a ≥ 3。 【考查知识点】由给定的单调区间反求参数：区间包含关系 【易错点】把方向弄成 a ≤ 3；给定区间必须包含于真正的递增区间，端点越靠右越安全 13． 某校体质健康监测把心率恢复偏差记为函数 f(x)（x 为运动结束后的分钟数，可取正值与负值）。已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x < 0 时 f(x) = + 2x，则当 x > 0 时 f(x) 的解析式为 ___________。 【答案】− + 2x 【解析】设 x > 0，则 −x < 0，可以把它代入已知的"负数段"解析式。 f(−x) = + 2(−x) = − 2x。 由 f 为奇函数得 f(−x) = −f(x)，于是 f(x) = −f(−x) = −( − 2x) = − + 2x。 所以当 x > 0 时 f(x) = − + 2x。 检验一下：x = 2 时 f(2) = −4 + 4 = 0，而 f(−2) = 4 − 4 = 0，两者互为相反数，符合奇性。 【考查知识点】利用奇性由一段解析式求另一段解析式 【易错点】忘记最后取相反数，直接把 f(−x) 的结果当成 f(x)；步骤是"取反代入、算出 f(−x)、再整体变号" 14． 某县域文旅民宿用评分函数 y = 估算月均入住评分，其中 x 为宣传投入档位，则该评分的最大值为 ___________。 【答案】3 【解析】先看被开方数 u = − + 2x + 8，配方得 u = − + 9 ≤ 9。 当 x = 1 时 u 取到最大值 9，且此时 u = 9 > 0，在定义域内，可以开方。 外层 y = 随 u 的增大而增大，故 y 的最大值为 = 3。 所以填 3。注意先确认最大值点落在定义域内，否则要另找端点。 【考查知识点】复合函数最值：先求内层最值，再检验定义域 【易错点】直接对 − + 9 取最大值就作答，忘了外层还有一次开方运算 四、解答题（共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15． 某智慧停车场把车位周转偏差记为函数 f(x) = − 2 − 3，其中 x 为时段偏移量。 （1）判断 f(x) 的奇偶性，并说明理由； （2）求 f(x) 的单调递增区间。 【答案】解：（1）f(x) 的定义域为 R，关于原点对称，可以讨论奇偶性。 对任意实数 x，有 f(−x) = − 2 − 3 = − 2 − 3 = f(x)。 所以 f(x) 是偶函数。 （2）先去绝对值，把 f(x) 写成分段形式： 当 x ≥ 0 时，f(x) = − 2x − 3 = − 4； 当 x < 0 时，f(x) = + 2x − 3 = − 4。 在 [0, +∞) 上，图象开口向上、对称轴为 x = 1，故 f(x) 在 [0, 1] 上递减，在 [1, +∞) 上递增； 在 (−∞, 0) 上，图象开口向上、对称轴为 x = −1，故 f(x) 在 (−∞, −1] 上递减，在 [−1, 0) 上递增。 结合 f(−1) = −4、f(0) = −3 可知两段在 x = 0 处衔接后 [−1, 0] 上仍是递增的。 所以 f(x) 的单调递增区间为 [−1, 0] 与 [1, +∞)。 【解析】思路点睛：含绝对值的函数先判奇偶，往往能把研究范围缩到半边，再去绝对值分段讨论。 关键步骤：去绝对值时按 x ≥ 0 与 x < 0 分成两支，两支都是二次函数，各看自己的对称轴。 最容易失分的是第二问的书写：单调区间要分开写成两个，不能并成一个，更不能写成 [−1, 0] ∪ [1, +∞) 后还说它"递增"。 若第二问没有把握，可用取值检验：f(−1) = −4、f(0) = −3、f(1) = −4、f(2) = −3，与结论一致。 【考查知识点】含绝对值函数的奇偶性判定与分段求单调区间 【易错点】把两个递增区间用并集符号连起来；单调区间必须逐个列出，不能合并 16． 某快递冷链监控平台把货厢温度偏差记为函数 f(x)（x 为时间偏移，单位：h）。已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，且在 R 上单调递减，又 f(2) = −1。 （1）求 f(−2) 与 f(0) 的值，并比较 f(0) 与 f(1) 的大小； （2）解关于 x 的不等式 f(2x − 1) + f(x − 2) < 0。 【答案】解：（1）由 f 为奇函数得 f(−x) = −f(x)，于是 f(−2) = −f(2) = −(−1) = 1。 又 f 在 R 上有定义且为奇函数，取 x = 0 得 f(0) = −f(0)，故 f(0) = 0。 因为 0 < 1 且 f 在 R 上单调递减，所以 f(0) > f(1)。 （2）先把不等式移项，得 f(2x − 1) < −f(x − 2)。 由奇性 −f(x − 2) = f(−(x − 2)) = f(2 − x)，故原不等式等价于 f(2x − 1) < f(2 − x)。 又 f 在 R 上单调递减，函数值小的对应自变量大，于是 2x − 1 > 2 − x。 移项合并得 3x > 3，解得 x > 1。 所以原不等式的解集为 {x | x > 1}。 【解析】思路点睛：本题是把"两个函数值的和"化成"两个函数值的大小比较"，关键一步是用奇性把负号搬进自变量里。 关键步骤：−f(x − 2) = f(2 − x)，这一步做完之后，两边就都是 f(某个式子) 的形式，可以直接脱去函数符号。 脱符号时务必注意方向：f 递减，所以不等号要反向，写成 2x − 1 > 2 − x 而不是小于。 第一问比较 f(0) 与 f(1) 时，用的是 0 < 1 配递减，不需要知道 f(1) 的具体数值。 【考查知识点】奇性与单调性叠加解不等式、f(0) = 0 的运用 【易错点】把 −f(x − 2) 写成 f(x + 2)；奇性处理负号时是自变量整体取相反数，要加括号 17． 某无人机植保作业把药液有效浓度记为 y = ，其中 x 为飞行高度档位，a 为机型参数。 （1）当 a = 2 时，求该函数的定义域与单调递减区间； （2）若该函数的定义域为 R，求实数 a 的取值范围。 【答案】解：（1）当 a = 2 时，被开方数为 − 4x + 3。 由 − 4x + 3 ≥ 0，分解得 (x − 1)(x − 3) ≥ 0，解得 x ≤ 1 或 x ≥ 3。 故定义域为 (−∞, 1] ∪ [3, +∞)。 记内层 u = − 4x + 3 = − 1，它在 (−∞, 2] 上递减，在 [2, +∞) 上递增；外层 y = 随 u 增大而增大。 按"同增异减"，原函数在内层递减的部分上递减，即 (−∞, 2]；再与定义域取交集，得单调递减区间为 (−∞, 1]。 （2）定义域为 R，意味着 − 2ax + 3 ≥ 0 对一切实数 x 都成立。 二次项系数 1 > 0，故只需判别式 Δ ≤ 0：Δ = − 4 × 1 × 3 = − 12 ≤ 0。 化简得 ≤ 3，解得 − ≤ a ≤ 。 所以 a 的取值范围是 − ≤ a ≤ 。 【解析】思路点睛：含参的复合函数题，第一问是"给定参数求区间"，第二问是"给定区间求参数"，正好是互逆的两个方向。 关键步骤：第一问务必把内层的单调区间与定义域取交集，本题中 [3, +∞) 上内层递增，因此它不是递减区间。 第二问把"定义域为 R"翻译成"二次三项式恒非负"，再用判别式不大于 0 求解，端点 a = ± 可以取到，因为此时最小值为 0，仍能开方。 书写提醒：单调区间要写成 (−∞, 1]，不要写成 x ≤ 1 之外的闭开错形式。 【考查知识点】复合函数的定义域与单调区间、恒非负条件下的判别式求参 【易错点】第一问把 [3, +∞) 也写进递减区间；第二问漏掉"二次项系数为正"这一前提的说明 18． 某县域农产品溯源平台用函数 f(x) 记录批次质量评分的偏差，其中 x 为距出厂的天数。已知 f(x) 的定义域为 R，对任意实数 x 都有 f(x + 4) = f(x)，且 f(x) 为偶函数；当 0 ≤ x ≤ 2 时，f(x) = − 1。 （1）求 f(0)、f(3) 与 f(6) 的值； （2）解不等式 f(x) ≤ 0。 【答案】解：（1）0 落在 [0, 2] 内，直接代入得 f(0) = − 1 = −1。 求 f(3)：由 f(x + 4) = f(x) 得 f(3) = f(3 − 4) = f(−1)，再由偶性 f(−1) = f(1)，而 1 ∈ [0, 2]，故 f(1) = − 1 = 0，于是 f(3) = 0。 求 f(6)：由周期性 f(6) = f(6 − 4) = f(2)，而 2 ∈ [0, 2]，故 f(2) = − 1 = 3，于是 f(6) = 3。 所以 f(0) = −1，f(3) = 0，f(6) = 3。 （2）先在一个长度为 4 的区间 [−2, 2] 上求解，再利用周期推广。 当 0 ≤ x ≤ 2 时，f(x) = − 1 ≤ 0 即 ≤ 1，结合 0 ≤ x ≤ 2 得 0 ≤ x ≤ 1。 当 −2 ≤ x < 0 时，由偶性 f(x) = f(−x)，此时 −x ∈ (0, 2]，故 f(x) = − 1 = − 1 ≤ 0，解得 −1 ≤ x < 0。 两段合并，在 [−2, 2] 上满足 f(x) ≤ 0 的 x 为 −1 ≤ x ≤ 1。 再由 f(x + 4) = f(x)，把这段解集按 4 逐次平移，得原不等式的解集为 {x | 4k − 1 ≤ x ≤ 4k + 1，k ∈ Z}。 【解析】思路点睛：周期函数解不等式的通法是"定一个基本区间、在基本区间内求解、再按周期平移"，不要试图一次写出全部解。 关键步骤：基本区间取 [−2, 2] 长度为 4，恰好等于周期，且偶性把左半边完全由右半边决定，因此只需在 [0, 2] 上算一次。 搬运函数值时"周期平移"与"偶性取反"要交替使用：f(3) 先用周期化到 −1，再用偶性化到 1，顺序颠倒就会卡住。 最后写解集时带上 k ∈ Z，并用并集或"或"把每个周期内的区间串起来，避免只写一个周期的答案。 【考查知识点】周期性与偶性叠加下的求值与解不等式 【易错点】只写出 [−1, 1] 就收尾，漏掉按周期平移得到的全部解；集合描述中别漏掉 k ∈ Z 学科网（北京）股份有限公司 $