第07讲 抛物线及其性质（专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以题型为载体系统覆盖抛物线核心知识，从定义应用到实际问题，形成概念-性质-综合应用的递进式训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础演练|50题|聚焦定义、标准方程、焦点准线等基础题型，强调定义转化与基本量运算|以抛物线定义为起点，推导标准方程与几何性质，形成"定义-方程-性质"逻辑链| |重难创新|12题|结合圆、面积约束等跨模块综合题，突出焦点弦、最值探究等创新考法|通过多知识点嵌套，深化几何性质与代数运算的融合，培养逻辑推理能力| |真题实战|6题|覆盖高考高频考点，如焦半径、焦点弦性质、距离最值等|对接高考命题趋势，强化数学抽象与数学建模在解题中的应用|

第07讲 抛物线及其性质 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 抛物线的定义及应用 2 题型02 抛物线的标准方程 2 题型03 物线的焦点坐标及准线方程 3 题型04 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 3 题型05 抛物线的轨迹方程 4 题型06 抛物线的焦半径问题 5 题型07 抛物线的几何性质 5 题型08 抛物线中三角形、四边形的面积问题 6 题型09 直线与抛物线的位置关系 6 题型10 抛物线中的最值与范围问题 8 题型11 抛物线的实际应用 9 重难·创新演练 10 真题·实战演练 13 模拟·基础演练 考查重点：抛物线定义应用、抛物线标准方程求解、焦点与准线基础量运算、抛物线上点到定点与焦点距离的和差最值、轨迹方程推导、焦半径相关计算、抛物线几何性质、抛物线内三角形四边形面积求解，结合联立韦达定理处理焦点弦、弦长、中点、垂直、向量条件。 题型01 抛物线的定义及应用 1.（2026·北京·三模）已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 2.（2026·云南昆明·模拟预测）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在上，若，则（   ） A． B．2 C． D．3 3.（2026·江苏连云港·模拟）已知等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 4.（2026·河北保定·模拟）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作且垂足为Q，若，则（    ）． A． B． C． D． 5.抛物线上与焦点的距离等于3的点的坐标是 ． 6．（2026·湖北武汉·模拟）已知A为抛物线（）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则C的焦点坐标为 . 题型02 抛物线的标准方程 7.方程可以化简为（ ） A． B． C． D． 8.从抛物线上各点向y轴作垂线段，则垂线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 9．（2026·浙江·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线的一个交点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 10．（2026·河北邯郸·模拟）已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且，则抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 题型03 物线的焦点坐标及准线方程 11．抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 12.（2026·北京·三模）已知抛物线上的点到其准线的距离的最小值为2，则（   ） A．2 B．4 C． D． 13．（2026·湖南郴州·模拟）已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，若，则（    ） A． B． C．准线为 D． 14．（多选）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，O为坐标原点，则（    ） A． B． C． D．的坐标为 15. （2026·广东佛山·模拟预测）已知是抛物线的焦点，M是C上一点，的延长线交轴于点N，若M为的中点，则 . 题型04 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 16.（2026·陕西咸阳·三模）已知抛物线的焦点为，是上一点，，则的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 17．（2026·四川成都·模拟）已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 18．（2026·四川绵阳·模拟预测）抛物线，点A在C上，圆，直线，点A到圆M上的点距离为，A到的距离为，则的最小值为（    ） A．16 B． C． D． 19. （2026·安徽蚌埠·模拟）已知抛物线的焦点为，定点，若对抛物线上任一动点，都有恒成立，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 20．已知点在抛物线上，则抛物线上的点到其焦点距离的最小值为 . 题型05 抛物线的轨迹方程 21．已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 22.若点P到点的距离比它到直线的距离小2，则点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 23. （2026·广东佛山·模拟预测）在平面直角坐标系中，，记一点到直线的距离为，已知，记的轨迹为，则下列命题错误的为（） A．当时，是两条直线 B．当时，是圆 C．当时，是抛物线 D．当时，不存在 24．（2026·辽宁辽阳·二模）已知动点满足到的距离比到直线l：的距离少1，动点形成的轨迹称为曲线． (1)求点P的轨迹方程； (2)已知曲线上的两点、满足，且的面积为，求直线的方程． 题型06 抛物线的焦半径问题 25．（2026·宁夏石嘴山·模拟）已知抛物线上的点的横坐标为4，抛物线的焦点为．若，则的值为（    ） A．18 B．9 C．4 D．2 26．设抛物线的焦点为F，过C上一点A作其准线的垂线，设垂足为B，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 27.设抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，A为垂足，如果直线的斜率为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 28.已知O为坐标原点，F是抛物线C：的焦点，A，B是C上位于x轴异侧的两点，且，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 题型07 抛物线的几何性质 29.已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 30.已知抛物线的焦点为，为上的一点，过作的准线的垂线，垂足为，，则直线的方程为（   ） A．或 B．或 C． D． 31．【多选】（2026·江西新余·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，且的最小值为1，M是线段AB的中点，是平面内一定点，则（   ） A． B．若，则M到x轴距离为4 C．若，则 D．的最小值为4 32.【多选】已知抛物线，准线为，过焦点的直线交抛物线于两点，过分别作的垂线，垂足分别为，则（    ） A． B．若，则直线的斜率为 C．三点共线（其中为坐标原点） D． 33．【多选】（2026·河北沧州·模拟预测）已知 是抛物线的焦点，， 是经过点的弦且，的斜率为，且，， 两点在 轴上方，则下列结论中成立的是（    ） A． B．若，则 C． D．四边形 面积的最小值为 题型08 抛物线中三角形、四边形的面积问题 34．已知点在抛物线C：上，F为抛物线的焦点，则（O为坐标原点）的面积是（    ） A． B．1 C．2 D．4 35.（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于，两点，经过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，经过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点.若，则与的面积的比值是（   ） A． B．3 C． D．9 36. （2026·甘肃甘南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为.点在上，过点作的垂线，垂足为.为坐标原点，若四边形OFMN为等腰梯形，面积为，则的值是（   ） A． B．2 C． D．4 题型09 直线与抛物线的位置关系 37.已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，且线段的中点到 轴的距离为3，直线与 轴交于点．若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 38．如图，抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，线段的中点为，其垂直平分线交轴于点轴于点，则四边形的面积等于（    ） A．12 B．8 C．6 D．7 39．（2026·甘肃白银·模拟预测）已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与交于不同的两点，过分别作直线的垂线，垂足分别为，若梯形的面积为，则（   ） A． B． C． D． 40.（多选）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，为抛物线上一个动点，且，则（     ） A．的最小值为4 B．以为直径的圆与抛物线的准线相切 C． D．的最小值为3 41.（2026·山西忻州·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，准线与轴交于点．过的直线交于，两点，若点在以为直径的圆上，则__________． 42.（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是抛物线：（）的焦点，点在上，且． (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线交于，两点，且，求的值． 题型10 抛物线中的最值与范围问题 43．（2026·浙江·二模）已知为坐标原点，点，动点、在抛物线上，满足．若点关于直线的对称点为，则的最大值是（    ）． A． B．9 C． D．8 44．（2026·重庆渝中·二模）已知直线与抛物线（）交于，两点，，两点均在轴上方，为抛物线的焦点，若，且是锐角，则直线的斜率的取值范围是______． 45．（多选）（2026·四川成都·三模）已知点为抛物线的焦点，点分别为抛物线上两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，设线段的中点为，则下列说法正确的是（    ） A．若点，则的最小值为3 B．点与点的纵坐标相等 C．若点在直线上，则直线过点 D．若三点共线，则的面积的最小值为1 46．（2026·山西吕梁·二模）已知抛物线C：过点，直线与C交于A，B两点，O为坐标原点. (1)若直线的斜率为-1，且，求直线的方程； (2)若直线不经过点P，且直线与直线的斜率之积为4，过点P作直线垂直于点G，求点G到C的准线距离的最大值. 题型11抛物线的实际应用 47．彩凤穿花纹是中国传统瓷器经典装饰纹样．某彩凤穿花纹碗如图1所示，其轴截面（不含碗的底座）如图2所示，已知该碗的底座高为1cm，曲线，均是焦点到准线的距离为5cm的抛物线的一部分，则该碗的高度为（    ） A．8cm B．10cm C．9cm D．11cm 48．某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为21.6m，拱顶距水面10.9m，路面厚度约1m．若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（    ）    A．3m B．4m C．5m D．6m 49．吉林雾淞大桥，位于吉林市松花江上，连接雾淞高架桥，西起松江东路，东至滨江东路．雾淞大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线（设该抛物线的焦点到准线的距离为米）的一部分，左：右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻两根吊索之间的距离均为米（将每根吊索视为线段）．已知最中间的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 50．（2026·重庆江北·模拟预测）抛物线因其特殊的光学以及声学性质而广泛地应用于生活中．现已知光在曲线上的反射原理如下：找到入射光线与曲线的交点，在交点处作曲线的切线及垂直于该切线的直线（法线），从而作出反射光（反射光线与入射光线分居法线两侧，与法线夹角大小一样）．设抛物线的准线为：，过抛物线外一点P作抛物线C的两条切线PA，PB，与抛物线C分别相切于A，B两点． (1)求C的标准方程； (2)证明：从抛物线C的焦点F发出的光线经抛物线上一点M（不同于顶点）反射后平行于抛物线C的对称轴； (3)证明：． 重难·创新演练 设题创新: 结合圆与抛物线嵌套组合命题，利用抛物线定义转化距离进行多段轨迹辨析，定点定值、面积约束条件综合大题，多选辨析焦点弦几何结论，多条焦点弦垂直衍生四边形面积最值探究，融合圆、几何图形跨模块综合设问。 1．【新考法】（2026·陕西·二模）已知抛物线的焦点为，．若上存在点，使得，且的面积为2，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．【新角度】（2026·辽宁鞍山·二模）已知抛物线的焦点为，点为抛物线准线上一点，连接交于点，若，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 3．【新考法】（2026·湖南怀化·二模）已知抛物线C：（p＞0）的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点（点A在第一象限），若直线AB的斜率为，则（   ） A． B． C． D． 4．【新考法】（25-26高三下·辽宁铁岭·阶段检测）过抛物线的焦点的直线与交于两点，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 5．【新思维】（2026·辽宁盘锦·二模）已知直线过抛物线的焦点，且交抛物线于，两点，由，分别向准线引垂线，，垂足分别为，.设，，为线段的中点，则（   ） A． B． C． D． 6．【新情境】（2026·广西南宁·二模）抛物线的光学性质是一个非常重要且优美的几何特性，它描述了抛物线如何反射光线．这个性质在数学、物理学和工程学中有广泛的应用．其光学性质如下：从焦点发出的光线经过抛物线上一点（不同于抛物线的顶点）反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．若抛物线的焦点为F，从F发出的光线经过抛物线C上点G反射后，其反射光线过点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 7．【新考法】（多选）（2026··河南驻马店·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则点的坐标为 B．当的倾斜角为时， C． D．以为直径的圆与直线相切 8．【新考法】（多选）（2026·福建·二模）已知抛物线的焦点为，过的直线l交于两点，直线交于另一点D，则（    ） A． B．的内心在定直线上 C．若，则 D．若，则的面积为 9．【新角度】（2026·安徽安庆·三模）已知抛物线的顶点为，焦点为，过点的直线交抛物线于两点，若，则______． 10．【新载体】（2026·新疆·二模）已知为抛物线的焦点，直线与交于两点，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，若与的面积之比为，则______． 11．【新考法】（2026·福建莆田·二模）已知抛物线的焦点为，准线为，直线与，的交点分别为，，且. (1)求； (2)若过点的直线交于，两点，且，求的值. 12．【新思维】（2026·江西赣州·二模）已知点A与关于直线对称，点A在抛物线上，点F是抛物线C的焦点． (1)求抛物线C的标准方程； (2)直线AF与抛物线的另一个交点为B，直线与直线AB交于点P（异于A、B），与抛物线交于点D，连接DF并延长，交抛物线于点E，直线PE与x轴相交于点G，直线l与直线BE相交于点Q，线段BD的中点为M，线段QF的中点为N． （ⅰ）求证：G、M、N三点共线； （ⅱ）设的面积为，的面积为，若，求k的取值范围． 真题·实战演练 高频考点：物线定义转化距离、焦半径公式、焦点准线求解、抛物线上距离最值、焦点弦性质、联立韦达定理求弦长与面积。 1．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 2．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（多选）（2025·全国一卷·高考真题）已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·天津·高考真题）在平面内，为坐标原点，抛物线上有、、、四个点，、、、的纵坐标分别为、、、，直线与直线交轴于点，直线交轴于点，直线交轴于点，以下说法正确的有______． ①若与抛物线焦点重合，则；②；③； ④；⑤ 5．（2024·北京·高考真题）抛物线的焦点坐标为________． 6．（2023·上海·高考真题）曲线，第一象限内点A在Γ上，A的纵坐标是a． (1)若A到准线距离为3，求a； (2)若a＝4，B在x轴上，AB中点在上，求点B坐标和坐标原点O到AB距离； (3)直线，令P是第一象限Γ上异于A的一点，直线PA交l于Q，H是P在l上的投影，若点A满足“对于任意P都有”，求a的取值范围． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 抛物线及其性质 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 抛物线的定义及应用 2 题型02 抛物线的标准方程 4 题型03 物线的焦点坐标及准线方程 6 题型04 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 8 题型05 抛物线的轨迹方程 11 题型06 抛物线的焦半径问题 14 题型07 抛物线的几何性质 17 题型08 抛物线中三角形、四边形的面积问题 22 题型09 直线与抛物线的位置关系 25 题型10 抛物线中的最值与范围问题 31 题型11 抛物线的实际应用 36 重难·创新演练 41 真题·实战演练 52 模拟·基础演练 考查重点：抛物线定义应用、抛物线标准方程求解、焦点与准线基础量运算、抛物线上点到定点与焦点距离的和差最值、轨迹方程推导、焦半径相关计算、抛物线几何性质、抛物线内三角形四边形面积求解，结合联立韦达定理处理焦点弦、弦长、中点、垂直、向量条件。 题型01 抛物线的定义及应用 1.（2026·北京·三模）已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离列方程求解. 【详解】由抛物线可得，即，因此其准线方程为， 已知点到焦点的距离为3，则点到准线的距离也为3， 即 ，解得. 故选：B. 2.（2026·云南昆明·模拟预测）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在上，若，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【详解】由题意得，即，焦点坐标为 ，因此. 因为，所以. 设 ， 因为点A在E上，则. 代入抛物线方程得 ，因此. 故选：C. 3.（2026·江苏连云港·模拟）已知等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】假设边长，然后利用抛物线定义计算即可. 【详解】由题可知：焦点，准线方程为，假设等边三角形的边长为， 所以或，则. 故选：D. 4.（2026·河北保定·模拟）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作且垂足为Q，若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线定义，可得进而求得点的坐标，得点坐标，利用斜率公式得解. 【详解】由题，，则，代入抛物线方程得， ，又， . 故选：C. 5.抛物线上与焦点的距离等于3的点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】通过抛物线方程可知其准线方程，设点在抛物线上，且与焦点的距离等于3，进而利用定义即得结论． 【详解】由题意，抛物线的准线方程为：，焦点坐标为， 设点在抛物线上，且与焦点的距离等于3， 由抛物线定义可得：，即， 所以，则，所以点的坐标是或. 故答案为：或. 6．（2026·湖北武汉·模拟）已知A为抛物线（）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则C的焦点坐标为 . 【答案】 【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案. 【详解】设抛物线的焦点为，由抛物线的定义知，又， ，所以抛物线的焦点坐标为. 故答案为：. 题型02 抛物线的标准方程 7.方程可以化简为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】等式两边同时平方，化简即可. 【详解】由，两边同时平方有， 故选：B. 8.从抛物线上各点向y轴作垂线段，则垂线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设垂线段的中点为，由题意得到点在抛物线上，将该点代入抛物线即可求解. 【详解】设垂线段的中点为， 则由题意可得点在抛物线上，所以，即， 所以垂线段的中点的轨迹方程是. 故选：D 9．（2026·浙江·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线的一个交点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由焦点坐标写出抛物线方程，再求出坐标，进而得直线方程. 【详解】由题设，得，则，故抛物线， 将代入，得，得，∴ ∴, 所以直线的方程为，即. 故选：B. 10．（2026·河北邯郸·模拟）已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且，则抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义，结合已知条件，求得，即可求得抛物线方程. 【详解】根据题意，连接，过作垂直于抛物线的准线，垂足为，作图如下：    由抛物线定义可知，解得， 故抛物线方程为：. 故选：C. 题型03 物线的焦点坐标及准线方程 11．抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将抛物线方程化为标准方程，即可得准线方程. 【详解】由题意可知：抛物线的标准方程为，可知抛物线的焦点在y轴正半轴上， 所以准线方程为. 12.（2026·北京·三模）已知抛物线上的点到其准线的距离的最小值为2，则（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】抛物线上的点到准线的最小距离就是顶点到准线的距离. 【详解】因为抛物线的准线方程为，所以原点到准线的距离为：​， 则根据题意最小距离为，可得：. 13．（2026·湖南郴州·模拟）已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，若，则（    ） A． B． C．准线为 D． 【答案】D 【分析】由已知根据抛物线方程即可判断，；设，由得，根据抛物线的定义即可求解. 【详解】抛物线，即，所以，故错误；因为焦点为，准线为，故错误；设，则，由题意，且，故，解得（舍）或，故，故正确. 故选：. 14．（多选）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，O为坐标原点，则（    ） A． B． C． D．的坐标为 【答案】AC 【分析】根据抛物线定义求得，进而求出坐标判断A、B、C；根据抛物线方程得焦点判断D. 【详解】A：由抛物线的定义，得，所以，对； B：因为点在抛物线上，所以，所以，错； C：，对； D：由抛物线，可得，错； 故选：AC 15. （2026·广东佛山·模拟预测）已知是抛物线的焦点，M是C上一点，的延长线交轴于点N，若M为的中点，则 . 【答案】6 【分析】方法一、设，根据点M为的中点得到，再代入抛物线即可得到，利用勾股定理即可求；方法二、由为的中点，得到点的横坐标为1，根据抛物线定义可得，由即可求解；方法三、由题可知线段为梯形的中位线，进而得到，再求即可. 【详解】方法一、抛物线的焦点为，点在轴上，设. 又为的中点，，即， 又点在抛物线上，，所以. 方法二、依题意，抛物线的焦点，准线， 是上一点，的延长线交轴于点为的中点， 点的横坐标为1，. 方法三、抛物线的焦点为，准线， 如图，设与轴的交点为，分别过作直线的垂线，垂足分别为， 由为的中点，易知线段为梯形的中位线， ，又由抛物线的定义得，且， . 故答案为：6. 题型04 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 16.（2026·陕西咸阳·三模）已知抛物线的焦点为，是上一点，，则的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】已知抛物线，焦点，，准线为， 根据抛物线的定义可得， 如下图所示，作到准线的垂线分别交抛物线，准线于，当三点共线时，取得最小值，． 故选：C. 17．（2026·四川成都·模拟）已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先判断在抛物线里面，然后的最小值为，过点作抛物线准线的垂线垂足为，的最小值等于求的最小值. 【详解】把代入，得， 所以点在抛物线里面， 圆的圆心记为， 因为的最小值为，而正好是抛物线的焦点， 过点作抛物线准线的垂线垂足为， 则根据抛物线的定义得， 所以的最小值等于求的最小值， 当三点共线时最小，最小值为， 故的最小值为， 故选：B 18．（2026·四川绵阳·模拟预测）抛物线，点A在C上，圆，直线，点A到圆M上的点距离为，A到的距离为，则的最小值为（    ） A．16 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线定义将“点到准线的距离”转化为“点到焦点的距离”，由三点共线求最值的方法即可. 【详解】由题意得抛物线的准线为，焦点为，圆的圆心为，半径为1， 则，若求的最小值，则应三点共线， 且，则. 故选：B. 19. （2026·安徽蚌埠·模拟）已知抛物线的焦点为，定点，若对抛物线上任一动点，都有恒成立，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用抛物线的定义及三角形性质可得答案. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程是． 如图，过点作准线的垂线，垂足为，连接． 因为点在抛物线上，所以根据抛物线的定义得， 所以，当且仅当三点共线时取等号， 当时，取最小值，即，所以的最小值为1． 故选：A． 20．已知点在抛物线上，则抛物线上的点到其焦点距离的最小值为 . 【答案】/0.0625 【分析】根据点在抛物线上求出抛物线的标准方程，利用抛物线的定义及性质求出结果. 【详解】因为点在抛物线上，所以，故抛物线的标准方程为， 由抛物线的定义知，抛物线上的点到其焦点的距离等于到其准线的距离， 因为抛物线准线方程为,所以抛物线上点到焦点距离等于, 因为,所以， 故抛物线上的点到其焦点距离的最小值为. 故答案为： 题型05 抛物线的轨迹方程 21．已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义求解即可. 【详解】由题意可知，动点P到点的距离等于它到直线的距离， 由抛物线的定义可知，点P在以为焦点，为准线的抛物线上，其轨迹方程为， 故选：D 22.若点P到点的距离比它到直线的距离小2，则点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义即可写出点P的轨迹方程. 【详解】由题意，知P到的距离比它到的距离小2， 因此P到的距离与到直线的距离相等， 故P的轨迹是以F为焦点，为准线的抛物线， 所以P的轨迹方程为． 故选：C 23. （2026·广东佛山·模拟预测）在平面直角坐标系中，，记一点到直线的距离为，已知，记的轨迹为，则下列命题错误的为（） A．当时，是两条直线 B．当时，是圆 C．当时，是抛物线 D．当时，不存在 【答案】C 【分析】依次代入参数和并化简方程：A选项中直接得到两条垂直于轴的直线；B选项中平方后得到圆的标准方程；C选项中移项平方并分区间讨论得到两段不连续的抛物线弧，并非完整抛物线；D选项中移项后由非负性推出矛盾，无实数解. 【详解】平面上，点到直线的距离为， 到点的距离为， 轨迹方程：. A.当，方程为，即，解得或， 轨迹是两条直线和，A选项正确； B.当，方程为，即， 平方得，轨迹是圆心，半径的圆，B选项正确， C.当，方程为， 令，，则， 且， 由，得： 展开化简得： 分两种情况： 当时，，， 即，且由， 又由得，即，结合，得定义域：， 这是抛物线的一段弧； 当时，，， 即，且由， 由得，即，结合，得定义域：， 这是抛物线的一段弧； 轨迹由两段不同的抛物线弧组成，不是完整的抛物线，C选项错误； D.当 方程为， 即， 要求，即或， 若，则，方程为， 平方得，化简得， 当时，，无实数解， 若，则，方程为， 平方得，化简得， 当时，，无实数解， 因此轨迹不存在，D选项正确. 故选：C 24．（2026·辽宁辽阳·二模）已知动点满足到的距离比到直线l：的距离少1，动点形成的轨迹称为曲线． (1)求点P的轨迹方程； (2)已知曲线上的两点、满足，且的面积为，求直线的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）点到点的距离与到的距离相等，根据抛物线定义得到方程； （2）先设，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，表达出，并求出，表达出的方程，得到过定点，表达出计算求解直线； 【详解】（1）由动点满足到的距离比到直线l：的距离少1，可知点到点的距离与到的距离相等，所以曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，故轨迹方程为. （2）设，由题可知斜率不为0，设， 联立曲线方程并消去可得， 显然，因为， 所以， 所以或，当时，过定点，所以， ， 所以，所以；当时，过定点，所以， ，所以， 所以；综上，直线的方程为或. 题型06 抛物线的焦半径问题 25．（2026·宁夏石嘴山·模拟）已知抛物线上的点的横坐标为4，抛物线的焦点为．若，则的值为（    ） A．18 B．9 C．4 D．2 【答案】D 【分析】由抛物线的焦半径公式，可直接得到答案. 【详解】由抛物线定义得， 又，解得． 故选：D 26．设抛物线的焦点为F，过C上一点A作其准线的垂线，设垂足为B，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义得，由余弦定理可得，则，在中，由勾股定理即可求解. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点，准线为，且， 因为， 所以由余弦定理得， 即； 由，所以，； 设为准线与轴的交点，， 则，则. 故选：C. 27.设抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，A为垂足，如果直线的斜率为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由抛物线，求出焦点，再结合题意求出直线的方程为：，在求出点及点，从而可求解. 【详解】由抛物线，则焦点，准线：， 又因为直线的斜率为，则直线的方程为：， 因，所以可得点， 又，所以，即得点， 则. 故选：C. 28.已知O为坐标原点，F是抛物线C：的焦点，A，B是C上位于x轴异侧的两点，且，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用焦半径公式算出A，B的坐标，求出直线AB的方程，进而证明A，B，F三点共线，最后利用计算即可． 【详解】由题意可知，，不妨设点，，且点A在第一象限，如图， 则，， 则，，故， 所以直线的方程为， 令得，即A，B，F三点共线， 所以． 故选：C． 题型07 抛物线的几何性质 29.已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】利用抛物线与圆的对称性，得出即可求解． 【详解】设，（）， 由，得，所以． 因为在圆上，所以，得， 故选：A． 30.已知抛物线的焦点为，为上的一点，过作的准线的垂线，垂足为，，则直线的方程为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据结合抛物线方程得到点，进一步得到点，然后可得直线方程. 【详解】由题可知：抛物线的准线方程为，设， 由，，所以，所以或， 所以或， 所以直线的方程为或，即或. 故选：A 31．【多选】（2026·江西新余·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，且的最小值为1，M是线段AB的中点，是平面内一定点，则（   ） A． B．若，则M到x轴距离为4 C．若，则 D．的最小值为4 【答案】ACD 【分析】根据的最小值即为，求得p，判断A；利用抛物线的焦半径公式可判断B；根据求出的纵坐标，结合焦半径公式判断C；判断P点位置，利用的几何意义，几何作图分析，可求得其最小值，判断D. 【详解】解：抛物线上的点A到抛物线焦点F距离的最小值为1， 则有，解得，A正确； 抛物线的方程为，焦点，准线，设，， 对于B，点，由抛物线的定义知，， 有，所以M到x轴距离，B不正确； 对于C，，， 由得：，即， 又，即，则，解得，， 于是得，C正确； 对于D，抛物线中，当时，， 因此点在抛物线上方， 过点P作于，交抛物线于点Q，连接， 过A作于，连AF，AP，，如图， 显然， 当且仅当点A与Q重合时取等号， 所以，D正确． 故选：ACD. 32.【多选】已知抛物线，准线为，过焦点的直线交抛物线于两点，过分别作的垂线，垂足分别为，则（    ） A． B．若，则直线的斜率为 C．三点共线（其中为坐标原点） D． 【答案】ACD 【分析】由抛物线的定义可得，，再利用角的关系即可得出；根据定义可得，即可得出角，进而得出直线的斜率为；设，则，证明即可；由题可得，结合焦半径公式即可证明. 【详解】 连接，根据抛物线定义可知，所以， 又由于轴，所以， 所以，同理可证， 所以， 即，故正确； 过作于，设，则，， 所以， 所以，由对称性可知直线的斜率为，故B错误； 设，则， 由于，由于三点共线， 则， 又由于，则，由于， 则，所以，， 所以， 即，所以三点共线，故C正确； 由于，则，即，所以， 所以，故D正确． 故选：ACD． 33．【多选】（2026·河北沧州·模拟预测）已知 是抛物线的焦点，， 是经过点的弦且，的斜率为，且，， 两点在 轴上方，则下列结论中成立的是（    ） A． B．若，则 C． D．四边形 面积的最小值为 【答案】AC 【分析】将直线方程与抛物线方程联立，根据直线方程的点斜式，求出直线、的方程，利用弦长公式求出、，可判断A；根据抛物线定义可表示、，利用根于系数的关系求出求出值，可判断B；利用向量的数量积，利用根与系数的关系求,可判断C；四边形 面积利用基本不等式可判断D. 【详解】 设 ，，的方程为， 由 可得， 则  ， 所以， 同理可得， 则有，所以A正确； 若，由， 得， 即， 解得 ，故B错误； 与 无关，同理, 故，故C正确； 因为，所以四边形 的面积 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立，故D错误． 故选：AC. 题型08 抛物线中三角形、四边形的面积问题 34．已知点在抛物线C：上，F为抛物线的焦点，则（O为坐标原点）的面积是（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【解析】点在抛物线上，为抛物线的焦点， ，解得， 故抛物线的方程为，,， 则的面积． 故选：A． 35.（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于，两点，经过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，经过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点.若，则与的面积的比值是（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】D 【分析】设抛物线方程为，直线：，根据题意可求出点，，由坐标可知与轴平行，与轴平行，从而由抛物线定义可知，，故可得，最后结合即可求解. 【详解】不妨设抛物线方程为，焦点，顶点，准线， 设直线：，代入抛物线方程，可得， 设，，由韦达定理得. 直线：，即，令，得，所以， 所以与轴平行，由抛物线定义得， 同理可得，与轴平行，且. 由，，与轴平行，与轴平行，可得， 设准线与轴交于点，则， 因为，所以，所以，， 所以，， 所以，. 故选：D. 36. （2026·甘肃甘南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为.点在上，过点作的垂线，垂足为.为坐标原点，若四边形OFMN为等腰梯形，面积为，则的值是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】先根据抛物线方程写出焦点、准线，设点及其垂足的坐标，再由等腰梯形两腰相等，列距离公式求出的横坐标，接着代入抛物线方程得的纵坐标与的关系；最后用梯形面积公式列方程，结合已知面积求解的值即可. 【详解】因为抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 设 ，则垂足 ， 由四边形 为等腰梯形，得 ，且 ， 所以，解得 ， 将 代入抛物线方程 ，得： 等腰梯形面积： 因为 ，，，代入得： ， ， ， 又因为 ，所以 . 故选：B. 题型09 直线与抛物线的位置关系 37.已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，且线段的中点到 轴的距离为3，直线与 轴交于点．若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】抛物线：的焦点为， 设，由题意可知到 轴的距离为3，即， 设，则， 由，得，得，则， 故的标准方程为. 38．如图，抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，线段的中点为，其垂直平分线交轴于点轴于点，则四边形的面积等于（    ） A．12 B．8 C．6 D．7 【答案】D 【分析】根据抛物线焦点坐标即可确定直线的方程，设，根据直线斜率的坐标关系可得，所以，作轴于点，确定的值，从而可得四边形的面积. 【详解】抛物线的焦点，则直线的方程为， 因为四边形为梯形，且， 设，则， 所以，所以， 作轴于点，则， 因为直线的斜率为1，所以为等腰直角三角形， 故， 所以， 所以四边形的面积为. 故选：D. 39．（2026·甘肃白银·模拟预测）已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与交于不同的两点，过分别作直线的垂线，垂足分别为，若梯形的面积为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到直线的方程，与抛物线联立方程，设，结合韦达定理表示出和，进而表示出梯形面积，即可求出结果. 【详解】依题意，抛物线焦点为，则直线的方程为， 设，联立，整理得，则恒成立， 所以，则， 所以梯形的面积， 解得.    故选：C 40.（多选）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，为抛物线上一个动点，且，则（     ） A．的最小值为4 B．以为直径的圆与抛物线的准线相切 C． D．的最小值为3 【答案】AD 【分析】本题考查抛物线的定义、几何性质、过焦点弦的性质及最值问题，结合抛物线定义与坐标运算逐一分析选项即可． 【详解】抛物线的焦点，， 选项A：过焦点的弦中，通径（垂直于对称轴的弦）长度最短，通径长为，因此最小值为4，A正确； 选项B：设中点为，由抛物线定义得，圆半径， 圆心到准线的距离为，故圆与准线不相切，B错误； 选项C：设过的直线方程为， 代入抛物线方程得，韦达定理得，， 因此，C错误； 选项D：由抛物线定义，等于到准线的距离， 因此，最小值为点到准线的距离，即， 所以的最小值为，D正确． 故选：AD. 41.（2026·山西忻州·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，准线与轴交于点．过的直线交于，两点，若点在以为直径的圆上，则__________． 【答案】4 【详解】抛物线 是标准抛物线，，得 ，因此焦点 ，准线 ，准线与轴交点 ， 设过的直线为 ，， 联立直线与抛物线方程： ，， 由韦达定理得：，， 因为在以为直径的圆上，故 ，即 ，， 代入得： ，将 代入化简， 结合韦达定理得，即 ，即 ， 当 时，直线为，代入抛物线得， 故 ，（也可由抛物线焦点弦公式 ）. 42.（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是抛物线：（）的焦点，点在上，且． (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线交于，两点，且，求的值． 【答案】(1) (2)2或． 【分析】（1）代入点的坐标，结合抛物线定义，联立方程求出即可求出抛物线的方程； （2）设直线方程，联立抛物线方程，表示出韦达定理，利用弦长公式求出和，化简求解对应方程的根即可求出的值. 【详解】（1）解：因为点在上，所以①， 根据抛物线的定义可知，②，由①②解得， 所以抛物线的方程为； （2）设直线的方程，，， 联立方程组，化简整理得， 则，，， 由弦长公式可得， 代入，解得， 因为，又因为，所以， 令，则，解得或，即或，所以或， 因此的值为2或． 题型10 抛物线中的最值与范围问题 43．（2026·浙江·二模）已知为坐标原点，点，动点、在抛物线上，满足．若点关于直线的对称点为，则的最大值是（    ）． A． B．9 C． D．8 【答案】B 【详解】设直线的方程为，， 联立抛物线方程得，，由韦达定理得，， 由得，，代入，得， 将代入，得，或（舍去），所以直线的方程为，恒过点，因为点关于直线的对称点为，所以垂直平分，是中点， 所以，所以点的轨迹是以为圆心，半径的圆（除去原点），则点轨迹方程为，所以，所以. 故选：B. 44．（2026·重庆渝中·二模）已知直线与抛物线（）交于，两点，，两点均在轴上方，为抛物线的焦点，若，且是锐角，则直线的斜率的取值范围是______． 【答案】 【分析】过作垂直准线于，过作垂直准线于，过作于点，借助抛物线定义结合锐角性质可得，再利用斜率与倾斜角的关系计算即可得. 【详解】过作垂直准线于，过作垂直准线于，过作于点，由抛物线定义可得，，令，则，故，则，由是锐角，则，所以， 则直线的斜率，所以直线的斜率的取值范围为． 45．（多选）（2026·四川成都·三模）已知点为抛物线的焦点，点分别为抛物线上两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，设线段的中点为，则下列说法正确的是（    ） A．若点，则的最小值为3 B．点与点的纵坐标相等 C．若点在直线上，则直线过点 D．若三点共线，则的面积的最小值为1 【答案】BCD 【分析】对于A，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义可得；对于B，设，过点的切线方程为，联立得到切线方程，进而得到过点的切线方程为，同理可得过点的切线方程为，再联立得到点与点的纵坐标即可判断；对于C，设直线的方程为，联立，结合韦达定理可得即可判断；对于D，由三点共线，可得，即直线的方程为，再利用弦长公式，结合三角形面积公式进行计算． 【详解】对于A，因为抛物线的焦点为，所以， 抛物线的准线方程为. 如图，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为， 由抛物线的定义可知，， 则，当且仅当三点共线时取等号，故A错误； 对于B，设，过点的切线方程为（切线斜率不为0）， 联立抛物线方程，化简并整理，得. 又，所以， 所以，所以过点的切线方程为，即. 同理可得，过点的切线方程为. 联立得. 因为线段的中点的坐标为，所以点的纵坐标相等，故B正确； 对于C，设直线的方程为，联立， 化简并整理，得，则. 又因为点在直线上，所以，所以， 即直线的方程为，则直线过点，故C正确； 对于D，因为三点共线，所以， 即直线的方程为， 所以点到直线的距离，， 所以，当时取最小值为1，故D正确． 故选：BCD. 46．（2026·山西吕梁·二模）已知抛物线C：过点，直线与C交于A，B两点，O为坐标原点. (1)若直线的斜率为-1，且，求直线的方程； (2)若直线不经过点P，且直线与直线的斜率之积为4，过点P作直线垂直于点G，求点G到C的准线距离的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用抛物线上的点，求出抛物线方程，设直线的方程为，代入抛物线方程，利用韦达定理和，求出的值得直线的方程； （2）直线与直线的斜率之积为4，得直线恒过定点，点在以为直径的圆上，可求点G到C的准线距离的最大值. 【详解】（1）抛物线C：过点，则有， 解得，所以抛物线C的方程为.直线与C交于A，B两点，设， 直线的斜率为-1时，设直线的方程为， 由消去得，则有，解得， 由韦达定理得，，， ，， 解得或（舍去），所以直线的方程为. （2）设直线l的方程为，联立得，化简得，则，即，设，则，. 得到，. 又，所以，即， 可得， 代入得，即，即， 即，即， 又直线不经过点P，所以，则， 所以直线的方程为，因此直线恒过定点. 由，得，解得或.连接，因为， 所以点在以为直径的圆上， 所以点到的准线的距离的最大值如下，为圆心到的准线的距离加上半径，即，此时，，满足题意， 因此点G到C的准线距离的最大值为. 题型11抛物线的实际应用 47．彩凤穿花纹是中国传统瓷器经典装饰纹样．某彩凤穿花纹碗如图1所示，其轴截面（不含碗的底座）如图2所示，已知该碗的底座高为1cm，曲线，均是焦点到准线的距离为5cm的抛物线的一部分，则该碗的高度为（    ） A．8cm B．10cm C．9cm D．11cm 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，利用方程求点的坐标即可得解. 【详解】如图，以该抛物线的顶点为坐标原点建立平面直角坐标系，则该抛物线的方程为． 设，，易得，，则， 所以该碗的高度为． 故选：B. 48．某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为21.6m，拱顶距水面10.9m，路面厚度约1m．若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（    ）    A．3m B．4m C．5m D．6m 【答案】B 【分析】建立适当的平面直角坐标系，设出抛物线方程，将点的坐标代入抛物线方程可求得参数，进一步即可得解. 【详解】以拱形部分的顶点为坐标原点，水平线为x轴，垂直于轴，且方向向上，建立平面直角坐标系．    设抛物线的方程为． 易知抛物线过点，则，得， 所以，所以． 故选：B． 49．吉林雾淞大桥，位于吉林市松花江上，连接雾淞高架桥，西起松江东路，东至滨江东路．雾淞大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线（设该抛物线的焦点到准线的距离为米）的一部分，左：右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻两根吊索之间的距离均为米（将每根吊索视为线段）．已知最中间的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】建立坐标系，求出点B横坐标，代入抛物线即可求解. 【详解】以为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系（横坐标与纵坐标的单位均为米）， 依题意可得抛物线的方程为． 因为同一边的悬索连接着29根吊索，且相邻两根吊索之间的距离均为米，则点的横坐标为， 则，所以点到桥面的距离为米． 故选：A. 50．（2026·重庆江北·模拟预测）抛物线因其特殊的光学以及声学性质而广泛地应用于生活中．现已知光在曲线上的反射原理如下：找到入射光线与曲线的交点，在交点处作曲线的切线及垂直于该切线的直线（法线），从而作出反射光（反射光线与入射光线分居法线两侧，与法线夹角大小一样）．设抛物线的准线为：，过抛物线外一点P作抛物线C的两条切线PA，PB，与抛物线C分别相切于A，B两点． (1)求C的标准方程； (2)证明：从抛物线C的焦点F发出的光线经抛物线上一点M（不同于顶点）反射后平行于抛物线C的对称轴； (3)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）通过准线方程得到抛物线方程中参数的值从而得到抛物线的标准方程； （2）设出切线方程，通过切线与抛物线方程的联立求出切点，从而得到法线方程，结合题目中的反射原理，通过向量的数量积得到夹角相等从而得证； （3）根据第2小问得到切线方程，联立得到任意点的坐标，结合向量的数量积来证明两个角的余弦值相等，从而证得两个角相等. 【详解】（1）抛物线的准线为， 则，解得， 因此抛物线的标准方程为. （2）抛物线的焦点坐标为，对称轴为y轴， 设为抛物线上一点（非顶点），如下图所示，    抛物线方程，求导可得， 所以点处切线的斜率为， 则切线方程为，即， 因为点处法线与切线垂直，所以法线的斜率为， 则法线方程为，即， 根据题目可知入射光线与法线的夹角等于反射光线与法线的夹角， 入射光线为，斜率为， 设反射光线的方向向量为，入射光线的方向向量为， 法线的方向向量为， 因为入射光线与法线的夹角等于反射光线与法线的夹角，即它们与法线的夹角的余弦值相等， 所以， 假设反射光线平行于y轴，即方向向量， 代入可得， ， 因为，，所以，满足光的反射原理，假设成立， 因此从抛物线的焦点发出的光线经过抛物线上一点（不同于顶点）， 反射后平行于抛物线的对称轴. （3）设切点，，，如下图所示，    由（2）可知，抛物线在处的切线方程分别为 ，， 联立可得，解得，代入可得， 即，焦点， 所以，，， 则， 同理， 因此， 因为， 所以. 重难·创新演练 设题创新: 结合圆与抛物线嵌套组合命题，利用抛物线定义转化距离进行多段轨迹辨析，定点定值、面积约束条件综合大题，多选辨析焦点弦几何结论，多条焦点弦垂直衍生四边形面积最值探究，融合圆、几何图形跨模块综合设问。 1．【新考法】（2026·陕西·二模）已知抛物线的焦点为，．若上存在点，使得，且的面积为2，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】依题设，利用题设条件与焦准距可得，再由三角形面积计算即得. 【详解】由题意可知：，则，设，则， 可得，即，又因为的面积为，解得. 故选：B. 2．【新角度】（2026·辽宁鞍山·二模）已知抛物线的焦点为，点为抛物线准线上一点，连接交于点，若，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】过点作准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义有，又， 得，设准线与轴的交点为，则有，所以，又，故. 故选：B. 3．【新考法】（2026·湖南怀化·二模）已知抛物线C：（p＞0）的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点（点A在第一象限），若直线AB的斜率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的几何意义表示线段长度求解. 【详解】记C的准线为l，过点A，B作l的垂线，垂足分别为M，N， 过点B作直线AM的垂线，垂足为E．设，． 因为直线AB的斜率为，所以，， 则，，． 因为，所以，即，，所以． 故选：D. 4．【新考法】（25-26高三下·辽宁铁岭·阶段检测）过抛物线的焦点的直线与交于两点，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】联立直线的方程与抛物线方程，得到坐标满足的关系式，利用基本不等式求最值即可. 【详解】由题意知，设直线的方程为，与联立， 得，， 设，，则，， ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 故选：C. 5．【新思维】（2026·辽宁盘锦·二模）已知直线过抛物线的焦点，且交抛物线于，两点，由，分别向准线引垂线，，垂足分别为，.设，，为线段的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用抛物线的定义求证，再在直角梯形中计算即可. 【详解】连接，因为，所以，由抛物线的定义可知，， 所以，则，同理可得，，故，由，可得，，故在直角梯形中，，因为为线段的中点，所以. 故选：A. 6．【新情境】（2026·广西南宁·二模）抛物线的光学性质是一个非常重要且优美的几何特性，它描述了抛物线如何反射光线．这个性质在数学、物理学和工程学中有广泛的应用．其光学性质如下：从焦点发出的光线经过抛物线上一点（不同于抛物线的顶点）反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．若抛物线的焦点为F，从F发出的光线经过抛物线C上点G反射后，其反射光线过点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，可得轴，得到，得到，利用斜率求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】对于抛物线，可得焦点为，准线方程为，根据抛物线的光学性质，可得轴，所以，将代入抛物线，可得，即， 因为，可得，整理得， 即，解得或(舍去），所以，此时，，，所以的面积为. 故选：B. 7．【新考法】（多选）（2026··河南驻马店·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则点的坐标为 B．当的倾斜角为时， C． D．以为直径的圆与直线相切 【答案】ACD 【分析】利用焦半径公式即可验证A；由点斜式写出直线方程，与抛物线联立解得，即可验证B；设直线的方程为，联立方程组由韦达定理即可验证C；设的中点为，过，，分别作准线的垂线于点，，，则，即可验证 D. 【详解】A，因为焦半径， 所以，代入，解得， 由，所以，故A正确； B，当的倾斜角为时，斜率为，则的方程为 ， 联立方程，得到，则或， 因为点在上方，所以，所以，故B错误； C，抛物线的标准方程为，若直线与轴重合， 此时，直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意， 所以直线不与轴重合，设直线的方程为， 联立可得，则， 由韦达定理可得，则，故C正确； D，设的中点为，过，，分别作准线的垂线于点，，， 所以，圆心到准线的距离等于半径，故D正确； 故选：ACD. 8．【新考法】（多选）（2026·福建·二模）已知抛物线的焦点为，过的直线l交于两点，直线交于另一点D，则（    ） A． B．的内心在定直线上 C．若，则 D．若，则的面积为 【答案】ABD 【分析】作出符合题意的图形，利用斜率的几何意义得到，结合题意得到进而判断A，联立方程组结合韦达定理得到，最后结合内心的性质判断B，利用二倍角公式并结合方程得到判断C，先确定，再利用弦长公式与点到直线的距离公式得到面积解析式，最后结合角平分线定理建立方程，求解参数，进而得到三角形面积判断D即可. 【详解】因为抛物线的焦点为，所以，解得，则抛物线方程为, 如图，作出符合题意的图形，作轴， 对于A，设，则，由题意得是直线的倾斜角，由斜率的几何意义得，由诱导公式得，由焦半径公式得，在中，可得，则，故A正确， 对于B，设的方程为，，联立方程组，可得，由韦达定理得，，则，，由斜率公式得，，因为，所以，可得，则，得到被轴平分，可得的内心在定直线上，故B正确，对于C，因为被轴平分，所以， 设，，因为，所以， 由二倍角公式得，解得（另一根舍去），则，联立方程组，解得，此时，与不符，故C错误， 对于D，因为，所以或（与题意不符，排除）， 设直线的方程为，设，联立方程组，可得， 由韦达定理得，，则，由弦长公式得，，由焦半径公式得，且，而直线的方程为，设到的距离为，由点到直线的距离公式得， 则，因为，所以平分， 由角平分线性质得，可得，化简得，解得，则，故D正确. 故选：ABD. 9．【新角度】（2026·安徽安庆·三模）已知抛物线的顶点为，焦点为，过点的直线交抛物线于两点，若，则______． 【答案】/ 【分析】通过设点、设直线联立方程求解坐标，再利用向量夹角公式求三角函数值． 【详解】 ，设，， 由抛物线的焦半径公式得，， 因为，所以，即， 由题意知，直线的斜率不为，设直线的方程为， 由，得， ，根据韦达定理有， 又因为，所以， 由，得， 因为抛物线关于轴对称，所以不妨设点在第一象限， 则，所以，， 所以， 所以． 10．【新载体】（2026·新疆·二模）已知为抛物线的焦点，直线与交于两点，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，若与的面积之比为，则______． 【答案】 【分析】设，得到，以及直线的方程为，联立方程组求得和，得到和，结合题意，列出方程，即可求解. 【详解】如图所示，抛物线的焦点为，因为直线与抛物线交于两点，可设，其中，则，所以直线的方程为， 联立方程组，整理得，设，可得，解得， 将其代入直线方程，可得，即，同理可得：点， 所以，所以， ，因为与的面积之比为， 可得，整理得，因为，解得. 11．【新考法】（2026·福建莆田·二模）已知抛物线的焦点为，准线为，直线与，的交点分别为，，且. (1)求； (2)若过点的直线交于，两点，且，求的值. 【答案】(1)2 (2)或. 【分析】（1）由抛物线定义可得进而得到为等边三角形，从而求得，结合图形特征及角的正切即可求解； （2）设直线：,联立直线与抛物线可得，则由韦达定理得，，计算弦长代入中即可求得，再列方程结合弦长公式求值. 【详解】（1） 由抛物线定义得，又因为，所以为等边三角形，所以，设准线为与x轴交于点，且的纵坐标为，所以，所以，所以； （2） 设： ，，，联立得，， 由韦达定理得，，所以 ， 所以，所以，则，由韦达定理得，，所以，所以，所以， 或，所以 或，所以的值为或. 12．【新思维】（2026·江西赣州·二模）已知点A与关于直线对称，点A在抛物线上，点F是抛物线C的焦点． (1)求抛物线C的标准方程； (2)直线AF与抛物线的另一个交点为B，直线与直线AB交于点P（异于A、B），与抛物线交于点D，连接DF并延长，交抛物线于点E，直线PE与x轴相交于点G，直线l与直线BE相交于点Q，线段BD的中点为M，线段QF的中点为N． （ⅰ）求证：G、M、N三点共线； （ⅱ）设的面积为，的面积为，若，求k的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）根据点关于直线对称的特点列方程组求出，再代入抛物线方程即可求解； （2）（ⅰ）由（1）可得，，进而求出的坐标，再利用向量数乘关系求证即可； （ⅱ）结合（ⅰ）表示出，，再根据解不等式即可求解. 【详解】（1）因为点A与关于直线对称，设， 所以，解得，即，又点A在抛物线上，所以，即，则抛物线C的标准方程为. （2）（ⅰ）由（1）知，抛物线C的标准方程为，则，， 联立，解得或，即，则， 所以直线的方程为，联立，得， 则，则，故，则， 所以直线的方程为，联立，解得， 即，因为线段QF的中点为N，所以，即，又线段BD的中点为M，则，即，而，则，所以直线的方程为， 令，得，即，则， ， 所以，因此，又有公共点，则G、M、N三点共线. （ⅱ）由题意，，设， 由（ⅰ）知，， 而 由，得， 则， 即， 则，即，则，又， 则，因为直线不经过点，故，所以k的取值范围为. 真题·实战演练 高频考点：物线定义转化距离、焦半径公式、焦点准线求解、抛物线上距离最值、焦点弦性质、联立韦达定理求弦长与面积。 1．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义求解即可. 【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，所以到准线的距离为，又到直线的距离为，所以，故. 故选：D. 2．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先由直线求出焦点和即抛物线的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点B，从而可依次求出和，再由焦半径公式即可得解. 【详解】对，令，则， 所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线得. 所以. 故选：C 3．（多选）（2025·全国一卷·高考真题）已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，先判断得直线为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；对于B，利用三角形相似证得，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法（法一）与正设法（法二），联立直线与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用利用三角形相似证得，，结合焦半径公式可判断D. 【详解】法一：对于A，对于抛物线，则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，易知直线的斜率不为， 设直线的方程为，， 联立，得， 易知，则， 又，， 所以， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 又 ， ， 所以， 则，故D正确. 故选：ACD. 法二：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，当直线的斜率不存在时，； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 联立，消去，得， 易知，则， 所以 ， 综上，，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 当直线的斜率不存在时，，； 所以，即； 当直线的斜率存在时，， ， 所以， 则； 综上，，故D正确. 故选：ACD. 4．（2026·天津·高考真题）在平面内，为坐标原点，抛物线上有、、、四个点，、、、的纵坐标分别为、、、，直线与直线交轴于点，直线交轴于点，直线交轴于点，以下说法正确的有______． ①若与抛物线焦点重合，则； ②； ③； ④； ⑤ 【答案】②④ 【分析】首先探求抛物线弦与轴交点坐标与弦端点纵坐标积的关系，再利用关系式逐项分析，①②易得，③④⑤将长度与面积都转化为纵坐标表示，化简求解可得. 【详解】由题意、、、为抛物线上四个点可知，两两不等. 设抛物线上任意两点，其中. 当时，直线的斜率， 则直线方程为， 令，则直线与轴的交点横坐标 特别地，当时，， 此时直线垂直于轴，也成立， 因此，直线与轴的交点横坐标（）. ①由题意直线交轴于点，若与抛物线焦点重合，则其横坐标为， 故由式可得，即，故①错误； ②由题意直线与直线交轴于点， 则由式可得点横坐标， 可得，故②正确； ③由题意直线交轴于点，直线交轴于点， 则由式可得 ， 则， 故，故③错误； ④由式可得， 当点或为原点时，则点也重合于原点，此时； 当点与均不为原点时，即，且， 则结合②结论可知，， 则有，故④正确； ⑤由，可知，则， ， 如图，当时，不成立，故⑤错误； 故答案为：②④ 5．（2024·北京·高考真题）抛物线的焦点坐标为________． 【答案】 【分析】形如的抛物线的焦点坐标为，由此即可得解. 【详解】由题意抛物线的标准方程为，所以其焦点坐标为. 故答 6．（2023·上海·高考真题）曲线，第一象限内点A在Γ上，A的纵坐标是a． (1)若A到准线距离为3，求a； (2)若a＝4，B在x轴上，AB中点在上，求点B坐标和坐标原点O到AB距离； (3)直线，令P是第一象限Γ上异于A的一点，直线PA交l于Q，H是P在l上的投影，若点A满足“对于任意P都有”，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）代入求出，利用抛物线定义即可求出值； （2）代入值求出，设，则得到的中点坐标，再代入抛物线方程则得值，则得到直线的方程，利用点到直线的距离即可； （3）设，写出直线的方程，求出点坐标，则，分和讨论即可. 【详解】（1）令，解得，即，而抛物线的准线方程为， 根据抛物线的定义有，解得，因为为第一象限的点，则. （2）由代入抛物线方程有，解得，则， 设，则的中点为, 代入抛物线方程有，解得， 直线的斜率为，其方程为，即, 坐标原点到的距离为. （3）设，根据， 则，则直线方程为， 化简得， 令，则，又，， 化简得 ①对任意的 恒成立. 则, 结合，， 当时，，则，则①也成立. 综上所述:.    2 / 60 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $