第11讲 函数的概念及其表示 讲义-2027届高三数学一轮复习

第11讲 函数的概念及其表示 内 容 导 航 知识点1 函数的概念及其判断 知识点2 函数的定义域 知识点3 同一个函数 知识点4 函数的表示方法 知识点5 分段函数 知识点6 函数的概念及其判断 知识点7 相同函数的判定 知识点8 求抽象函数的定义域 知识点9 求分段函数的函数值 知识点10 解分段函数不等式 题型1 由定义域求解函数或参数 题型2 由值域求解函数或参数 题型3 判断两个函数是否为同一函数 题型4 区间 题型5 解析法表示函数 题型6 列表法表示函数 题型7 图象法表示函数 题型8 画出函数的图象 题型9 由函数解析式求解函数图象 题型10 由函数图象求解函数或参数 题型11 函数图象的简单变换 知 识 点 通 关 知识点1 函数的概念及其判断 函数的概念 非空性 一般地，设A，B是非空的实数集 唯一性 对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 记法 y＝f(x)，x∈A 知识点2 函数的定义域 函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 必记结论 几种特殊函数的定义域： （1）分式函数：定义域是，分母不为0. （2）0次幂类型：定义域是，底数不为0. （3）根式类型： （4）对数函数：真数大于0. ✅ 注意：定义域用集合或区间表示，需熟记：若用区间表示，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。 知识点3 同一个函数 （1）前提条件：①定义域相同；②对应关系相同. （2）结论：这两个函数为同一个函数. 知识点4 函数的表示方法 解析法 用解析式表示两个变量之间的对应关系(一般情况下，必须注明函数的定义域) 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系(选取的自变量要有代表性，能反映定义域的特征) 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系(注意定义域对图象的影响：与x轴垂直的直线与函数图象最多有一个公共点) 知识点5 分段函数 （1）概念：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. （2）定义域、值域：分段函数表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集. 知识点6 函数的概念及其判断 方法技巧 利用函数概念判断 （1）A，B是非空的实数集. （2）数集A中的任何一个元素在数集B中只有一个元素与之对应，即 “多对一”，不能“一对多”，而数集B中有可能存在与数集A中元素不对应的元素. 知识点7 相同函数的判定 方法技巧 判断两个函数为同一函数的关注点 （1）定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数． （2）函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的． （3）在化简解析式时，必须是等价变形． 知识点8 求抽象函数的定义域 方法技巧 抽象函数的定义域求法 （1）若的定义域为，求中的解的范围，即为的定义域． （2）已知的定义域，求的定义域，则用换元法求解. 知识点9 求分段函数的函数值 方法技巧 分段函数值的求法 （1）分段函数的求值问题，必须注意自变量的值位于哪一个区间，选定该区间对应的解析式代入求值 （2）函数区间分类讨论问题，则需注意在计算之后进行检验所求是否在相应的分段区间内. 知识点10 解分段函数不等式 方法技巧 求解分段函数不等式的方法 （1）求解分段函数不等式，需要对分类讨论，分别求解各段上的范围，最后并起来即可. （2）在同一坐标轴中画的图象，虚线，则函数图象在虚线及以上的部分中的取值范围，即不等式的解集，从而得答案. 考 点 演 练 题型1 由定义域求解函数或参数 【典例1】若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（　　） A．[0，8） B．（8，+∞） C．[0，8] D．（﹣∞，0）∪（8，+∞） 【变式1】若函数f（x）的定义域为R，则实数a的取值范围是 　 ． 题型2 由值域求解函数或参数 【典例1】已知a＞0且a≠1，若函数的值域为R，则a的取值范围是（　　） A．（1，2] B．[2，+∞） C．（0，1） D．（1，+∞） 【变式1】设函数f（x）定义域为D＝[0，+∞），值域为A．对∀x∈D，都满足．若集合{y|y＝f（x），x∈[0，a]}可取得A中所有值，则实数a最小值为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 题型3 判断两个函数是否为同一函数 【典例1】下列各组函数中，图像不完全相同的是（　　） A．和 B．•和 C．和 D．y＝ex，x∈R和s＝et，t∈R 【变式1】下列函数中与y＝x定义域、值域都相同的是（　　） A． B． C． D． 题型4 区间 【典例1】2022年7月19日，亚洲奥林匹克理事会宣布杭州亚运会定于2023年9月23日至10月8日举行，用a标记亚运会开始的日期，即a＝9.23，用b表示亚运会结束的日期，即b＝10.08．那么以实数a、b为端点的区间可以表示为（　　） A．{9.23，10.08} B．[10.08，9.23] C．[9.23，10.08] D．（﹣∞，9.23]∪[10.08，+∞） 【变式1】不等式|x﹣2|＜3的解集可用区间表示为　 　 ． 题型5 解析法表示函数 【典例1】已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x． （1）求出函数f（x）在R上的解析式； （2）画出函数f（x）的图象（不用列表），并根据图象写出f（x）的单调区间． 【变式1】给定函数f（x）＝x+1，g（x）＝（x﹣1）2，x∈R． （Ⅰ）求不等式f（x）≥g（x）的解集； （Ⅱ）∀x∈R，用M（x）表示f（x），g（x）中的最大者，记为M（x）＝max{f（x），g（x）}，用解析法表示函数M（x）； （Ⅲ）设函数M（x）在[t，t+1]上的最小值为h（t），求函数h（t）的表达式． 题型6 列表法表示函数 【典例1】已知函数y＝f（x）可表示为 x 0＜x≤2 2＜x≤4 4＜x≤6 6＜x≤8 y 2 3 4 5 则下列结论正确的是（　　） A．f（f（5））＝5 B．f（x）的值域是{2，3，4，5} C．f（x）的值域是[2，5] D．f（x）在区间[4，8]上单调递增 【变式1】已知函数f（x）可用列表法表示如下，则的值是 　　 ． x x≤1 1＜x＜2 x≥2 f（x） 1 2 3 题型7 图象法表示函数 【典例1】在中国天门山举行的WWL翼装飞行世锦赛中，某翼人空中高速飞行，如图反映了他从某时刻开始的15分钟内的速度v（x）与时间x的关系，若定义“速度差函数”u（x）为时间段[0，x]内的最大速度与最小速度的差，则u（x）的图象是（　　） A． B． C． D． 【变式1】某产品投入市场后，其销量y与月份x之间的散点图如图所示，则下列模型能较好地反映销量y与月份x之间的关系的是（　　） A．y＝30x B．y＝20x2+30x﹣10 C．y＝30×1.2x D．y＝30log2x+60 题型8 画出函数的图象 【典例1】函数大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式1】函数的部分图象可能是（　　） A． B． C． D． 题型9 由函数解析式求解函数图象 【典例1】函数f（x）＝xsinx﹣cosx在[﹣π，π]上的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【变式1】函数的图像大致为（　　） A． B． C． D． 题型10 由函数图象求解函数或参数 【典例1】f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（　　） A． B． C．f（x）＝x2lnx D． 【变式1】已知函数f（x）的图象如图所示，若g（x）＝f（x2），则下列数值排序正确的是（　　） A． B． C． D． 题型11 函数图象的简单变换 【典例1】为得到函数的图象，只需把函数y＝2x的图象上的所有点（　　） A．向右平移1个单位，再向上平移1个单位 B．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 C．向左平移2个单位，再向上平移2个单位 D．向右平移2个单位，再向下平移2个单位 【变式1】观察下列散点图，其中图1两个变量的相关关系为r1，图2两个变量的相关关系为r2，则下列说法错误的是（　　） A．r1＜0 B．r1r2＜0 C．|r1|＜|r2| D．r1+r2＜0 过 关 验 收 1．若函数的定义域为R，则实数m取值范围是　 　 ． 2．若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是 　 　 ． 3．若函数的定义域为R，且f（x+1）＝f（﹣x﹣1），则实数m的值为 　 　 ． 4．已知a＞0，且a≠1，若函数的值域为R，则a的取值范围为（　　） A．[2，+∞） B．（1，+∞） C．（0，1）∪（1，2] D．（1，2] 5．若存在区间[a，b]（a＜b），使得函数f（x）＝ln（ex+m）在[a，b]上的值域为，则实数m的取值范围是　 　 ． 6．已知函数，若存在区间[a，b]（b＞a≥﹣1），使得函数f（x）在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则实数m的取值范围为 　 　 　 ． 7．下列函数f（x）和g（x）为同一函数的是（　　） A．f（x）＝x+1和 B．f（x）＝x2+x0和 C．f（x）＝x2+x和 D．和 8．在下列函数中，与函数y＝x表示同一函数的（　　） A． B． C． D． 9．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝x（x+2）． （1）画出函数f（x）的图像，并写出f（x）的单调区间； （2）求出f（x）的解析式． 10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x． （Ⅰ）求出函数f（x）在R上的解析式，并补出函数f（x）在y轴右侧的图象； （Ⅱ）①根据图象写出函数f（x）的单调递减区间； ②若x∈[﹣1，m]时，函数f（x）的值域是[﹣1，1]，求m的取值范围． 11．函数f（x）的数据如表，则该函数的解析式可能形如（　　） x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 5 f（x） 2.3 1.1 0.7 1.1 2.3 5.9 49.1 A．f（x）＝ka|x|+b B．f（x）＝kxex+b C．f（x）＝k|x|+b D．f（x）＝k（x﹣1）2+b 12．已知函数y＝f（x）表示为： x [﹣2，0） 0 （0，2] y 1 0 ﹣2 设f（1）＝m，f（x）的值域为M，则（　　） A．m＝﹣2，M＝{﹣2，0，1} B．m＝﹣2，M＝{y|﹣2≤y≤1} C．m＝1，M＝{﹣2，0，1} D．m＝1，M＝{y|﹣2≤y≤1} 13．已知，幂函数y＝xa的大致图象如图所示，则a＝ 　 ． 14．函数y＝（2x﹣2﹣x）sinx在区间上的图像大致为（　　） A． B． C． D． 15．已知函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（　　） A． B． C． D． 16．已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 17．将函数y＝|﹣x2+1|+2向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（　　） A． B． C． D． 18．将函数f（x）的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到函数g（x）的图象．再将g（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象恰好与函数f（x）的图象重合．则f（x）可以是（　　） A．f（x）＝log3x B．f（x）＝log3（3x+1） C．f（x）＝3x D．f（x）＝32x+1 19．为得到函数y＝lg（10x+10）的图象，只需（　　） A．把函数y＝lg（10x）的图象上的所有点向左平移10个单位 B．把函数y＝lg（10x）的图象上的所有点向左平移1个单位 C．把函数y＝lg（x+10）的图象上的所有点横坐标变成原来的10倍，纵坐标不变 D．把函数y＝lg（x+1）的图象上的所有点横坐标变成原来的倍，纵坐标不变 20．已知函数y，若f（a）＝10，则a的值是（　　） A．3或﹣3 B．﹣3或5 C．﹣3 D．3或﹣3或5 21．对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[π]＝3，[﹣1.08]＝﹣2，定义函数f（x）＝x﹣[x]，则下列选项中不正确的是（　　） A．f（x+1）＝f（x） B． C．函数y＝f（x）的图象与直线有无数个交点 D．函数f（x）的最大值为1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 函数的概念及其表示 内 容 导 航 知识点1 函数的概念及其判断 知识点2 函数的定义域 知识点3 同一个函数 知识点4 函数的表示方法 知识点5 分段函数 知识点6 函数的概念及其判断 知识点7 相同函数的判定 知识点8 求抽象函数的定义域 知识点9 求分段函数的函数值 知识点10 解分段函数不等式 题型1 由定义域求解函数或参数 题型2 由值域求解函数或参数 题型3 判断两个函数是否为同一函数 题型4 区间 题型5 解析法表示函数 题型6 列表法表示函数 题型7 图象法表示函数 题型8 画出函数的图象 题型9 由函数解析式求解函数图象 题型10 由函数图象求解函数或参数 题型11 函数图象的简单变换 知 识 点 通 关 知识点1 函数的概念及其判断 函数的概念 非空性 一般地，设A，B是非空的实数集 唯一性 对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 记法 y＝f(x)，x∈A 知识点2 函数的定义域 函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 必记结论 几种特殊函数的定义域： （1）分式函数：定义域是，分母不为0. （2）0次幂类型：定义域是，底数不为0. （3）根式类型： （4）对数函数：真数大于0. ✅ 注意：定义域用集合或区间表示，需熟记：若用区间表示，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。 知识点3 同一个函数 （1）前提条件：①定义域相同；②对应关系相同. （2）结论：这两个函数为同一个函数. 知识点4 函数的表示方法 解析法 用解析式表示两个变量之间的对应关系(一般情况下，必须注明函数的定义域) 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系(选取的自变量要有代表性，能反映定义域的特征) 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系(注意定义域对图象的影响：与x轴垂直的直线与函数图象最多有一个公共点) 知识点5 分段函数 （1）概念：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. （2）定义域、值域：分段函数表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集. 知识点6 函数的概念及其判断 方法技巧 利用函数概念判断 （1）A，B是非空的实数集. （2）数集A中的任何一个元素在数集B中只有一个元素与之对应，即 “多对一”，不能“一对多”，而数集B中有可能存在与数集A中元素不对应的元素. 知识点7 相同函数的判定 方法技巧 判断两个函数为同一函数的关注点 （1）定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数． （2）函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的． （3）在化简解析式时，必须是等价变形． 知识点8 求抽象函数的定义域 方法技巧 抽象函数的定义域求法 （1）若的定义域为，求中的解的范围，即为的定义域． （2）已知的定义域，求的定义域，则用换元法求解. 知识点9 求分段函数的函数值 方法技巧 分段函数值的求法 （1）分段函数的求值问题，必须注意自变量的值位于哪一个区间，选定该区间对应的解析式代入求值 （2）函数区间分类讨论问题，则需注意在计算之后进行检验所求是否在相应的分段区间内. 知识点10 解分段函数不等式 方法技巧 求解分段函数不等式的方法 （1）求解分段函数不等式，需要对分类讨论，分别求解各段上的范围，最后并起来即可. （2）在同一坐标轴中画的图象，虚线，则函数图象在虚线及以上的部分中的取值范围，即不等式的解集，从而得答案. 考 点 演 练 题型1 由定义域求解函数或参数 【典例1】若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（　　） A．[0，8） B．（8，+∞） C．[0，8] D．（﹣∞，0）∪（8，+∞） 【答案】C 【解答】解：若函数的定义域为R，则mx2﹣mx+2≥0对任意x∈R恒成立， 当m＝0时，显然成立； 当m≠0时，有，解得0＜m≤8． 综上所述，实数m的取值范围是[0，8]． 故选：C． 【变式1】若函数f（x）的定义域为R，则实数a的取值范围是 　 ． 【答案】[0，4]． 【解答】解：∵f（x）的定义域为R， ∴不等式ax2﹣2ax+4≥0的解集为R， ①a＝0时，4≥0恒成立； ②a≠0时，，解得0＜a≤4， ∴综上得，实数a的取值范围是[0，4]． 故答案为：[0，4]． 题型2 由值域求解函数或参数 【典例1】已知a＞0且a≠1，若函数的值域为R，则a的取值范围是（　　） A．（1，2] B．[2，+∞） C．（0，1） D．（1，+∞） 【答案】B 【解答】解：函数的值域为R， 若0＜a＜1，当x≥0时f（x）＝ax+1，此时f（x）∈（1，2]， 又当x＜0时f（x）＝﹣x2﹣2ax﹣2＝﹣（x+a）2+a2﹣2≤a2﹣2， 此时f（x）的值域不可能为R，故舍去； 所以a＞1，则当x≥0时f（x）＝ax+1，此时f（x）∈[2，+∞）； 当x＜0时f（x）＝﹣x2﹣2ax﹣2＝﹣（x+a）2+a2﹣2≤a2﹣2， 要使f（x）的值域为R，则，解得a≥2， 即a的取值范围是[2，+∞）． 故选：B． 【变式1】设函数f（x）定义域为D＝[0，+∞），值域为A．对∀x∈D，都满足．若集合{y|y＝f（x），x∈[0，a]}可取得A中所有值，则实数a最小值为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【解答】解：由函数恒等式对任意x∈[0，+∞）成立，可知f（x）的值由x与共同决定． 要使集合{y|y＝f（x），x∈[0，a]}取遍值域A， 需对任意x∈[0，+∞），要么x∈[0，a]，要么． 由，得，即x+1≥2026，故x≥2025． 当x≥2025时，，此时，而， 故这些点的函数值均被[0，a]覆盖． 当x＜2025时，，若a＜2025，则存在x∈（a，2025）， 此时x＞a且，二者均不在[0，a]内，其函数值无法被[0，a]覆盖，矛盾． 当a＝2025时，对任意x∈[0，+∞）： 若x∈[0，2025]，则x∈[0，a]，函数值直接被覆盖； 若x＞2025，则x+1＞2026，故， 此时，而，函数值被覆盖． 因此，a的最小值为2025． 故选：C． 题型3 判断两个函数是否为同一函数 【典例1】下列各组函数中，图像不完全相同的是（　　） A．和 B．•和 C．和 D．y＝ex，x∈R和s＝et，t∈R 【答案】B 【解答】解：A：由解析式，两函数的定义域均为[﹣1，1]，故与 的图象相同，不符； B：对于，其定义域为[2，+∞），对于，其定义域为（﹣∞，1]∪[2，+∞）， 在[2，+∞）上，即它们部分图象相同，符合； C：由解析式，两函数的定义域均为[﹣3，3），则，与图象相同，不符； D：显然y＝ex，x∈R和s＝et，t∈R的对应法则和定义域都相同，即图象相同，不符． 故选：B． 【变式1】下列函数中与y＝x定义域、值域都相同的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：y＝x的定义域为R，值域为R， y的定义域为{x|x≠0}，故A错误； 当n＝2时，y的值域为{y|y≥0}，故B错误； y的定义域为{x|x＞0}，故C错误； yx，y的定义域为R，值域R，映射关系相同，故D正确． 故选：D． 题型4 区间 【典例1】2022年7月19日，亚洲奥林匹克理事会宣布杭州亚运会定于2023年9月23日至10月8日举行，用a标记亚运会开始的日期，即a＝9.23，用b表示亚运会结束的日期，即b＝10.08．那么以实数a、b为端点的区间可以表示为（　　） A．{9.23，10.08} B．[10.08，9.23] C．[9.23，10.08] D．（﹣∞，9.23]∪[10.08，+∞） 【答案】C 【解答】解：以实数a＝9.23、b＝10.08为端点的区间可以表示为[9.23，10.08]． 故选：C． 【变式1】不等式|x﹣2|＜3的解集可用区间表示为　 　 ． 【答案】（﹣1，5）． 【解答】解：由|x﹣2|＜3，得﹣3＜x﹣2＜3，即﹣1＜x＜5， 故解集为（﹣1，5）． 故答案为：（﹣1，5） 题型5 解析法表示函数 【典例1】已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x． （1）求出函数f（x）在R上的解析式； （2）画出函数f（x）的图象（不用列表），并根据图象写出f（x）的单调区间． 【答案】（1）． （2）图象见解答，单调增区间为（﹣∞，﹣1]和[1，+∞），单调减区间为（﹣1，1）． 【解答】解：（1）①由于函数f（x）是定义域为R的奇函数，则f（0）＝0； ②当x＜0时，﹣x＞0，因为f（x）是奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x）． 所以f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[（﹣x）2﹣2（﹣x）]＝﹣x2﹣2x． 综上：． （2）函数图象如下所示： 由函数图象可知，函数的单调增区间为（﹣∞，﹣1]和[1，+∞），单调减区间为（﹣1，1）． 【变式1】给定函数f（x）＝x+1，g（x）＝（x﹣1）2，x∈R． （Ⅰ）求不等式f（x）≥g（x）的解集； （Ⅱ）∀x∈R，用M（x）表示f（x），g（x）中的最大者，记为M（x）＝max{f（x），g（x）}，用解析法表示函数M（x）； （Ⅲ）设函数M（x）在[t，t+1]上的最小值为h（t），求函数h（t）的表达式． 【答案】（Ⅰ）[0，3]； （Ⅱ）M（x）； （Ⅲ）h（t）． 【解答】解：（Ⅰ）f（x）≥g（x）⇔x+1≥（x﹣1）2⇔x2﹣3x≤0， 解得0≤x≤3， 所以不等式f（x）≥g（x）的解集为[0，3]； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当x∈[0，3]时，x+1≥（x﹣1）2， 所以当x+1＜（x﹣1）2时，解得x＜0或x＞3， 又因为M（x）＝max{f（x），g（x）}， 所以M（x）； （Ⅲ）作出M（x）的图象，如图所示： 由此可得，当t+1≤0，即t≤﹣1时，M（x）在（﹣∞，0]上单调递减， 此时h（t）＝M（x）min＝M（t+1）＝t2； 当t＜0＜t+1，即﹣1＜t＜0时，M（x）在（t，0）上单调递减，在（0，t+1）上单调递增， 此时h（t）＝M（x）min＝M（0）＝1； 当3≥t≥0时，M（x）在[t，3]上单调递增， 此时h（t）＝M（x）min＝M（t）＝t+1； 当t＞3时，M（x）在（3，+∞）上单调递增， 此时h（t）＝M（x）min＝M（t）＝（t﹣1）2； 综上，h（t） 题型6 列表法表示函数 【典例1】已知函数y＝f（x）可表示为 x 0＜x≤2 2＜x≤4 4＜x≤6 6＜x≤8 y 2 3 4 5 则下列结论正确的是（　　） A．f（f（5））＝5 B．f（x）的值域是{2，3，4，5} C．f（x）的值域是[2，5] D．f（x）在区间[4，8]上单调递增 【答案】B 【解答】解：由图表可知f（5）＝4，f（f（5））＝f（4）＝3，A错误； 根据题意可知，f（x）的值域是{2，3，4，5}，B正确，C错误； 由题意可知，f（x）在区间[4，8]上单不调，D错误． 故选：B． 【变式1】已知函数f（x）可用列表法表示如下，则的值是 　　 ． x x≤1 1＜x＜2 x≥2 f（x） 1 2 3 【答案】1． 【解答】解：根据表格可知：满足1＜x＜2，所以； 又因为满足x≤1，所以． 故答案为：1． 题型7 图象法表示函数 【典例1】在中国天门山举行的WWL翼装飞行世锦赛中，某翼人空中高速飞行，如图反映了他从某时刻开始的15分钟内的速度v（x）与时间x的关系，若定义“速度差函数”u（x）为时间段[0，x]内的最大速度与最小速度的差，则u（x）的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：因为图中反映了翼人从某时刻开始的15分钟内的速度v（x）与时间x的关系， 所以当x∈[0，6]时，翼人做匀加速运动，，“速度差函数”，故可排除选项B； 当x∈[6，10]时，翼人做匀减速运动，速度v（x）从160开始下降，一直降到80，u（x）＝160﹣80＝80； 当x∈[10，12]时，翼人做匀减速运动，v（x）从80开始下降，易得v（x）＝180﹣10x，则u（x）＝160﹣（180﹣10x）＝10x﹣20； 当x∈[12，15]时，翼人做匀加速运动，“速度差函数”u（x）＝160﹣60＝100，结合所给的图象，故选项D正确． 故选：D． 【变式1】某产品投入市场后，其销量y与月份x之间的散点图如图所示，则下列模型能较好地反映销量y与月份x之间的关系的是（　　） A．y＝30x B．y＝20x2+30x﹣10 C．y＝30×1.2x D．y＝30log2x+60 【答案】D 【解答】解：根据其销量y与月份x之间的散点图，可得销量y与月份x之间呈对数形式增长， 故结合选项可得D选项能较好地反映销量y与月份x之间的关系． 故选：D． 题型8 画出函数的图象 【典例1】函数大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：因为f（x），x∈R，且f（﹣x）f（x）， 所以f（x）是定义域R上的奇函数，图象关于原点对称，排除选选项C、D； x≥0时，f（x），x→+∞时，f（x）→0，排除选项A． 故选：B． 【变式1】函数的部分图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：f（x）的定义域为{x|x≠0}，定义域关于原点对称， 因为f（﹣x）f（x）， 所以f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除选项C； 取x＝1，则f（1）0； 取x，则f（）0，排除选项B、D； 验证选项A满足题意． 故选：A． 题型9 由函数解析式求解函数图象 【典例1】函数f（x）＝xsinx﹣cosx在[﹣π，π]上的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：因为f（x）＝xsinx﹣cosx，所以f（﹣x）＝﹣xsin（﹣x）﹣cos（﹣x）＝xsinx﹣cosx＝f（x）， 所以f（x）是偶函数，其图象关于y轴对称，故排除A，B； 又因为f（0）＝﹣cos0＝﹣1＜0，故排除D．所以C选项正确． 故选：C． 【变式1】函数的图像大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由已知得，f（x）的定义域为{x|x≠0}， 且，所以函数f（x）为奇函数，故AC错误； 又当x＞0时，2x＞1，2﹣x∈（0，1），可知2x﹣2﹣x＞0， 此时f（x）的符号性与y＝cosx的符号性一致，故D错误； 综上，B符合． 故选：B． 题型10 由函数图象求解函数或参数 【典例1】f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（　　） A． B． C．f（x）＝x2lnx D． 【答案】A 【解答】解：，定义域{x|x〉0}，当x→+∞时，函数lnx递增速度远小于函数x2，f（x）→0， 当x＝1时，f（1）＝0，符合图像特征，A正确； 易得函数的定义域为R，x＞0时，f（x）＞0，B错误； f（x）＝x2lnx的定义域为{x|x＞0}，当x→+∞时，f（x）→+∞，C错误； 的定义域{x|x〉0}，当x→+∞时，f（x）→﹣∞，D错误． 故选：A． 【变式1】已知函数f（x）的图象如图所示，若g（x）＝f（x2），则下列数值排序正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由题意得：g′（x）＝2xf′（x2）， 所以g′′（1）＝2f′（1），，g″（）， 所以， 根据导数的几何意义得，， 所以． 故选：A． 题型11 函数图象的简单变换 【典例1】为得到函数的图象，只需把函数y＝2x的图象上的所有点（　　） A．向右平移1个单位，再向上平移1个单位 B．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 C．向左平移2个单位，再向上平移2个单位 D．向右平移2个单位，再向下平移2个单位 【答案】A 【解答】解：根据题意，由于， 故要得到函数的图象，只需要把函数y＝2x的图象上的所有点向右平移1个单位，再向上平移1个单位． 故选：A． 【变式1】观察下列散点图，其中图1两个变量的相关关系为r1，图2两个变量的相关关系为r2，则下列说法错误的是（　　） A．r1＜0 B．r1r2＜0 C．|r1|＜|r2| D．r1+r2＜0 【答案】D 【解答】解：根据题意，由图可得r1＜0，r2＞0，图2线性相关性比图1强，所以|r1|＜|r2|，则﹣r1＜r2，即r1+r2＞0． 则A、B、C都正确，D错误． 故选：D． 过 关 验 收 1．若函数的定义域为R，则实数m取值范围是　 　 ． 【答案】[0，8）． 【解答】解：函数f（x）的定义域为R，则t＝2mx2﹣mx+1＞0恒成立， 当m＜0时，t＝2mx2﹣mx+1的图象开口向下，不满足题意； 当m＝0时，t＝1＞0恒成立，满足题意； 当m＞0时，Δ＝m2﹣8m＜0，解得0＜m＜8． 综上所述，实数m取值范围是[0，8）． 故答案为：[0，8）． 2．若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是 　 　 ． 【答案】{a|}． 【解答】解：由的定义域为R，则ax2+x+1＞0恒成立， 当a＝0时，x+1＞0，得x＞﹣1，不符合要求，故舍去， 当a≠0时，有，解得， 综上，． 故答案为：{a|}． 3．若函数的定义域为R，且f（x+1）＝f（﹣x﹣1），则实数m的值为 　 　 ． 【答案】1． 【解答】解：∵函数的定义域为R， ∴﹣m2+2m+3＞0，解得﹣1＜m＜3， 又m∈Z，∴m＝0，1，2， 而f（x+1）＝f（﹣x﹣1），可知f（x）为偶函数， 则m＝1． ∴实数m的值为1． 故答案为：1． 4．已知a＞0，且a≠1，若函数的值域为R，则a的取值范围为（　　） A．[2，+∞） B．（1，+∞） C．（0，1）∪（1，2] D．（1，2] 【答案】D 【解答】解：因为函数y＝x+a在（﹣∞，2）上单调递增，所以要使函数f（x）的值域为R， 须满足函数y＝ax在[2，+∞）上单调递增，且2+a≥a2， 即， 解得1＜a≤2， 即a的取值范围为（1，2]． 故选：D． 5．若存在区间[a，b]（a＜b），使得函数f（x）＝ln（ex+m）在[a，b]上的值域为，则实数m的取值范围是　 　 ． 【答案】． 【解答】解：由题意，函数f（x）＝ln（ex+m）在[a，b]上为单调递增函数． 要使得f（x）在[a，b]上的值域为，则满足， 所以a，b是方程的两个实数根， 由，可得， 令，则t＞0，所以方程t2﹣t+m＝0有两个不同的正实数根， 设方程t2﹣t+m＝0有两个不同的正实数根为t1，t2， 则满足，即，解得， 所以实数m的取值范围为． 故答案为：． 6．已知函数，若存在区间[a，b]（b＞a≥﹣1），使得函数f（x）在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则实数m的取值范围为 　 　 　 ． 【答案】{m|}． 【解答】解：由函数，显然该函数在[a，b]上单调递增， 由函数f（x）在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则， 等价于4x2﹣（4m+1）x+m2﹣1＝0存在两个不相等且大于等于﹣1的实数根， 且2x﹣m≥0在x∈[﹣1，0）上恒成立，则， 解得． 故答案为：{m|}． 7．下列函数f（x）和g（x）为同一函数的是（　　） A．f（x）＝x+1和 B．f（x）＝x2+x0和 C．f（x）＝x2+x和 D．和 【答案】B 【解答】解：两个函数若为同一函数，需要定义域和解析式相同， 对于A，函数f（x）＝x+1的定义域为R， 函数的定义域为R，而， 所以函数f（x）和g（x）不为同一函数； 对于B，函数f（x）＝x2+x0的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）， 函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）， 而f（x）＝x2+x0＝x2+1，， 即两个函数的定义域和解析式相同，所以函数f（x）和g（x）为同一函数； 对于C，函数f（x）＝x2+x的定义域为R， 函数，则的定义域为[0，+∞）， 即两个函数的定义域不同，所以函数f（x）和g（x）不为同一函数； 对于D，函数的定义域为（﹣∞，0）∪[3，+∞）， 函数的定义域为（﹣∞，0）∪[3，+∞）， 而， 所以函数f（x）和g（x）不为同一函数． 故选：B． 8．在下列函数中，与函数y＝x表示同一函数的（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：函数y＝x的定义域为R， A：函数的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，故与函数y＝x不是同一函数； B：函数的定义域为R，可化简为，定义域相同，对应关系一样，与函数y＝x是同一函数； C：函数的定义域为{x|x≥0}，定义域不同，故与函数y＝x不是同一函数； D：函数与函数y＝x解析式不相同，定义域不同，故与函数y＝x不是同一函数． 故选：B． 9．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝x（x+2）． （1）画出函数f（x）的图像，并写出f（x）的单调区间； （2）求出f（x）的解析式． 【答案】（1）图象见解答，单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），单调递增区间为[﹣1，1]； （2）f（x）． 【解答】解：（1）根据奇函数的图象关于原点对称，作出函数f（x）的大致图像，如图所示： 函数的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），单调递增区间为[﹣1，1]； （2）因为函数f（x）是定义在R上的奇函数， 当x≤0时，f（x）＝x（x+2）， 设x＜0，则﹣x＞0， 所以f（﹣x）＝﹣x（﹣x+2）＝x（x﹣2）＝﹣f（x）， 所以f（x）＝x（2﹣x）， 故f（x）． 10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x． （Ⅰ）求出函数f（x）在R上的解析式，并补出函数f（x）在y轴右侧的图象； （Ⅱ）①根据图象写出函数f（x）的单调递减区间； ②若x∈[﹣1，m]时，函数f（x）的值域是[﹣1，1]，求m的取值范围． 【答案】（Ⅰ）f（x），图象见解析； （Ⅱ）①（﹣∞，﹣1），（1，+∞）； ②m∈[1，1]． 【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x． 则令x＞0，故可得﹣x＜0，所以f（﹣x）＝x2﹣2x， 所以f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2+2x， 所以f（x）， 函数的图象如图： （Ⅱ）①由图象知，f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞）． ②f（﹣1）＝﹣1，f（1）＝1， 令﹣x2+2x＝﹣1，解得x＝1， 因为x＞0，所以x1， 故由图可知m∈[1，1]． 11．函数f（x）的数据如表，则该函数的解析式可能形如（　　） x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 5 f（x） 2.3 1.1 0.7 1.1 2.3 5.9 49.1 A．f（x）＝ka|x|+b B．f（x）＝kxex+b C．f（x）＝k|x|+b D．f（x）＝k（x﹣1）2+b 【答案】A 【解答】解：由函数f（x）的数据可知，函数f（﹣2）＝f（2），f（﹣1）＝f（1）， 偶函数满足此性质，可排除B，D； 当x＞0时，由函数f（x）的数据可知，函数f（x）增长越来越快，可排除C． 故选：A． 12．已知函数y＝f（x）表示为： x [﹣2，0） 0 （0，2] y 1 0 ﹣2 设f（1）＝m，f（x）的值域为M，则（　　） A．m＝﹣2，M＝{﹣2，0，1} B．m＝﹣2，M＝{y|﹣2≤y≤1} C．m＝1，M＝{﹣2，0，1} D．m＝1，M＝{y|﹣2≤y≤1} 【答案】A 【解答】解：由函数关系知f（1）＝﹣2，即m＝﹣2， 函数的值域为{1，0，﹣2}， 故选：A． 13．已知，幂函数y＝xa的大致图象如图所示，则a＝ 　 ． 【答案】． 【解答】解：由图象知，a＜0时，y＝xa在第一象限单调递减，故排除a＝2，3， 图象关于y轴对称，故函数是偶函数， 时，，定义域为{x|x≠0}，满足f（﹣x）＝﹣f（x），是奇函数； 时，，定义域为{x|x≠0}，满足f（﹣x）＝f（x），是偶函数； ∴． 故答案为：． 14．函数y＝（2x﹣2﹣x）sinx在区间上的图像大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由已知，f（x）定义域为R， 且f（﹣x）＝（2﹣x﹣2x）sin（﹣x）＝（2x﹣2﹣x）sinx＝f（x），则f（x）是偶函数，排除选项C． 又f（0）＝0，，排除选项B，D． 故选：A． 15．已知函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由图象可得f（x）图象关于原点对称，为奇函数， 对于A，，定义域为， 又，所以f（x）为偶函数，故A错误； 对于B，当x＞1时，， 易知2x﹣2﹣x＞0，3﹣4x＜0，所以f（x）＜0，与图象不符，故B错误； 对于D，当x＞1时，， 由反比例函数的性质可知，f（x）在（1，+∞）上单调递减，故D错误； 对于C，定义域为， f（﹣x）f（x），为奇函数，且0＜x时，f（x）＜0，x＞时，f（x）＞0，满足图中性质． 故选：C． 16．已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：根据题意，由函数的图象，f（x）的定义域为{x|x≠±1}， f（x）的图象关于y轴对称，且在其定义域上，f（x）＞0恒成立， 依次分析选项： 对于A，由得f（0）＝﹣1，不符合函数图象，所以A错误； 对于B，易得是奇函数，不符合函数图象，所以B错误； 对于C，的定义域为{x|x≠1}，不符合函数图象，所以C错误． 故选：D． 17．将函数y＝|﹣x2+1|+2向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：y＝|﹣x2+1|+2向左、向下分别平移2个、3个单位长度， 所得图象解析式为y＝|﹣（x+2）2+1|+2﹣3＝|﹣（x+2）2+1|﹣1． 将y＝﹣（x+2）2+1的x轴下方的图象关于x轴对称，再向下平移一个单位即可． 故选：C． 18．将函数f（x）的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到函数g（x）的图象．再将g（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象恰好与函数f（x）的图象重合．则f（x）可以是（　　） A．f（x）＝log3x B．f（x）＝log3（3x+1） C．f（x）＝3x D．f（x）＝32x+1 【答案】C 【解答】解：将f（x）横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，将g（x）向右平移1个单位长度，所得图象恰好与f（x）的图象重合， 可得g（x﹣1）＝3f（x﹣1）＝f（x）， 选项A：3f（x﹣1）＝3log3（x﹣1）≠log3x＝f（x），故A错误； 选项B：3f（x﹣1）＝3log3[3（x﹣1）+1]＝3log3（3x﹣2）≠log3（3x+1）＝f（x），故B错误； 选项C：3f（x﹣1）＝3•3x﹣1＝3x＝f（x），故C正确； 选项D：3f（x﹣1）＝3•3（2x﹣2）+1＝32x，故D错误． 故选：C． 19．为得到函数y＝lg（10x+10）的图象，只需（　　） A．把函数y＝lg（10x）的图象上的所有点向左平移10个单位 B．把函数y＝lg（10x）的图象上的所有点向左平移1个单位 C．把函数y＝lg（x+10）的图象上的所有点横坐标变成原来的10倍，纵坐标不变 D．把函数y＝lg（x+1）的图象上的所有点横坐标变成原来的倍，纵坐标不变 【答案】B 【解答】解：根据题意，函数y＝lg（10x+10）＝lg[10（x+1）]， 为得到函数y＝lg（10x+10）的图象，只需把函数y＝lg（10x）的图象上的所有点向左平移1个单位， 或者把函数y＝lg（x+10）的图象上的所有点横坐标变成原来的倍，纵坐标不变． 故选：B． 20．已知函数y，若f（a）＝10，则a的值是（　　） A．3或﹣3 B．﹣3或5 C．﹣3 D．3或﹣3或5 【答案】B 【解答】解：若a≤0，则f（a）＝a2+1＝10 ∴a＝﹣3（a＝3舍去） 若a＞0，则f（a）＝2a＝10 ∴a＝5 综上可得，a＝5或a＝﹣3 故选：B． 21．对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[π]＝3，[﹣1.08]＝﹣2，定义函数f（x）＝x﹣[x]，则下列选项中不正确的是（　　） A．f（x+1）＝f（x） B． C．函数y＝f（x）的图象与直线有无数个交点 D．函数f（x）的最大值为1 【答案】D 【解答】解：由题意得：， 由解析式可得函数图形如下图所示， 对于A，函数f（x）满足f（x+1）＝f（x），A正确； 对于B，∵，， ∴，B正确； 对于C，函数y＝f（x）的图象与直线有无数个交点，C正确； 对于D，函数0≤f（x）＜1，D错误． 故选：D． 学科网（北京）股份有限公司 $